初中信息学竞赛中的数学知识-2018

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信息学竞赛中的数学知识小结

信息学竞赛中的数学知识⼩结信息学竞赛中的数学知识简要梳理信息学竞赛经常涉及⼀些数学知识。

现在梳理⼀下。

⽬录1组合数学：1.1排列与组合1.2母函数1.3⼆项式定理1.4容斥原理1.5鸽巢原理1.6群论（特别是置换群）1.7Burnside引理与Polya定理2线性代数：2.1矩阵定义及运算2.2⾼斯消元解线性⽅程组2.3Matrix-Tree定理3数论：3.1扩展欧⼏⾥得3.2逆元3.3解模意义下⽅程3.4莫⽐乌斯反演3.5Miller-Rabin素数测试3.6Pollard-Rho 因⼦分解3.7BSGS 离散对数4博弈论：4.1组合游戏4.2GS函数和GS定理5数值运算：5.1Simpson 启发式积分1组合数学：1.1排列与组合n个不同元素，其所有排列个个数：全排列n个不同元素，选出m个来做全排列，排列数：n个不同元素，选出m个的组合数：n个元素，有m种，第i种有n i个，每种则所有元素的排列数：n种元素，每种有⽆限多个，选出r个（可重复）的⽅案数（⽤夹棍法理解）：n个不同元素，选出m个，且每个都不相邻：1.2母函数母函数是⼀个函数，该函数有⽆限多项，且具有下⾯的形式：这样，⼀个母函数的的各项的系数就可以组成⼀个数列，并且任意⼀个数列都和母函数⼀⼀对应，对数列的研究就可以⽤母函数来帮忙了（还需要⽜顿⼆项式定理来推导某些特殊级数的有限多项式表⽰）。

1.3⼆项式定理1.4容斥原理：思想是：“统计所有的，减去多统计的，加上多减的，再减去多加的…”。

由德摩根定理：所以：这样，我们不光可以⽤容斥定理来统计“满⾜a，或满⾜b，或满⾜c…”的元素的个数，也可以⽤来统计“不满⾜a并且不满⾜b并且不满⾜c”的元素的个数。

1.5鸽巢原理：将n只鸽⼦放到n-1个巢中，⾄少有⼀个巢有⼤于⼀只鸽⼦。

很显然的事情，但是⽤它的题⽬却不是那么显然，需要我们不断的强化问题（加更多⾃⼰的限制）。

我见过的⽤处是：给出n 个⾃然数，找出其中⼀堆，使得他们的和为n的倍数。

信息学竞赛知识点

信息学竞赛知识点一、知识概述《算法复杂度》①基本定义：算法复杂度就是用来衡量算法执行效率的东西。

简单说就是算法执行时要花多少时间、多少内存之类的资源。

时间复杂度就看算法要运行多久，空间复杂度就看算法运行时占用多少内存空间。

②重要程度：在信息学竞赛里这可是相当重要的。

就好比盖房子得考虑用多少材料花多少时间一样，要衡量一个算法好不好用，复杂度是重要的标准。

要是复杂度太高，程序可能就运行得很慢或者占用太多内存而没法正常运行。

③前置知识：得先知道一些基本的算法操作，像循环、条件判断这些，还得知道数据结构里的数组、链表等基础知识，因为算法复杂度离不开对这些操作和结构的分析。

④应用价值：在设计软件或者解决实际数据处理问题的时候，我们通过分析算法复杂度可以选择出更高效的算法。

比如说处理大量用户订单信息，用复杂度低的算法就能更快地完成任务，让用户体验更好。

二、知识体系①知识图谱：算法复杂度在信息学里就像一个衡量工具。

在整个算法知识体系里，它是评估算法性能的重要依据。

无论写什么算法，最后都得考虑复杂度问题。

②关联知识：和数据结构紧密联系。

不同的数据结构会影响算法的复杂度。

比如用数组和用树结构来存储数据做搜索操作时，复杂度可能就不一样。

跟算法优化也有关联，如果一个算法复杂度太高，可以通过优化算法或者更换数据结构来降低复杂度。

③重难点分析：- 掌握难度：说实话，对于新手来说有点难理解。

像大O表示法那种抽象的表示方式不好懂。

但是只要多做例子，逐渐就能有感觉。

- 关键点：关键是能够准确分析算法里每个操作的数量级，像循环嵌套了几层，每次循环里又做了多少操作等。

④考点分析：- 在考试中的重要性：超级重要。

无论是初赛考察概念，还是复赛考察算法优化，总能涉及到算法复杂度。

- 考查方式：可能直接问某个算法的时间复杂度或者空间复杂度；也可能给一段代码让你分析复杂度；或者给你复杂度的要求让你设计满足要求的算法。

三、详细讲解（这里当作理论概念类）①概念辨析：- 时间复杂度：主要是看算法执行基本操作（比如比较、赋值这些简单操作）的次数随着数据规模（比如输入的数据量大小）的增长趋势。

