量子力学-第十章 散射

严格地讲，应该在给定 U (r ) 后，解定态薛定谔方程求
(r ) ，再计算 q( ,) ，在U (r ) 未知的情况下，我们可以作一
般讨论。
取散射中心为坐标原点，用U (r ) 表示入射粒子与散射中心 间的相互作用能，则体系的薛定谔方程为：
2
2 U E 2
其中 E ， —入射粒子的能量和质量。

kAl' , l


' l

1 l
2
，所以有
Rl (r)

ul r
r
Al' r
s
in(k
r


' l
)

Al
sin(kr l
kr
/ 2 l )
。（2－7）
在 r 时，方程仍保留求和指标 l ，渐近解中的常数也加指
标是为了强调，虽然在 r 时粒子是自由运动，方程及解的形
i
e
1 l 2

0 Pl' (cos )Pl (cos )sind
l 0
＝
A ei
(

1 2
l

l
)
l
0
Pl '
(cos
)Pl
(cos
)
sind
，
l 0
(2l

1)i
l
i
e
l 2
2 2l 1

A ei
(
l

l 2

)
l
2 2l 1
，
（2－13）
则得 Al (2l 1)i l eil
一、薛定谔方程在 r 时的渐近解
具有能量为
E
的粒子在靶粒子的势场 U
(r )
中运动，U
(r )
只
与
r
的大小有关（奏力场的特点），其定态
Schrodinger
方程为
（6.1－7）
2 [k 2 V (r)] 0
（2－1）
Lˆ2 , Lˆz 与 Hˆ 可对易，在它们的共同本征态中，三者可同时具有确 定值。取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个 轴是旋转对称轴。
(
kr

1 2
l

l
)

则： (2l 1)il
l 0
1
[eikr
e
i
1 2
Hale Waihona Puke Baidul
2ikr

eikr ei
1 l 2
]Pl
(cos
)

f ( ) eikr
r
=
l 0
Al
[e e ikr
i
(

1 2
l

l
)
2ikr

e e ]P ikr
i
(

1 2
l

l
)
l
(cos ) ，
二.散射截面 1.散射中心：设靶粒子 A 的质量远大于入射粒子的质量，形成
所谓固定的散射中心，A 称为散射中心。
2.散射角：粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角为
，称为散射角。
单位时间内散射到面积元 dS 上的粒子数 dn dS ，而
dn
1 r2
，故 dn
dS r2

d ，即：单位时间内散射到 d 内的
e
i
(
1 2
l

l
)
Pl
(c
os
)
，
（2－12）
l 0
l 0
在（2－12）式两边乘以 Pl' (cos ) 并对 从 0 到 积分，且利用勒
让德多项式正交性

0 Pl (cos )Pl' (cos ) sind

2 2l

1
ll
'
得到：

(2l

1)i l
l 0
l 0
方程两边 eikr 和 eikr 前面的系数应分别相等，即有
i2kf ( )

(2l

1)i
l
e
i 1l 2
Pl
(cos
)
＝
Al
e
i
(

1 2
l

l
)
Pl
(c
os
)
，（2－11）
l 0
l 0

(2l

1)i
l
i
e
1 2
l
Pl
(c
os
)
＝
Al
U
(r )
（决定
了靶粒子的性质和结构）有关。通常总是对
U
(r )
作出假设，
解定态薛定谔方程求角分布，再与实验结果比较，从而了解
U
(r )
，并进而了解靶粒子的性质与结构。
2．弹性碰撞和非弹性碰撞 弹性碰撞：入射粒子与靶粒子只有动能交换，内部结构状态 并无变化（此时体系的机械能守恒，本书只讲此 种情况）。 非弹性碰撞：粒子内部状态有所改变（如原子的电离或激发， 核与粒子的激发），系统的机械能部分地变成粒 子的内能。

f
( , ) eikr
r
描写由散射中心向外传
播的散射粒子的球面波。因考虑的是弹性散射，故散射波的能
量不变，即波矢 k 的数值不变，可证（8）在 r 满足（7）。
f (, ) 为散射幅。
入射粒子的几率流密度（单位时间内通过垂直入射方向单 位面积的粒子数）：
Jz

