空间向量的数量积运算

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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 设正方体的棱长为 m， → ＝a，AD → ＝b，AA →1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m. AB a· b＝b· c＝c· a＝0. → → 又∵A→ 1C1＝A1B1＋B1C1 → ＋AD → ＝a＋b， ＝AB → ＝DD → 1＋D → DE 1E 1→ 1 → ＝DD1＋ D1C＝c＋ a. 2 2
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第三章 空间向量与立体几何
Leabharlann Baidu
栏目导引
2．在△ABC 中， 〈A → B ，B→ C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向 量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3． 已知两个非零向量 a 与 b， 我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫 做a与b的
数量积 (或内积)，记作 a· b，
即 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ；
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第三章 空间向量与立体几何
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∵CD⊥BC， ∴C→ D· B→ C ＝0 ④ 6 分 → |2＝4＋4＋4＋2A→ 把②③④代入①可得|AD B· C→ D → |· → ，CD →〉 ＝12＋2|AB |C→ D |cos〈AB → ，C → ＝12＋8cos〈AB D 〉 ⑤8 分 由∠DCF＝30° ，从而∠CDF＝60° . 又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF. → ，D→ → ，D→ ∴〈AB C 〉＝〈DF C 〉＝60° .10 分
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第三章 空间向量与立体几何
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1．空间向量的夹角
定义 已知两非零向量 a、b，在空 → ＝a， 间中任取一点 O， 作OA → ＝b，则 ∠AOB 叫做向 OB 量 a，b 的夹角 π 如果〈a，b〉＝ ，那么向量 a，b 互相垂直 ，记作 a⊥b . 2 图示 记法 范围
〈a，b〉 [0，π]
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60° ，其模都为 1，则|a－ b＋2c|＝( A. 5 C．6 ) B．5 D. 6
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第三章 空间向量与立体几何
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解析：
因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60° ， 1 所以 a· b＝b· c＝a· c＝2， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a· b＋4a· c－4b· c ＝ 1 1 1 1＋1＋4－2× ＋4× －4× 2 2 2
3．1.3
空间向量的数量积运算
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律． 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何
中一些简单的问题.
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第三章 空间向量与立体几何
1 2 答案： 2a
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第三章 空间向量与立体几何
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4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60° ，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析：
∵P→ C ＝P→ A ＋A→ D ＋D→ C.
∴|P→ C |2＝(P→ A ＋A→ D ＋D→ C )2 → |2＋|DC → |2＋2P→ ＝|P→ A |2＋|AD A· A→ D ＋2A→ D· D→ C ＋2D→ C· P→ A ＝62＋42＋32＋2|A→ D ||D→ C |cos 120° ＝61－12＝49. → |＝7，即 PC＝7. ∴|PC
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第三章 空间向量与立体几何
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已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分 别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
[策略点睛]
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第三章 空间向量与立体几何
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[解题过程] 如图所示，设 O→ A ＝a，O→ B ＝b，O→ C ＝c ， 且|a|＝|b|＝|c|＝1， π 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ， 3 1 则 a· b＝b· c＝c· a＝2. 1 → 1 → → 因为 O E ＝ (O A ＋O B )＝ (a＋b)， 2 2 1 → → 1 → → → B F ＝O F －O B ＝ O C －OB＝ c－b，|O→ E |＝ |B→ F |＝ 2 2 3 ， 2
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[题后感悟]
π (1)两异面直线所成角的范围是 0，2，两个向
量的夹角范围是[0， π]， 利用向量数量积求异面直线所成的角时， 要注意角度的转化； (2)利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
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第三章 空间向量与立体几何
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1．如图所示，已知 E 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 C1D1 → 的中点，试求向量A→ 1C1与DE所成角的余弦值．
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1 1 1 1 1→ → 2 2 2 → → → → ∴ E F ＝ O A ＋ O B ＋ O C ＋ 2× －2 × OA · OB＋ 4 4 4 2
2
1 1 1 1→ → → → 2× －2 × O A · O C ＋2× × OB· OC 2 2 2
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2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫做a，
义 运
算 律
b的数量积，记作a· b.
数乘向量与向量 (λa)· b＝ λ(a·b) . .
数量积的结合律
交换律 分配律
a· b＝ b·a
a· (b＋c)＝ a·b＋a·c .
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1 1 c－b 所以 O→ E· B→ F ＝2(a＋b)· 2
1 1 1 1 2 ＝4a· c＋4b· c－2a· b－2b 1 ＝－2. → 与BF → 所成的角为 θ， 设OE 1 －2 →· → OE BF 2 cos θ＝ ＝ ＝－ . 3 → → 3 3 |OE|· |BF| 2×2 2 ∴OE 与 BF 所成角的余弦值为3.
