高中数学必修五 全册教学课件 , PPT (全册 )

正弦定理的应用一：
已知两角和任意边，
求其他两边和一角
例 1.在△ABC 中，已知c = 10,
A
= 45。, C = 30。，解三角形 (精确到
0.01）. C
b
a
Ac
B
B 105o,A 10 2,B 5( 6 2)
.
例 2. 已知a=16， b=16 3， A=30° .
解三角形. 解：由正弦定理
剖析定理、加深理解
2.A+B+C=π 3.大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做解三角形。
剖析定理、加深理解
5.正弦定理的变形形式 6.正弦定理，可以用来判断三角形的形 状，其主要功能是实现三角形边角关系 的转化
2bc
2ac
2ab
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)在△ABC中，若a2<b2+c2，则△ABC是锐角三角形吗？ 提示：不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以 △ABC不一定是锐角三角形.
A.
3
B.
6
C. 或 2 D. 或 5
33
66
a
练习3.在△ABC中，cosB
b
cos A，则△ABC的形状是（
）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
1.1.2 余弦定理
【知识提炼】 余弦定理 1.文字表述 三角形中任何一边的平方等于___________________减 去这两边与它们的___________其__他__两的边两的倍平. 方的和
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C′
另证2:
A
c
b
ha
B Da
证明：∵
而
C ∴
同理
∴
剖析定理、加深理解
1.正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
夹角的余弦的积
2.公式表达
a2=_____________， b2+c2-2bccosA
b2=_____________， a2+c2-2accosB
c2=_____________. a2+b2-2abcosC
3.变形
cosA=_b_2___c2___a 2_；cosB=_a_2__c_2__b_2_；cosC=_a_2__b_2__c_2_.
百度文库
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C
得 sin B bsin A 16
3 sin30
3
a
16
2
16 3
16
16
A 30°
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形.
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
例：在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 求B和c。
，b＝2 2 ，A＝45°，
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
c
b
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得
A
c b
B 图2 C D
1 2
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理的应用
课后作业
P10 习题1.1A组 1， 2（1）（2）
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其他的边和角。（要注意可能有两解）
自我提高！
练习1、在△ABC中，若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c ＝( )
A.1:2:3
B.3:2:1
C.1: 3 :2
D.2: 3 :1
练习2.在△ ABC中，若 3 a=2bsinA，则B＝（ ）
[A=90°，C=60°，c= ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
无解
注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解
课堂小结
(1)正弦定理：
a sin A
b sin B
c sin C
=2R
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)
解：由正弦定理
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 30°
B
a
30 30
所以Ｂ=25.7°, 或Ｂ＝180°－25.7°=154.3°
由于154.3°+30°>180° 故B只有一解（如图） C=124.3°, c a sin C 49.57.
sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形.
1.1正正.1弦弦正定定弦理理定理
在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a，其余类似)的关系:
A
c
c
不难得到:
c b
C
B
a
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a B
若三角形是锐角三角形, 如图1,
A
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
解：由正弦定理
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 30°
B
a
30 30
∵a > b ∴ A > B , 三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.7°, C=124.3°,
c a sin C 49.57. sin A
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证1:
（R为△ABC外接圆半径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC′,连接AC′,
Q BAC 90,C C
c
sin C sin C c
2R
A
c 2R sin C
同理 a 2R, b 2R