初中信息学竞赛中的数学知识

初中信息学竞赛中的数学知识逻辑代数• 主要掌握逻辑代数的逻辑运算，逻辑运算和主要掌握逻辑代数的逻辑运算， Pascal中的逻辑运算相似，只不过符号不同而已。

中的逻辑运算相似，中的逻辑运算相似只不过符号不同而已。

• 逻辑代数的运算符和逻辑代数的运算符和Pascal的运算符有如下对应的运算符有如下对应关系：关系：┓：not（非）（∨：OR（或）（∧：AND（与）（它们的运算顺序和Pascal中的规定是一致的。

中的规定是一致的。

它们的运算顺序和中的规定是一致的逻辑代数P True True False False P True False Q True False True False P∨Q ∨ True True True False ┓P False True P∧Q True False False False 逻辑代数运算练习题设A=TRUE，B=FALSE，C=TRUE，，，， D=FALSE，求以下逻辑运算的结果：，求以下逻辑运算的结果：A ∨ B ∧ C=( ) ) ┓C ∧ A=( A ∧B ∨ C ∧D=( )排列组合问题• 此处我们只讨论最简单的排列组合问题。

此处我们只讨论最简单的排列组合问题。

• 乘法原理：完成一件事可以分为n个步骤，每个乘法原理：完成一件事可以分为个步骤，个步骤步骤又可分为a1,a2,a3，…，an个不同的方法，个不同的方法，步骤又可分为，，个不同的方法则完成此事的总方法有a1×a2×a3×…×an种方则完成此事的总方法有a1×a2×a3×…×an种方法。

• 加法原理：如果完成一件任务有类方法，在第加法原理：如果完成一件任务有n类方法类方法，一类方法中有m1种不同方法种不同方法，一类方法中有种不同方法，在第二类方法中有 m2种不同方法……在第类方法中有在第n类方法中有种不同种不同方法在第类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn 方法，那么完成这件任务共有排列组合问题• 加法原理典型例题：加法原理典型例题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_

则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０的整
数组）（ｘ，ｙ，ｚ）的个数为（）．
（Ａ）１（Ｂ）２（Ｃ）３（Ｄ）４
答（Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝（ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝（ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－（ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由对称性，同样可得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所以２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所以ａ２＋ｂ２＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ＝６，ａ３－
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５－ｂ５＝（ａ２＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的整数ｘ，ｙ，定义ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即（ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝－１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１，烄ｘ－１＝１，烅ｙ－１＝１，或烅ｙ－１＝－１，烆ｚ－１＝－１，烆ｚ－１＝１，
２０１８５＞３３＝６１３３．
又Ｍ＝（２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋（２０１３１＋
１２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１Ｍ
的填空题（本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ满足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２－（１＋ｂ）２

