空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标5
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2
空间向量的数量积运算(2课时)
空间中任意向量$vec{A}$可以由其起点$A$和终点$B$的坐 标确定，即$vec{A} = overrightarrow{AB}$。
向量$vec{A}$的坐标表示为$vec{A} = avec{i} + bvec{ j} + cvec{k}$，其中$a, b, c$为实数，$vec{i}, vec{ j}, vec{k}$分别 为沿$x, y, z$轴的正方向单位向量。
零向量的特殊处理
总结词
零向量与任何向量的数量积为0。
详细描述
零向量与任何非零向量的数量积都为0，这是因为数量积的定义中包含向量模的乘积，而零向量的模为0， 因此其数量积为0。
向量夹角与向量数量积的关系
总结词
向量夹角越小，数量积越大；夹角越大，数量积越小。
详细描述
向量数量积等于两个向量模的乘积与夹角的余弦值的乘积。因此，当夹角从0度增加到 180度时，余弦值从1减小到-1，导致数量积从正无穷大减小到负无穷小。
详细描述
结合律也是基本的数学运算规则之一， 在空间向量的数量积运算中同样适用。 这意味着向量的数量积运算满足结合 性质，即改变括号的位置或顺序不会 影响结果。
分配律
总结词
分配律是指空间向量的数量积运算满足分配律，即$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
向量数量积与向量模的关系
总结词
两个向量的模越接近，其数量积越大； 模相差越大，数量积越小。
VS
详细描述
向量数量积的大小不仅与夹角有关，还与 向量的模有关。当两个向量的夹角相同时 ，模越长的向量其数量积越大；当两个向 量的模相同时，夹角越小的向量其数量积 越大。
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
数学《空间向量的数量积运算》
向量在三维空间中的方向
总结词
向量方向对数量积运算结果具有重要影响。
详细描述
在三维空间中，两个向量的数量积不仅与它们的长度和夹角有关，还与它们之间的方向关系有关。如 果两个向量方向相同或相反，它们的数量积将有不同的结果。
04 空间向量数量积运算的应 用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过空间向量的数量积运算，可以方便地计算出力的合成与分解 结果，从而解决力学问题。
对未来研究的展望
• 展望：随着数学和物理学的发展，空间向量的数量积运算将继续发挥重要的作用。未来研究可以进一步探讨数量积运算的 性质和规律，例如探索数量积与其他向量运算之间的关系、数量积运算的几何意义等。此外，随着科技的发展，新的应用 领域将不断涌现，需要进一步拓展空间向量数量积运算的应用范围，例如在人工智能、数据分析和图像处理等领域的应用。 同时，随着数学教育的发展，如何更好地教授空间向量的数量积运算，提高学生对这一概念的理解和应用能力，也是未来 研究的一个重要方向。
速度和加速度的计算
在运动学中，空间向量的数量积运算可以用于计算速度和加速度， 帮助我们理解物体运动规律。
电磁学中的场强计算
在电磁学中，通过空间向量的数量积运算可以计算出电场强度和磁 场强度，进一步研究电磁场性质。
在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，空间 向量的数量积运算可以用于结构
分析，如计算应力和应变等。
数学《空间向量的数量积运算》
contents
目录
• 引言 • 空间向量的数量积运算性质 • 空间向量数量积运算的几何意义 • 空间向量数量积运算的应用 • 总结与展望
01 引言
空间向量的数量积运算的定义
定义
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）2023.08【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；二、空间两个向量的夹角．1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a = ，OB b = ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积
空间向量的数量积空间向量的数量积，又称为内积或点积，是向量分析中的重要概念。
它表示了两个向量之间的相似程度，并且在许多领域中都有广泛的应用。
本文将探讨空间向量的数量积的性质、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、定义和性质在三维空间中，设有两个向量A和B，它们的数量积定义为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示它们之间的夹角。
可以看出，数量积是一个标量，没有方向，只有大小。
数量积具有以下性质：1. A·B=B·A，即数量积的顺序不影响结果；2. A·A=|A|^2，即向量A与自身的数量积等于它的模长的平方；3. 若A·B=0，则A与B垂直。
二、计算方法根据定义，我们可以通过向量的坐标或分量来计算数量积。
设A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则有A·B=x1x2+y1y2+z1z2。
三、几何意义空间向量的数量积在几何中有重要的意义。
首先，两个非零向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
通过计算数量积，我们可以判断两个向量之间的夹角大小，进而判断它们的相似程度。
此外，数量积还可以用来计算向量的投影。
设A为原点O到点P的向量，B为另一向量，其数量积A·B表示向量A在B方向上的投影长度。
这个概念在物理学中有广泛的应用，例如计算物体沿斜面下滑时的加速度分量等。
四、物理应用数量积在物理学中的应用非常广泛。
以力学为例，根据牛顿第二定律，物体受到的力可以表示为F=mA，其中F为力，m为物体的质量，A为物体的加速度。
如果我们知道物体的初速度v0和终速度v，可以计算出加速度A=(v-v0)/t，其中t为时间。
然而，如果我们只知道物体在运动过程中所受到的力F以及物体的速度v，我们也可以通过数量积计算出它们之间的夹角θ，进而得到加速度A=|F|cosθ/m。
此外，在电磁学中，数量积也有重要的应用。
3.1.3 空间向量的数量积运算
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律
λ( a · b) (λa)· b＝______
b· a a· b＝____
a· b＋a· c a· (b＋c)＝________
分配律
知识点2：空间向量数量积的性质 a· b＝0 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔______ |a|· |b| ；若反向，则a· －|a|· |b| . ②若 a 与 b 同向，则 a · b ＝ b ＝ 两个向量 2 | a | 特别地，a· a＝ 或|a|＝ a· a 数量积的 a· b 性质 |a||b| ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
