第一章1 量子力学基础

满足上述条件的波函数称为合格波函数或品优波函数 (well-behaved function)
(a)违反单值条件
(b)不连续
(c)一阶微商不连续
(d)波函数不是有限的
不符合品优函数条件的情况
（2）、Ψ 和CΨ 描述同一状态 C为一个非零的常数因子(可以是实数或复数)
ψ
2
重要的是在空间不同点的比值，而不是各点的绝对值大小。
r1 0.529 1010 m=52.9pm
玻尔 半径
氢原子轨道能量 1 me 4 R En 2 ( 2 2 ) 2 ,n 1, 2,3, n 8 0 h n
R 13.6eV
比较：多电子原子轨道能量
Z2 En R 2 n
玻尔理论的缺陷：旧量子论
● 玻尔理论仍然以经典理论为基础，定态假设
2、 电子衍射实验—德布罗意假设的实验验证
(1)戴维逊—革末电子单晶反射实验（1927年）
1925年，戴维逊和革末第一次得到了电子在单晶体中 衍射的现象(Ni 氧化，单晶)，1927年他们又精确地进 行了这个实验，实验发现，从衍射数据中求得的电子 的物质波波长与从德布罗意关系式中计算出的波长一 致。
2 2 l 2
求此波函数的归一化常数A。
nx A sin( ) l
(0 x l)
l A 1 A 2
2
2 l
二、假设Ⅱ：力学量和算符
1、算符的定义：一种运算符号，当将其作用到某一函数上 时，就会根据某种运算规则，使该函数变成另一函数
g Af
2、算符的性质 ①相等
定态（E2）→定态（E1）跃迁辐射
（3）量子化条件
电子轨道角动量 M n
1 E 2 E1 h
h 2
缺点：玻尔理论仅能够解释氢原子和类氢离子体系的原子光谱，不能推广 到多电子原子也不能解释光谱精细结构。
氢原子轨道半径的计算
0 h2 rn n2 ( ) 52.9n2 pm),n 1, 2, 3, me2
如何证实？ A 从衍射数据中求得的电子的物质波波长
2d sin
1 ( ) 65 2 10 d 0.91 10 m 1.65 10 m 165 pm
10
B 从德布罗意关系式中计算出的波长
问：一个54eV电子，电子经加速电势差为U的电场加速后， ? （c）
如果一个体系的可观测性质不随时间而改变，这个体 系就被说成是处于一个定态(time-independent)之中，描述 这种状态的波函数称为定态波函数
（3）、波函数的归一化常数C 一般从物理意义上看，总规定一个粒子在全部空间 出现的概率为1。因此通常要求将波函数归一化。
即
d
A f B f A B

②相加
③线性 ④ 乘法
A f B f C f A B C






A(c1 f1 c2 f 2 ) c1 A f1 c2 A f 2



ˆˆ ˆ ˆ ABf A( Bf )
算符对易 AB BA ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆˆ 一般情况 AB BA
EPx
2. 波函数的性质
（1）合格条件 ①单值性(single-valued)—|Ψ |2表示粒子在空间某点 出现的概率密度，必须是一个确定的值 ② 连续性(continuous)—从物理上，粒子在空间各处 出现的概率密度呈波动性，是连续变化的，因此波函数Ψ 必须在变数变化的全部区域内是连续的，并且具有连续的 一级微商 ③平方可积(quadratically integrable)—在变数变化的 全部区域内，波函数的数值必须是有限的 |Ψ |2dτ —粒子出现在dτ中的概率，其值不可能是无限大。 在全部空间发现粒子的概率为1(该性质称为归一化)，因此 只有一定是一个有限值时, 才能保证归一化。
狭缝到底片的距离比狭缝的宽度 大得多,当CP＝AP时, PAC, PCA, D ACO均接近90°, sin=OC/AO=/2/D/2 =/D
x A O P
D越小(坐标确定得越准确)，越 大，电子经狭缝后运动方向分散得 越厉害(动量的不确定程度越大).落到 P点的电子，在狭缝处其px=psin， 即 px
3 氢原子的线状光谱与玻尔（Bohr）原子结构理论 原子光谱
当原子被电火花、电弧或其它方法激发时，能够发 出一系列具有一定频率（或波长）的光谱线，这些 光谱线构成原子光谱。
Bohr原子模型
（1）定态假设
原子存在具有确定能量的状态 —— 定态（能量最 低的叫基态，其它叫激发态），定态不辐射。
（2）频率条件
（2）仅对微观粒子测量重要，宏观物体无需考虑 （3）不确定关系反映了微观粒子运动的基本规律，是 微观粒子波粒二象性的必然结果。不是测量技术和主观能力 的问题，是量子理论中的一个重要概念。 （4）推广：速度与坐标，速度与位臵，动能与势能等不能同 时测定
3、测不准关系式的导出： OP－AP＝OC＝/2
位臵的不确定度∆ x如此之小，与子弹的运动路程相比， 完全可以忽略。因此，可以用经典力学处理。
34
例2
求原子、分子中运动的电子的速度不确定度。电子的 质量m =9.1×10-31kg，原子的数量级为10-10m。 Δx = 10-10m
Δv = h/(Δx· m)
=（6.626×10-34J.s）/(10-10m×9.1×10-31kg) ≈106～107m.s-1
汤姆逊1927年使用快电子通过金属箔得到电子衍射 图，计算出的结果也与从德布罗意关系式中计算出的 波长一致。加磁场衍射条纹偏移，证明是电子衍射的 结果，而不是X射线造成的衍射 1937年 戴维逊 与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。
三、 Born 统计解释
Born
实物微粒在空间不同区域出现的概率呈波动性分布。
*
2
d 1
定积分 ？
如：

