2.1.1平面及其表示方法
【高中数学】第二章 2.1.1
第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1，公理2，公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．[知识链接]1．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合．2．点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外．[预习导引]1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.图形题的依据要点一三种语言的转换例1用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.规律方法 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪演练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.要点二点线共面问题例2证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．跟踪演练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．要点三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．证明 ∵MN ∩EF ＝Q ， ∴Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ， 又∵M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD . ∴M 、N ∈平面ABCD ，∴MN ⊂平面ABCD .∴Q ∈平面ABCD . 同理，可得EF ⊂平面ADD 1A 1. ∴Q ∈平面ADD 1A 1.又∵平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ， ∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线． 规律方法 点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点．证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DHHC＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ， 又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1．下列命题中正确的个数是( ) ①一个平面长4米，宽2米； ②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对． 2．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．3．若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q ，b ，β之间的关系可记作( ) A ．Q ∈b ∈β B ．Q ∈b ⊂β C ．Q ⊂b ⊂β D ．Q ⊂b ∈β 答案 B解析 ∵点Q (元素)在直线b (集合)上，∴Q ∈b .又∵直线b (集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．一、基础达标1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是()①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．2．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；BCD都是平面的基本性质公理．3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合答案 C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误．4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线答案 B解析如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．5．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l. 6．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.7．已知△ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明∵直线AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.则由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线．二、能力提升8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案 D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ，∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ， ∴P ∈平面ABCD .∴P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 又平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 三、探究与创新12. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．解 很明显，点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上．由于AB >CD ，则分别延长D 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ， ∴E ∈平面SAC .同理，可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连接SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线．13．在棱长是a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l . (1)画出交线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长； (3)求点D 1到l 的距离．解 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连接QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离．∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴D 1H ＝D 1Q ·D 1N QN ＝2a ·a 24a 2＋a24＝21717a . 即点D 1到l 的距离是21717a .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
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证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
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规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
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变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
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7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
第三讲 平面、线线、线面和面面的位置关系
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
例4：根据下列条件作图：
(1) A∈，a，A∈a； (2) a ，b，c，且a∩b＝A， b∩c＝B，c∩a=C.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？ c a d b
3. 平面的画法：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
图形语言：
符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B A C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
文字语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
2[1].1.1平面
![2[1].1.1平面](https://img.taocdn.com/s3/m/53d67d01cc17552707220828.png)
B A C
α A
B C
公理2.过不在一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理2.过不在一直线上的三点，有且只有一个平面. 2.
文字语言： 文字语言： 公理2. 过不在一直线上的三点， 公理2. 过不在一直线上的三点，有且只
有一个平面. 三点确定一个平面） 有一个平面.（三点确定一个平面）