信息学竞赛中的数学知识与应用技巧

信息学竞赛中的数学知识与应用技巧信息学竞赛在培养学生的计算机科学素养和解决问题能力方面起到了关键作用。

然而，我们不能忽视数学在信息学竞赛中的重要性。

本文将探讨数学在信息学竞赛中的知识和应用技巧。

一、离散数学与图论离散数学作为数学的一个重要分支，在信息学竞赛中扮演着重要角色。

图论作为离散数学的一个重要分支，在解决问题时发挥着关键作用。

许多信息学竞赛的问题可以转化为图论问题，因此，掌握好图论的基本概念和算法是至关重要的。

1. 图的表示与遍历在解决图论问题时，首先需要了解图的表示方法。

常用的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

使用邻接矩阵可以方便地查找两个节点之间的边的关系，而使用邻接表可以更有效地存储大规模图的信息。

在了解了图的表示方法后，我们需要学会如何遍历图。

常用的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

这两种算法在解决图相关问题时经常用到，对于信息学竞赛非常有帮助。

2. 最短路径和最小生成树最短路径和最小生成树是信息学竞赛中常见的问题类型。

Dijkstra 算法和Floyd算法是解决最短路径问题的经典算法。

Prim算法和Kruskal算法是解决最小生成树问题的经典算法。

熟练掌握这些算法可以帮助我们更好地解决与图相关的问题。

二、概率与统计在信息学竞赛中，概率与统计也是一个重要的数学知识点。

学生需要掌握概率论和统计学的基本概念，以便解决与概率和统计相关的问题。

1. 概率计算与统计分析在解决与概率相关的问题时，我们需要掌握概率的基本计算方法，如加法原理、乘法原理和条件概率等。

此外，对于离散型和连续型随机变量的概率分布函数的掌握也是重要的。

在解决与统计相关的问题时，我们需要掌握统计学的基本概念和统计分析方法。

常见的统计分析方法包括均值、方差、标准差、相关系数和回归分析等。

2. 概率与统计在信息学竞赛中的应用概率与统计在信息学竞赛中的应用非常广泛。

例如，在解决数据压缩、遗传算法和机器学习等问题时，概率与统计的知识经常被用到。

信息学竞赛NOIP2018复赛提高组day2题目解答

全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2018）复赛 M z(INF); for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=1;k++) z.a[i][k]=min(z.a[i][k],a[i][j]+y.a[j][k]); return z; } }; struct lnk { lnk *last; long long x1,x2; lnk *left,*right; M now; lnk() { left=NULL; right=NULL; last=NULL; } void Trans() { now.a[0][0]=INF; now.a[1][0]=x2; now.a[1][1]=x2; now.a[0][1]=x1; if(right!=0) now=now*(right->now); if(left!=0) now=(left->now)*now; }
全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2018）复赛 } } int main() { freopen("travel.in","r",stdin); freopen("travel.out","w",stdout); int n, m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y); D[edge[i].x]++; D[edge[i].y]++; } for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=new int[D[i]+1]; a[i][0]=D[i]; } for(int i=1;i<=m;i++) { int x=edge[i].x,y=edge[i].y; a[x][D[x]--]=y; a[y][D[y]--]=x; } for(int i=1;i<=n;i++) sort(a[i]+1,a[i]+a[i][0]+1); if(m==n) { ans[1]=2;

信息学竞赛中的数学知识与应用

信息学竞赛中的数学知识与应用随着科技的迅速发展，信息学竞赛成为了一项备受关注的知识竞赛。

信息学竞赛不仅考察学生在程序设计、算法等方面的能力，也对数学知识的掌握和应用提出了较高要求。

本文将从数学知识的重要性、数学在信息学竞赛中的应用以及数学的相关准备等方面展开论述。

一、数学知识在信息学竞赛中的重要性信息学竞赛作为一项具有较高难度的比赛，对参赛者的数学基础要求较为严格。

在信息学竞赛中，数学知识可以作为竞赛的基础，起到提升解题能力的作用。

首先，数学基础是理解和掌握计算机科学的基础。

信息学竞赛中，很多问题都需要通过数学的推理和计算来解决。

比如在算法设计和复杂度分析中，掌握好数学原理可以帮助选手更好地理解问题的本质和规律，从而设计出更高效的算法。

其次，数学作为一门逻辑性较强的科学，培养了参赛者的分析和解决问题的能力。

信息学竞赛中，很多题目需要选手进行数学建模和问题抽象，通过数学方法来解决实际问题。

数学训练使得选手能够培养出较强的逻辑思维和问题解决能力，在竞赛中应用数学知识更加得心应手。

另外，信息学竞赛的评判标准中，对于题目的正确性和效率都有较高要求。

数学的推理和计算能力是提高解题效率的关键因素。

例如，在解决图论问题时，对于图的遍历和最短路径算法的理解都离不开数学的支持。

二、数学在信息学竞赛中的应用数学在信息学竞赛中广泛应用于多个领域，包括算法设计、数据结构、图论等。

下面以一些典型的应用进行说明：1. 算法设计：在信息学竞赛中，算法设计是关键的一环。

而对于算法的正确性和效率分析，都需要借助于数学的推理和计算。

例如，对于时间复杂度的分析，需要运用到离散数学中的递推关系和大O表示法。

2. 数据结构：数据结构是信息学竞赛中另一个重要的知识点。

而在数据结构的选择和设计中，数学知识也起着关键的作用。

例如，在树的表示和遍历中，树的数学性质可以帮助选手更好地理解和操作树结构。

3. 图论：图论作为信息学竞赛中经常涉及的领域，也需要借助于数学的知识进行解决。

信息学奥赛基础知识(一)

注意：如果复习时间不够，我们猜他红色部分不考第一节数制及其转换一、二、八、十六进制转十进制的方法：乘权相加法。

例如：（11010110）2 = 1×27 + 1×26 + 0×25 + 1×24 + 0×23 + 1×22 + 1×21 + 0×20 = （214）10（2365）8 = 2×83 + 3×82 + 6×81 + 5×80 = （1269）10（4BF）16 = 4×162 + 11×161 + 15×160 = (1215)10带小数的情况：（110.011）2 = 1×22 + 1×21 + 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2 + 1×2-3 = （6.375）10（5.76）8= 5×80 + 7×8-1 + 6×8-2 = （5.96875）10（D.1C）16= 13×160+ 1×16-1 + 12*16-2 = （13.109375）10二、十进制化二进制的方法：整数部分除二取余法，小数部分乘二取整法。

例一：（43）10 = （101011）2例二：（0.375）10 = （0.011）2三、二进制转八进制的方法1位数八进制与二进制对应表转换方法:对二进制以小数点为分隔，往前往后每三位划为一组，不足三位补0，按上表用对应的八进制数字代入即可。

