新北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形专题训练《菱形练习题》
2021年 北师大新版 九年级上册 第1章 特殊的平行四边形 菱形的判定练习题 (含答案)
2021年北师大新版九年级上册第1章特殊的平行四边形菱形的判定练习题（含答案）一．选择题（共4小题）1．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD2．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB3．如图，AD是△ABC的中线，点O是AC的中点，过点A作AE∥BC交DO 的延长线于点E，连接CE，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE是菱形的是（）A．AB⊥AC B．AB＝ACC．AC平分∠DAE D．AB2+AC2＝BC24．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG＝．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．①③D．①②④二．填空题（共4小题）5．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连接DE，EF，FD，当△ABC满足条件时，四边形AEDF 是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．7．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABCD是菱形的依据是．8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）三．解答题（共4小题）9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明：四边形ADCF是菱形．10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．11．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．12．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．2021年北师大新版九年级上册第1章特殊的平行四边形菱形的判定练习题（含答案）参考答案一．选择题（共4小题）1．C；2．B；3．B；4．D；二．填空题（共4小题）5．AB＝AC（或∠B＝∠C，或BD＝DC）；6．AB＝BC或AC⊥BD等；7．四边相等的四边形是菱形；8．①③；三．解答题（共4小题）9．；10．；11．；12．；。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形练习题
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形练习题第1课时菱形的性质基础题知识点1菱形的定义1．如图，在□ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴□ABCD是菱形(________________________________________)．(请在括号内填上理由) 2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF 是菱形，小聪的说法________(填“正确”或“不正确”)．知识点2菱形的性质3．(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．(长沙中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( ) A．1 B. 3 C．2 D．2 35．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于( )A．10 B.7 C．6 D．56．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于( )A．63米B．6米C．33米D．3米7．(毕节中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( ) A．3.5 B．4 C．7 D．148．(随州中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC 的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )A．25 B．20 C．15 D．109．(桂林中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是( ) A．18 B．18 3 C．36 D．36 310．(上海中考)如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是( ) A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍11．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6 cm，则AB＝________cm.12．(广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO ＝4，求BD的长．中档题13．(昆明中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③14．(烟台中考)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD 上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28°B．52°C．62°D．72°15．(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，则菱形的高是________．16．(乐山中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．综合题18．(贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD 于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．参考答案基础题1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.正确3.D4.C5.D6.A7.A8.B9.B 10.B11.1212.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3.∴BD＝6.中档题13.D14.C15.216.证明：∵四边形ADEF是菱形，∴DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC.∴∠C＝∠BED，∠B＝∠CEF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠BED＝∠CEF.在△DBE和△FCE中，{∠B＝∠C，∠BED＝∠CEF，DE＝FE，∴△DBE≌△FCE(AAS)．∴BE＝CE.17.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥EC.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.综合题18.(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC.（2）点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点．第2课时菱形的判定基础题知识点菱形的判定1．(钦州中考)如图，要使□ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( )A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD 是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( )A．小明、小亮都正确 B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确 D．小明、小亮都错误3．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形5．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O 作EF⊥AC交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF.则四边形AECF 是( )A．梯形 B．长方形C．菱形 D．正方形6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于1AB的长为半径画2弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是________．7．已知□ABCD两对角线AC、BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，AD＝10 cm，则□ABCD 为________．8．(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________________________________________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可) 9．(长春中考)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD 于点G.求证：四边形ACGF是菱形．中档题10．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠A与∠B的平分线，AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF 是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误11．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F 分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．12．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F 为对角线AC上两点，且AE ＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．13．(黔南中考改编)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形AECF是菱形．综合题14．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC 于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．参考答案基础题1.B2.B3.B4.B5.C6.菱形7.菱形8.OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC9.证明：∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC.∵CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠FCG.∴∠ACF＝∠AFC.∴AC＝AF.∴四边形ACGF是菱形．中档题10.C 11.③。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形菱形及其性质 同步练习(含答案)