图形语言： 图形语言：
b A α
D C B a
练习4：
下列命题正确的是（ ） A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平 面
小结
1.平面的概念； 1.平面的概念； 平面的概念 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 平面的画法、 平面的画法 法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言 图 点 直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 判断两个面的位置； 判断点在直线上） （①判断两个面的位置；②判断点在直线上）
图形语言： 图形语言：
β
α
P
L
符号语言： 符号语言：
P ∈ α α ∩ β = l ⇒ P ∈ β P ∈ l
例题分析
用符号表示下列图形中点、直线、平面 用符号表示下列图形中点、直线、 之间的关系. 之间的关系
a ⊂ α , A ∈ a, ⇒ A ∈ α
④经过三点确定一个平面； 经过三点确定一个平面； ⑤一个平面可以把空间分成两部分. 一个平面可以把空间分成两部分
⑥平面 α 与平面 β 相交，它们只有有限个公共点。 （ ） ⑦经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个 平面。 （ ） ⑧经过两条相交直线，有且只有一个平面。（ ） ⑨如果两个平面有三个不共线的公共点， 那么这两 个平面重合。（ ）
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平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面、镜面和黑板面等 都给我们以平面的印象。
几何中的“平面”是现实平面加以抽象的结果。
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立体几何中的平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄
不是凹凸不平 没有边界
无所谓面积 没有体积
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平面的表示方法
2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。
3.表明平面是“平的”。
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直线与平面的位置关系
直线l在平面α内：记为：l∈α
直线l不在平面α上：记为：l α
l ll
α
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思 考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机 等物品。这样做有什么原因吗？
示，如：平面ABCD,平面AC，平面BD。
D
A
C B
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点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α
点B不在平面α上：记为：B α
B αA
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考思
若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别Biblioteka 做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
A
C B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画 成邻边长的2倍。
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高一数学：2.1.1平面教案
第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们师：生活中常见的如黑板动给予评价，点出主题. 培养学生感性探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个③有一个平面的长是50m，宽④平面是绝对的平，无厚度师：刚才大家所讲的一些下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无加深学生对平探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成们常把被遮挡的部分用垂线画出来（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成αα∈师：在平面几何中，怎样师：这位同学画的实质上生：画出平面的一部分，师：大家画一下.学生动手画平面，将有代加深学生对平探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一α使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只师：我们下面学习平面的在平面上，调整直线上另一点生：当直线上两点在一个师：这处结论就是我们要师：从集合的角度看，公直线是由无数个点组成的过直线l，记作lα⊂，否则就α下面请同学们用符号表示学生板书，教师点评并完大家回忆一下几点可以确生：两点可确定一条直线师：那么几点可以确定上学生思考，讨论然后回答生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要师投影公理2图示与符号师：下面请同学们观察教生：这两个平面的无穷多通过实验，培加强学生学生在观察、平面是有的，而且只有一个”，也“有且只有一个平面”也可以说（2）过A 、B 、C 三点的平面可记公理3：如果两个不重合的平（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lP P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面师：我们把这条直线称为3. 典例分析例1 如图，用符号表示下图分析：根据图形，先判断点、解：在（1）中，l αβ=，a α=aβ=在（2）中，l αβ=，a α⊂b β⊂a=b=学生先独立完成，让两个学生巩固所学随堂练习1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确C ．四边形确定一个平面学生独立完成 答案： 1．D2．（1）不共面的四点可巩固所学D ．两两相交且不共点的三条2．（1）不共面的四点可以确（2）共点的三条直线可以确3．判断下列命题是否正确，（1）平面α与平面β相交，（2）经过一条直线和这条直（ ）（3）经过两条相交直线，有（4）如果两个平面有三个不4．用符号表示下列语句，并（1）点A 在平面α内，但点α（2）直线a 经过平面α外的（3）直线a 既在平面α内，β（2）共点的三条直线可3．（1）×（2）√（34．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈. （3）a α⊂，a β⊂.归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法2．平面的性质及其作用 3．符号表示 4．注意事项学生归纳、总结教学、补回顾、反课后作业 2.1第一课时 习案 学生独立完成备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．αb adcG F EAa bcd α H K图1图2设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1C A 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.AC ∩BD = M ⇒M ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M⇒O ∈C 1M ，即O 、C 1、M 三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D CB A。
2.1《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》解析
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
Байду номын сангаас空间图形
文字叙述
符号表示
平
第二课时
面
复习巩固： 1.公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内 作用 ：判定直线是否在平面内 2：公理2： 经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面 经过一条直线和这条直线外一点（两 推论： 条相交直线，两条平行直线）,有且只 有一个平面 作用 确定平面的依据 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 3.公理3： 么它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 ①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上． ：
B C F E H G
A
D
E , E 点E在面与的交线上， 同理，G, H , F也在面与的交线上 点E, G, H , F四点共线。
4.已知：正方体ABCD ABCD, E是C1C的中点， F是B1C 的中点，
D
C
求证：DE, D1C1 , A1 F必交于一点 .A 证明： A1 D // EF , 且EF A1 D
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
A 4.三条公理 公理1. AB B
王新敞
