EM算法(讲解+程序)

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分类 em算法

分类em算法摘要：1.引言2.EM 算法的基本原理3.EM 算法的分类应用4.结论正文：1.引言EM 算法，全称Expectation-Maximization 算法，是一种常见的概率模型优化算法。

该算法在统计学、机器学习等领域具有广泛的应用，特别是在分类问题上表现出色。

本文将重点介绍EM 算法在分类问题上的应用及其基本原理。

2.EM 算法的基本原理EM 算法是一种迭代优化算法，主要通过两个步骤进行：E 步（Expectation）和M 步（Maximization）。

在E 步中，根据观测数据计算样本的隐含变量的期望值；在M 步中，根据隐含变量的期望值最大化模型参数的似然函数。

这两个步骤交替进行，直至收敛。

EM 算法的基本原理可以概括为：对于一个包含隐含变量的概率模型，通过迭代优化模型参数，使得观测数据的似然函数最大化。

在这个过程中，EM 算法引入了Jensen 不等式，保证了算法的收敛性。

3.EM 算法的分类应用EM 算法在分类问题上的应用非常广泛，典型的例子包括高斯混合模型（GMM）和隐马尔可夫模型（HMM）。

（1）高斯混合模型（GMM）在传统的分类问题中，我们通常使用极大似然估计（MLE）来求解最佳分类模型。

然而，当数据分布复杂时，MLE 可能无法得到一个好的解。

此时，我们可以引入EM 算法，通过迭代优化模型参数，提高分类的准确性。

在GMM 中，EM 算法可以有效地处理数据的多峰分布，从而提高分类效果。

（2）隐马尔可夫模型（HMM）HMM 是一种基于序列数据的概率模型，广泛应用于语音识别、时间序列分析等领域。

在HMM 中，EM 算法被用于求解最优路径和状态转移概率。

通过EM 算法，我们可以有效地处理观测序列与隐状态之间的不确定性，从而提高分类效果。

4.结论EM 算法作为一种强大的概率模型优化算法，在分类问题上表现出色。

通过引入隐含变量和迭代优化，EM 算法可以有效地处理数据的复杂性和不确定性，提高分类的准确性。

EM算法-完整推导

EM算法-完整推导前篇已经对EM过程,举了扔硬币和⾼斯分布等案例来直观认识了, ⽬标是参数估计, 分为 E-step 和 M-step, 不断循环, 直到收敛则求出了近似的估计参数, 不多说了, 本篇不说栗⼦, 直接来推导⼀波.Jensen 不等式在满⾜:⼀个 concave 函数, 即形状为 "⋂" 的函数f(x)λj≥0∑jλj=1 类似于随机变量的分布的前提条件下, 则有不等式:f(∑jλj x j)≥∑jλj f(x j)恒成⽴, 则该不等式称为 Jensen 不等式. 是有些不太直观哦, (sum 是最后哦, 有时候会犯晕).为了更直观⼀点, 考虑λ只有两个值, 即:λ1=1−tλ2=1其中,0⩽"\bigcap" 函数 f(x) 中有⼀段区间 [a, b], 构造出该范围内的⼀个点x_t当, x_t = (1+t)a + tb则有:f((1-t)a +tb) \ge (1-t)f(a) + tf(b)这⾥跟之前写过的 convex 其实是⼀模⼀样的, 要是还不直观, 就⾃个画个草图就秒懂了.左边是函数的值, 右边连接两个端点a,b的函数值的直线, 因为是 "\bigcap 的", 故函数值必然在直线的上⽅.⽤数学归纳法, 当 M > 2:f(\sum \limits _{j=1}^M \lambda_j x_j) \ge \sum \limits _{j=1}^M \lambda_j f(x_j)EM算法推导假设给定⼀个包含 n 个独⽴的训练样本的数据集, D = \{ x_1, x_2, x_3...x_n) \}希望拟合⼀个概率模型p(x, z) , 其对数似然函数(log likelihood)为:为啥要 log, 乘法变加法, 不太想说了, ⾃⼰都重复吐⾎了似然, 不加log 前是: l(\theta) = \prod \limits _{i=1}^n p(x; \theta)的嘛, 样本的联合概率最⼤l(\theta) = \sum \limits _{i=1}^n log \ p(x; \theta)= \sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x, z; \theta)理解\sum \limits _{z} p(x, z; \theta)给定\theta的前提下, 关于 x, z 的联合概率跟之前扔硬币是⼀样的, 对于每个独⽴数据的产⽣, 其实还有⼀个隐含的因素 z (扔硬币中,到底这次试验是来⾃于硬币A 还是硬币B每个Z因素, 影响着 p(x,z) 的联合概率分布. 考虑所有的 z, 则是全概率了呀.对于p(x; \theta)直接通过 x 来观测\theta⽐较难 (扔硬币中, 没有上帝视⾓, 不知道扔结果是哪个硬币产⽣的)z^{(i)}是⼀个隐变量(latent), 如果能观测到z^{(i)}则参数预测会容易很多, EM算法就是来解决这个问题的EM 算法呢, 分为两个步骤:在 E 步中, 构建l(\theta)的下界函数 (给定\theta来找 z)在 M 步中, 最⼤化这个下界函数不太直观, 就回顾上篇扔硬币的栗⼦, 这⾥的 z 就是那个来⾃哪⾥A 还是 B 的概率(每次试验)设Q_i为关于 z 的概率分布, 即\sum \limits _{z} Q_i(z) = 1 (z 如是连续变量则\sum \rightarrow \int_z) ,则对于上⾯的对数似然函数:= \sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x_i, z_i; \theta) \ (1)对 p 的部分, 同时乘上和除以Q_i(z_i)不改变等式 , 这种技巧, 中学的 "配平⽅或数列裂项求和" ⼀样滴= \sum \limits _i log \sum \limits _{z_i} Q_i(z_i) \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } \ (2)log 函数是 concave 的, 联想 jensen不等式f(\sum \limits _j \lambda_j x_j) \ge \sum \limits _j \lambda_j f(x_j)即 log 对于与 f(); \sum \limits _{z_i} Q_i(z_i) 对应于 \sum \limits _j \lambda_j ; 最后⼀项对x_j\ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } \ (3)就类似与, 把⼀个, 函数⾥⾯的参数, 提取到函数外⾯来. 