例如：(10111011.01100111) = 010,111,011.011,001,110 = （273.36）8三、二进制转十六进制的方法1位数十六进制与二进制对应表转换方法:对二进制以小数点为分隔，往前往后每四位划为一组，不足四位补0，按上表用对应的十六进制数字代入即可。

信息学竞赛数学知识与应用技巧的案例讲解

信息学竞赛数学知识与应用技巧的案例讲解一、引言在信息学竞赛中，数学知识和应用技巧是非常重要的一部分。

本文将通过案例的形式，分享一些常用的数学知识和应用技巧，帮助读者更好地应对信息学竞赛。

二、组合数学1. 问题描述：某城市有5个公园供市民休息，一天内每个公园只能容纳10人，那么一天内最多能容纳多少人？2. 解决方法：根据排列组合原理，假设每个公园能容纳的人数相互独立，那么一个公园容纳的人数可以有0人、1人、2人、...、10人，即在每个公园上都有11种情况。

而有5个公园，因此一天内最多能容纳的人数为11^5=161051个人。

三、数论1. 问题描述：小明的手机里有一个十进制整数，其各位数字之和是30，且这个整数的奇数位数字之和是偶数位数字之和的3倍，那么这个整数是多少？2. 解决方法：根据数论的知识，一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数也能被3整除。

由题意可知，奇数位数字之和是偶数位数字之和的3倍，那么这个整数只能是偶数位数字都为3的倍数，且各位数字之和是30。

结合题意，我们可以列出以下条件：- 十位数字是3的倍数；- 百位数字是3的倍数；- 千位数字是3的倍数；- 万位数字是3的倍数；- 万位数字加千位数字等于百位数字加十位数字。

通过以上条件，我们可以得到数值为63000的整数符合题意。

四、概率1. 问题描述：一副标准的扑克牌共有52张牌，抽取5张牌，那么抽到一对（两张相同的牌）的概率是多少？2. 解决方法：在一副标准扑克牌中，一共有13种牌面（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K），每种牌面有4张牌。

而抽取一对的条件是抽到2张相同的牌，即有13种牌面中选择1种牌面，再从4张牌中选择2张。

因此，抽到一对的概率为(13C1 * 4C2) / (52C5) ≈0.422569。

五、线性代数1. 问题描述：已知向量a=(1,2,3)和b=(4,5,6)，求向量a和b的数量积。

2. 解决方法：向量的数量积等于对应分量相乘之和。

信息学竞赛中的数学知识应用

信息学竞赛中的数学知识应用信息学竞赛作为一项重要的学科竞赛，旨在培养学生的计算机应用能力和创新思维。

作为一门涵盖多学科知识的竞赛科目，信息学竞赛中的数学知识应用具有重要意义。

本文将探讨信息学竞赛中数学知识的应用，并说明其在算法设计、数据结构和复杂度分析等方面的重要性。

一、算法设计与数学知识的应用在信息学竞赛中，算法设计是解题的核心。

而数学知识在算法设计中发挥着重要的作用。

首先，数论是算法设计中常用的数学分支之一。

例如，在质因数分解、最大公约数和最小公倍数等问题中，数论的知识可以帮助选手更好地理解问题，并设计出高效的解决方法。

其次，概率与统计的应用也十分重要。

在随机算法、近似算法等问题中，概率与统计的知识可以帮助选手分析算法的正确性和复杂度，提高算法的效果。

二、数据结构与数学知识的应用数据结构是信息学竞赛中另一个重要的知识点。

数学知识在数据结构中的应用主要体现在图论和树结构上。

首先，图论是数学中的一个分支，它在信息学竞赛中的应用非常广泛。

例如，最短路径、最小生成树和网络流等问题都与图论相关，选手需要掌握图的遍历和图的特性，才能设计出高效的算法。

其次，树结构也是数据结构中的重点内容。

选手需要对树的遍历、树形动态规划等问题有深入的理解，并能够将数学模型转化成树的形式，从而解决实际问题。

三、复杂度分析与数学知识的应用复杂度分析是算法设计的一个重要环节，通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，可以评估算法的效率。

在复杂度分析中，数学知识的应用非常广泛。

首先，级数和递推关系在复杂度的计算中经常出现。

选手需要熟悉常用的级数求和公式，如等差数列、等比数列和调和级数等，以便快速计算算法的复杂度。

其次，对数函数在复杂度分析中也是常见的。

例如，二分查找算法的时间复杂度就与对数相关，选手需要掌握对数函数的性质和计算方法，才能正确分析算法的复杂度。

综上所述，数学知识在信息学竞赛中的应用非常重要。

不仅可以帮助选手解决具体的问题，还可以培养选手的数学思维和分析能力。

信息学奥赛考察的数学知识

信息学奥赛考察的数学知识
⼀级标准
⽆
⼆级标准
素数与合数，最⼤公约数，最⼩公倍数，互质数。

三级标准
逻辑运算，整数的质因数分解，随机函数。

筛选法，欧⼏⾥德算法
四级标准
集合及集合的运算，加法原理与乘法原理，简单的排列和组合。

五级标准
圆排列，可重集排列，鸽笼原理，素因数分解，幂函数，指数函数，对数函数，三⾓函数，模运算，不等式基础知识。

六级标准
可重集组合，⼆项式定理，数列与级数，归纳与递推，容斥原理，函数的连续性、函数的单调性和极值
七级标准
中国剩余定理，剩余类，概率基础知识，解析⼏何基础知识。

