人教版第2套人教初中数学九上 22.3 实际问题与二次函数教案
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
【人教版九年级数学上册教案】22.3实际问题与二次函数(第1课时)
22.3 实质问题与二次函数第 1课时教课目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ ax2的关系式。
2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提升学生用数学意识。
要点难点：要点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ ax2、y＝ ax2＋b x ＋ c 的关系式是教课的要点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教课的难点。
教课过程：一、创建问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型( 曲线 AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB 为4m，拱高 CO为 0.8m。
施工前要先制造建筑模板，如何画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出吻合要求的模板，平时要先建立合适的直角坐标系，再写出函数关系式，而后依据这个关系式进行计算，放样画图。
以下列图，以AB的垂直均分线为y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的极点在原点，对称轴是 y 轴，张口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝ ax2 (a＜ 0) (1)AB因为 y 轴垂直均分AB，并交 AB于点 C，所以 CB2＝ 2(cm) ，又 CO＝ 0.8m，所以点 B ＝的坐标为 (2 ，－ 0.8) 。
因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1) ，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2所以，所求函数关系式是y＝－ 0.2x 2。
二、引申拓展问题 1：能不可以以A点为原点， AB所在直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系 ?让学生认识建立直角坐标系的方法不是独一的，以 A 点为原点， AB所在的直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题 2，若以 A 点为原点， AB所在直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则 A 点坐标为 (0 ， 0) ，B 点坐标为 (4 ， 0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB， AC＝2m， O点坐标为 (2 ； 0． 8) 。
人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。
2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。
3.能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。
2.解决实际问题时的思维过程和方法。
三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。
2.教学投影仪。
3.讲义、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。
2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。
请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。
提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。
通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。
4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。
由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。
5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。
请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。
通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。
6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。
重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。
五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。
1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。
请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。
人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22.3节的内容。
这部分教材主要让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生将能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
教材中给出了几个实际问题，让学生通过解决这些问题来理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学过二次函数的基本知识，他们对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题可能是他们比较陌生的。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将所学的二次函数知识与实际问题联系起来，帮助他们理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，并能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够认识到数学在实际生活中的重要性，增强他们对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：学生能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，并能够灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：我将以问题为导向，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握二次函数的应用。
我会鼓励学生进行合作学习和讨论，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：我将使用多媒体教学手段，如PPT和教学软件，来展示二次函数的图像和实际问题的情境，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣和好奇心。
2.教学新课：我会引导学生回顾二次函数的基本知识，然后向他们介绍二次函数在实际问题中的应用。
我会通过示例和讲解，让学生理解和掌握二次函数的应用方法。
3.学生练习：我会给出几个实际问题，让学生独立解决。
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案2(新版)新人教版
根据所学内容解答习题
2、总结归纳
谈谈本节课的收获？
3、作业：课堂
必做：教材第52页3、题
选做：教材第52页8题
家庭
同步轻松练习
板书设计
教后记
聆听、思考、回答
四、总结提高
1、出示精选习题
⑴向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
⑵平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x－2009)(x－2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
回忆
2、出示学习目标
会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
明确目标
出示自学提纲
⑴阅读教材51页探究3
⑵以抛物线顶点为原点建立坐标系
⑶根据已知条件如何求出这条抛物线表示的二次函数的解析式呢？
⑷水面下降1m，水面的纵坐标为多少？此时水面宽度为多少m？与原来的4m比增加了多少m?