如还是不理解, 回看之前写的 convex 篇什么时候会取到等于?即当\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } = c是个常数的时候, (2) 和 (3) 是相等的.即p(x_i, z_i; \theta) = c \ * Q_i(z_i)在\theta给定下, 关于 x, z 的联合概率分布与隐变量 z 的分布是⼀个线性关系因为\sum \limits_{z_i} Q_i(z_i) = 1, 如果将Q_i(z_i)认为是给定x_i 和 z_i的后验概率分布, 这样就得到了该似然函数的⼀个下界,根据全概率(后验) 与贝叶斯公式:Q_i(x_i) = \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{\sum \limits _{z_i} p(x_i, z_i; \theta)}=\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{p(x; \theta)}=p(z_i|x_i, \theta)相当于求给定\theta 和 x_i的情况下, 求 z_i 的条件概率, 果然, 深刻理解贝叶斯公式显得多么重要呀再回顾⼀波贝叶斯公式:设A1,A2,A3..构成完备事件组, 则对任意⼀事件B有:P(A_i|B) = \frac {P(A_i)P(B|A_i)}{\sum \limits _{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}同上述, 只要当我们取Q_i(z_i)的值为给定\theta 和 x_i的后验概率分布的时候, 就能保证:\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }的值是⼀个常数 (反过来推的), 既然是个常数, 也就**前⾯ (3) 的地⽅可以取等号啦, 即: **\sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x_i, z_i; \theta) = \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }这样⼀来, 相当于在 E 步得到了似然函数的⼀个下界, 然后在 M 步, 求解(3) 最⼤值时候的参数\theta . 然后重复以上的 E, M 步骤:E-步: For each i:Q_i(z_i) = p(z_i | x_i; \theta)M-步, 更新\theta:\theta = arg \ max _\theta \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }....循环直到收敛, 则估计出了参数\theta但, 万⼀不收敛呢?, so, 必须证明⼀波, EM算法是收敛的哦证明EM算法会收敛假设\theta^{(t)} 和 \theta^{(t+1)}为EM算法的连续两个步骤的参数值, 欲证l (\theta)收敛, 只需证:l(\theta^{(t)}) \leq l(\theta^{(t+1)})即可EM算法使得似然函数的值单调递增即可根据前⾯关于⽤ jensen不等式的取等条件, 推导出, 取得Q_i(z_i)^{(t)}的⽅式是:Q_i ^{(t)} (z_i) = p(z_i | x_i; \theta ^{(t)})此条件下, 使得jensen不等式取等即:l(\theta^{(t)}) = \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta ^t)}{Q_i(z_i) }⽽参数\theta^{(t+1)}的取值⽅式, 是使得上⾯的这个等式的值最⼤, 则必然l(\theta^{(t+1)}) \ge l(\theta^{(t)})展开⼀波:l(\theta^{(t+1)}) \ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i^t(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta ^{(t+1)})}{Q_i^t(z_i) } \ (4)\ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i^t(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta^t)}{Q_i^t(z_i) }\ (5)=l(\theta^{(t)}) \ (6)(4) 源于不等式的性质, 必然成⽴嘛(5) 就是取最⼤值的⼀个过程必然成⽴(6) 取相等的⽅式去是应⽤了 Jensen不等式即证明了l(\theta^{(t)}) \leq l(\theta^{(t+1)}) , 即EM算法是收敛的呀.⼩结⾸先是要理解,参数估计的是在⼲嘛, 需要回顾统计学的基础知识, 或理解上篇扔硬币的栗⼦核⼼, ⽤到了⼀个jensen 不等式, 需要回顾凸函数的⼀些性质来理解⼀波推导的⽅式呢, 依旧是极⼤似然估计, 带log (乘法边加法)推导核⼼技巧是全概率与贝叶斯公式, 真正理解太重要, 如LDA, 逻辑回归, 贝叶斯...这些算法都⽤到了.证明收敛, 其实只是⼀些, 推理的技巧, 还是挺有意思的.总体上, EM算法, 理解起来,我感觉不是很容易, 但, 也没有想象的那样难, 只要肯坚持, 正如爱因斯坦所说的那样嘛, 当然也为了⾃勉⽬前在经济和精神双重困境中的⾃⼰:耐⼼和恒⼼, 总会获得收获的Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。

