量子力学-第十章 散射
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（12；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
《大学基础物理学》农科用教材自作ppt课件-10量子力学基础2
第十章 量子力学基础(Quantum mechanics)
当前量子力学的重要应用
海 纳 百 川
量子生物学 量子生命科学 量子神经网络 量子化学 量子材料科学 量子信息科学 量子计算机科学 BEC器件、原子器件
大
目前，它正在向材料科学、化学、生物 学、信息科学、计算机科学大规模渗透。 预计不久的将来它将会成为： 整个近代科 学共同的理论基础
致 远
海 南 大 学
第十章 量子力学基础(Quantum mechanics)
测量黑体辐射出射度实验装置
海 纳
大 道
小孔
百 川
T
空腔
s
L1
平行光管
L2 会聚透镜
致
c
棱镜 热电偶
海 南 大 学
远
二、热辐射的基本定律 第十章 量子力学基础(Quantum mechanics)
黑体辐射的实验曲线
M (T ) /(1014 W m3 )
例1 （1）温度为室温 (20 C)的黑体，其单色辐 出度的峰值所对应的波长是多少？（2）若使一黑体 单色辐出度的峰值所对应的波长在红色谱线范围内， 海 其温度应为多少？（3）以上两辐出度之比为多少？ 纳 解 （1）由维恩位移定律
大 道
论.
五 了解德布罗意假设及电子衍射实验. 了解实 纳 物粒子的波粒二象性. 理解描述物质波动性的物理量 （波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、能 百 量）之间的关系.
川
致 远
六
了解一维坐标动量不确定关系 .
七 了解波函数及其统计解释 . 了解一维定态的 薛定谔方程， 以及量子力学中用薛定谔方程处理一 维无限深势阱等微观物理问题的方法 .
施罗德散射体的频率计算
施罗德散射体的频率计算
施罗德散射体（Schrödinger Scatterer）通常指的是在量子力学中描述散射现象的模型。
散射是粒子（例如电子、光子或其他粒子）在与物质相互作用时改变其方向的过程。
施罗德散射体是一个理论模型，用于研究这些散射现象。
在施罗德散射体中，散射的频率或概率通常取决于几个关键因素，包括入射粒子的能量、散射体的性质（如大小、形状和内部势场），以及散射体与目标粒子之间的相互作用。
频率计算通常涉及量子力学的散射理论，特别是使用施罗德方程（Schrödinger Equation）来描述粒子行为。
施罗德方程是一个描述粒子如何随时间演化的偏微分方程。
在散射问题中，这个方程通常用于求解散射态和相应的散射振幅。
散射频率可以通过散射振幅计算得出，散射振幅是入射波和出射波之间的比例系数。
散射振幅可以通过求解施罗德方程的散射态得到，这通常涉及到复杂的数学和物理计算。
为了具体计算施罗德散射体的散射频率，需要知道散射体的具体性质（如势函数）以及入射粒子的能量和动量。
然后，可以使用量子力学中的散射理论和方法来求解施罗德方程，得到散射振幅和相应的散射概率或频率。
请注意，这里提供的信息是一种概括性的描述，并不包含具体的数学细节或计算步骤。
实际的频率计算需要更深入的专业知识和具体的物理模型。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-微扰论(圣才出品)
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其中 与 ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合 项 表示耦合的强度，设 比较小，把 H 中的
看成微扰，而 取为
它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为
令
则能量表示式可改为
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二、散射态微扰论 1．散射态的描述 （1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义
图 10.1 设一束粒子以稳定的入射流密度 （单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶 粒子的作用，设在单位时间内有 个粒子沿 方‘向的立体角 中出射．显然，
即
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（3）必然有 个实根，记为
.这一系列值即一级修正能量，它相应的
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准确到一级微扰修正的能量为
.