实际问题与二次函数
教学目标
知识与技能
使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
过程与方法
会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
情感态度与价值观
发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
重点
利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思
人教版九年级上册 22、3 实际问题与二次函数 教案
22.3实际问题与二次函数教学目标：1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。
教学重点：将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。
教学难点：准确求出自变量的取值范围。
教学准备：多媒体教学过程设计：一、设计问题，创设情境师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面研究一次函数？学生回答师：类比一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质，本节课我们将要学习实际问题与二次函数．在正式学习新课之前，请大家看下面问题：出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m²的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m²的矩形场地，若能，说出围法；若不能，说明理由。
学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充．（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym²，求矩形的最大面积。
师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积．追问：能否围成面积为130m²，80m²的矩形，你能马上判断出来吗？学生判断．设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系．同时，通过解决此问题，能使学生初步体会运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤．二、信息交流，例题讲解在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论；2．学生尝试解答题目，初步形成做题思路．如果存在不足或者错误的地方，其他同学给予补充或者改正，教师适当引导，如果展示学生没有错误但巡视过程中存在共性的错误，注意及时纠正；3．师生规范做题过程，教师板书过程；4．学生修改完善做题．教学预设：１．学生设AD的长度为xm；2.学生设AB的长度为xm；3.学生用公式法求顶点坐标；4．学生用配方法求顶点坐标．以上预设，无论出现哪种情况都应该给予学生肯定，并鼓励学生根据具体问题以及自己对知识的掌握情况，灵活选择．学生在探求最大面积时部分学生可能会不易理解顶点的意义，此时教师要注意结合图形进一步引导学生体会顶点的意义．追问：通过刚才的题目，你能概括用二次函数求面积最大问题的一般步骤吗？学生总结，要存在不足，教师引导。
人教初中数学九上 22.3 实际问题与二次函数(第2课时)教案
随 S 出发时间如何变化？写出函数关系式及 t 的取值范围.
作业：1.必做：课本第 52 页，4、5 题.
作业设必做题
【例题】 1．一块三角形废料如图 26.3.2—2 所示，∠A＝30°， 教师出示例题.
∠C＝90°，AB＝12.用这块废料剪出一个长方形 CDEF，其中，点 D、 请一位学生板练，其
E、F 分别在 AC，AB，BC 上，要使剪出的长方形 CDEF
他学生练习.完成练
面积最大，点 E 应选在何处？
习后，先在小组内进
入
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与半径 r 之 及表面积公式.
间的函数关系式
思考解答写出关系
3.一个长方形的长是宽的 2 倍，写出长方形的面积与宽之间的 式.
函数关系式
4.已知一个矩形的周长为 12 米，设矩形的一边长为 xm，面积为 Sm2，求 S 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围
态度
重点 用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题.
难点 通过图形之间的关系列出函数解析式.
【教学环节安排】
环节
教学问题设计
教学活动设计
情 创设情景 引入新课
首先让学生明确矩
境
1.正方体的六个面是全等的正方形，设正方形的棱长为 x，表面 形、圆、三角形、正
引 积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围 方体、圆柱的面积以
行交流、讨论.
图 26.3.2—2
【分析】师生共同分析：长方形 CDEF 面积是大三角形的面积减
去两个小三角形的面积.
解：（略）
用一段长 30m 的篱笆，围城一个一边靠墙
1. 抓 住 图 形 的 特
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(2) 教案
22.3 实际问题与二次函数（2）一、教学目标（一）学习目标1. 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式2.会利用二次函数求几何图形中的周长、面积等的最值3.体会利用二次函数求面积其中所蕴含的数学思想和方法（二）学习重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题（三）学习难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得二、教学设计（一）课前设计预习任务1.22(3)2y x =--+；对称轴3x =、顶点坐标()3,2、当3x =时，y 取最大值为2 2.21322y x x =--；对称轴1x =、顶点坐标()1,2-、当1x =时，y 取最小值为-23.(1)(3)y x x =-+对称轴1x =-、顶点坐标()1,4--、当1x =-时，y 取最小值为4- 预习自测 1. 已知二次函数的解析式为22813y x x =++ (1)当33x -≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________；(2)当03x ≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________.【知识点】求二次函数的区间最值【数学思想】数形结合【思路点拨】先化成顶点式或是利用顶点坐标公式求出顶点，再看对称轴和区间的位置关系，进而求解．【解题过程】解：把原式化为顶点式为2228132(2)5y x x x =++=++，可知此函数的顶点坐标是(2,5)-，对称轴为2x =-当33x -≤≤时可知，max 355x y ==时，2x =-时min 5y =；(2)当03x ≤≤，对称轴2x =-时在所给的区间左侧，此时y 随x 的增大而增大，因此可知max 355x y ==时，min 013x y ==时【答案】（1）55,5；（2）55,13.【设计意图】通过做练习复习区间最值的求解以及应该注意的问题，实际问题中有时会涉及到区间最值，学生很容易出问题．设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，为学习新课做好知识铺垫．2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（）.A．x2+130x-1400=0 B．x2-130x-1400=0C．x2+65x-250=0 D．x2-65x-250=0【知识点】矩形性质，矩形面积【数学思想】数形结合【思路点拨】挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据整个挂图的面积是5000cm2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可．【解题过程】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5000，即4x2+160x+4000+100x=5000，所以4x2+260x-1000=0．即x2+65x-250=0．故选C.【答案】C．【设计意图】根据矩形的面积公式本题易得解.3．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_______ 2m．