EM算法

P x i , z i ; C Q i z i
i i z i z i
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0

Q i 表示隐含变量Z的某种分布，Qi 满足的条件是
z P x i , z i ; C

EM算法
i i z(i )
EM算法
(i ) (i ) (i ) ln p ( x ; ) ln p ( x , z ; ) i i 种分布，Qi 满足的条件是
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0
p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln Qi ( z ) (i ) ( i ) Q ( z ) i z i
根据数学期望的相关定理：E[ f ( X )] f ( xi ) p( xi )
p ( x , z ; ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) (i ) Q ( z ) 是 ( z )的数学期望 i (i ) Qi Qi ( z ) z(i ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; )
(i ) (i ) (i )
i
ln(E[
i
Qi ( z )
(i )
])
(3)
EM算法
根据Jensen不等式：
f ( x) ln x是凹函数 f ( EX ) E f ( x)
lnE[ X ] Eln X
p( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln(E[ ]) (i ) Qi ( z ) i (3)
至与此 t 对应的L t 的值相等。

只有当此时的下界等于当前的对数似然函数时，我才能保证当我优化这个下界的时候，才真正优化了目标函数。

【机器学习】EM算法详细推导和讲解

【机器学习】EM算法详细推导和讲解今天不太想学习，炒个冷饭，讲讲机器学习⼗⼤算法⾥有名的EM算法，⽂章⾥⾯有些个⼈理解，如有错漏，还请读者不吝赐教。

众所周知，极⼤似然估计是⼀种应⽤很⼴泛的参数估计⽅法。

例如我⼿头有⼀些东北⼈的⾝⾼的数据，⼜知道⾝⾼的概率模型是⾼斯分布，那么利⽤极⼤化似然函数的⽅法可以估计出⾼斯分布的两个参数，均值和⽅差。

这个⽅法基本上所有概率课本上都会讲，我这就不多说了，不清楚的请百度。

然⽽现在我⾯临的是这种情况，我⼿上的数据是四川⼈和东北⼈的⾝⾼合集，然⽽对于其中具体的每⼀个数据，并没有标定出它来⾃“东北⼈”还是“四川⼈”，我想如果把这个数据集的概率密度画出来，⼤约是这个样⼦：好了不要吐槽了，能画成这个样⼦我已经很⽤⼼了= = 其实这个双峰的概率密度函数是有模型的，称作⾼斯混合模型（GMM），写作：话说往博客上加公式真是费劲= =这模型很好理解，就是k个⾼斯模型加权组成，α是各⾼斯分布的权重，Θ是参数。

对GMM模型的参数估计，就要⽤EM算法。

更⼀般的讲，EM算法适⽤于带有隐变量的概率模型的估计，什么是隐变量呢？就是观测不到的变量，对于上⾯四川⼈和东北⼈的例⼦，对每⼀个⾝⾼⽽⾔，它来⾃四川还是东北，就是⼀个隐变量。

为什么要⽤EM，我们来具体考虑⼀下上⾯这个问题。

如果使⽤极⼤似然估计——这是我们最开始最单纯的想法，那么我们需要极⼤化的似然函数应该是这个：然⽽我们并不知道p(x;θ)的表达式，有同学说我知道啊，不就是上⾯那个混个⾼斯模型？不就是参数多⼀点麽。