奎屯
新疆
公理2. A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
公理3.P , P , l P l
C、空间不同的三点可以确定一个平面
D、两条相交直线可以确定一个平面
3、在空间中，下列命题错误的是（
湖南省溆浦县楚才高级中学人教版数学必修二2.1.1平面教案
2.1.1平面教学目的：1理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题2理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对平面基本性质的三条公理的理解．（2）确定两相交平面的交线．教学过程：一、复习引入：1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45o ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等3．空间图形是由点、线、面组成的集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“I ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅I 或a A α=I二、讲解新课：1 平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A aαα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． B A α实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚 公理3及其下面要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．2 平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线l 上任取两点B 、C ，∵A l ∉，∴,,A B C 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B C 可确定一个平面α，∵点,B C 在平面α内，根据公理1，∴l α⊂，即平面α是经过直线l 和点A 的平面.（唯一性）：∵,B C l ∈，l α⊂，A α∈，∴点,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过l 和点A 的平面只有一个推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线P b a =I .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线a 上任取两点A ，直线b 上B ，∵P b a =I ，∴,,A B P 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B P 可确定一个平面α，∵点,,A B P 在平面α内，根据公理1，∴,a b α⊂，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：∵P b a =I ，,A a B b ∈∈，,a b α⊂，∴点,,A B P α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B P 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：P b a =I ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线//a b .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：∵//a b ∴由平行线的定义，直线a 和直线b 在同一个平面α内，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：取,A C a ∈，B b ∈，∵,,//a b a b α⊂ ∴点A,B,C 不共线且,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂三、讲解范例：例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形证明：∵三角形ABC 的顶点A 、B 、C 不共线∴由公理3知，存在平面α使得A 、B 、C α∈再由公理1知，AB 、BC 、CA α⊂∴三角形ABC 上的每一个点都在同一个平面内∴三角形ABC 是平面图形 例2 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上证明：∵EH FG P =I ，∴P EH ∈，P FG ∈， ∵,E H 分别属于直线,AB AD ， ∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ，同理：P ∈平面CBD ，又∵平面ABD I 平面CBD BD =，所以，P 在直线BD 上例3 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B C G HAB C DE P αC BA αCB A求证：直线,,AB BC CA 共面证法一：∵直线AB AC A =I ，∴直线AB 和AC 可确定平面α，∵B AB ∈，C AC ∈，∴B α∈，C α∈，∴BC α⊂，即,,AB BC CA α⊂即直线,,AB BC CA 共面证法二：因为A ∉直线BC 上，所以过点A 和直线BC 确定平面α．（推论1）因为A ∈α， B ∈BC ，所以B ∈α．故AB α，同理AC α，所以AB ，AC ，BC 共面．证法三：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α． 因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α，所以AB ，BC ，CA 三直线共面．问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例4 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线解：①在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ，∴由推论3可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ，∴1AA 与1CC 在同一平面内②∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ， ∴点1,,B C D 在同一平面内③∵AC BD O =I ，11D C DC E =I ，∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ， 又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BCD ，∴平面1AC I 平面1BC D 1OC =，同理平面1ACD I 平面1BDC OE =．四、课堂练习：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） 1D 1C 1D B B 1A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βαI ．C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ．其中命题和叙述方法都正确的是（ ）2．下列推断中，错误的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,B ．AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）5．看图填空（1）AC ∩BD = （2）平面AB 1∩平面A 1C 1=（3）平面A 1C 1CA ∩平面AC =（4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD = （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1=答案：1. C 2. C 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√5.⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 1五、小结 ：本课主要的学习内容是平面的基本性质，三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法A 1。
高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面 教学课件
定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确
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知识盘点
(1)三个公理的内容是什么？ (包括文字语言、图形语言、符号语言)
(2)它们的作用是什么？
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开拓视野
• 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面。
• 推论：
(1)经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面。
(3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。
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•
4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的 推想.