【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】设竖边为x，用x表示横边，再表示面积，再求最值【解题过程】设竖边为x,则横边为1623x21622(4)32333x xs x--==-+当4x=时，y取最大值为323【答案】323【设计意图】把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．4．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C是AB的三等分点时，S最大【知识点】正方形性质，求面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】把其中的一个主要变量设为x，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型【解题过程】设AC=x则BC= 1x-22211(1)2()22s x x x=-+=-+当12x=时，取最小值为12∴当C是AB的中点时，S最小【答案】A【设计意图】把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．（二）课堂设计1.知识回顾（1）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式2()y a x h k =-+，进而写出顶点坐标（h,k ）和对称轴x=h （2）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c（3）将二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠转化成顶点式2()y a x h k =-+来求二次函数最值，当x h =时，y 取最值为k2.问题探究探究一 最大面积（★）●活动1 创设情境，发现问题：请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大．学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决．【设计意图】做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想．周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习．●活动2 师生共研，探索解法例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？让学生讨论，得出解法．点拨：先用未知数表示面积问题中的各个量，再利用矩形面积公式列出表达式，然后根据表达式，利用二次函数求最值．生答：设矩形宽为x 厘米，则长为2422x-=（12-x ）厘米． 12S x x =-（），当x=6时，S 取最大值为36.【设计意图】把前面矩形的周长24厘米改为24米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．解决完想一想之后及时让学生总结方法，为后面阶段打下思想方法基础．练习1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化．当为多少米时，场地的面积S最大？【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．【解题过程】设矩形一边长，则长为602302ll-=-（）厘米．()30S l l=-，当15l=时，S取最大值为225【答案】当15l=时，S取最大值为225【设计意图】一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为，其它变量用含的代数式表示，找等量关系，建立函数模型●活动3 变式应用例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？学生根据例1的解法，独立求解【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．【解题过程】生答：（1）设矩形长为x厘米，则宽为242x-厘米．（8x≤）241(24)22xS x x x-=⋅=-=()2112722x--+；∵a=12-＜0，开口向下，∵8x≤，当8x=时，S取最大值为64【答案】面积S取最大值为64【设计意图】此时有了上一问的方法和技巧，很多学生能够类比的方法建立模型，设出未知数，列出函数关系式．但问题是此时自变量x有取值范围的限制，不能“任性”的取值．从而让学生在不断的探究和合作中感悟，对于实际问题一定需要考虑其自变量x的取值范围才可以求最值．练习2.如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点（这道题靠墙依然可以在顶点处取到最值）．【解题过程】与墙垂直的一边为x米，则(602)S x x=-∵0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30当15x=时，S取最大值为450【答案】当15x=时，S取最大值为450【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．探究二利用二次函数求几何最值的训练●活动①基础性例题例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为2 my．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？【知识点】一侧靠墙的矩形，周长确定求其面积最大【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给出的已知条件列出满足题意的式子，进而转化为二次函数求最值．【解题过程】解：（1）24012022xy x x x-==-+，自变量x的取值范围是0＜x≤25；（2）()22112020+200 22y x x x=-+=--∵20＜25，∴当x=20时，y有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【答案】（1）21202y x x=-+，其中025x≤≤；（2）当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)【知识点】周长确定的矩形面积最大问题 【数学思想】数形结合【思路点拨】中间线段用x 的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内．【解题过程】由题意可知1426152y x x π+⨯+=，化简得1564x x y π--=，设窗户的面积为S m2，则2211561523242x x S x x x x ππ--=+=-+， ∵30a =-<，∴S 有最大值．∴当x ＝1.25 m 时，S 最大值≈4.69(m2)，即当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.【答案】当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.【设计意图】这一阶段，让学生自己通过自己的思考，动手来进行操作解决问题．每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．●活动② 提升型例题分组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．例2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，P 是BC 上的一动点，动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP ＝PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP ＝x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y 2cm ，试分别写出02x ≤≤和24x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．【知识点】正方形性质，矩形性质，求二次函数最值【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x的取值范围内．