i
2

1

1*
形象解释：在靶粒子处，垂直入射束有 q( ,) 大小的面积， 凡通过这个面积的粒子就应该散射到, 方向单位立体角
内；如又取 Q 大小的面积，则通过这个面积的粒子全部被散 射，靶粒子的作用相当于这样一个靶面，截面单位用“巴 （barn）”表示，1 巴＝1024 cm2 。
三.波函数在 r 处的渐进形式及其与 q( ,) 的关系
式应与§6.1 中的波函数相同，但在靶中心 A 附近时，粒子受到
U(r) 的作用，方程应与 l 有关，不同的 l 粒子对应不同的解，当
r 时它们的形式当然应当有所不同。A l , l 就具有这样的记忆 功能（尽管我们没有具体考察相互作用的影响，给定U (r) 后，求
解方程，就能得出 A l , l 的数值）。一般解 (r, ) 应包含各种 l 的
整理有：
[i2kf ( )

(2l

1)i
l
e
i
1 2
l
Pl
(cos )]eikr


(2l

1)i
l
i 1l
e2
Pl
(cos
)e ikr
l 0
l 0
=
Al
e
i
(

1 2
l

l
)
Pl
(c
os
)e
ikr

Al
e
i
(

1 2
l

l
)
Pl
(c
os
)e
ikr
（2－9）
其中 jl (kr) 是球贝塞尔函数，它与贝塞尔函数 J l1/ 2 (kr) 的关系以
及它的渐近形式是：
jl (kr)

2kr
J l1/ 2
(k r)
r
1 kr
s in(k r

l
/
2)
，
（2－10）
则把
e ik z
eikr cos

r (2l

v r2
f ( ,) 2 dS v f ( , 2 d N
f ( , 2 d （9）
与 q( ,) 的定义（1）式比较得 q(,) f (,) 2 ，即微分散射截
面等于散射振幅绝对值的平方。
总之，在具体问题中，如能求解得 (r ) 解，并得到在 r 处的渐近形式，即求得 f ( ,) ，可得 q( , ) 和 Q 。散射理论的 任务就是在给定 E 和U (r ) 后求 q 和 Q 。
代入（2－11）式并利用 il
Nd
向单位立体角内的几率，其量纲为： [dn]

1 T
，[N]

1 L2T
，
[q]

[
dn Nd
]

T 1 [T 1L2
]

L2
，所以
q(
,
)
有面积量纲，故称为
微分散射界面。
5.总散射界面：Q
q( ,)d

d
2
sindq( ,)
0
0
（2）
表示粒子被散射到各个方向几率的总和，称为总散射截面。
粒子数 dn 应与 d 成正比，还与入射粒子流强度（密度）N
成正比。
3.定义 N：在垂直入射粒子流前进的方向取一单位面积 S0 ，单 位时间内穿过 S0 的粒子数就是入射粒子流强度 N。
即： dn q(,)Nd ， q( ,) 是一个比例系数。 （1）
4.微分散射截面：q( ,) dn 是一个入射粒子散射到 , 方
（3）
令
k2 2E p2
2
2
v p k

V
(r
)

2
2
U
(r
)
（4） （5） （6）
则 2 k2 V (r ) 0
（7）
因为在散射研究中总是在远离散射中心处观测散射粒子，
所以我们主要关心在 r 处 (r ) 的行为。设当 r 时
U (r ) 要比 1 更快 0 ，即 r 时，粒子与散射中心相互作 r
Rl (r) 满足径向方程
1 r2
d (r 2 dr
dRl ) [k 2 dr

V
(r)

l(l r2
1)
]Rl
(r)

0
，
（2－3）
其中 k 2

2E
2
，V (r)