⼋级标准
矩阵概念及其基本运算，线性⽅程组的解法，迭代法，费马⼩定理和欧拉定理，母函数。

九级标准
计算⼏何基础知识（点积、叉积、凸包、半平⾯等知识及应⽤），数学期望。

⼗级标准
三维计算⼏何，组合游戏中的NIM问题和SG函数，群的概念，置换群，Burnside引理，Polya原理，莫⽐乌斯反演定理，FFT
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信息学竞赛中常见的数学知识点与应用

信息学竞赛中常见的数学知识点与应用信息学竞赛作为一项集计算机科学与数学于一体的竞技运动，对参赛选手的数学知识要求颇高。

在信息学竞赛中，数学知识的灵活应用往往能给选手带来巨大的优势。

本文将从数学知识点的角度，探讨信息学竞赛中常见的数学知识点与其应用。

一、排列组合排列和组合是信息学竞赛中经常出现的数学知识点。

排列是指从n个不同元素中任取m个元素按照一定顺序排列的不同方式的总数；组合是指从n个不同元素中任取m个元素的不同组合的总数。

在信息学竞赛中，排列组合常常与概率、动态规划等问题相关连。

例如，在解决一道动态规划问题时，需要计算某个状态的转移方案总数，这就需要运用排列组合知识。

二、数论数论是信息学竞赛中不可或缺的数学知识点，其重要性体现在密码学、素数、最大公约数、最小公倍数等方面。

例如，在密码学中，选手需要掌握模运算的性质，了解欧拉定理、费马小定理等，以便解决RSA加密算法、离散对数问题等。

三、线性代数线性代数也是信息学竞赛中常见的数学知识点。

线性代数在计算机图形学、矩阵乘法、方程组求解等领域有广泛应用。

在信息学竞赛中，选手需要熟练掌握矩阵的运算性质，了解矩阵的特征值、特征向量等概念，并能熟练应用线性代数解决相关问题。

四、离散数学离散数学是信息学竞赛中涉及面广、应用广泛的数学知识点之一。

离散数学包括集合论、图论、布尔代数、逻辑等内容。

在信息学竞赛中，选手需要掌握集合运算、图的表示及遍历算法、逻辑推理等基本概念和算法，以便解决图的最短路径、最小生成树、逻辑回路等问题。

五、概率论与统计学概率论与统计学是信息学竞赛中常见的数学知识点。

概率论与统计学在信息学竞赛中主要应用于算法设计、数据处理与统计分析等方面。

例如，在设计算法时，运用概率论的知识可以解决随机算法的正确性与复杂度问题；在处理实际问题时，统计学的知识可以帮助选手进行数据分析与预测。

六、数学建模数学建模是信息学竞赛中的重要一环。

数学建模要求选手将所学数学知识应用于实际问题的分析与解决。

信息学竞赛有关数学知识2

信息学竞赛有关数学知识2一、组合数学1、非重组合例1 从10个人中选出3人去参加会议，问有几种方案？P(10，3)/3！组合数定义从n个不同的元素中，取r个而不考虑次序时，称为从n中取r个组合，其组合数记为C(n，r)组合数的模型是把r只相同颜色的球放到n只编号不同的盒子中去的方法种数。

C(n，r)=n!/( (n-r)!*r! )显然有C（n , r ）=C (n , n-r)例2 从1~300之间任意选个3个不同的数，使得这三个数的和正好好被3除尽，问共有几种？分类：被3除余1的数集A={1，4，7，。

，298} |A|=100被3除余2的数集B={2，5，8，。

，299} |B|=100被3除余0的数集C={3，6，9，。

，300} |C|=100三个数同类：C(100，3)+C(100，3)+C(100，3)=3C(100，3)三个数分别属于A，B，C100*100*100=1000000故总方案数为3C(100，3)+10000002、重组合从n种不同的元素中，取r个允许重复的元素而不考虑次序时，称为从n中取r个允许重复的组合，称为重组合。

记为H（n，r）重组合的模型是把r只相同颜色的球放到n只编号不同的盒子中去，而且每个盒子的放球数不加限制，其方法种数是H(n，r)=C(n+r-1，r)=(n+r-1)!/(r!*(n-1)!)公式推导:用n+1个1,和r个0进行排列，并且每一个排列是由1开始和1结尾的。