•
5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
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精 讲 点 拨
• 空间中，经过两点有且只有一条直线， 即两点确定一条直线。
• 那么，两点能否确定一个平面？
照相机，测量仪等 器材的支架为何要做成 三脚架？
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高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
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证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
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2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交
平面的概念及表示
D1 A1
C1 B1
D A
C B
三、点、线、面的基本位置关系的符号表示
从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合，因此它们之间的关系亦可借用集合中 的符号来表示。
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
·A
a A∈ a 点A在直线a上
·A a A a 点A不在直线a上
观察下图，你能得到什么结论？
B
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面. .C
图形表示：
α .A .B
说明：
①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；
②这是确定一个平面的依据; ③“有且只有”和“确定”的含义包括两方 面,一是存在性,二是唯一性;
2.1.1 平面
一、平面的特征 “平面”是最基本的几何概念，对它只能 描述而不加定义。
特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚
薄【”练习】判断下列说法是否正确？
(1)平行四边形是一个平面. × (2)一个平面的面积是100cm2. × (3)两个平面叠在一起比一个平面厚×. (4)一个平面把空间分成了两部分. √
(7)直线a经过平面α外一点M；M a, M (8)直线l在平面α内，又在平面β内l 。 ,l
长方体是我们非常熟悉的空间几何 图形.你能发现图中的点、线、面之间 有哪些位置关系呢？
D1
C1
平面教案
§2.1.1平面学习目标：1、了解平面的概念、特征；2、掌握平面的画法；3、了解平面的表示方法；4、掌握点、线、面间的位置关系；及其文字语言、图形语言、符号语言间的互化。
教具：三角板、长方体模型教学过程：教师--“平面”这个词我们非常熟悉，生活中有一些物体成平面形，【2PPT 】比如课桌面、白板面、平静的海平面都给我们以平面的形象，但是几何中的“平面”是从这些物体抽象出来的一个概念。
本节课要学习的就是《平面及点、线、面间的位置关系》。
看到“导学案”，学习目标是：1、平面的特征；2、平面的画法：水平、垂直；3、平面的表示方法；4、点、线、面间的位置关系；及其文字语言、图形语言、符号语言间的互化。
教师---平面的特征是无限延伸、无大小、无厚薄、无宽窄。
把这句话写在课本40页“观察”上面“平面是无限延伸”的后面。
【3PPT 】看到【概念辨析】下列说法正确的是？…选哪个？学生---（D ），并解释A 、B 、C 错的理由：A 平面是无限延伸、B 平面无大小宽度、C 平面无厚薄。
第一个学习目标完成。
第二个学习目标：掌握2、平面的画法。
4PPT ，平面常用平行四边形表示，有两种：水平放置和垂直。
先看水平放置的平面画法：画一个锐角为45°的平行四边形，且横边长度为邻边的2倍，如图。
垂直放置的平面其实就是将水平放置的平面旋转90°，大家动手画。
5PPT 相交平面，平面βα、相交，那么它就有部分被挡住，为增强立体感，被挡住部分用虚线表示如图。
第三个学习目标：3、平面的表示方法。
7PPT ，第一种表示方法，用希腊字母α写在平行四边形的一个角上，记为“平面α”；第二种方法，用平行四边形的4个顶点字母表示，记为“平行四边形ABCD ”；第三种方法，用对角线上的两个顶点表示，记为“平面AC ”或“平面BD ”。
假设画三角形表示一个平面，那么这个平面怎么表示？学生---“平面ABC ” 第四个学习目标：掌握点、线、面间的位置关系，及其符号表示。
广东省广州市第一中学人教A版数学课件 必修二 2.1.1 平面
（1）公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内。
图形的表示：如右图
符号表示：
aA B
作用：①判断直线是否在平面内
即要判定直线在平面内，只需确定直线上有两个点在平面内
②判断直线上的点是否在平面内
即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内
第八页，编辑于星期日：十点 十四分。
四、平面的基本性质
第九页，编辑于星期日：十点 十四分。
公理2相关推论
思考：1、经过一条直线和一个点能否确定一平面？
2、经过两条相交直线，能否确定一个平面？
过两条平行直线呢？
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面.