(1)空间向量的夹角
→ → ①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉. π ②范围：〈a，b〉∈ [0，π] .特别地：当〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b.
知识点1：空间向量数量积的概念 (2)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a· b. (3)数量积的运算律
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→ ∴|EF|＝ 2，∴EF 的长为 2.
1
2
3
4
5
课堂小结
空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向
量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离
相关的问题：
①求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的
问题；
②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角
的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；
空间向量的数量积运算
(1)三垂线定理及其逆定理中都出
现了四条线AB，AC，BC，l，
定理中所描述的是AC(斜线)、
已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，斜线,AO
是PA在平面α内的射影，l ,且l OA,求证 : l PA.
r
uuur uuur
证明：如图，在直线l上取向量a,同时取向量PO, OA.
因为l OA,所以a •OA 0. 因为PO ,且l ,所以l PO,
P
O
Al
α
a
因此a • PO 0
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是 (0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]
二、两个向量的数量积
注意： (1)两个向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值 为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余 弦值决定． (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过 的数的乘法是有区别的，因此我们书写向量的数量积时，只能 用符号a·b，而不能用a×b，也不能用ab．
证明：
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
空间向量的数量积
空间向量的数量积
空间向量的数量积或乘积是将两个空间向量进行乘法运算后得到的结果。
它由三个分
量组成：法矢量、转角及大小。
矢量乘积可以分为三种：点积，叉积和混合积（向量三元积）。
点积是将两个空间向量做内积运算后得到的结果，也称之为内积。
在数学上，点积是
向量的叉乘的一个特殊形式。
它的表达式为：a•b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a、b之
间的夹角，|a|和|b|分别为两个向量的模，若α也表示为空间向量，则用符号a⃗•α⃗
表示点积，此时可以将θ理解为α⃗与a⃗之间的夹角，结果可以以实数表示。
点积的
计算结果可以表示为内积，也可以表示为外积或叉积。
叉积是由两个不平行的空间向量构成的直角三角形，它的两边分别平行于向量a和b，而它的外边则与a、b之间的夹角等于90度。
它的表达式为：a x b＝|a||b|sinθ，这里
的θ表示的是向量a与b之间的夹角。
叉积的计算结果为模长，它表示了两个空间向量
的向量数量积。
如果两个空间向量的方向相同，则叉积的结果为0。
混合积，又称为向量三元积，是将三个空间向量做乘法运算后得到的结果。
它的表达
式为：a x b x c＝|a||b||c|sinαsinβsinγ，其中α、β、γ分别表示三个向量之间
的夹角。
向量三元积的结果表示三个空间向量的叉乘结果，可以表示为实数或向量。
这种
计算结果的绝对值可以用作体积的表示，在三维空间中，三个向量的叉乘结果绝对值等于
向量组成的四面体的表面积乘以其中较长的边长。
空间向量的数量积和向量积
空间向量的数量积和向量积空间向量是三维空间中的矢量，有数量积和向量积两种运算。
一、数量积数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个标量。
数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加。
设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的数量积表示为A·A。
计算公式如下：A·A = A1A1 + A2A2 + A3A3数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)，其中A为常数。
3. 分配律：A·(A + A) = A·A + A·A数量积可以用来计算向量之间的夹角和向量的投影。
夹角公式如下：cos A = A·A / (│A││A│)其中，A为A和A之间的夹角，│A│和│A│分别为向量A和A的模。
二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个新的向量。
向量积的计算方法是利用行列式，将原向量和单位向量按照一定的顺序排列成矩阵，然后计算该矩阵的行列式。
设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的向量积表示为A×A。
计算公式如下：A×A = (A2A3 - A3A2, A3A1 - A1A3, A1A2 - A2A1)向量积有以下几个重要性质：1. 反交换律：A×A = -A×A2. 分配律：A×(A + A) = A×A + A×A向量积的模可以表示为：│A×A│ = │A││A│sinA其中，A为A和A之间的夹角，│A×A│为向量积的模。
向量积可以用来计算以两个向量为邻边所构成的平行四边形的面积，并且垂直于这两个向量的方向。
空间向量的数量积运算
不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量． ①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向； θ＝π时，a与b反向．