仔细想想，GMM⾥的θ可是由四川⼈和东北⼈两部分组成哟，假如你要估计四川⼈的⾝⾼均值，直接⽤GMM做似然函数，会把四川⼈和东北⼈全考虑进去，显然不合适。

另⼀个想法是考虑隐变量，如果我们已经知道哪些样本来⾃四川，哪些样本来⾃东北，那就好了。

⽤Z=0或Z=1标记样本来⾃哪个总体，则Z就是隐变量，需要最⼤化的似然函数就变为：然⽽并没有卵⽤，因为隐变量确实不知道。

大数据经典算法EM算法讲解

��
�� = �� = ��
��=��

�� =
��=��
��(�� |��)
dl( p ) n dp 1 p
n
[x i ln p (1 x i )ln(1 p )] n ln(1 p ) x i[ln p ln(1 p )] i i
1 1
n 1 1 n 1 x i( ) xi 0 p 1 p 1 p p(1 p ) i 1 i 1
ˆ xi x 4. 解似然方程得： p n i 1 5. 验证在 pˆ x 时，d l( p ) 0，这表明 pˆ x 可使似 dp 然函数达到最大
2 2
11
1
n
16:54:11
小结
极大似然估计，只是一种概率论在统计学的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
16:54:09
EM算法——最大期望算法
——吴泽邦吴林谦万仔仁余淼陈志明秦志勇
1
16:54:10
食堂的大师傅炒了一份菜，要等分成两份给两个人吃
——显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量，最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中，然后观察是否一样多，把比较多的那一份取出一点放到另一个碗中，这个过程一直迭代地执行下去，直到大家看不出两个碗所容纳的菜有什么分量上的不同为止 EM算法就是这样，假设我们估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。

机器学习 EM算法详细版

Chp9：参数推断

本节课内容：计算似然的极大值
牛顿法 EM算法

极大似然估计

似然函数：令 X 1 ,..., X n 为IID，其pdf为 f ( x; θ ) ，似然函数定义为
Ln (θ ) = ∏ f ( X i ; θ )
i =1 n

log似然函数：
ln (θ ) = log Ln (θ )

在给定观测数据的条件下，计算完整似然的期望（随机变量为隐含变量）

涉及计算缺失数据的条件期望，需要利用参数的当前估计值

M —步：求极大值（ Maximization ）

求使得完整似然的期望最大的参数

又是一个极大值求解问题。通常可以解析求解，这时EM是一个很方便的工具；否则，需借助一个可靠的最大化方法求解
i =1
n
k =1
EM—Maximization

t Q θ , θ 对E步计算得到的完整似然函数的期望 ( )求极大值（Maximization），得到参数新的估计值，即 t +1 t
θ
= arg max Q (θ , θ
θ
)

每次参数更新会增大似然（非完整似然）值反复迭代后，会收敛到似然的局部极大值
涉及求和的log运算，计算困难
完整似然函数

若隐含变量的值 Y = (Y1 ,..., Yn ) 也已知，得到完整数据的似然函数为：
n n i =1 i =1
log (L (θ | X , Y )) = log ∏ f ( X i , Yi | θ ) = ∑ log ( f ( X i , Yi | θ ))

