固体物理学 课后习题答案(考全)
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������ ������ ℏ2 2������������
=
ℏ2
������������ ������
= 5.8 × 10−8
2 ℏ2 ������������
������������ =
(3������ 2 ������)2/3 ≈ 8.7 × 10−19 J 则:������������ =
E������ ������������
4 (4 / 3 r 3 ) θ= = (2 2r )3
(4)对于六方密堆积
2 6
一个晶胞有两个原子,其坐标为(000) (1/3,2/3,1/2) ,在理想的密堆积情况下,密排六方结 构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r,因此
4 2 ( r3 ) 2 3 θ= = 6 3 2 ac 2
。
答:令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数,Ni 是位于晶胞内的球数,Nf 是在晶胞面上的球数,Ne
1 1 1 Z Ni N f N e N c 2 4 8
4 r3 边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 F Z * 3 3 a
假设硬球的半径都为 r,占据的最大面积与总体积之比为θ,依据题意 (1)对于简立方,晶胞中只含一个原子,简立方边长为 2r,那么: θ=
固体物理学 课后习题答案(老师布置的习题)
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构, 求证球可能占据的最大面积与总体积之比为 ( 1) 简立方:
3 2 2 3 (2)体心立方: (3)面心立方: (4)六方密堆积: (5)金刚石: 6 8 6 6 16
是在晶胞棱上的球数,Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有
得
1 1 sin ka sin 2ka sin ka sin ka cos ka 0 4 2
上式的唯一解是 sin ka 0 的解,此式在第一布里渊区内的解为 k 当 k=0 时, E
0或
a
k 取极小值 Emin ,且有 Emin E0 0
,且有 Emax
√2 ������������
(3)g(k)dk = g(ε)dε 而:ε =
ℏ2 ������ 2 2������
2( )2 ∙ 2������������������������ = g(������)������������
2������ ℏ2 ������ ������
������������ =
即
2n 10 x2n 1 x2n 1 11x2n m x 2n 1 x2n 2 10 x2n 11x2n 1 m x
求格波解, 令
x2 n Ae
qa i 2 n t 2
, x2 n 1
Be
qa i 2 n 1 t 2
色散关系见下图
q 0 时, cos qa 1, 220 , 0
q
a
时, cos qa 1 ,
200 , 20
不考双原子链(3.4、 3.7 略) 5.1: (1)M = ������������ ������ = ������������则: n=
k
2 7 1 cos ka cos 2ka ,式中 a 是晶格常数, 2 ma 8 8
m 是电子的质量,求(1)能带的宽度, (2)电子的平均速度, (3) 在带顶和带底的电子的有效质量 解:能带宽度为
E Em a x Em i n,
由极值条件
dE k 0, dk
β
10βБайду номын сангаас
β
10β m
x2n-1
x2n
x2n+1 x2n+2
2 n 10 x2 n 1 x2 n x2 n x2 n 1 x m 2 n 1 x2 n 2 x2 n 1 x2 n 1 x2 n x m
原子的运动方程应是
0 ������������ℏ2 ������������
������ ������ dℇ = 2 ������������ 2 ������ℏ ������ℏ
n=
������ ������2
所以:E������ =
=
������������ℏ2 ������������ ������2
6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成 E
q
。 则
由于
4 qa sin ,代入 ,m 及 q 值 m 2
13 13 13 13
则得到五个频率依次为(以 rad/sec 为单位) 8.06×10 ,4.99×10 ,0,4.99×10 ,8.06×10 3.5 设有一维晶体,其原子的质量均为 m,而最近邻原子间的力常数交替地等于 和 10 , 且 最近邻的距离为 a / 2 ,试画出色散关系曲线,并给出 q 0 和 q / a 处的 q 。 解:设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同,参看图,
5.2(1)在二维 K 空间中,每个离散点所占据的面积为:△ k =△ ������������ △ ������������ 则: △k=( ) =
L 2������ 2 4������2 ������ 2S 4������2
所以:K 空间的态密度为:
2 ∙ ������������ = ������������ = ������ S 1 ������
X1 X N 1 ,此处 N=5,代入上式即得 ei (5a ) q 1
5aq =2 ( 为整数)
5 5 a a 2 2 4 2 2 4 故 可取-2,-1,0,1,2 这五个值,相应波矢: , ,0, , 5a 5a 5a 5a
由于格波波矢取值范围:
所以:
dZ 3������ ) = g(������������ ) = ������������ ������������ 2������������
������������ ������������
5.7 由 5.2(3)中结论: N = ∫ g(������)������������ = ∫
0
4 / 3 r 3 = 6 (2r )3
(2)对于体心立方,晶胞中有两个原子,其体对角线的长度为 4r,则其边长为
4 r ,那么: 3
θ=
2 (4 / 3 r 3 ) = (4 / 3r )3
3 8
(3)对于面心立方,晶胞中有四个原子,面对角线的长度为 4r,则其边长为 2 2 r,那么:
(5) =
������
1
������������ 2 ������ ������
→ ������ =
������ ������������ 2 ������
������ = ������������ ������
������(295k) = 520Ȧ
������(20������) = 2 × 105 Ȧ
令
m
2 0 ,从 A,B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
2 0 4 2 0 (10eiqa / 2 eiqa / 2 )(eiqa / 2 10eiqa / 2 ) 0
11
2
可解出
2 2 0 11 20 cos qa 101
2 2 E 2 a ma
当k
时, E k 取极大值 Emax a
由以上的可得能带宽度为 E
Emax Emin
2 2 ma2
(2)电子的平均速度为 v
1 dE k 1 sin ka sin 2ka dk ma 4
(2) ������������ = (3)������������ =
2������������
得:k ������ = 1.2 × 1010 ������−1
ℏ������������ ������
≈ 1.39 × 106 ������⁄������
2 (4)S = π������������ = 4.52 × 1020 ������−2
������������
代入
1 2������2
得:g(ε) = (
2������������ 3⁄ ) 2 ℏ2
������ ������ℏ2
1
5.3 因为:g(E) = c������ 2 其中 c = n= (
������������ g(������)������������ ∫ 0
2 所以:g(E) = c������������
(3)带顶和带底电子的有效质量分别为
m
k
(5)对于金刚石结构 Z=8
4 r3 4 3 3 a 3 8r 那么 F Z * 3 8 ( )3 = . 3 a 3 8 16
1.6 有一晶格,每个格点上有一个原子,基失(以 nm 为单位)a=3i,b=3j,c=1.5(i+j+k) ,此 处 i,j,k 为笛卡儿坐标系中 x,y,z 方向的单位失量.问: (1)这种晶格属于哪种布拉维格子? (2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少? 答: (1)因为 a=3i,b=3j,而 c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+c′)式中 c′=3c。显 然,a、b、c′构成一个边长为 3*10 m 的立方晶胞,基矢 c 正处于此晶胞的体心上。因此,所
=
������������ c������ 2 ∫ 0
1
������������ =
2 3
3 ������(������������ ) ⁄2
g(������������ ) ������
=2
3
3 ������(������������ ) ⁄2
2 c������������
1
=
3 2������������
������������ =
2������������
(3������ 2 ������)2/3 = ������������ ������������ =
2 ℏ2 ������������
2������������
������������ ������������ = ������������
≈ 63000������
1 △k
=
������ 4������2
当 T=0k 时,π ∙
所以:������������ = (2������������)1⁄2
2������
2 ������������
(2)在二维 K 空间中: =
������
= ������������������2 =
������
所以:r������ =
1.7 六方晶胞的基失为: a
求其倒格子基失,并画出此晶格的第一布里渊区. 答:根据正格矢与倒格矢之间的关系,可得: 正格子的体积 Ω=a· (b*c)=
3 2 ac 2
那么, 倒格子的基矢为 b1
2 (b c) 2 2 (c a) 2 2 2 i j ,b2 i j , a a 3a 3a
代入运动方程,可导出线性方程组为:
11 2 A 10eiqa / 2 e iqa / 2 B 0 m m 11 eiqa / 2 10e iqa / 2 A 2 B 0 m m
-10
述晶体属于体心立方布喇菲格子。 (2)晶胞的体积= 原胞的体积= c
c (a b) = 3k (3i 3j) =27*10-30(m3)
1 (a b) = (3i 3 j 3k ) (3i 3 j ) =13.5*10-30(m3) 2
3 a 3 a ai j , b ai j , c ck 2 2 2 2
b3
2 (a b) 2 k c
其第一布里渊区如图所示: (略) 第二章和第四章无计算题(略) 3.1 试求由 5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率,设原子质量 m=8.35×10 常数β=15N·m