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝 角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π. ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ
D．|a·b|≤|a||b|
[答案] D
[解析]
|a|·a是与 a共线的向量，a2是实数，故A不对；
(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错； (a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C错． |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
[点评] 由于内积满足分配律，故可象多项式乘以多 项式一样展开.
[例 2] 的夹角．
2 已知|a|＝2 2，|b|＝ ，a· b＝ 2，求 a 与 b 2
[解析]
2 2 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ |a|· |b| 2 2 2 2· 2
∵0° ≤〈a，b〉≤180° ∴〈a，b〉＝45° ，∴a 与 b 夹角的大小为 45° .
a⊥b.
2．空间两个非零向量a、b，a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 .
叫做向量a、b的数量积(或内积)． 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数， 空间两个向量的数量积也具有如下性质： (1)a⊥b⇔ a·b＝0 ；
(2)|a|2＝ a·a
；
空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(λa)·b＝ λ(a·b) ； (2)a·b＝ b·a (3)(a＋b)·c＝ ；(交换律) a·c＋b·c (分配律)．
空间向量的数量积运算
② a b a b 0 (垂直的判断);
a
b
a,b
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、 长度、角度等问题.
课堂练习
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
即 a b a b cosa,b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
)=9| a
|2-
4
b
2 中,真命题是(D)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
2.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0,b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p q)2
()
2
2
4) p q p q p q
( )
已知在平行六面体 ABCD ABCD 中， AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60 求对角线 AC 的长
3.1.3 空间向量的数量积运算
=13
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������ .
∴������������·(������������ + ������������ + ������������)=
1 3
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求 解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)������������ ·������������=|������������||������������|cos <������������, ������������>
例 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量������������1与������������的夹角 的大小.
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一
个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向
量的数量积定义a·b=|a||b|cos
<a,b>,求出cos
因 所为 以△向D量1A������C������1为与等���������边���的三夹角角形为,所π3.以∠D1AC=π3,即<������������1, ������������>=π3. (方法 2)设正方体的棱长为 1,
则������������1 ·������������=(������������ + ������������1)·(������������ + ������������)
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算引言在空间解析几何中，空间向量是一个常见的概念。
空间向量的数量积运算是一种常用的计算方法。
本文将详细介绍空间向量的数量积运算，并给出相应的数学公式和示例。
数量积的定义空间中的向量a和b的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为a·b。
数量积也被称为点积或内积。
两个向量a和b的数量积可以通过如下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a 和b的夹角。
数量积的性质数量积具有如下一些性质：交换律对于任意向量a和b，有a·b = b·a。
结合律对于任意向量a，b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律对于任意向量a，b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。
零向量的数量积对于任意向量a，有a·0 = 0。
平行向量的数量积对于任意平行的向量a和b，有a·b = |a| |b|。
数量积的几何意义数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。
具体来说，给定两个非零向量a和b，它们的数量积a·b的值是一个标量，它表示向量a在向量b方向上的投影，乘以向量b的模长。
数量积的计算方法计算两个向量的数量积可以使用向量的坐标表示方法。
假设向量a的坐标表示为(a1, a2, a3)，向量b的坐标表示为(b1, b2, b3)，则向量a和b的数量积可以计算为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3示例下面以一个具体的示例来说明空间向量的数量积运算。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为a(2, 3, 1)和b(4, -1, 2)。