（根 代人方程（36），即可求得相应的解，记为
于
是得出新的零级波函数
如 个根 无重根，则原来的 重简并能级 将完全解除简并，分裂为 条．但如 有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相 应的零级波函数仍是不确定的．
由式（6）可以看出，对于 情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?） 以 N=1 为例，能级为二重简并，能量本征值为
相应的本征函数为 记
与
（或者它们的线性叠加）．为表示方便，
并选 与 为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰 W= 元如下：
的矩阵
可得出能量的一级修正为
电磁波的散射和散射波理论
电磁波的散射和散射波理论电磁波的散射是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到光学、电磁学、量子力学等多个学科的知识。
本文将从理论的角度来介绍电磁波的散射和散射波理论。
首先，我们来了解一下电磁波的散射现象。
当一束电磁波遇到物体时，部分波的能量会被物体吸收，而剩下的波则会被物体散射出去。
这个过程可以简单理解为光线在物体表面的反射，但实际上，散射是一个更加复杂的现象。
散射波理论是研究散射现象的一种理论框架。
根据这个理论，散射波的强度可以用散射截面来描述。
所谓散射截面，是指单位面积内被散射波所占据的空间。
通过计算散射截面，我们可以得到散射波的强度分布和散射强度。
要计算散射截面，我们需要考虑一些因素，比如物体的形状、大小、电磁波的频率和入射角度等。
这些因素的变化都会影响到散射截面的大小和形状。
一种经典的散射波理论是Mie散射理论。
该理论适用于球形物体散射的情况。
根据Mie散射理论，当电磁波的波长和物体大小相当时，散射截面的大小和形状会发生显著变化。
此时，我们可以观察到一些有趣的现象，比如物体呈现出不同颜色的光晕。
除了球形物体的散射，还有其他形状的物体，比如棱柱、棱台等，它们的散射现象也可以用不同的理论来解释。
当物体的形状变得复杂时，散射的计算变得更加困难，需要借助数值计算和模拟来进行。
近年来，随着计算机技术的快速发展，数值模拟方法在散射波理论中得到了广泛应用。
通过建立散射波的数值模型，我们可以模拟不同条件下的散射强度和散射截面，从而更好地理解和解释实验结果。
此外，散射波的理论研究还延伸到了量子力学领域。
在量子力学中，散射波是指粒子在势能场中的散射现象。
根据量子力学的原理，我们可以通过波函数来描述散射波的行为，计算出不同能量下的散射截面和强度分布。
总结起来，电磁波的散射是一个复杂而有趣的现象，需要借助散射波理论来解释和理解。
不同形状的物体的散射现象可以用不同的理论方法来描述，并通过数值模拟和量子力学计算得到更加精确的结果。
散射理论[1]
![散射理论[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/3f86de31b90d6c85ec3ac69d.png)
Q q( )2 sin d 2bdb b 2
0 0
b
在量子力学中，确定在远离散射区粒子的波函数，即 只有通过解定态薛定谔方程才能得到散射截面。 方法不同，计算的结果也有差异。
3、散射截面的求解（重点） 2 2 取散射中心为坐标原点， 2 U (r ) E 是入射粒子质量，E是它的能量，令
2 dn L3 U (r )e
3
i ( k k ) r
dr
2
L3 k d 3 2 8
2
k vL U ( r )e 2 4 v
i ( k k ) r
dr d
该式与 dn vL3q( , )d 比较得：
0 0
2
q(θ, φ)决定于散射过程的物理机制，它与入射粒子 和散射中心的性质及其相互作用、相对能量相关联。研究 散射截面的意义正在于此。
2、经典与量子散射的差异 在经典散射中，用轨道进行计算： 立体角dΩ=sin θd θd φ 内的粒子必为入射环面 b|db | d φ 所通过的入射粒子 q(θ） sin θ=b|db | /d θ
k
2 1
4 k2
(2 1)sin
2
Q
其中
4 Q 2 (2 1) sin 2 k
是第 分波的散射截面。
2、分波法的适用范围 用分波法求散射截面归结为计算相移。 分波法是解决散射问题的普遍方法，但由于要求许多 相移 ,使得实际应用受到很大限制。 从准经典轨道角动量L=pr考虑
j (kr)是球面贝塞尔函数： (kr) j
2kr J
《量子〉自学辅导之十散射(2024)
Chapter
2024/1/29
23
材料科学中散射技术应用
晶体结构分析
通过X射线或中子散射技术，可以 研究晶体材料的内部结构，如原 子排列、晶格常数等，为材料设 计和性能优化提供重要依据。
2024/1/29
薄膜材料研究
利用散射技术可以分析薄膜材料的 厚度、粗糙度、成分等信息，有助 于了解薄膜的生长机制和性能特点 。
27
放射治疗
利用中子散射技术，可以精确地定位肿瘤位置并对其进行放射治疗，提高治疗效果并减 少副作用。
2024/1/29
药物研发
散射技术可用于研究药物与生物大分子（如蛋白质、DNA等）的相互作用，为药物设 计和优化提供重要信息。
25