EM算法（坐标上升算法）

EM算法（坐标上升算法）⼗⼤算法之⼀：EM算法。

能评得上⼗⼤之⼀，让⼈听起来觉得挺NB的。

什么是NB啊，我们⼀般说某个⼈很NB，是因为他能解决⼀些别⼈解决不了的问题。

神为什么是神，因为神能做很多⼈做不了的事。

那么EM算法能解决什么问题呢？或者说EM算法是因为什么⽽来到这个世界上，还吸引了那么多世⼈的⽬光。

我希望⾃⼰能通俗地把它理解或者说明⽩，但是，EM这个问题感觉真的不太好⽤通俗的语⾔去说明⽩，因为它很简单，⼜很复杂。

简单在于它的思想，简单在于其仅包含了两个步骤就能完成强⼤的功能，复杂在于它的数学推理涉及到⽐较繁杂的概率公式等。

如果只讲简单的，就丢失了EM算法的精髓，如果只讲数学推理，⼜过于枯燥和⽣涩，但另⼀⽅⾯，想把两者结合起来也不是件容易的事。

所以，我也没法期待我能把它讲得怎样。

希望各位不吝指导。

⼀、最⼤似然扯了太多，得⼊正题了。

假设我们遇到的是下⾯这样的问题：假设我们需要调查我们学校的男⽣和⼥⽣的⾝⾼分布。

你怎么做啊？你说那么多⼈不可能⼀个⼀个去问吧，肯定是抽样了。

假设你在校园⾥随便地活捉了100个男⽣和100个⼥⽣。

他们共200个⼈（也就是200个⾝⾼的样本数据，为了⽅便表⽰，下⾯，我说“⼈”的意思就是对应的⾝⾼）都在教室⾥⾯了。

那下⼀步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，⼥的右边，其他的站中间！”。

然后你就先统计抽样得到的100个男⽣的⾝⾼。

假设他们的⾝⾼是服从⾼斯分布的。

但是这个分布的均值u和⽅差∂2我们不知道，这两个参数就是我们要估计的。

记作θ= [u, ∂]T。

⽤数学的语⾔来说就是：在学校那么多男⽣（⾝⾼）中，我们独⽴地按照概率密度p(x|θ)抽取100了个（⾝⾼），组成样本集X，我们想通过样本集X来估计出未知参数θ。

这⾥概率密度p(x|θ)我们知道了是⾼斯分布N(u,∂)的形式，其中的未知参数是θ=[u, ∂]T。

抽到的样本集是X={x1,x2,…,x N}，其中x i表⽰抽到的第i个⼈的⾝⾼，这⾥N就是100，表⽰抽到的样本个数。

一文让你完全入门EM算法

一文让你完全入门EM算法重磅干货，第一时间送达EM（Expectation Maximum，期望最大化）是一种迭代算法，用于对含有隐变量概率参数模型的极大似然估计或极大后验估计。

模型参数的每一次迭代，含有隐变量概率参数模型的似然函数都会增加，当似然函数不再增加或增加的值小于设置的阈值时，迭代结束。

EM算法在机器学习和计算机视觉的数据聚类领域有广泛的应用，只要是涉及到后验概率的应用，我们都可以考虑用EM算法去解决问题。

EM算法更像是一种数值分析方法，正确理解了EM算法，会增强你机器学习的自学能力，也能让你对机器学习算法有新的认识，本文详细总结了EM算法原理。

目录1. 只含有观测变量的模型估计2. 含有观测变量和未观测变量的模型参数估计3. EM算法流程4. 抛硬币问题举例5. 高斯混合模型的参数估计6. 聚类蕴含的EM算法思想7. 小结1. 只含有观测变量的模型估计我们首先考虑比较简单的情况，即模型只含有观测变量不含有隐藏变量，如何估计模型的参数？我们用逻辑斯蒂回归模型（logistic regression model）来解释这一过程。

假设数据集有d维的特征向量X和相应的目标向量Y，其中，。

下图表示逻辑斯蒂回归模型：由之前的文章介绍，逻辑斯蒂回归模型的目标预测概率是S型函数计算得到，定义为：若，则目标预测变量为1；反之，目标预测变量为0。

其中w是待估计的模型参数向量。

机器学习模型的核心问题是如何通过观测变量来构建模型参数w，最大似然方法是使观测数据的概率最大化，下面介绍用最大似然方法（Maximum Likelihood Approach）求解模型参数w。

假设数据集，样本数据，模型参数。

观测数据的对数似然函数可写为：由对数性质可知，上式等价于：式(1)代入式(2)，得：其中：由于(3)式是各个样本的和且模型参数间并无耦合，因此用类似梯度上升的迭代优化算法去求解模型参数w。

因为：由式(4)(5)(6)可得：因此，模型参数w的更新方程为：其中η是学习率。

em算法原理

em算法原理EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，用于求解含有隐变量的概率模型中的参数估计问题。

EM算法的基本思想是通过迭代的方式寻找概率模型的最大似然解。

在实际应用中，有时候概率模型中的一些变量是无法直接观测到的，这些变量称为隐变量。

如何利用观测变量来估计隐变量和模型参数就是EM算法所要解决的问题。

假设我们有一个包含观测变量X和隐变量Z的概率模型，其中X表示观测数据，Z表示对应的隐变量。

我们的目标是通过已知的观测数据X来估计模型的参数θ。

由于无法直接观测到隐变量Z，所以不能直接用最大似然估计的方法来估计参数θ。

EM算法的基本思想是通过引入一个辅助函数Q函数来进行估计。

具体地，EM算法将参数估计问题分为两步进行迭代。

首先，E步（Expectation）：在E步，根据当前的参数估计值θ(t)计算Q函数的期望值。

这里的Q函数是关于隐变量Z和模型参数θ的函数。

在计算Q函数的期望值时，需要使用当前的参数估计值θ(t)来代替真实的参数θ。

通过计算Q函数的期望值，可以得到对应的隐变量的概率分布。

然后，M步（Maximization）：在M步，根据E步得到的隐变量的概率分布，计算使得Q函数取得最大值时的模型参数估计值θ(t+1)。

这一步相当于求解一个参数最优化问题，可以使用极大似然估计或其他优化方法来进行求解。

通过不断地迭代E步和M步，直到收敛，就可以得到概率模型的最大似然解，即参数的估计值。

EM算法的优点在于可以处理含有隐变量的复杂概率模型，且收敛到全局最优解的可能性较大。

然而，EM算法也存在一些问题，比如可能陷入局部最优解，对初始值敏感等。

总之，EM算法是一种迭代求解含有隐变量的概率模型参数估计问题的方法，通过迭代的方式不断提高参数估计值的精度，从而得到对应的模型参数的估计值。

em算法原理

EM算法原理一、简介EM（Expectation Maximization）算法是一种常见的统计学习方法，用于估计参数和解决一些难以处理的问题，特别是在存在隐变量的情况下。