首先计算向量a和向量b的模长：|a| = sqrt(2^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(14)|b| = sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(21)然后计算向量a和向量b的夹角的余弦值：cosθ = (2*4 + 3*(-1) + 1*2) / (sqrt(14) * sqrt (21)) ≈ 0.764最后计算向量a和向量b的数量积：a·b = sqrt(14) * sqrt(21) * 0.764 ≈ 9.101因此，向量a和向量b的数量积为9.101。
空间向量的数量积运算
1、空间向量的夹角：
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，
OB＝b，则∠AOB叫做向量 a，b的夹角，记作〈a , b〉。
A
B
a
b
ab
O
a,b a,b a,b a,b
2、空间向量的数量积：
已知两个非零向量 a，b，则 | a || b |cos〈a,b〉叫Байду номын сангаас a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ | a || b |cos〈a,b〉 。
a·b的几何意义：
a 的长度| a |与 b 在 a 方向上的投影| b | cos〈a,b〉的乘积。
特别的：
(1)a
a
|
a
||
a
|
cos
a,
a
|
a
|2
2
a
b
(2)a b ab 0(其中a,b是非零向量)
注：
b
性质①是求向量的长度（模）的依据； a
| b | cos a,b
性质②是证明两向量垂直的依据；
3、空间向量的数量积的运算律：
（1）结合律：(a) b (a b)
（2）交换律：a b b a
（3）分配律： a (b c) a b a b
Bc
C
b bc
lO
aA
D
E
| b c | cos b c,a ＝ | b | cos b,a | c | cos c,a
在垂直问题上的应用
• 例2、m，n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m， l⊥n，求证：l⊥α。
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[题后感悟]
π (1)两异面直线所成角的范围是 0，2，两个向
量的夹角范围是[0， π]， 利用向量数量积求异面直线所成的角时， 要注意角度的转化； (2)利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
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第三章 空间向量与立体几何
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1．如图所示，已知 E 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 C1D1 → 的中点，试求向量A→ 1C1与DE所成角的余弦值．
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2.如图所示， 在空间四边形 OABC 中， OA、 OB、 OC 两两成 60° 角， 且 OA＝OB＝OC＝2， E 为 OA 中点，F 为 BC 中点，求 E、F 间的距离．
1 → 1 → → → → → 解析： ∵E F ＝E A ＋A F ＝2O A ＋2(A B ＋AC) 1 → 1 → ＝2O A ＋2[(OB－O→ A )＋(O→ C －O→ A )] 1 → 1 → 1 → ＝－2O A ＋2O B ＋2O C
3．1.3
空间向量的数量积运算
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律． 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何
中一些简单的问题.
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第三章 空间向量与立体几何
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2．在△ABC 中， 〈A → B ，B→ C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向 量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3． 已知两个非零向量 a 与 b， 我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫 做a与b的
数量积 (或内积)，记作 a· b，
即 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ；
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1．空间向量的夹角
定义 已知两非零向量 a、b，在空 → ＝a， 间中任取一点 O， 作OA → ＝b，则 ∠AOB 叫做向 OB 量 a，b 的夹角 π 如果〈a，b〉＝ ，那么向量 a，b 互相垂直 ，记作 a⊥b . 2 图示 记法 范围
〈a，b〉 [0，π]
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1.空间向量的数量积运算．(重点)
2.利用空间向量的数量积求夹角பைடு நூலகம்距离．(难点)
3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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第三章 空间向量与立体几何
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1. 为了帮助四川地震灾区重建家 园， 某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件， 已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60° . 问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？
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1 → ＝(a＋b)· c＋ a ∴A→ DE 1C1· 2
1 2 1 1 2 1 2 ＝a· c＋b· c＋ a ＋ a· b＝ a ＝ m . 2 2 2 2 5 → → 又∵|A1C1|＝ 2m，|DE|＝ 2 m. → → A C · DE 1 1 → ∴cosA→ ＝ 1C1，DE＝ → → |A1C1|· |DE| 10 → → ∴A1C1与DE所成角的余弦值为 10 . 10 ＝ . 10 5 2m·2 m 1 2 2m
＝ 6－1＋2－2＝ 5.