其他领域应用前景展望
环境科学
散射技术可用于大气、水体等环境样品的分析，了解污染物的分布 、迁移和转化规律，为环境保护和治理提供科学依据。
6
02
粒子间相互作用与散射截面
Chapter
2024/1/29
7
粒子间相互作用类型
存在于原子核内的核子（质子和 中子）之间的相互作用力，属于 短程力，作用范围在原子核尺度 内。
存在于夸克之间的一种相互作用 力，是四种基本相互作用中最强 的一种。
2024/1/29
库仑相互作用 核力相互作用 弱相互作用 强相互作用
分波法的应用
在原子物理、核物理和分子物理等领域中广泛应用，如电子-原子、中子-原子核、分子分子等散射问题的研究。
21
其他近似方法简介
2024/1/29
畸变波恩近似（DWBA）
在波恩近似的基础上，考虑入射粒子和靶粒子之间的相互作用对波函数的影响，从而得到更精确的散射结果 。该方法适用于处理弱相互作用体系。
康普顿散射现象
康普顿散射现象康普顿散射现象是物理学中的一个重要现象，它是指入射光子与物质原子相互作用时，光子的能量部分转移给原子中的自由电子，导致光子的散射。
康普顿散射现象最早是由美国物理学家康普顿在20世纪20年代发现的。
他利用X射线对物质进行研究时，发现X射线的散射角度与入射角度不同，而且散射光子的能量也有所改变。
通过对散射光子的能量和角度的测量，康普顿成功地解释了这一现象。
他提出了一个简单的公式来描述康普顿散射的能量转移，这个公式成为了现代物理学中的基本公式之一。
康普顿散射的机制非常复杂，它涉及到光子与原子中的自由电子发生相互作用的过程。
当一个光子进入物质时，它会与物质中的原子相互作用。
光子的电磁波场会激发原子中的自由电子，导致电子发生振动。
这个过程会导致光子的能量部分转移给电子，使得光子的波长增加，频率降低。
最终，散射光子的能量和波长会与入射光子不同。
康普顿散射现象在物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究物质的结构和组成，也可以用来测量物质的密度和厚度。
康普顿散射还可以用来研究宇宙射线和天体物理学中的一些问题。
此外，康普顿散射还被用于医学影像学中，例如X射线断层扫描（CT）和正电子发射断层扫描（PET）等技术中。
康普顿散射现象的研究也带来了一些重要的物理学理论。
例如，康普顿散射的能量转移过程是量子力学中的重要问题之一。
量子力学中的康普顿效应理论可以用来描述光子与物质相互作用的量子力学过程。
此外，康普顿散射现象也与相对论物理学有关。
康普顿效应的解释需要引入相对论量子力学的概念，例如质量能量关系和动量守恒等。
总之，康普顿散射现象是物理学中的一个重要现象，它不仅带来了重要的物理学理论，还有着广泛的应用价值。
未来，随着科学技术的不断发展，康普顿散射现象的研究将会更加深入，为我们认识世界带来更多的启示。
中科大量子力学--散射
6
二、散射振幅
Chapter.6 .Scattering
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设 靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰 撞过程中，靶粒子可视为静止。
取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的 定态Schrödinger方程
2 2 U (r) E 2
射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度
N v 给定，只要知道了散射振幅 f (,)，也就能 求出微分散射截面。 f (,) 的具体形式通过求 Schrödinger方程（5）的解并要求在 r 时 具有渐近形式（9）而得出。
下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方 法：分波法，玻恩近似方法。
内。 q( ,)N dn
d
（2）
5
一 散射截面 (续4)
总散射截面：
Chapter.6 .Scattering
2
Q q(,)d 0 0 q(,)sindd
[注]
由（2）式知，由于N、dn d 可通过实
验测定，故而求得 q( ,)
。
量子力学的任务是从理论上计算出q( ,) ，
21
三、分波法 (续7)
Chapter.6 .Scattering
即
Al
(2l 1)ileil
(2l
i(
1)e
1 l 2
l
)
（3-13）
将此结果代入（3-11）式
(2l 1)ei2l Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)Pl (cos )
三、分波法 (续6)
Chapter.6 .Scattering
《量子散射理论》ppt课件
弹性散射的严厉解
• 经过围道积分与留数定理给出：
• 代回
• 上面过程也可以作如下等效计算： • 将两个极点添加一个小的虚部，其中为大于0的小数，那么
当时
• 给出与上面一样的，但益处是可以直接作围道积分。 • 进一步写出自在Green函数的算符方式： • 这是一个Green函数的普遍定. 义式，假设回到我们上面的问
与之间满足Dyson方程： 对于我们这里研讨的问题，为以下非齐次方程的解
它的算符方式为
.