【解题过程】如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当02x≤≤时，如下面的左边的图形所示，PQ BP x==，此时22y PQ x==，其中02x≤≤；当24x≤≤时，如下面的右边的图形所示，PQ BP x==，此时4PC BC BP x=-=-，其中24x≤≤；2(4)28y PC CD PC AB x x=⨯=⨯=-=-+，其中24x≤≤综上所述：2,0228,24x xyx x⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【答案】2,0228,24x xyx x⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【设计意图】让学生自己通过自己的思考，结合题意画出符合题意的图形，根据图形来求解，让学生感受分类讨论的数学思想．练习.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．【解题过程】令,,DE x AD a AE a x===-，所以面积之和222222()222()22a aS x a x x ax a x=+-=-+=-+，所以当2ax=时，面积最小，即E应选在AD的中点.【答案】E应选在AD的中点.【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验．例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【知识点】梯形面积，正比例函数，解一元二次方程，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.【解题过程】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm⨯+=（2）依题意：2112801502(120180)8028x x x⨯+-=⨯+⨯⨯整理得：21557500x x-+=解得125,150(x x==舍去）故甬道的宽为5米；（3）设建设花坛的总费用为y万元．则210.02(120180)80(2310) 5.72y x x x⎡⎤=⨯⨯+⨯--++⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x=-+当6.252bxa=-=时，y的值最小．∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【答案】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm⨯+=（2）故甬道的宽为5米；（3）当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大，最大面积是__________．【知识点】梯形面积，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解．【解题过程】底角为120°,则高和腰之间的夹角为30°,水渠深度为x ,则得到：33AE x=,腰长33AB CD x==两腰与下底的和为4得到：下底为434BC x=所以上底为234AD x=-设横断面的面积为S,则21()342S AD BC BE x x=+=-+∵2330x-<=，对称轴为∴当233x=时，横断面面积最大为433【答案】当233x=时，横断面面积最大为433【设计意图】加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力和学习数学的兴趣●活动③探究型例题例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(3) t为何值时S最小？求出S的最小值.【知识点】矩形性质，三角形、五边形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个边长，列出面积的关系式，再依次解决三个问题．【解题过程】（1）设x秒后△PBQ的面积等于8，则AP=x，QB=2x∴PB=6﹣x．∴12×（6﹣x）2x=8，解得1x=2，2x=4，所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8；（2）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=()6t-cm，BQ=2t cm，故212(6)=62PBQS t t t∆=⋅--+∵61272ABCDS=⨯=矩形∴()27267206.PBQS S t t t∆=-=-+＜＜（3）∵()22672=363S t t t=-+-+，∴当3t=秒时，S取最小值为63.【答案】（1）2秒或4秒后△PBQ的面积等于8；（2）()27267206.PBQS S t t t∆=-=-+＜＜（3）当3t=时，S取最小值为63【设计意图】此题设计了一个动点最值问题，有前面的方法和思路加上前面基础题作铺垫，大部分学生可以完成．练习. 曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m²）我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【知识点】矩形性质，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】由题意列出式子，转化为二次函数求最值【解题过程】（1）由已知可以得到：161115224AD----==此时窗户的透光面积55144S=⨯=；（2）设AB=x ，则734AD x=- ∵7304x -> ∴1207x <<设窗户的面积为S,由已知可以得到2277769(3)3()44477S AB AD x x x x x ==-=-+=--+当67x =时，max 91.057S =>与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【答案】（1）窗户的透光面积55144S =⨯=（2）与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大 【设计意图】学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到数学来源于生活，同时也服务于生活体验到数学与现实生活的紧密联系，同时加强学生自己的过手能力和计算能力，以课本上的例题为引子，在原来的基础上进行拓展，让学生吃透课本.课堂总结 知识梳理二次函数的三种形式：一般式2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠以及交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠.二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式2(0)y ax bx c a =++≠可以利用配方化为顶点式2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠，进而可以得到顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --，对称轴2b x a =-．交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴122x x x +=.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x 的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.重难点归纳利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；第二可以直接利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --来求解.利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程122x x x +=来求对称轴，进而求解.2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x 的取值范围.3. 强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性．4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。
教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。
2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。
2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。
五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。
引导学生运用二次函数知识进行解决。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。
