第十六章 量子力学基础

第十六章 量子力学基础

16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。

答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数(),r t ψ来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别：

（1）描述微观粒子的波函数(),r t ψ并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典物理中的波是不同的。

（2）微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2

,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。

（3）在经典物理学中，波函数(),r t ψ和(),A r t ψ(A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点i r 和j r 下面的关系必定成立：

()()

()()

222

2

,,,,i i j j r t A r t r t A r t ψψ=

ψψ 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。这与经典物理中的波也是不同的。

16-2概述概率波波函数的物理意义。

答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2

,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。

波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：(),r t ψ与(),A r t ψ描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数

()1,r t ψ、()

2,r t ψ都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能

的量子态。（5）波函数必定是复数。

16-3 如果粒子的波函数为(),,x y z ψ，试求出在x x dx →+、y y dy →+、z z dz →+ 范围内找到粒子的概率的表达式。

解：在题意所述范围内找到粒子的概率为：()2

,,x y z dxdydz ψ

16-4 如果粒子的波函数为(),,r θϕψ，试求：(1)在r r dr →+的球壳内找到粒子的概率；(2)在(),θϕ 方向上、在sin d d d θθϕΩ=立体角内找到粒子的概率。

解(1)在r r dr →+的球壳内找到粒子的概率：()()

22

20

,,sin r d d r dr π

π

θϕϕθθ⎡

⎤ψ⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

(2)在(),θϕ方向上、在sin d d d θθϕΩ=立体角内找到粒子的概率为：

()(

)()()()()

222

2220

00,,sin ,,sin ,,r r d d dr r r dr d d r r dr d θϕθθϕθϕθθϕθϕ∞

∞∞⎡⎤⎡⎤ψ=ψ=ψΩ

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰

⎰⎰16-5 试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程：(1)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。

解：(1)自由粒子的动能为 22p m ，写成算符为：22

2222

22222m m x y z ⎛⎫∂∂∂-∇=-++ ⎪∂∂∂⎝⎭

因为在这种情况下，粒子的动能就是粒子的总能量E ，所以定态薛定谔方程为：()()ˆ,,,,H

x y z E x y z ψ=ψ 即：()()2

2,,,,2x y z E x y z m

-

∇ψ=ψ

或：()()2

2

2,,,,0mE

x y z x y z ∇ψ+

ψ=

(2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为：()2222p p A

E U r m m r

=+=+

哈密顿量应写为：2

2ˆ2A

H

m

r

=-∇+

式中A 是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式：()()ˆ,,,,H

x y z E x y z ψ=ψ 中，得：()()2

2,,,,2A x y z E x y z m

r ⎛⎫

-∇+ψ=ψ ⎪⎝⎭

整理得：()()2

22,,,,0m A x y z E x y z r ⎛⎫

∇ψ+

-ψ= ⎪⎝⎭

16-6 如果可以将氢原子看作无限深势阱，电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为10-10

m ，试求电子处于基态和第一激发态的能量。

解：根据无限深势阱的能量表达式，可以将电子的能级写为：2

2

2

2

,1,2,3,

2n e E n

n m a π==

将有关数据代入上式，得：()

237.6n E n eV =

基态：1n = 137.6E eV =

第一激发态：2n = 1150E eV =

16-7 如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为10-14

m ，试求质子和中子处于基态的能量。

解：将质子和中子的质量(27

1.67310p m kg -=⨯、271.67510n m kg -=⨯)以及有关数据代入无限深势阱的

能量表达式2

22

2

,1,2,3,

2n E n

n ma

π==，可以得到：

质子基态的能量为：2

22

12

1

2.052p E MeV m a

π==；中子基态的能量为：2

22

12

1

2.042n E MeV m a

π==