把1当作划分盒子的界限，0作为球，则每一个这样的排列就对应于放r个相同颜色的球到n个编者编号不同的盒子中去的一种方案。

如n=5 , r=41 0 1 1 00 1 1 0 1表示第一个盒子球为1第二个盒子球为0第三个盒子球为2第四个盒子球为0第五个盒子球为1由有限重复排列计算公式可得P(n+1+r-2 , n+1+r-2)/( r! * (n+1-2)!)=(n+r-1)!/( r! * (n-r)! )=C(n+r-1, r)例3试问（X+Y+Z）1986有多少项？N=3，R=1986C（1986+3-1，1986）==C（1988，1986）=1988*1987/2= 1975078例4 不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的组数令y1=x1+1y2=x1+x2+2…..yn=x1+x2+…xn+n则1<=y1<y2<…..<yn=r+ny1,y2,…y(n-1)是从1，2，….，（n+r-1）中取出按由小到大次序排列的n-1个数，因此方程的解数是从n+r-1个数中取出n-1个数的组合数C（n+r-1 , n-1 ）=C(n+r-1, r )例5求方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+z9+x10=3的非负整数组数x1只能取0和1当x1=0时C(9+3-1,8)=C(11,3)当x2=1时C(9+1-1,8)=C(9,1)方程的非负整数组数C(11,3) +C(9,1)=165+9=174三、错排问题N个元素的一个排列，将其重新列后，没有一个元素是在原来的位置，这样的排列叫做原来排列的一个错排。

noip 2018 第二轮题解

noip 2018 第二轮题解NOIP (全国青少年信息学奥林匹克联赛)是中国的一个重要的信息学竞赛，每年都有许多优秀的学生参与。

第二轮是NOIP的选拔赛，对参赛者的算法和编程能力有一定的挑战。

下面是对2018年NOIP第二轮题目的解析。

1.题目一：最短编辑距离这道题目给出了两个字符串A和B，要求通过最少的操作（插入、删除和替换字符）将A转换成B。

首先我们可以使用动态规划的方法解决这个问题。

定义一个二维数组dp[i][j]表示将A的前i个字符转换成B的前j个字符所需要的最小操作数。

初始状态是dp[i][0] = i和dp[0][j] = j。

然后我们根据A[i]和B[j]是否相等来更新dp[i][j]。

如果相等，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，即不需要进行任何操作。

如果不相等，要么进行替换操作，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；要么进行删除操作，那么dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1；要么进行插入操作，那么dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1。

最后返回dp[A.length()][B.length()]就是最短编辑距离。

2.题目二：修电线这道题目给出了一个无向图，你需要修复其中一条电线，使得修复后的图是一个树。

首先我们可以将该图表示为一个邻接矩阵，然后使用深度优先搜索(DFS)来遍历图。

在进行DFS的过程中，记录下每个节点的父节点，并检查是否存在回路。

如果存在回路，则将回路中的任意一条边删除即可得到一个树。

如果不存在回路，则对于任意一个非树边，将其替换成树边即可。

3.题目三：双链表这道题目给出了一个长度为n的双链表，每个节点包含一个值和指向前后节点的指针。

要求在双链表中执行以下操作：插入节点、删除节点、查询节点值、查询区间最大值、查询区间和。

为了高效地执行这些操作，我们可以使用双端队列(Deque)来实现双链表。

双端队列是一种具有队列和栈的特性的数据结构，可以在队列的前端和后端进行插入和删除操作，时间复杂度均为O(1)。

信息学竞赛有关数学知识1

信息学竞赛有关数学知识1一、加法原理：完成一件事情有n类独立完成方式，第I类方式有Mi种方法，则完成这件事共有方法N=M1+M2+…+Mn例1、从杭州到北京每天直达火车有20个班次，飞机有10个班次，则每天从杭州出发，中途不转到北京有几种方法？20+10=30二、乘法原理：完成一件事情有n个步骤，第I个步骤有Mi种方法，则完成这件事共有方法N=M1*M2*…*Mn例2、某班外出活动，从20个男同学中选出1人当男组长，又从25个女同学中选出1人当女组长，选出的2个组长有几种可能？20*25=500三、排列1、线排列：从N个不同的的元素中，取r个按次序排列。

总数为p(n,r)=n(n-1)(n-2)…(n-r+1) =n!/(n-r)!例3、确定各位数字不重复的四位八进制数的个数8*7*6*5-7*6*5=210 7 * 7* 6* 52、圆排列：从N个不同元素中，取出r个元素按照某种次序排成一个圆圈。