弹性散射的严厉解
Lippmann-Schwinger方程：
而由 ，可以推出 或者记为： 。此之谓Dyson方程。 反复选代之，可以得到：
.
BORN近似
对于散射问题，除了个别特殊的势〔如方势阱、库仑势〕外， 我们无法得到准确的解析方式的解，需求借助于各种近似方 法，如Born近似、分波法等。 假设用逐级选代法求解L-S方程： 可以得到的各级近似解如下：
• 在振幅一项中，共包含和这个动量，除始末两个动量之外， 其他个内动量都要积分。
• 由此可见，介于两次散射之间的中间态是“虚态〞，虚态 粒子运动的能量与原始能量相差可以很大，相应地存在时 间极短，符合测不准关系，最后末态能量坚持与初态相等， 这是我们在质心系讨论弹性散射时应该有的结果。
• 下面用一实例演示Born近似下实践问题的处置过程。
.
分波展开和相移
.
分波展开和相移
• 我们还可以引进两个互为复共扼的球Hankel函数：
• 它们与因子乘在一同后分别描写V=0情况下的球面出射波 和〔会聚〕入射波，然而的无奇特性要求限定它们只能以 确定的线性组合方式出现，就是叠加起来得到。假设我们 利用平面波展开式
• 其中是阶Legendre多项式，上式还取定了沿轴方向，假设 放开这一条件，设沿单位矢量方向，那么平面波展开式应 该是如下的方式〔Rayleigh展开式〕
量子力学(第十章微扰论)
(0)
(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)
ˆ E 1 (1) H
利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来 计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解 令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2
(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)
(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率 考虑各向同性电介质在外电场作用下的极 化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。 设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为
量子力学作业习题
第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
量子力学中科大课件Q10讲稿第十章势散射理论
第十章势散射理论§10.1 一般描述1, 散射(碰撞)实验的意义与分类散射(碰撞)实验是指具有一定动量的入射粒子束流，射向处于气、液、固体形态的靶粒子上，和靶粒子相互作用(电-弱作用或强作用)之后，入射粒子、靶粒子或新生出的粒子由相互作用的局限区域散射飞出。
除入射粒子的流强和能量之外，散射实验主要测量出射粒子的种类、能量、角分布(微分截面)、极化状态、角关联等等。
在实验和理论计算中，可以近似认为入射粒子束流是单色平面波, 而(不一定和入射粒子同类的)出射粒子束流是(渐近自由的)出射球面波，入射粒子和靶粒子的相互作用导致入射和出射粒子不同状态之间的跃迁。
各种类型的跃迁可以在设定相互作用之后由散射理论来计算。
理论计算的结果可以直接经受实验的检验，因此散射(碰撞)实验在对微观粒子相互作用以与它们内部结构的研究中处于一种特殊的地位，它们是原子物理、核物理的重要研究手段，是粒子物理几乎唯一的研究手段。
散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类：弹性散射过程A B A B+→+非弹性散射过程*+→+(*A——粒子A的某种内部激发态)A B A B碰撞反应过程A B C D+→+（+ ┄）▲“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（A、B粒子总动能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒；▲“非弹性散射”。
存在机械能与粒子内能之间的转化。
比如，电子在原子上的散射造成靶原子内部状态的激发（或退激发）； ▲“碰撞过程”。
这是纯粹由于入射复合粒子A 、B 之间的组分粒子交换导致新复合粒子C 、D 出射，即（重新）组合反应。
它们属于一般的形式散射理论处理的范围。
比如，电子使靶原子电离放出束缚电子，或是各种原子核反应。
这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭，只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。
▲“反应过程”。
这时出现新旧粒子的产生和湮灭，从而也造成出射粒子C 、D 不同于入射粒子A 、B 。
大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础
第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。
· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。
· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。
2． 维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。
3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。
对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。
4． 黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。
黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。
· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。
· 一个光子具有的能量为νh E =。
5． 粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。
与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。
· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。
其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。
束缚态和散射态
)()(x x V γδ-=束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中E <V 0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。
散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。
对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。
实际上二者有极其密切的联系。
下面将予以讨论2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有)()(x x V γδ-=，)0(>γ见右图。
在0≠x 处，0)(=x V 。
0>∴E 为游离态（自由态），E 可取任何连续值。
0<E 时则可能存在束缚态，此时E 取分立值。
以下讨论0<E 的情况。
定态Schrodinger 方程为，0)]([2d d 222=++ψγδψx E mx 积分⎰-→+εεεx d lim 0可得出δ势阱跃变条件， )0(2)0(')0('2ψγψψ m -=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψm =--+在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为0)(''2=-ψβψx其中02>-=mEβ，)0(<E解为xe β±，可写为x xBe Aeββ-+，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。
考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维）， (a)偶宇称态⎩⎨⎧<>=-0)(x cex ce x xxββψ 或写成||)(x ce x βψ-=c 为归一化因子。
现在根据跃变条件求解。
按'ψ的跃变条件，c m c c ⋅-=--2/2 γββ2/ γβm =∴因此可得出粒子能量的本征值2222022γβm m E E -=-==由归一化条件⎰∞∞-==1/||d ||22βψc x ，可得出L m c /1/2===γβ，γm L /2 =是势的特征长度。
Scattering theory 量子力学 散射 课件
k i
k i q
As r>0, the integral has to upper contour to be converged
G0
r,
Ek
i0
m
2 h2
eikr r
Physical meaning: A wavepacket propagating outward. The denominator r takes into account the increasing size of the wave front with the radius r.
Page 2
Physical meaning of Green’s function
The propagation of the particle
G0 r,t i t r eiKtt 0
Expanding by the eigen states:
G0
r,t
i
t
1 L3
eiEkt t ik r
2009-10
PHY5410 Quantum Mechanics II/ Scattering theory II
Page 3
The summation over the eigen modes can be made as an integral
G0
r,
Ek
i0
1 L3
q
Ek
eiqr i0 Eq
k
The Fourier transformation is
G0 r, i0
G0
r, t
eit dt
1 L3
k
eikr
i0 Ek
The infinitesimal imaginary number is introduced to account for the causality: The scattered wave is determined only by the particles incoming in the past but the incoming particles in the future do not contribute.
量子力学-束缚态和散射态概念比较汇总
)()(x x V γδ-=束缚态和散射态量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态束缚态：在势阱中E <V 0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。
散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。
对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。
实际上二者有极其密切的联系。
下面将予以讨论2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有)()(x x V γδ-=，)0(>γ见右图。
