线性代数复习整理

1．

2． 行列式

1.性质 1 行列式与它的转置行列式相等.即D n =D 'n .

2.性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

3.性质 3 行列式D n 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和. 推论 行列式任意一行(列)的元素与另一行(列)的代数余子式乘积的和为零.

4.性质 4 行列式某行(列)元素的公因子可提到行列 式符号之外.

也即 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论 若行列式有两行(列)成比例，则其值为0． eg.

奇数阶反对称行列式的值必为0．

5.性质 5 若行列式的某行(列)的元素均为两项之和，则行列式可按此行(列)拆成两个行列式之和．

6.性质 6 行列式某行(列)的倍数加于另一行(列)，行 列式的值不变．

7.行列式的计算

（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式等于x 1, x 2, ⋯ , x n 这n 个数的所有可能的差(x i - x j ) (1≤ j < i ≤ n )的乘积.

（2）行列式主对角线上方和下方元素完全相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:所有行(列)都加到第一行(列),然后化成三角形行列式

（3）主对角线上方和下方元素分别相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:可用拆分法. （4）三对角线型行列式:指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为0而其余元素全为0的行列式.

三对角线型及其变形行列式通常可用数学归纳法、递推法、化成三角形行列式等方法.

8.行列式的乘法即行乘列规则，A n 的第i 行与B n 的第j 列对应元素乘积之和为ij c 9.克拉默法则

(1)用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零 (2)定理 若方程组的系数行列式 0≠∆,那么线性方程组有解，并且解是唯一的 (3)推论 若齐次线性方程组的系数行列式0≠∆,则方程组只有惟一零解

推论的等价叙述： 齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必等于零。

矩阵

1.几种特殊矩阵

(1)对角矩阵a ij =0 ( i ≠ j , i , j = 1, 2, …, n ) 可记作A =diag(a 11,a 22,⋯,a nn )

(2)数量矩阵 对角矩阵A 的对角线元素为同一个数,即当a 11 = a 22 = ⋯ = a nn = a ，则A =diag(a , a ,⋯, a )

(3)单位矩阵 A =diag(1,1 ,⋯,1 ) (4)三角形矩阵

(5)对称矩阵 反对称矩阵 2.矩阵与矩阵相乘∑==

n

k kj

ik ij b

a

c 1

()p j m i ,,2,1;,2,1 ==

注意(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. (2)相乘所得矩阵的行数等于前一矩阵的行数，列数等于后一矩阵的列数.

(3)矩阵乘法不满足交换律、消去律

(4) k k k B A AB ≠)(一般地

3.方阵的多项式:

设A 为一个方阵, f (x )为一个多项式f (x ) = a s x s + a s -1x s -1 + … + a 1x + a 0 规定f (A ) = a s A s + a s -1A s -1 + … + a 1A + a 0I

4.矩阵的转置 设A =(a ij )m ⨯n ,把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作A T . 矩阵的性质

5.方阵的行列式

定义 由n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作| A | 或det A ． 性质

这里A ,B 为n 阶方阵．

6.逆矩阵（唯一）

(1)伴随矩阵A *是a ij 的代数余子式A ij 替换原有方阵A 的元素a ij 所构成矩阵的转置矩阵

(2) ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛==*-nn n

n

n n A A A A A A A A A A A A A

2122212121111

11 (3)(1)称|A | ≠0的矩阵A 为非奇异矩阵或满秩矩阵; 称|A | =0的矩阵A 为奇异矩阵或降秩矩阵．

(2) 定理可叙述为A 可逆⇔ A 非奇异．

();

)()(3**T T A A =;)(*1*A k kA n -=

(4) A A * = A * A = |A | I 此结论对任意方阵 A 成立，即 A 可逆或不可逆都成立．

().1

)(51**A A

A A A =

⇔-且可逆，可逆 (4)逆矩阵的性质 ()

()

.,,11

T

T

T A A A A --=且亦可逆则可逆若

且可逆则数可逆若,,0,A A λλ≠

可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵.

.,1

1--=A A A 则有可逆若

(7)分块矩阵 ()采用相同的分块法列数相同的行数相同与设矩阵,,1B A

()();4T

T T A B AB =()().41221T T T k T k A A A A A A ='()()

;1A A T T =()();2T T T B A B A +=+()();3T T kA kA =();1A A T

=();2B A AB =.BA AB =⇒(),

211⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=sr A A A 设r A 11

s A T s A 1

T r A 1.

11

⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=T sr T

T

A A A 则