2
d 1
2
c
c
d 1
1
C:归一化系数
2

d
例. 已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波函数为：
nx d A 0 sin ( l )dx 1 解： 2nx 1 cos l l dx 1 A2 0 2 1 l 2nx l 2 1 A ( l sin |0 ) 1 2 2 2n l
在空间任何一点上波的强度和粒子出现的几率密度成正比。 按照这种解释描述的实物粒子波称为几率波。
四、测不准关系（不确定关系）（uncertainty principle）
1、定义：微观粒子的位臵和动量不能同时准确地测定
x px h
2、注意：
Heise nberg
（1）物理量可以准确测定，只是不能同时测定；
微观粒子具有波粒二象性，根据不确定关系原理，微观 粒子的运动没有确定的轨道，因此必须有一套全新的理论来 描述微观粒子的运动—量子力学。
量子力学是自然界的基本规律之一，在其研究实物微粒 运动的规律时，形成了一整套人们公认的公设(基本假设 Postulate)，量子力学就是建立在这些公设基础之上的。 这些公设不能用演绎的方法证明，虽然这些假设相对 于其它一些经典理论来说显得“难以理解”，这是因为这些 假设与日常经验相距较远，但其正确性仍然可以从它所推 导出的结论与实验事实一致而得到证实。
px＝psin＝p/D=h/D，而x＝D
e
C y
Q A O C 电子单缝衍射实验示意图 P psin
所以 x px＝h，考虑二级以上衍射，
x.px≥h
例1
质量为0.01kg的子弹，运动速度为1000ms-1，若速度的
不确定程度为其运动速度的1%，求其位臵的不确定度
h 6.6 10 x 6.6 1033 m mv 0.011000 1%
(1)物质波：微粒性、波动性。
德布罗依（De Brogile）关系式
h h p mv
De Brogile
1929年 德布罗意获诺贝尔物理奖。
例：子弹的质量为0.01kg，运动速度为1000m/s，电子质量 为9.11×10-31kg，运动速度为5×106m/s，试求子弹和电子的 de Broglie波长。 解： 对宏观粒子子弹： λ = h/mv = 6.626×10-25Å 对微观粒子电子： λ=1.46Å 普通光学光栅宽度 为10-6m即104Å 晶体光栅 Å数量级
3、如何确定力学量算符
方法 ：先用经典表达式写出坐标和动量p的函数 ①坐标和时间 ②动量
ˆ x xˆ t t
i h px x 2 i x
若 d，则波动性显著，波动性可以被观察到； 若 <<d，波动性基本没有，波动性不能被观察到。
光子与实物粒子的主要差别：
自由的实物粒子 光 子

u
h P
P
P2 E 2m

c
h P
P
E Pc

E h
E

E h
E
§1.2 量子力学假设
量子力学(Quantum Mechanics)
又和经典理论相抵触。 ● 量子化条件的引进没有适当的理论解释。
● 对谱线的强度、宽度、偏振等无法处理。
二、实物微粒的波粒二象性
实物微粒是指静止质量不为零的微观粒子（m0≠0）。 如电子、质子、中子、原子、分子等。
1、 德布罗意（De Brogile）假设
E h h (2) 适用于光的两个式子也适用于微粒 p
第一章
量子力学基础和 原子结构
1-1经典物理学困难和量子论诞生
一、三个著名实验导致“量子”概念引入