EM算法最初由数学家罗伯特·卢德米勒（RobertLushmiller）和理查德·贝尔曼（RichardBellman）在20世纪50年代提出，后来由 statisticiansDempster, Laird, and Rubin 进一步发展，因此也被命名为Dempster-Laird-Rubin算法。

EM算法在许多领域都有广泛的应用，如混合高斯模型、隐马尔可夫模型、高斯过程回归等。

二、EM算法的步骤EM算法主要由两个步骤组成：E步（ExpectationStep）和M步（Maximization Step），这两个步骤在迭代过程中交替进行。

1.E步：计算隐变量的条件期望。

给定当前的参数估计值，计算隐变量的条件期望，通常表示为参数的函数。

这个步骤中，隐变量对数似然函数的参数更新起着关键作用。

2.M步：最大化期望值函数。

在E步计算出期望值之后，M步将尝试找到一组参数，使得这个期望值函数最大。

这个步骤中，通常使用优化算法来找到使期望值函数最大的参数值。

这两个步骤在迭代过程中交替进行，每次迭代都更新了参数的估计值，直到满足某个停止准则（如参数收敛或达到预设的最大迭代次数）。

三、EM算法的特点与优点1.处理隐变量：EM算法能够处理数据中存在的隐变量问题，这是它与其他参数估计方法相比的一大优势。

通过估计隐变量的概率分布，EM算法能够更准确地描述数据的生成过程。

2.简单易行：相对于其他优化算法，EM算法相对简单易懂，也容易实现。

它的主要目标是最优化一个简单的对数似然函数，这使得EM算法在许多情况下都能给出很好的结果。

3.稳健性：对于一些数据异常或丢失的情况，EM算法往往表现出较好的稳健性。

这是因为EM算法在估计参数时，会考虑到所有可用的数据，而不仅仅是正常的数据点。

机器学习之EM 算法

EM算法的英文全称是 Expectation-maximization algorithm，即最大期望算法，或者是期望最大化算法。

EM算法号称是十大机器学习算法之一，听这个名头就知道它非同凡响。

从本质上来说EM算法是最大似然估计方法的进阶版。

最大似然估计假设当下我们有一枚硬币，我们想知道这枚硬币抛出去之后正面朝上的概率是多少，于是我们抛了10次硬币做了一个实验。

发现其中正面朝上的次数是5次，反面朝上的次数也是5次。

所以我们认为硬币每次正面朝上的概率是50%。

从表面上来看，这个结论非常正常，理所应当。

但我们仔细分析会发现这是有问题的，问题在于我们做出来的实验结果和实验参数之间不是强耦合的。

也就是说，如果硬币被人做过手脚，它正面朝上的概率是60%，我们抛掷10次，也有可能得到5次正面5次反面的概率。

同理，如果正面朝上的概率是70%，我们也有一定的概率可以得到5次正面5次反面的结果。

现在我们得到了这样的结果，怎么能说明就一定是50%朝上的概率导致的呢？那我们应该怎么办，继续做实验吗？显然不管我们做多少次实验都不能从根本上解决这个问题，既然参数影响的是出现结果的概率，我们还是应该回到这个角度，从概率上下手。

我们知道，抛硬币是一个二项分布的事件，我们假设抛掷硬币正面朝上的概率是p，那么反面朝上的概率就是1-p。

于是我们可以带入二项分布的公式，算出10次抛掷之后，5次是正面结果在当前p参数下出现的概率是多少。

于是，我们可以得到这样一条曲线：也就是正面朝上的概率是0.5的时候，10次抛掷出现5次正面的概率最大。

我们把正面朝上的概率看成是实验当中的参数，我们把似然看成是概率。

那么最大似然估计，其实就是指的是使得当前实验结果出现概率最大的参数。

也就是说我们通过实验结果和概率，找出最有可能导致这个结果的原因或者说参数，这个就叫做最大似然估计。

原理理解了，解法也就顺水推舟了。

首先，我们需要用函数将实验结果出现的概率表示出来。

EM算法(讲解+程序)

EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。

然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结束。

四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

EM算法(讲解+程序)

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978 mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值-50510利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

Algorithm之EM：ExpectationMaximization简介、代码实现

Algorithm之EM：ExpectationMaximization简介、代码
实现
Algorithm之EM：Expectation Maximization简介、代码实现
EM期望极大算法简介
EM 算法是 Dempster,Laind,Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有噪声等所谓的不完全数据。

EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，其中一个为期望步（E步），另一个为极大步（M步），所以算法被称为EM算法（Expectation Maximization Algorithm）。

是一种迭代算法，在统计学中被用于寻找，依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中，参数的最大似然估计。

Expectation Maximization期望极大算法案例实现。

EM算法的原理与应用

EM算法的原理与应用EM算法是一种常用的统计学估计方法，其原理与应用十分广泛。

本文将介绍EM算法的原理及其在实际问题中的应用。

一、EM算法的原理EM算法（Expectation Maximization algorithm）是一种用于解决含有隐变量（或混合变量）的概率模型参数估计问题的迭代优化算法。

其基本思想是通过迭代寻找模型参数的极大似然估计。

1.1 E步（Expectation Step）在E步中，首先对给定的模型参数估计值，计算每个样本属于每个隐变量的后验概率。

这相当于计算样本的“期望”。

具体而言，对于每个样本，计算其属于每个隐变量的后验概率。

1.2 M步（Maximization Step）在M步中，利用E步中计算得到的后验概率，重新估计模型参数，使得似然函数达到极大值。

具体而言，对于每个隐变量，根据样本的“期望”重新估计其模型参数。

1.3 迭代更新将E步和M步反复迭代执行，直到模型参数收敛或达到预设的迭代次数。

通过这种迭代更新的方式，逐步优化模型参数的估计值。

二、EM算法的应用EM算法被广泛应用于各个领域，例如机器学习、计算机视觉、自然语言处理等。

以下将介绍EM算法在几个具体问题中的应用。

2.1 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）高斯混合模型是一种常用的概率模型，广泛应用于模式识别和聚类等任务。

其中，每个样本可以由多个高斯分布组成，但是样本的真实类别信息是未知的。

利用EM算法可以对高斯混合模型的参数进行估计，从而实现对样本的聚类。

在E步中，计算每个样本属于每个高斯分布的后验概率；在M步中，根据后验概率重新估计高斯混合模型的参数。

通过迭代更新，最终可以得到高斯混合模型的估计参数，从而完成聚类任务。

2.2 隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）隐马尔可夫模型是一种广泛应用于序列数据建模的统计模型，被应用于语音识别、自然语言处理等领域。

em算法基本原理

em算法基本原理宝子！今天咱来唠唠EM算法这个超有趣的东西。

EM算法啊，就像是一个超级侦探，在处理那些有隐藏信息的数据的时候特别厉害。

想象一下，你面前有个神秘的盒子，里面装着一些数据，但是有些关键的小秘密是隐藏起来的，就像捉迷藏一样。

EM算法呢，就是要把这些隐藏的小秘密找出来，让整个数据的情况都明明白白的。

那这个算法到底是怎么个运作法呢？咱先来说说这个E步，也就是期望步（Expectation step）。

这一步就像是在猜谜呢。

它根据现有的一些初步信息，对那些隐藏的变量先做一个大概的估计。

比如说，你知道一群人里有男生和女生，但是你不知道具体谁是男生谁是女生，不过你知道一些关于身高、体重之类的大概信息。

E 步就会根据这些信息去猜一猜，这个人是男生的概率有多大，是女生的概率有多大。

它会算出一个期望的值，就像是在黑暗里先摸一摸方向。

接着就是M步啦，也就是最大化步（Maximization step）。

这一步可就像个贪心的小宝贝，它拿到E步猜出来的那些东西，然后就想办法让某个目标函数达到最大。

还拿男女生的例子来说，M步就会根据E步猜出来的概率，去调整一些参数，比如说男生的平均身高、女生的平均体重这些参数，让这个模型能更好地符合现有的数据。

这就好像是根据之前的猜测，调整一下自己的判断，让这个判断更加准确。

你看，EM算法就是这么在E步和M步之间来回折腾。

就像跳舞一样，跳了一步，再根据这一步的情况调整下一个舞步。

它这样反复循环，每一次循环都会让对隐藏变量的估计和整个模型的参数变得更准确一点。

再打个比方吧，你要做一个蛋糕，但是你不知道面粉和糖的最佳比例，而且还有一些神秘的调料是隐藏起来的。

E步呢，就像是你先根据以往做蛋糕的经验，大概猜一猜面粉和糖的比例，还有那些隐藏调料可能的量。

然后M步就像是你真的去做这个蛋糕，根据做出来的味道，调整面粉、糖还有那些隐藏调料的量，让这个蛋糕变得超级美味。

然后再进行下一轮的E步和M步，不断地调整，直到这个蛋糕达到你心中最完美的状态。

em算法入门

yi
yj
1 yi

考虑求模型参数θ=(a,b,c)的极大似然估计，即
arg maxlog P(Y丨）

这个问题没有解析解，只能通过迭代的方法求解。EM算法就是可以用于求解这个问题的一种迭代算法，下面给出针对以上问题的EM算法。
EM算法首先选取参数的初值，记作 (0) (a (0) , b(0) , c (0) ) 然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为
界函数就是我们前面定义的 Q( , i ) 函数。这一步是E步，建立了L（θ）的下界。
接下来是M步，就是在给定 Qi ( z ) 后，调整θ，去极大化L（θ）的下界，那么怎么确保EM收敛呢？又如何确保每次迭代都能使极大似然估计单调增加呢？下述两个定理表明了利用EM算法所得到的估计序列具有良好的收敛性，且其收敛到p(θ丨Y)的最大值。