答案： A
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π 2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3， → ，B→ 则 cos〈OA C 〉的值为( 1 A. 2 1 C．－ 2 ) 2 B. 2 D．0
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→ ＝O→ 解析： 因为 O→ A· BC A· (O→ C －O→ B) ＝O→ A· O→ C －O→ A· O→ B → ，O→ →〉 ＝|O→ A ||O→ C |cos〈OA C 〉－|O→ A ||O→ B |cos〈O→ A ，OB π → → → → 又因为〈O A ，O C 〉＝〈O A ，O B 〉＝ ， 3 |O→ B ＝|O→ C |，所以 O→ A· B→ C ＝0， → ⊥BC → ，所以 cos〈O→ 所以OA A ，B→ C 〉＝0.
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1 1 c－b 所以 O→ E· B→ F ＝2(a＋b)· 2
1 1 1 1 2 ＝4a· c＋4b· c－2a· b－2b 1 ＝－2. → 与BF → 所成的角为 θ， 设OE 1 －2 →· → OE BF 2 cos θ＝ ＝ ＝－ . 3 → → 3 3 |OE|· |BF| 2×2 2 ∴OE 与 BF 所成角的余弦值为3.
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1 1 1 1 1→ → 2 2 2 → → → → ∴ E F ＝ O A ＋ O B ＋ O C ＋ 2× －2 × OA · OB＋ 4 4 4 2
2
1 1 1 1→ → → → 2× －2 × O A · O C ＋2× × OB· OC 2 2 2
1 1 1 1 1 ＝4×4＋4×4＋4×4－2×2×2· cos 60° －2×2×2×cos 60° 1 ＋2×2×2· cos 60° ＝2 → |＝ 2. ∴EF＝|EF
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∵CD⊥BC， ∴C→ D· B→ C ＝0 ④ 6 分 → |2＝4＋4＋4＋2A→ 把②③④代入①可得|AD B· C→ D → |· → ，CD →〉 ＝12＋2|AB |C→ D |cos〈AB → ，C → ＝12＋8cos〈AB D 〉 ⑤8 分 由∠DCF＝30° ，从而∠CDF＝60° . 又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF. → ，D→ → ，D→ ∴〈AB C 〉＝〈DF C 〉＝60° .10 分
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(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a· b＝0. 两个 向量 数量 积的 性质 (2)若 a 与 b 同向，则 a· b＝|a|· |b|； 若反向，则 a· b＝－|a|· |b|. 特别地：a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a. a· b (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|a|· |b|. (4)|a· b|≤|a|· |b|. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 应用 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.
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1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60° ，其模都为 1，则|a－ b＋2c|＝( A. 5 C．6 ) B．5 D. 6
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解析：
因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60° ， 1 所以 a· b＝b· c＝a· c＝2， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a· b＋4a· c－4b· c ＝ 1 1 1 1＋1＋4－2× ＋4× －4× 2 2 2
(2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a· c＋b· c.
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4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向 量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a· b＝2，则 a 与 b π 的夹角为 3 .
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如图，已知线段 AB⊥平面 α，BC⊂α， CD⊥BC，DF⊥平面 α，且∠DCF＝30° ，D 与 A 在 α 的同侧，若 AB＝BC＝CD＝2，求 A、D 两 点间的距离．
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→ ＋C → [规范作答] ∵A→ D ＝A→ B ＋BC D， ∴|A→ D |2＝A→ D· A→ D ＝(A→ B ＋B→ C ＋C → D )· (A→ B ＋B → C ＋C→ D) → |2 ＋ | CD → |2 ＋ 2 AB →· →· → ＋ 2 AB →· → ＝ |A → B |2 ＋ | BC B→ C ＋ 2 BC CD CD ①2 分 ∵AB＝BC＝CD＝2， → |＝|BC → |＝|CD → |＝2 ②4 分 ∴|AB 又∵AB⊥α，BC⊂α， ∴AB⊥BC. →· → ＝0 ③ ∴AB BC
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2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫做a，
义 运
算 律
b的数量积，记作a· b.
数乘向量与向量 (λa)· b＝ λ(a·b) . .
数量积的结合律
交换律 分配律
a· b＝ b·a
a· (b＋c)＝ a·b＋a·c .
答案： D
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3． 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→ E· A→ F 等于________．
1 → 1→ → → → 解析： A E · A F ＝2(A B ＋A C )· 2AD 1 → → ＝4(A B · A D ＋A→ C· A→ D) 1 ＝4(a×acos 60° ＋a×acos 60° ) 1 2 ＝2a