1 1 1 1 1 ＝4×4＋4×4＋4×4－2×2×2· cos 60° －2×2×2×cos 60° 1 ＋2×2×2· cos 60° ＝2 → |＝ 2. ∴EF＝|EF
栏目导引
1.空间向量的数量积运算．(重点)
2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)
3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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1. 为了帮助四川地震灾区重建家 园， 某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件， 已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60° . 问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？
答案： D
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3． 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→ E· A→ F 等于________．
1 → 1→ → → → 解析： A E · A F ＝2(A B ＋A C )· 2AD 1 → → ＝4(A B · A D ＋A→ C· A→ D) 1 ＝4(a×acos 60° ＋a×acos 60° ) 1 2 ＝2a
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1 → ＝(a＋b)· c＋ a ∴A→ DE 1C1· 2
1 2 1 1 2 1 2 ＝a· c＋b· c＋ a ＋ a· b＝ a ＝ m . 2 2 2 2 5 → → 又∵|A1C1|＝ 2m，|DE|＝ 2 m. → → A C · DE 1 1 → ∴cosA→ ＝ 1C1，DE＝ → → |A1C1|· |DE| 10 → → ∴A1C1与DE所成角的余弦值为 10 . 10 ＝ . 10 5 2m·2 m 1 2 2m
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2.如图所示， 在空间四边形 OABC 中， OA、 OB、 OC 两两成 60° 角， 且 OA＝OB＝OC＝2， E 为 OA 中点，F 为 BC 中点，求 E、F 间的距离．
1 → 1 → → → → → 解析： ∵E F ＝E A ＋A F ＝2O A ＋2(A B ＋AC) 1 → 1 → ＝2O A ＋2[(OB－O→ A )＋(O→ C －O→ A )] 1 → 1 → 1 → ＝－2O A ＋2O B ＋2O C
(2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a· c＋b· c.
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第三章 空间向量与立体几何
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4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向 量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a· b＝2，则 a 与 b π 的夹角为 3 .
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∴〈A→ B ，C→ D 〉＝120° .代入⑤式得到 → |2＝12＋8cos 120° |AD ＝12－4＝8. → |＝2 2. ∴|AD 即 A、D 两点间的距离为 2 2.12 分
[题后感悟] 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化
为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向 量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知 向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ a· a求解即 可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
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如图，已知线段 AB⊥平面 α，BC⊂α， CD⊥BC，DF⊥平面 α，且∠DCF＝30° ，D 与 A 在 α 的同侧，若 AB＝BC＝CD＝2，求 A、D 两 点间的距离．
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→ ＋C → [规范作答] ∵A→ D ＝A→ B ＋BC D， ∴|A→ D |2＝A→ D· A→ D ＝(A→ B ＋B→ C ＋C → D )· (A→ B ＋B → C ＋C→ D) → |2 ＋ | CD → |2 ＋ 2 AB →· →· → ＋ 2 AB →· → ＝ |A → B |2 ＋ | BC B→ C ＋ 2 BC CD CD ①2 分 ∵AB＝BC＝CD＝2， → |＝|BC → |＝|CD → |＝2 ②4 分 ∴|AB 又∵AB⊥α，BC⊂α， ∴AB⊥BC. →· → ＝0 ③ ∴AB BC
＝ 6－1＋2－2＝ 5.
答案： A
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π 2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3， → ，B→ 则 cos〈OA C 〉的值为( 1 A. 2 1 C．－ 2 ) 2 B. 2 D．0
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第三章 空间向量与立体几何
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→ ＝O→ 解析： 因为 O→ A· BC A· (O→ C －O→ B) ＝O→ A· O→ C －O→ A· O→ B → ，O→ →〉 ＝|O→ A ||O→ C |cos〈OA C 〉－|O→ A ||O→ B |cos〈O→ A ，OB π → → → → 又因为〈O A ，O C 〉＝〈O A ，O B 〉＝ ， 3 |O→ B ＝|O→ C |，所以 O→ A· B→ C ＝0， → ⊥BC → ，所以 cos〈O→ 所以OA A ，B→ C 〉＝0.
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(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a· b＝0. 两个 向量 数量 积的 性质 (2)若 a 与 b 同向，则 a· b＝|a|· |b|； 若反向，则 a· b＝－|a|· |b|. 特别地：a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a. a· b (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|a|· |b|. (4)|a· b|≤|a|· |b|. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 应用 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.