yY
(i ) log( L ( Y , z )) f ( z Y , )dz
这里，Q函数定义为完全数据的对数似然函数 log P(Y , Z )在给定观测数据Y和当前的参数 ( i ) 下 (i ) P ( Z Y , ) 对未观测数据Z的条件概率分布的期望；通过求期望，去掉了完整似然函数中的变量Z。即EM的E步。
1 n
n
( i 1) j yj j 1 n ( i 1) j j 1 n
（3）
b
( i 1)
（4）
c
( i 1)
1 n
( i 1) ( 1 )yj j j 1 n
(1
j 1
( i 1) j
)
（5）
进行数字计算。假设模型参数的初始值取为

聚类-EM算法解析

2023
聚类-em算法解析
聚类算法概述EM算法的基本原理聚类-EM算法的实现过程聚类-EM算法的性能分析聚类-EM算法的应用实例总结与展望
contents
目录
01
聚类算法概述
聚类算法是一种无监督学习方法，通过将数据集划分为若干个相似的子集（即聚类），从而发现数据集中的内在结构和类别。
聚类算法定义
聚类-em算法在处理复杂和大规模数据集时，具有良好的扩展性和高效性能。
下一步研究方向
针对不同类型的数据和问题，研究更加有效的聚类-em算法，提高聚类性能和准确率。
研究聚类-em算法的并行和分布式实现，提高算法在处理大规模数据集时的效率。
结合深度学习、强化学习等先进技术，探索更加智能和自适应的聚类方法。
蛋白质分类
利用聚类-EM算法对蛋白质进行聚类，可以发现蛋白质之间的相似性和关系，从而帮助生物学家更好地理解蛋白质的功能和作用机制。
在生物信息学领域的应用
06
总结与展望
总结
聚类-em算法是一种有效的聚类方法，通过迭代优化方式，不断改进聚类结果，提高聚类质量和准确率。
聚类-em算法具有广泛的适用性，可以应用于多种数据类型和领域，如文本、图像、音频等。
利用聚类-EM算法对图像进行聚类后，可以根据每个类别的特性来增强每个区域的视觉效果，从而改善图像的视觉效果和识别性能。
图像增强
在图像处理领域的应用
基因表达数据分析
通过聚类-EM算法，可以将基因表达数据集划分为多个类别，每个类别代表一种特定的细胞或组织状态。这种方法可以帮助生物学家了解基因表达模式与细胞或组织状态的关系。
聚类的目的通常包括数据压缩、分类、异常检测、特征提取等。
聚类目的

EM算法详细例子+推导

M 步骤极大化 Q，往往这一步是求导，得到由旧的 θ 值 θ′ 来计算新的 θ 值的
公式
∂Q
=0
(4)
∂θ
总结一下，期望最大化算法就是先根据参数初值估计隐藏变量的分布，然后根据隐藏变量的分布来计算观察变量的似然函数，估计参数的值。前者通常称为 E 步骤，后者称为 M 步骤。
3 数学基础 [7]
∑n
∑
f ( λixi) ≤ nλif (xi))2
(8)
i=1
i=1
对于严格凸函数，上面的等号只有在 x1 = x2 = ... = xn 的时候成立。关于凸函数的其他性质不再赘述。对数函数是一个严格凸函数。因而我们可以
有下面这个结果：
l(θ)
=
∑n ln ∑ αj P (Xi
i=1
j
=
xi, Z αj
=
zj )
≥
∑n ∑ αj
i=1 j
ln
P (Xi
=
xi, Z αj
=
zj )
(9)
现在我们根据等号成立的条件来确定 αj 即
P (Xi = xi, Z = zj) = c
(10)
αj
其中
c
是一个与
j
无关的常数。因为
∑
j
αj
=
1，稍作变换就可以得到
αj
=
P (Xi = xi, Z = P (Xi = xi)
期望最大化算法
binary_seach December 3, 2012
Contents
1 简介
2
2 一个例子 [6]
2
3 数学基础 [7]
4
3.1 极大似然估计 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

EM算法(讲解+程序)

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em算法原理

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