教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数课程设计
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数课程设计一、课程设计背景人教版九年级上册数学教材第22章“函数应用”中，第22.3节“实际问题与二次函数”是一个涉及到二次函数的实际应用问题的课程。
在该节课中，学生需要掌握如何通过二次函数模型解决一些实际问题，并能够应用二次函数的特性进行分析和解决实际问题。
因此，本文将结合该节课程的教学目标和要求，设计一套适合于学生学习的课程内容和学习方式。
二、课程设计目标1.知识目标：了解二次函数的定义和特性，学会使用二次函数解决实际应用问题。
2.能力目标：通过讨论和解决实际问题，培养学生的实际问题解决能力和思维能力。
3.情感目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，增强学生对数学的认知和思考能力。
三、课程设计内容1. 二次函数的定义和特性通过课件和教材的介绍，让学生了解二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的顶点坐标、二次函数的轴、二次函数的对称性等基本知识。
2. 二次函数的应用举例通过一些基础的例子，例如：通过现实环境中的某个问题，展示出二次函数的应用场景和使用方法，设计一些习题，让学生通过练习来掌握解决实际问题时，如何运用二次函数。
3. 实际问题的解决方法结合实际案例，设计如何使用二次函数解决实际问题的例子，并进行解答和讨论。
例如，对于某家公司销售人员年销售额进行分析，并找出年最高和年最低销售额的解决方法。
4. 二次函数相关应用通过对实际场景的应用，引导学生思考如何用二次函数解决更复杂和高级的问题。
例如，如何通过拟合二次函数来展示某股票价格的走势。
通过这些高级的应用场景，让学生对二次函数能力的深入了解和应用。
四、课程设计形式1. 互动式讲解在介绍二次函数的定义和特性时，可以通过课件、实物模型、习题等方式进行互动式的讲解，让学生更加直观了解和理解二次函数背后的数学概念。
2. 组内协同探究设计一些实际问题习题，划分学生小组，让学生在小组中协同探究问题，并进行讨论和研究，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22章第三节的内容。
本节课主要让学生学习如何将实际问题转化为二次函数模型，并通过解决实际问题来巩固和提高对二次函数的理解和应用能力。
教材通过引入一些实际问题，让学生学会用二次函数的知识去解决这些问题，从而培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题，对学生来说可能还是有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识联系起来，让学生在解决实际问题的过程中，加深对二次函数的理解。
三. 教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系，学会将实际问题转化为二次函数模型。
2.掌握二次函数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学应用意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：实际问题与二次函数之间的转化，二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过引入一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决这些问题。
在解决问题的过程中，教师引导学生总结实际问题与二次函数之间的关系，从而达到巩固知识，提高应用能力的目的。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识去解决。
2.准备教学PPT，用于展示和讲解实际问题与二次函数之间的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数的知识去解决这些问题。
2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生独立思考，尝试将实际问题转化为二次函数模型。
教师在这个过程中，给予学生适当的引导和帮助。
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在最大利润问题中的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有见地的观点，但我感觉他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。为此，我计划在今后的教学中，多设计一些开放性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑思维和分析能力。
总之，在本次教学过程中，我深刻认识到了自身在教学方法和策略上的不足，也看到了学生在学习过程中遇到的困难。在今后的教学中，我将不断调整和改进，努力提高教学效果，让每个学生都能在数学学习的道路上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-二次函数模型的建立：如何根据问题的具体情境，正确地建立二次函数模型，包括确定自变量和因变量，理解函数中各个参数的实际意义。
-实际问题与数学模型的关联：将实际问题抽象成数学模型，理解数学模型背后的实际背景，以及如何将数学结果应用到实际问题中去。
举例：在农产品销售问题中，重点在于让学生理解售价、销售量和成本之间的关系，并将其表达为二次函数的形式。
人教版数学九年级上册教学设计22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教学设计22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
教材通过引入一些实际问题，让学生运用所学的二次函数知识去解决这些问题，从而培养学生的数学应用能力。
教材内容主要包括实际问题的提出、二次函数模型的建立和求解、以及模型的检验和优化。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的知识也有了一定的了解。
但是，他们在解决实际问题时，往往还不能很好地将所学的数学知识运用进去，需要老师在教学中进行引导和启发。
此外，学生对于数学模型的建立和优化，还需要进一步的学习和实践。
三. 教学目标1.让学生掌握将实际问题转化为二次函数模型的方法。
2.让学生学会利用二次函数的知识解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：实际问题与二次函数模型的建立和求解。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及模型的检验和优化。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用所学的二次函数知识去解决这些问题。
同时，运用讨论法、案例分析法等，让学生在实践中掌握二次函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，用于引导学生进行二次函数模型的建立和求解。
2.准备相关的教学案例，用于分析和讨论。
3.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）：通过引入一些实际问题，引发学生的兴趣，激发他们解决实际问题的欲望。
2.呈现（15分钟）：呈现一些实际问题，让学生尝试用所学的二次函数知识去解决。
引导学生发现实际问题与二次函数之间的联系。
3.操练（20分钟）：让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数模型，并求解。
老师在这个过程中进行巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）：对学生的解答进行讲解和点评，让学生巩固所学的知识。
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的基本概念、图像和性质。
本节内容将引导学生将二次函数知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的解题思路和方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的知识点有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题解决的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识掌握情况，引导学生将理论应用于实践，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。