在0≠x 处，0)(=x V 。
0>∴E 为游离态（自由态），E可取任何连续值。
0<E 时则可能存在束缚态，此时E取分立值。
以下讨论0<E 的情况。
定态Schrodinger 方程为，0)]([2d d 222=++ψγδψx E mx积分⎰-→+εεεx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件，)0(2)0(')0('2ψγψψ m -=--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγψψm =--+在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为0)(''2=-ψβψx其中02>-=mEβ，)0(<E 解为x e β±，可写为x x Be Ae ββ-+，利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。
考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），(a)偶宇称态⎩⎨⎧<>=-0)(x cex ce x xxββψ 或写成||)(x ce x βψ-=c 为归一化因子。
现在根据跃变条件求解。
按'ψ的跃变条件，c m c c ⋅-=--2/2 γββ2/ γβm =∴因此可得出粒子能量的本征值2222022γβm m E E -=-==由归一化条件⎰∞∞-==1/||d ||22βψc x ，可得出L m c /1/2=== γβ，γm L /2 =是势的特征长度。
散射讲义
计算一个相移0 即足够了，而ka足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波
法适用于低能散射，l>ka的分波散射截面可以略去。
说明：已知U(r)时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及 基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道U(r)的具体形式，这时， 我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性 质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。
l0
sin l
0 Pl (cos )Pl (cos )sind
2 k2
l0
(2l 1)(2l 1)ei(l l ) sin l
l0
sin l
2l
2
1
ll
4 k2
(2l 1) sin 2 l
l0
Q Ql
l 0
Ql
4
k2
(2l
1) sin 2 l
（3-16） （3-17）
(r, )r
l0
Al kr
sin kr
1 2
l
l
Pl
(cos
)
l0
A [e l
i
(
kr
1 2
l
l
)
2ikr
e
i
(
k
r
1 2
l
l
)
]Pl
(cos
)
（3-6）
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
(r, )r eikz f ( ) eikr r
（3-7）
将平面波 eikz 按球面波展开 eikz eikrcos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) l0
不是散射波，应略去。
第十章 微扰理论
乘开得： 乘开得：
( ( ( ( ( ( = ( E n 0 ) + λ E n1 ) + λ 2 E n 2 ) + )(| ψ n 0 ) > + λ | ψ n1 ) > + λ 2 | ψ n 2 ) > + )
( ( ( H(0) |ψn0) > + En0) |ψn0) > + ( ( ( ( ( ( λ [H(0) |ψn1) > +H(1) |ψn0) >] + λ [En0) |ψn1) > +En1) |ψn0) >] + 2 2 ( ( ( ( ( ( ( ( [H(0) |ψn2) > +H(1) |ψn1) >] + = λ [En0) |ψn2) > +En1) |ψn1) > +En2) |ψn0) >] + λ 3 [ + λ3 [ ] + ] λ
证：
基于|ψ 的归一化条件并考虑上面的展开式， 基于|ψn > 的归一化条件并考虑上面的展开式，
( ( ( ( 1 =<ψn |ψn > = [<ψn0) | +λ <ψn1) |] [|ψn0) > +λ |ψn1) >]
( ( ( ( ( ( ( ( =<ψ n0) |ψn0) > +λ <ψn0) |ψn1) > +λ <ψn1) |ψ n0) > +λ2 <ψ n1) |ψn1) >
= 1 + λ∑ [a
k =1
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e
i
(
1 2
l
l
)
Pl
(c
os
)
，
（2－12）
l 0
l 0
在（2－12）式两边乘以 Pl' (cos ) 并对 从 0 到 积分，且利用勒
让德多项式正交性
0 Pl (cos )Pl' (cos ) sind
2 2l
1
ll
'
得到：
(2l
1)i l
目的是求 Al , f ( ) 。
利用公式 sin (ei ei ) / 2i ，即
sin(kr 1 l )
1
i(kr 1 l )
[e 2
e
i
(k
r
1 2
l
)
]
，
2
2i
sin(kr
1 l
2
l )
1 [ei
(
kr
1 2
l
l
)
2i
， e ] i
粒子数 dn 应与 d 成正比，还与入射粒子流强度（密度）N
成正比。
3.定义 N：在垂直入射粒子流前进的方向取一单位面积 S0 ，单 位时间内穿过 S0 的粒子数就是入射粒子流强度 N。
即： dn q(,)Nd ， q( ,) 是一个比例系数。 （1）