2
2
U (r) 。
（2－4）
令
Rl
(r)

ul (r) r
，则（2－3）化为
d
2ul (r) dr 2
[k 2

f ( , ) eikr
r
，因体系的
波函数与 无关，即

r eikz

f
( ) eikr
r
，
（*）
把（2－8）式写成上式的形式并进行比较就可求得到 f ( ) 。
利用数学知识将平面波 eikz 按球面波展开（公式见梁昆淼
P410）

eikz eikr cos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) ， l 0
目的是求 Al , f ( ) 。
利用公式 sin (ei ei ) / 2i ，即
sin(kr 1 l )
1
i(kr 1 l )
[e 2

e
i
(k
r
1 2
l
)
]
，
2
2i
sin(kr
1 l
2
l )

1 [ei
(
kr
1 2
l

l
)
2i
， e ] i
解（相当入射束中有各种角动量值的粒子），把（2－7）代入（2
－2）得渐近形式为
(r, ) r l0
Al kr
s
in(k
r


l
l / 2)Pl (cos ) ，
（2－8）
叠加系数包含在 Al 中。
二、与渐近解的一般形式比较求 f ( )
在§6.1
中我们得到

r eikz
z
轴。则（2－
1）的一般解可写为
(r, ) Rl (r)Pl ( ) ，
l
（2－2）
展开式中每一项称为一个分波，即 Rl (r)Pl ( ) 为第 l 个分波，每 个 分 波 都 是 方 程 （ 2 － 1 ） 式 的 解 ， l 0,1,2, 分 波 分 别 称
s, p, d,分波。
z

* 1
1
z


i
2
eikz (ik )eikz
eikzikeikz

k 11
k
(5)
v

N
，
2

几率流密度=入射粒子流密度，这是因为每单位体积内只有一 个粒子。
散射粒子的几率流密度：
Jr

i
2
2


* 2
r

* 2
2
r
l 0
1)il
1 sin(kr l
kr
/ 2)Pl (cos )
代入（*）式并令它与（2－8）相等得：

(2l 1)il
l0
1 kr
s in(k r

l
/
2)Pl
(cos
)

f ( ) eikr
r
＝
l 0
Al kr
sin(kr l
l
/ 2)Pl (cos )

i
2
f
(
,
)
2

ikr

1

ikr

1
1 r3

2k
2r2
f ( ,) 2 k
f ( ,) 2
r2

v r2
f ( ,) 2
又是散射波的粒子流密度，它表示单位时间内穿过垂直 径向的单位球面面积粒子数，所以单位时间穿过球面积 dS 的 粒子数是：
dn

J r dS
V (r)

l(l 1) r 2 ]ul
(r)

0
，
（2－5）
当 r 时，上式的渐近形式为（因为U(r) 未知，做一般讨论，
但知U (r) r 0 ）
d
2ul dr
(r
2
)

k
2ul
(r)

0
，其解为
ul
(r)

Al'
s in(k r


' l
)
。（2－6）
为讨论方便我们引入 Al
用趋于零。则波函数 (r ) 在 r 时的渐近形式为：

r 1
2

eikz

f
( ,) eikr
r
（8）
其中1 eikz 为入射粒子的平面单色波，这个形式用的是单位
体积的( L 1)箱归一化（ 2 1），它描写的入射束是每单位
体积内只有一个粒子。 2
第十章 散射
一、散射和碰撞（碰撞过程） 1. 碰撞过程： 一粒子向着另一个粒子入射，经过相互作用（非
接触力）又向远方离去的过程。
散射：一般来说，经碰撞后，粒子偏离了原来入射方向，连
续不断射来的粒子向不同方向散射出去。
在散射过程中，入射粒子的能量是已知的，由实验者控
制，散射后粒子的角分布与粒子间的相互作用
在 §3.3 讨 论 过 该 方 程 ， 方 程 的 一 般 解 为 ：
(r, , ) Rl (r)Ylm ( , ) （没有 n ，因为 E 已知且连续），因
lm
为势场与 , 无关，且入射粒子束与 无关，故波函数与 无
关。即 Lz
(r
p) z
0 ，即 m 0 ，角动量垂直