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【反馈检测】
×
√
√ √
4 1个或3个
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D
第十八页，编辑于星期日：十点 十四分。
5、 D
6、ABC在平面a外，它的三边所在直
线分别交平面a于P、Q、R三点，问此
三点是否共线？说明理由。
P、Q、R三点是平面
A
ABC和a的公共点，由公理
一、平面的引入
1、宁静的湖面，一望无垠的草原给
你什么样的感觉？ 平的
2、如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以 向四周无限的延展，神通广大的孙悟空
使尽浑身解数也难以逃脱．
无限延展
第三页，编辑于星期日：十点 十四分。
一、平面的特征
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、
海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平
高中数学新人教A版必修2 第2章 2-1空间点、直线、平面的位置关系
A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形：点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
（但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线 异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线 平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A
高一数学人教A版必修二课件：2.1.1 平面
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 答案:D
解析:两两相交不共点的三条直线,可确定一个平面;两两相 交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面;若三 条直线不在一个平面内,每两条可确定一个平面,共确定3个平
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平 面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC,P∈α.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证,点Q和R均在这条交线上.
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
【例2】 过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相 交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
思路分析:根据条件P,A,B确定一个平面,再证直线l,PA,PB在 这个平面内.
证明:如图,∵点P,A,B不共线,
∴点P,A,B确定一个平面α.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
二、点线共面问题 解决点线共面问题的基本方法
一 二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
怎样证明多点或多线共面? 提示:要证明多点或多线共面,首先根据确定平面的条件找 到平面,再结合公理1证明其余的点或线也在这个平面内.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
案例探究 误区警示 思悟升华
易错考点:共面问题判断中的解题误区 下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
2.1.1《平面》导学案
2.1.1 《平面》 导学案一、课前自主学习 知识自我探究（一）：平面的概念及画法（预习课本40---41页）问题一：生活中的的平面有大小之分吗？其“平”是相对的还是绝对的？ 问题二：几何中的“平面”是怎样的？新知自解【思考1】：如何理解平面概念？【思考2】：水平放置的平面画法步骤是什么？如何表示一个平面？【思考3】：描述点、直线、平面的位置关系常用有哪几种语言？你能用集合描述点与直线、平面的位置关系吗？知识自我探究（二）：平面的基本性质（预习课本41---43页）新知自解:【思考1】：请同学们拿出一只笔，把笔的任意两点放在桌面上，那么你发现了什么现象？这个现象反映了什么样的道理？公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上________点都在这个平面内（即直线在平面内，或者平面经过直线）.图形语言：如图所示 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 公理1作用：判断直线是否在平面内.【思考2】：请观察教室里的门，为什么只用两个合页和一把锁就能把门固定呢？你知道其中的道理吗？公理2：过不在同一条直线上的三点，_____________一个平面.图形语言：如图所示：符号语言：,,A B C 三点不共线⇒_______一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈.智慧改变命运 勤奋创造奇迹第 2 页共 4 页 公理2推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面.如图所示：公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据；③用来证明点共面.【思考3】：两个平面有一个公共点，那么的它们有多少条公共直线呢？这点与线又有什么关系呢？公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们___ ___一条过该点的公共直线.图形语言：如图所示：符号语言：,P l P l αβαβ∈⇒=∈ .公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.二、课堂合作探究例1．判断对错:(1)经过三点确定一个平面( )(2)经过一条直线和一个平面确定一个平面( )(3)四边形确定一个平面( )(4)梯形可以确定一个平面( )(4)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面( )(5)两个平面相交,它们只有有限个公共点( )(6)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合( )例2.将下列符号语言转化为图形语言：⑴,,,A B A l B l αβ∈∈∈∈； ⑵,,a b a αβ⊂⊂∥,,c b c P c αβ== .例3.证明两两相交且不过同一点的三条直线共面.∆三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证P、Q、R三例4.已知ABC点共线.例5.三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.三、巩固检测1.下列说法正确的是（）A.平面的形状是平行四边形B.任何一个平面图形都是平面C.圆和平面多边形都可以表示平面D.