4.微分散射截面：q( ,) dn 是一个入射粒子散射到 , 方
f ( , ) eikr
r
，因体系的
波函数与 无关，即
r eikz
f
( ) eikr
r
，
（*）
把（2－8）式写成上式的形式并进行比较就可求得到 f ( ) 。
利用数学知识将平面波 eikz 按球面波展开（公式见梁昆淼
P410）
eikz eikr cos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) ， l 0
（2－9）
其中 jl (kr) 是球贝塞尔函数，它与贝塞尔函数 J l1/ 2 (kr) 的关系以
及它的渐近形式是：
jl (kr)
2kr
J l1/ 2
(k r)
r
1 kr
s in(k r
l
/
2)
，
（2－10）
则把
e ik z
eikr cos
r (2l
z
* 1
1
z
i
2
eikz (ik )eikz
eikzikeikz
k 11
k
(5)
v
N
，
2
几率流密度=入射粒子流密度，这是因为每单位体积内只有一 个粒子。
散射粒子的几率流密度：
Jr
i
2
2
* 2
r
* 2
2
r
代入（2－11）式并利用 il
l 0
l 0
方程两边 eikr 和 eikr 前面的系数应分别相等，即有
i2kf ( )
(2l
1)i
l
e
i 1l 2
Pl
(cos
)
＝
Al
e
i
(
1 2
l
l
)
Pl
(c
os
)
，（2－11）
l 0
l 0
(2l
1)i
l
i
e
1 2
l
Pl
(c
os
)
＝
Al
用趋于零。则波函数 (r ) 在 r 时的渐近形式为：
r 1
2
eikz
f
( ,) eikr
r
（8）
其中1 eikz 为入射粒子的平面单色波，这个形式用的是单位
体积的( L 1)箱归一化（ 2 1），它描写的入射束是每单位
体积内只有一个粒子。 2
在 §3.3 讨 论 过 该 方 程 ， 方 程 的 一 般 解 为 ：
(r, , ) Rl (r)Ylm ( , ) （没有 n ，因为 E 已知且连续），因
lm
为势场与 , 无关，且入射粒子束与 无关，故波函数与 无
关。即 Lz
(r
p) z
0 ，即 m 0 ，角动量垂直
一、薛定谔方程在 r 时的渐近解
具有能量为
E
的粒子在靶粒子的势场 U
(r )
中运动，U
(r )
只
与
r
的大小有关（奏力场的特点），其定态
Schrodinger
方程为
（6.1－7）
2 [k 2 V (r)] 0
（2－1）
Lˆ2 , Lˆz 与 Hˆ 可对易，在它们的共同本征态中，三者可同时具有确 定值。取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个 轴是旋转对称轴。
(
kr
1 2
l
l
)
则： (2l 1)il
l 0
1
[eikr
e
i
1 2
l
2ikr
eikr ei
1 l 2
]Pl
(cos
)
f ( ) eikr
r
=
l 0
Al
[e e ikr
i
(
1 2
l
l
)
2ikr
e e ]P ikr
i
(
1 2
l
l
)
l
(cos ) ，
V (r)
l(l 1) r 2 ]ul
(r)
0
，
（2－5）
当 r 时，上式的渐近形式为（因为U(r) 未知，做一般讨论，
但知U (r) r 0 ）
d
2ul dr
(r
2
)
k
2ul
(r)
0
，其解为
ul
(r)
Al'
s in(k r
' l
)
。（2－6）
为讨论方便我们引入 Al
二.散射截面 1.散射中心：设靶粒子 A 的质量远大于入射粒子的质量，形成
所谓固定的散射中心，A 称为散射中心。
2.散射角：粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角为
，称为散射角。
单位时间内散射到面积元 dS 上的粒子数 dn dS ，而
dn
1 r2
，故 dn
dS r2
d ，即：单位时间内散射到 d 内的
v r2
f ( ,) 2 dS v f ( , 2 d N
f ( , 2 d （9）
与 q( ,) 的定义（1）式比较得 q(,) f (,) 2 ，即微分散射截
面等于散射振幅绝对值的平方。
总之，在具体问题中，如能求解得 (r ) 解，并得到在 r 处的渐近形式，即求得 f ( ,) ，可得 q( , ) 和 Q 。散射理论的 任务就是在给定 E 和U (r ) 后求 q 和 Q 。
形象解释：在靶粒子处，垂直入射束有 q( ,) 大小的面积， 凡通过这个面积的粒子就应该散射到, 方向单位立体角
内；如又取 Q 大小的面积，则通过这个面积的粒子全部被散 射，靶粒子的作用相当于这样一个靶面，截面单位用“巴 （barn）”表示，1 巴＝1024 cm2 。
三.波函数在 r 处的渐进形式及其与 q( ,) 的关系
i
e
1 l 2
0 Pl' (cos )Pl (cos )sind
l 0
＝
A ei
(
1 2
l
l
)
l
0
Pl '
(cos
)Pl
(cos
)
sind
，
l 0
(2l
1)i
l
i
e
l 2
2 2l 1
A ei
(
l
l 2
)
l
2 2l 1
，
（2－13）
则得 Al (2l 1)i l eil
i
2
f
(
,
)
2
ikr
1
ikr
1
1 r3
2k
2r2
f ( ,) 2 k
f ( ,) 2
r2
v r2
f ( ,) 2
又是散射波的粒子流密度，它表示单位时间内穿过垂直 径向的单位球面面积粒子数，所以单位时间穿过球面积 dS 的 粒子数是：
dn
J r dS
U
(r )
（决定
了靶粒子的性质和结构）有关。通常总是对
U
(r )
作出假设，
解定态薛定谔方程求角分布，再与实验结果比较，从而了解
U
(r )
，并进而了解靶粒子的性质与结构。
2．弹性碰撞和非弹性碰撞 弹性碰撞：入射粒子与靶粒子只有动能交换，内部结构状态 并无变化（此时体系的机械能守恒，本书只讲此 种情况）。 非弹性碰撞：粒子内部状态有所改变（如原子的电离或激发， 核与粒子的激发），系统的机械能部分地变成粒 子的内能。