总数为y(n,r)=p(n,r)/r=n!/((n-r)!*r)例4、有8个人围圆桌就餐，问有多少种就坐方式？有两人不愿坐有一起，又有多少种就坐方式？P(8,8)/8=8!/8=7!P(8,8)/8-2*p(7,7)/7=7!-2*6!例5、4男4女围圆桌交替就坐有多少方式？先排男，后排女：（4！/4）*4*3*2*1=1443、重排列(1)无限重排列：从n个不同元素中取出r个按次序排列，若每个元素无限次重r复，则称为无限重排列，其排列数为N例6、无线电收发机有“.” ,“-”(短、长)两种信号，用四个信号代表一个数码，问可以表示多少个不同码？通用明码用0~9十位数码中的四个数码表示一个汉字，可以表示多少个汉字？2^4=1610^4=10000(2)有限重排列：从n个不同元素中取出r个按次序排列，若允许元素有限次重复，则称为有限重排列。

N!/ (n1!*n2!*…*nt!)N个元素有t种，每种个数分别为n1,n2,…,nt,n1+n2+…nt=n例7、把4只红球，2只蓝球和1只白球放到编号不同的十个盒子中去的方法总数是多少？P(10,7)/(4!*2!)例8、某市区中有一处棋盘形街道，有南北方向街道（纵街）5条，东西方向街道（横街）8条，某甲从东南角走到西北角，要按最短路径走（就是只能向西或向北走），共有几种走法？4 个北7 个西11！/（7！*4！）=330。

NOIP初赛知识点-信息学竞赛中的数学知识(2018)

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.
加法原理和乘法原理从A到C共有多少中走法？
A
B
C
1+1+2*3=8种
例1 :学校师生合影，共8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的合影方式？
解先排学生共有 P88 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共
5}，C={2，4}，则集合（A ∩B）∪～C 为（
）。
A）空集 D）{1，5}
B） {1}
C） {3，5}
E） {1，3，5}
1、（NOIP10）设全集I = {a,b,c,d,e,f,g}, 集合A = {a,b,c},B = {b,d,e},C = {e,f,g}, 那么集合(A-B)∪(~C-B)为（）.
初赛知识复习
2018-10
信息学竞赛中的数学知识
◆ 集合的运算 ◆ 排列与组合
◆ 集合及其运算
1、集合的运算：并、交、补、差 2、容斥原理
1、集合的运算：并、交、补、差并：∪ 交：∩ 补：^或～或差: -
AB
A
B
A
A∪B
A∩B
A
AB A-B
8. （NOIP9）设全集E={1，2，3，4，5}，集合A={1，4}，B={1，2，
A. {c, e} C. {e} E. {d, f}
B. {d, e} D. {c, d, e}
2、容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

noip中的数学知识

14人，同参加三项比赛的有5人。问：（1）只参加100米比赛的有几人？ 103 （2）只参加一项比赛的有几人？ 312 （3）只参加两项比赛的有几人？ 26
《信息学奥赛》
2018/7/16
B A C
12
新河中学信息中心
典型问题（第256页）

例：约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由
《信息学奥赛》
2018/7/16
16
新河中学信息中心
历届试题

在书架上放有编号为1 ，2 ，．．．，n的n本书。现
将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每
本书都不能放在原来的位置上。例如：n = 3时：
原来位置为：1 2பைடு நூலகம்3
放回去时只能为：3 1 2 或 2 3 1 这两种

问题：求当n = 5时满足以上条件的放法共有多少种？
掉的情况下，求满足条件的关灯办法有多少种？
C
《信息学奥赛》
2018/7/16
3 6
10
新河中学信息中心
排列组合综合问题

例：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
C4 C4C6 C4C6
4
3
1
2
2
（2）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，
7 5 7 6 5 6 7 5 6 7 5
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1 6
C7 C5 C6
1
1
2
《信息学奥赛》

信息奥赛数学公式

信息奥赛数学公式
信息奥赛涉及的数学公式有很多，以下是一些常见的公式：
1. 记忆公式：a^b = exp ( ln (a) b )，其中b可以是正数或负数。

2. 平方和公式：1的平方+2的平方+...+n的平方的和=( n(n+1)(2n+1) ) / 6，1+3+6+10+15+...+n的和 =( n(n+1)(n+2) ) / 6。

3. 错位排列公式：递归公式：f(n)=(n-1) ( f(n-1)+f(n-2) ) (n>2)，f(2)=1，f(1)=0；计数式： f(n)=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+…+（-1）n·1/n!) (即容斥原理)。

4. 逻辑计算公式：优先级：与(and)() > 或(or)(+) A1=A A+1=1
A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A1=A (满足分配律)。