2.学会将实际问题转化为二次函数问题，掌握解决实际问题的方法。
3.培养学生的团队协作能力和思维敏捷性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.讨论法：分组讨论，引导学生共同探讨解决实际问题的方法。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对二次函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）讲解教材中的案例，让学生直观地了解二次函数在实际问题中的应用。
引导学生分析案例中的关键信息，找出二次函数的关系式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些类似的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》，主要让学生通过解决实际问题，掌握二次函数在销售利润中的应用。
教材通过引入一个具体的销售利润问题，让学生探究利润与销售数量、销售价格之间的关系，引导学生利用二次函数模型解决问题，培养学生的数学建模能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将实际问题转化为数学模型感到困难，对利润、成本等概念在实际问题中的运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立数学与实际问题之间的联系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解销售利润问题的实际背景，掌握利用二次函数解决销售利润问题的方法。
2.能够将实际问题转化为二次函数模型，提高数学建模能力。
3.培养学生的数据分析、逻辑推理和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解销售利润问题的实际背景，掌握利用二次函数解决销售利润问题的方法。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，求解最优化问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入一个具体的销售利润问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例分析法：分析具体案例，让学生了解销售利润问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例材料，用于引导学生分析实际问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示案例和教学过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一个实际的销售利润问题，引导学生思考利润与销售数量、销售价格之间的关系。
2.呈现（10分钟）呈现具体案例，让学生分析利润与销售数量、销售价格之间的关系。
引导学生运用二次函数模型解决问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22.3 实际问题与二次函数
教学目标知识
和
能力
1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
过程
和
方法
让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
情感
态度
价值观
教学重点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式
教学难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式
教学准备教师多媒体课件学生“五个一”
课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高
AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适
当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系
式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y
轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面
所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所
以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1)
因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB
2
＝2(cm)，又CO＝0.8m，
所以点B的坐标为(2，－0.8)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2
因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
二、引申拓展
问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系?
让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?
分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。
即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。
二次函数的一般形式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的关系式，跟以前学过
求一次函数的关系式一样，关键是确定o 、6、c ，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。
解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。
因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，拱高OC ＝0.8m ， 所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。
由已知，函数的图象过(0，0)，可得c ＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，
可得到⎩⎨⎧4a ＋2b ＝0.816＋4b ＝0 解这个方程组，得⎩
⎨⎧a ＝－15b ＝45
所以，所求的二次函数的关系式为y ＝－15x 2＋45x 。
问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?
问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?
(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)
请同学们阅渎P18例7。
三、课堂练习
例1．如图所示，求二次函数的关系式。
分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标
为(0，4)。
从图中可知对称轴是直线x ＝3，由于抛物线是
关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一
交点B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关
系式。
解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x ＝3。
因为对称轴是直线x ＝3，所以B 点坐标为(－2，0)。
设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到
c ＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到⎩⎨⎧64a ＋8b ＝－44a －2b ＝－4
解这个方程组，得⎩
⎨⎧a ＝－14b ＝32
所以，所求二次函数的关系式是y ＝－14x 2＋32x ＋4 练习： 一条抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。
四、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y ＝ax 2＋bx ＋c 就。