-1 -27
kg,恢复力
解:一维单原子链的解为 X n Aei (t qna ) 据周期边界条件 所以
=
ℏ2
������������ ������
= 5.8 × 10−8
2 ℏ2 ������������
������������ =
(3������ 2 ������)2/3 ≈ 8.7 × 10−19 J 则:������������ =
E������ ������������
4 (4 / 3 r 3 ) θ= = (2 2r )3
(4)对于六方密堆积
2 6
一个晶胞有两个原子,其坐标为(000) (1/3,2/3,1/2) ,在理想的密堆积情况下,密排六方结 构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r,因此
4 2 ( r3 ) 2 3 θ= = 6 3 2 ac 2
。
答:令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数,Ni 是位于晶胞内的球数,Nf 是在晶胞面上的球数,Ne
1 1 1 Z Ni N f N e N c 2 4 8
4 r3 边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 F Z * 3 3 a
假设硬球的半径都为 r,占据的最大面积与总体积之比为θ,依据题意 (1)对于简立方,晶胞中只含一个原子,简立方边长为 2r,那么: θ=
固体物理学 课后习题答案(老师布置的习题)
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构, 求证球可能占据的最大面积与总体积之比为 ( 1) 简立方:
3 2 2 3 (2)体心立方: (3)面心立方: (4)六方密堆积: (5)金刚石: 6 8 6 6 16
是在晶胞棱上的球数,Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有
得
1 1 sin ka sin 2ka sin ka sin ka cos ka 0 4 2
上式的唯一解是 sin ka 0 的解,此式在第一布里渊区内的解为 k 当 k=0 时, E
0或
a
k 取极小值 Emin ,且有 Emin E0 0
,且有 Emax
√2 ������������
(3)g(k)dk = g(ε)dε 而:ε =
ℏ2 ������ 2 2������
2( )2 ∙ 2������������������������ = g(������)������������
2������ ℏ2 ������ ������
������������ =
即
2n 10 x2n 1 x2n 1 11x2n m x 2n 1 x2n 2 10 x2n 11x2n 1 m x
求格波解, 令
x2 n Ae
qa i 2 n t 2
, x2 n 1
Be
qa i 2 n 1 t 2
色散关系见下图
q 0 时, cos qa 1, 220 , 0
q
a
时, cos qa 1 ,
200 , 20
不考双原子链(3.4、 3.7 略) 5.1: (1)M = ������������ ������ = ������������则: n=
k
2 7 1 cos ka cos 2ka ,式中 a 是晶格常数, 2 ma 8 8
m 是电子的质量,求(1)能带的宽度, (2)电子的平均速度, (3) 在带顶和带底的电子的有效质量 解:能带宽度为
E Em a x Em i n,
由极值条件
dE k 0, dk
β
10βБайду номын сангаас
β
10β m
x2n-1
x2n
x2n+1 x2n+2
2 n 10 x2 n 1 x2 n x2 n x2 n 1 x m 2 n 1 x2 n 2 x2 n 1 x2 n 1 x2 n x m
原子的运动方程应是
0 ������������ℏ2 ������������
������ ������ dℇ = 2 ������������ 2 ������ℏ ������ℏ
n=
������ ������2
所以:E������ =
=
������������ℏ2 ������������ ������2
6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成 E
q
。 则
由于
4 qa sin ,代入 ,m 及 q 值 m 2
13 13 13 13
则得到五个频率依次为(以 rad/sec 为单位) 8.06×10 ,4.99×10 ,0,4.99×10 ,8.06×10 3.5 设有一维晶体,其原子的质量均为 m,而最近邻原子间的力常数交替地等于 和 10 , 且 最近邻的距离为 a / 2 ,试画出色散关系曲线,并给出 q 0 和 q / a 处的 q 。 解:设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同,参看图,
5.2(1)在二维 K 空间中,每个离散点所占据的面积为:△ k =△ ������������ △ ������������ 则: △k=( ) =
L 2������ 2 4������2 ������ 2S 4������2
所以:K 空间的态密度为:
2 ∙ ������������ = ������������ = ������ S 1 ������
X1 X N 1 ,此处 N=5,代入上式即得 ei (5a ) q 1
5aq =2 ( 为整数)
5 5 a a 2 2 4 2 2 4 故 可取-2,-1,0,1,2 这五个值,相应波矢: , ,0, , 5a 5a 5a 5a
由于格波波矢取值范围:
所以:
dZ 3������ ) = g(������������ ) = ������������ ������������ 2������������
������������ ������������
5.7 由 5.2(3)中结论: N = ∫ g(������)������������ = ∫
0
4 / 3 r 3 = 6 (2r )3
(2)对于体心立方,晶胞中有两个原子,其体对角线的长度为 4r,则其边长为
4 r ,那么: 3
θ=
2 (4 / 3 r 3 ) = (4 / 3r )3
3 8
(3)对于面心立方,晶胞中有四个原子,面对角线的长度为 4r,则其边长为 2 2 r,那么:
(5) =
������
1
������������ 2 ������ ������
→ ������ =
������ ������������ 2 ������
������ = ������������ ������
������(295k) = 520Ȧ
������(20������) = 2 × 105 Ȧ
令
m
2 0 ,从 A,B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
2 0 4 2 0 (10eiqa / 2 eiqa / 2 )(eiqa / 2 10eiqa / 2 ) 0
11
2
可解出
2 2 0 11 20 cos qa 101
2 2 E 2 a ma
当k
时, E k 取极大值 Emax a
由以上的可得能带宽度为 E
Emax Emin
2 2 ma2
(2)电子的平均速度为 v
1 dE k 1 sin ka sin 2ka dk ma 4
(2) ������������ = (3)������������ =
2������������
得:k ������ = 1.2 × 1010 ������−1
ℏ������������ ������
≈ 1.39 × 106 ������⁄������
2 (4)S = π������������ = 4.52 × 1020 ������−2
������������
代入
1 2������2
得:g(ε) = (
2������������ 3⁄ ) 2 ℏ2
������ ������ℏ2
1
5.3 因为:g(E) = c������ 2 其中 c = n= (
������������ g(������)������������ ∫ 0
2 所以:g(E) = c������������
(3)带顶和带底电子的有效质量分别为
m
k
(5)对于金刚石结构 Z=8
4 r3 4 3 3 a 3 8r 那么 F Z * 3 8 ( )3 = . 3 a 3 8 16
1.6 有一晶格,每个格点上有一个原子,基失(以 nm 为单位)a=3i,b=3j,c=1.5(i+j+k) ,此 处 i,j,k 为笛卡儿坐标系中 x,y,z 方向的单位失量.问: (1)这种晶格属于哪种布拉维格子? (2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少? 答: (1)因为 a=3i,b=3j,而 c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+c′)式中 c′=3c。显 然,a、b、c′构成一个边长为 3*10 m 的立方晶胞,基矢 c 正处于此晶胞的体心上。因此,所
=
������������ c������ 2 ∫ 0
1
������������ =
2 3
3 ������(������������ ) ⁄2
g(������������ ) ������
=2
3
3 ������(������������ ) ⁄2
2 c������������
1
=
3 2������������
������������ =
2������������
(3������ 2 ������)2/3 = ������������ ������������ =
2 ℏ2 ������������
2������������
������������ ������������ = ������������
≈ 63000������
1 △k
=
������ 4������2
当 T=0k 时,π ∙
所以:������������ = (2������������)1⁄2
2������
2 ������������
(2)在二维 K 空间中: =
������
= ������������������2 =
������
所以:r������ =
1.7 六方晶胞的基失为: a
求其倒格子基失,并画出此晶格的第一布里渊区. 答:根据正格矢与倒格矢之间的关系,可得: 正格子的体积 Ω=a· (b*c)=
3 2 ac 2
那么, 倒格子的基矢为 b1
2 (b c) 2 2 (c a) 2 2 2 i j ,b2 i j , a a 3a 3a
代入运动方程,可导出线性方程组为:
11 2 A 10eiqa / 2 e iqa / 2 B 0 m m 11 eiqa / 2 10e iqa / 2 A 2 B 0 m m
-10
述晶体属于体心立方布喇菲格子。 (2)晶胞的体积= 原胞的体积= c
c (a b) = 3k (3i 3j) =27*10-30(m3)
1 (a b) = (3i 3 j 3k ) (3i 3 j ) =13.5*10-30(m3) 2
3 a 3 a ai j , b ai j , c ck 2 2 2 2
b3
2 (a b) 2 k c
其第一布里渊区如图所示: (略) 第二章和第四章无计算题(略) 3.1 试求由 5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率,设原子质量 m=8.35×10 常数β=15N·m
-1 -27
kg,恢复力
解:一维单原子链的解为 X n Aei (t qna ) 据周期边界条件 所以