因为平行四边形ABCD的面积大于平行四边形EFGH的面积，所以平面ABCD大于平面EFGH2.下列命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有( )A.0B.2C.3D.43.若M在直线a上，a在平面a内，则( )A.M∈a∈αB.M∈a⊂αC. M⊂a⊂αD.M⊂a∈α智慧改变命运 勤奋创造奇迹第 4 页 共 4 页 4.若直线上有两个点在平面外，则 （ ）A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内5.两个不重合的平面α、β，若α∩β＝A ，α∩β＝B,则平面α与β（ ）A.有且仅有两个公共点B.有有穷个公共点C.有无穷个公共点D.无法确定6.如图2.1 ,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是( )A. A 、M 、O 三点共线B. M 、O 、A 1.A 四点共面C. A 、O 、C 、M 四点共面D. B 、B 1.O 、M 四点共面7. 三条直线两两相交，可以确定平面的个数为（ ）A 、 1B 、 1或2C 、 1或3D 、 38.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中（ ）A 、 必有三点共线B 、 必有三点不共线C 、 至少三点共线D 、 不可能有三点共线9.已知直线a 上两点A 、B 在平面内，则下列四个结论中不正确的是（ ）A 、 直线a 在平面内B 、 平面经过直线aC 、 直线a 上只有两点在平面内D 、 直线a 上所有点都在平面内10.两两平行的三条直线可以确定 个平面.（自助餐）O 1是正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面的中心，过D 1.B 1.A 作一个截面， 求证：此截面与对角线A 1C 的交点P 一定在AO 1上.课堂练习：课本P43—练习1、2、3、4反思与总结： ___________________________________________________________________________.。
2.1.1点、直线、平面之间的位置关系
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其 他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有①直 线和直线外一点确定一个平面，②两条平行线确定 一个平面，③两条相交直线确定一个平面． (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些 直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
2．一些文字语言、数学符号与图形的对应关系
数学符号表示 文字语言表达 点A在直线l上 图形语言表达
A∈l ______
A∉l ______
A∈α ______
点A在直线l外
点A在平面α内
A∉α _____
点A在平面α外 直线l在平面α内
l⊂α _____
l⊄α _____ l∩m＝A _________ α∩β＝l _________
证明： ∵AB∩A1B1＝P， ∴P∈AB，P∈A1B1. ∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1. ∴P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上． 同理可证Q、R也都在平面ABC与平面A1B1C1 的交线上． 根据公理3知两个平面的交线有且只有一条， 故P、Q、R三点共线．
点共线与线共点的问题 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M、 N、E、F 分别是棱 CD、AB、DD1、AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D、A、Q 三点共线．
[思路点拨] 欲证D、A、Q三点共线，只需说明 三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可． [规范解答] 证明：∵MN∩EF＝Q， ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，2分 又∵M∈直线CD，N∈直线AB， CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴M、N∈平面ABCD， ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.8分 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1.10分 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.12分
2.1平面第二课时
四川省平武中学
一、平面的表示方法
1、平面是无限延展的 、
但常用平面的一部分表示平面 表示平面） （但常用平面的一部分表示平面） 2、画法：常用平行四边形 、画法： D C B
α
3、记法： 、记法：
β
A
平面γ 标记在角上） ①平面α 、平面β 、平面 （标记在角上） 平面 平面 ②平面ABCD 平面 或平面BD ③平面AC 或平面 平面
注意： 注意： 1、平面的两个特征： 、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度） 平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 、一条直线把平面分成两部分 一个平面把空间分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在 练习 、判断下列各题的说法正确与否， : 正确的说法的题号后打 ，否则打 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； 、 2、平面有边界； 、平面有边界； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； 、 4、菱形的面积是 4 cm 2； 、 ( ( ( ( ) ) ) ) )
例2.(天府数学26页)如图，E、F、G、H分别为正方体ABCD − A B1C1D1 1 棱的中点，求证，E, F, G, H四点共面。
B B
3 例 .点P、Q、R分别在三棱锥A − BCD的一条侧棱上， PQ ∩ BC = Z, PR ∩ BD = Y, RQ ∩ DC = X 求证：X、Y、Z三点共线
点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线a、 交于点 交于点A 直线 、b交于点
α A
α
A
A
b a
A ∉α
aIb = A
图形
符号语言
α
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相交于直线 l
平面α与平面β无公 共点
公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有的点都在这 个平面内（即直线在平面内）。
图形表示：
l
符号表示：
α
A
B
Al, B l,且A, B , l
作用：判定直线在平面内的依据，同时说明 了平面的无限延展性。
公理2.过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面.