5. 二进制转换公式：整数部分除2取余，小数部分乘2 取整。

6. 费马小定理公式：若P为素数，a为正整数，且a和P互质，则有ap-
1≡1(mod p)。

7. 欧拉定理公式：若a与m互质，则a^φ(m)≡1(mod m)，其中φ(m)表
示不超过m且与m互质的正整数的个数。

以上是一些信息奥赛中常用的数学公式，掌握这些公式对于解决相关问题非常重要。

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排列组合练习题
¡
4.两条平行的直线L1和L2，L1上有3个点，L2上有5个点，问由这些点总共可以组成多少个三角形？例1、平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同的三角形？(NOIP2001)
初中信息学竞赛中的数学知识
逻辑代数
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主要掌握��辑代数的逻辑运算，逻辑运算和 C++中的逻辑运算相似，只不过符号不同而已逻辑代数的运算符和C++的运算符有如下对应关系 ┓：NOT（非 ∨：OR （或 ∧：AND（与它们的运算顺序和C++中的规定是一致的，
逻辑代数运算练习题
1.设A=true，B=false，C=true，D=false，以下逻辑运算表达式值为真的是（）。 A. (A∧B)∨(C∧D∨A) B. ((A∧B)∨C)∧D C. (B∨C∨D)∧D∧A D. A∧(D∨C)∧B 2.设A=B=true，C=D=false，以下逻辑运算表达式值为假的有（）。 A. (¬ A∧B)∨(C∧D∨A) B. ¬ (((A∧B)∨C)∧D) C. A∧(B∨C∨D)∨D D. (A∧(D∨C)) ∧B
文氏图练习
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某班50人，语文、数学考试中，语文及格45人，数学及格42人，两门都不及格2人，则两门都及格有多少人？
两科都及格人数： 45+42-（50-2） =87-48 =39人。
文氏图练习
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¡
外语学校有英语、法语、日语老师总共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语、日语的有5人，能教法语、日语的有 3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2 人，则只能教法语的有： A、 4人 B 、 5人 C 、 6人 D、 7人
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排列组合问题
¡
加法原理典型例题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？ (4+3+2=9) 乘法原理典型例题：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ (2*2*3=12)
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排列组合练习题
¡
5.书架上有4本不同的书A、B、C、D。其中A和B是红皮的，C和D是黑皮的。把这4本书摆在书架上，满足所有黑皮的书都排在一起的摆法有_____种。满足 A必须比C靠左，址有红皮的书要摆放在一起，所有黑皮的书要摆放在一起，共有______种摆法。解析： 1.第一步：把2本黑色的书当成一个整体，和其他两本书全排列，就是P（3，3）=6；第二步：由于2本黑色的书是不同的书，所以这2本是可以交换位置的，再乘上一个2. 所以就是P（3，3）×2=12 2.由于“A必须在C左边”，而且同颜色的还要在一起，所以就只能是两个红色的在左边，两个黑色的在右边。所以就是P(2,2)×P(2,2)=4
文氏图例题
电影 4 x 12 6 球赛
戏剧
58-6-12=40 38-（4+6+12）=16 52-（4+12）=36
文氏图练习
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有47本书，有27本是小说，32本是红皮的，6 本既不是红皮的，也不是小说。问有多少本红皮小说？
47-6=41 这41本有可能是小说或是红色封面所以红色封面小说最多27本即所有小说都是红色封面最少32-（41-27）=18本红色封面小说介于： 18本--27本之间
排列组合问题
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此处我们只讨论最简单的排列组合问题。乘法原理：完成一件事以分为n个步骤，每个步骤又可分为a1,a2,a3，…，an个不同的方法，则完成此事的总方法有a1×a2×a3×…×an 种方法。加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有 N=m1+m2+…+mn
¡
排列组合练习题
¡ ¡
1.一个班级有45名同学，从中任意选取2名同学参加作文比赛，共有多少种不同的选法？答：C（45，2） 2.5个同学到饭堂排队打饭，共有多少种不同的排队方法？答：5! 3.用0，1，2，3，4组合可以得到多少个无重复数字的四位数？答：千位有4种选法百位有4种选法十位有3种选法个位有2种选法共:4×4×3×2=96个
8 2 x 法语 3 2 6 1 日语
英语
x=27-8-3-6-2-2-1=5
集合问题的图示法
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文氏图：由矩形、圆形及内部的点组成。矩形：其内部的点表示全集的所有元素；矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合；圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。
文氏图例题
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某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有： A、22人 B、28人 C、30人 D、36人
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集合
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集合：由确定的、互相区别的一些对象组成的总体。集合的每个对象称为元素。如初一（11）班同学组成一个集合，里面的每个同学称为元素。常用的集合表示法：列举法、描述法集合的运算：并（∪）、交（∩）、差（）、补（~或ˉ）
集合运算例题
设全集I={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4}， B={4,5,6,7}，C={0,8,9}，D={1,2,3}，则 A∪B= A ∪B ∪C ∪D= A∩B= A-B= B-A= C-A= ~A= B=
¡
排列组合问题
¡
排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! (规定0!=1). 2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叶做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);