2.1.1平面及其表示法
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉 的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加 以抽象的结果。
①无限延展
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的 1.无限延伸（没有大小、宽窄） 2.平的(没有厚度）
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在 正确的说法的题号后打 ，否则打 :
记作 I l ，那么公理3用符号语言可怎
样表述?
P,且P I l,且Pl
如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线
思考5:公理3有哪些理论 作用吗？
确定两平面相交的依据， 判断多点共线的依据.
例4.将下列图形语言转化为符号语言：
l
αa
A
a
α A l B
2、两条相交直线能确定 一个平面；
3、两条平行直线能确定 一个平面。
．
B
．A ．C
思考3:根据上述分析可得什么结论？
Pl
公理3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这 两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平 面的交线.平面α与平面β相交于直线l，可
如：平面AC，平面BD
D
C
A
B
注意：一条直线把平面分成两部分.
一个平面把空间分成两部分.
练习2、下图中的平面中有无不正确的地
方？应如何纠正？
α
五.用数学符号（集合语言）来表示点、线、面之间的位置 关系： （1）符号表示： 点A、 线a、面α
（2）集合关系： Aa , A , a ,
图形
符号语言 文字语言(读法)
β
练习3：根据下列条件作图： （1）A∈α，a α，A∈a； （2）a α，b α，c α且a∩b=A，b∩c=B，
c∩a=C （3）α∩β=l，A∈α且A∈β （4） A∈α， A∈l，l∩β=B， α∩β=m，B∈m
解：1)αBiblioteka A a3)l
α
A
β
2)
A α
Ca B
b c
4) m
A
α
B
β
P43练习 4 P51习题 1、2
A a A a 点在直线上
A a A a 点在直线外
A
A
A A
点在平面内 点在平面外
A ab a I b A 直线a、b交于点A
图形
a
符号语言
a
文字语言(读法)
直线a在平面 内
a a I 或a∥α
a
A aI A
I l
α∩ β＝φ或
α
α∥β
β
直线a在平面
外
直线a与平面
交于点A
图形表示：
B
符号表示：
αA
C
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面
使A, B ,C
作用：（1）确定一个平面的依据和方法。 （2）证明点线共面的方法。
公理2：不共线的三点确定一个平面
思考5:一条直线和直线外一点能点确定一个平面吗？ 两条相交直线能确定一个平面吗？ 两条平行直线能确定一个平面吗？
推论:1、一条直线和直线外 一点能确定一个平面；
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
三.平面的画法： （1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß a
注意：通常把表示平面的平行四边形 的锐角画成450。 横边等于 其邻边长2倍.
（3）在画两相交平面时，如果一个平面的一部分被另一个 平面遮住时，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
β
α
例1.画出两个竖直放置的相交平面。
四.平面的表示方法： 1.用希腊字母表示，如：平面α，平面β（标记在角上） 2.用表示平面的平行四边形的四个顶点表示，如平面ABCD 3.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点字母表示。