第一章：特殊平行四边形（典型题汇总）菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直图12．若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为()A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm3．②如图1，在菱形ABCD中，已知∠ABD＝20°，则∠C的大小是________度．4．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求这个菱形的边长．5．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线的长也是2 cm，则另一条对角线的长是() A．4 cm B．2 3 cm C．3 cm D.3 cm6．如图3所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是()图3A．(5，0)，(8，4) ;B．(4，0)，(8，4) ;C．(5，0)，(7，4) ;D．(4，0)，(7，4)7．2017·高密市二模如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，垂足为E，则AE的长为()图4A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.28．2017·东安县模拟如图5，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接FC，则∠DCF的度数为________度．图59．如图6，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．图610.如图7，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．4图711．如图8，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．图812．如图9，在菱形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F.求证：AB与EF互相平分．图913．如图10，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°，点P的坐标为(0，3)，设点A运动了t秒，求：(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；(2)点A在运动过程中，当t为何值时，可使得△OCP为等腰三角形？图1014．如图11，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.图1115．如图12，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()图12A．283B．243C．323D．323－816．如图13所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC 为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；….按此规律所作的第2018个菱形的边长为________．图13参考答案1．D2．C3．1404．解：根据题意，设对角线AC，BD相交于点O，则由菱形对角线的性质，知AO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4，且AO⊥BO，∴AB＝AO2＋BO2＝5.5．B6．A7．D8．459．解：连接P A，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，∴P A＝PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴P A＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.10．C11.3＋112．证明：连接BD，AF，BE，在菱形ABCD中，AC⊥BD.∵EF⊥AC，∴EF∥BD.又∵AD∥BC，∴四边形EDBF是平行四边形．∴DE＝BF.∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴AE ＝BF.又∵AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，∴AB与EF互相平分．13．解：(1)过点C作CH⊥x轴于点H，根据题意，得OA＝t＋1.∵四边形OABC是菱形，∴OC＝OA＝t＋1.∵∠AOC＝60°，∴OH＝12OC＝12(t＋1)，CH＝32(t＋1)，∴点C的坐标为(t＋12，3)t＋\r(3)2)．(2)①当O为等腰三角形顶点时，OC＝OP，∴t＋1＝3，∴t＝2；②当C为等腰三角形OCP的顶点时，PC＝OC，则CH＝12OP＝32，即32(t＋1)＝32，解得t＝3－1；③当P为等腰三角形OCP的顶点时，OP＝PC，∠POC＝30°，∴OC＝33，∴1＋t＝33，∴t＝33－1.综上可知，当t＝3－1或2或33－1时，可使得△OCP为等腰三角形．14．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，BC＝CD，∴∠1＝∠ACD.又∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD.又∵ME⊥CD，∴CE＝ED＝12CD，∴BC＝CD＝2CE＝2.(2)证明：如图，延长DF，AB交于点N.∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCM＝∠ECM.∵F为边BC的中点，∴CF＝BF.由(1)可知CE＝ED＝12CD，∴CF＝CE.又∵CM＝CM，∴△CMF≌△CME，∴MF＝ME.∵AB∥CD，∴∠2＝∠N，∠DCF＝∠NBF.又∵CF＝BF，∴△CDF≌△BNF，∴DF＝NF.又∵∠1＝∠2，∴∠N＝∠1，∴AM＝MN＝NF＋MF＝DF＋ME.15．A16.\2017第2课时菱形的判定1．如图14，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是()图14A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD2．如图15，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是________(只填一个你认为正确的即可)．图153.如图16，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD还应满足的一个条件是________．图164．如图17，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图175．如图18，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．图186．如图19，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)求证：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．图197．在数学课上，老师提出如下问题：如图20①，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：图20如图20②，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D；(2)点C向AB边折叠，使点C与点D重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F.老师说：“小明的做法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是________________．解题突破8．如图21，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF是菱形．图219．如图22，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图2210．(1)如图23①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．(2)如图②，△ABC中，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在BA的延长线上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交DA的延长线于点F.四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．图2311.四边形的四条边长分别为a，b，c，d，且满足条件a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋da，则此四边形一定是________．12．如图24，已知△ABC的顶点B，C为定点，A为动点(不在直线BC上)，B′是点B 关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′，CB′，BB′，CC′.(1)猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述(不用证明)．图24参考答案1．D2．答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD等3．AD＝BC4．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝DF，∴▱AEDF是菱形．5．菱形6．解：(1)证明：∵D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，AC＝2DE.∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE.(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝12AB＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC＝CE.又由(1)知四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．7．对角线互相垂直平分的四边形是菱形[解析] 如图，连接DF，DE.根据折叠的性质，知CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF，则四边形DECF恰为菱形．故答案是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠AEO＝∠CFO.在△AOE和△COF中，∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵EF⊥AC，OE＝OF，∴AC与EF互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形．9．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.在△AFE和△CDE中，∠AFE＝∠CDE，∠AEF＝∠CED，AE＝CE，∴△AFE≌△CDE，∴AF＝CD.又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AC＝2AB，E是AC的中点，∴AE＝AB.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD.在△AED和△ABD中，AE＝AB，∠EAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△AED≌△ABD，∴∠AED＝∠B＝90°，即AC⊥DF，∴▱ADCF是菱形．10．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠CAF.在△ADE和△ADC中，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC.同理△AFE≌△AFC，∴EF＝CF.∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ADC，∴∠EFD＝∠ADE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形．(2)四边形CDEF是菱形．证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△ADE和△ADC中，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC.同理△AFE≌△AFC，∴EF＝CF.∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ADC，∴∠EFD＝∠ADE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形．11．菱形12．解：(1)猜想：BC′＝CB′.证明：∵B′是点B关于直线AC的对称点，∴AC垂直平分BB′，∴BC＝CB′.同理BC＝BC′，∴BC′＝CB′.(2)要使四边形BCB′C′是菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，∴AC垂直平分BB′，AB垂直平分CC′，∴BB′，CC′应该同时过点A，∴∠BAC＝90°，∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个．第3课时菱形的性质与判定的综合应用1．ABCD的对角线相交于点O，添加下列条件：①AC⊥BD；②AB＝BC；③AC平分∠BAD；④AO＝DO中的一个，使得▱ABCD是菱形的条件有________(填序号)．2．2017·宜宾如图25，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是________．图253．如图26，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为()图26A．100°B．105°C．110°D．120°4．如图6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为________．5．如图28，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)图286．将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.(1)求证：四边形ABCD是菱形．(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．图297．菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为________ cm2.8．如图30所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a.(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长；(3)求菱形ABCD的面积．图309．如图31，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．图3110．如图32，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝25，求四边形ABCD的面积．图3211．小明借助没有刻度的直尺，按照图33的顺序作出了∠AOB的平分线OP，他这样做的数学原理是________________________________．图3312.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等的菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图34所示．已知每个菱形图案的边长为10 3 cm，其中一个内角为60°.(1)若d＝26，该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；(2)当d＝20时，若保持(1)中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？图3413．如图35，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为________ cm.图35参考答案1．①②③2．243．A[4.75．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°.在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.(2)∵DE∥BA，DF∥CA，∴四边形AEDF是平行四边形．∵∠EAD＝∠ADF＝∠DAF，∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF.在Rt△CED中，∵∠CDE＝∠B＝30°，∴DE＝2CE.由勾股定理可得DE2－CE2＝CD2＝9，解得DE＝23.∴四边形AEDF的周长为83.6．解：(1)证法一：分别过点B，D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F，E，则DE ＝BF.∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠DAE＝∠BAF，∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．证法二：分别过点B，D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F，E，则DE＝BF.∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．根据同一个四边形的面积不变，得S▱ABCD＝DE·AB ＝BF·AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)存在最小值和最大值．①当∠DAB＝90°时，AD最短，此时菱形ABCD的周长最小，为8；②如图，当AC为长方形纸片的对角线时，菱形ABCD的周长最大，设AB＝x，在Rt△BCG 中，x2＝(8－x)2＋22，解得x＝174，∴周长的最大值为17.7．1838．解：(1)在菱形ABCD中，AD＝AB.∵DE⊥AB，AE＝BE，∴AD＝BD，∴AD＝BD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ABC＝2∠ABD＝120°.(2)在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分．∵BD＝AB＝AD＝a，∠BAC＝12∠BAD＝30°，∴OB＝12a，∴OA＝3)2a，∴AC＝3a.(3)S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×3a·a＝3)2a2.9．解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BE＝EF，∴▱BCFE是菱形．(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形BCFE的边长为8，高为4 3，∴菱形BCFE的面积为8×4 3＝32 3.10．解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD.∵AC⊥BD，AB＝AD，∴OB＝OD.在△AOD与△COB中，∠AOD＝∠COB，OD＝OB，∠ADO＝∠CBO，∴△AOD≌△COB，∴OA＝OC.∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝12BD＝5，∴OC＝CD2－OD2＝2，∴AC＝2OC＝4，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝45.11．菱形的每一条对角线都平分它的一组对角12．解：(1)如图，菱形图案水平方向的对角线长为2AO＝2AB2－BO2＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10 \r(3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5 \r(3)))\s\up12(2)＝30(cm)．依题意，得L＝30＋26×(231－1)＝6010(cm)．故纹饰的长度L为6010 cm.(2)当d＝20时，设需要x个这样的菱形图案，则30＋20×(x－1)＝6010，解得x＝300. 即需要300个这样的菱形图案．13．(103－10)14.3。
新北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形---矩形-菱形与正方形练习题(难度大)
矩形、菱形与正方形一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）．A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°2.如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把ADE ∆沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC上，已知折痕AE =cm ，且3tan 4EFC ∠=，那么该矩形的周长为（ ）A ．72cmB ．36cmC ．20cmD ．16cm3.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC 垂直平分EF ，④BE +DF ＝EF ，⑤S △CEF ＝2S △ABE ．其中正确的结论有( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．下列命题中，真命题是( )A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角相等的边形是矩形5.如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 7.如图，菱形ABCD 中，60B ∠=，4AB =，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．178．如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 9.下列命题中，正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线相等 B ．矩形的对角线互相垂直C ．菱形的对角线互相垂直且平分D ．梯形的对角线相等10.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．直角梯形11．下列命题中的真命题是（ ）A ．三个角相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C ．顺次连接矩形四边(第2题)B60 （第7题图）对称图形 12．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE =DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO =OE ；（4）AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有( ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13．如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边做平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边做平行四边形AO 1C 2B ；…；依此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为（ ）A ． cm 2 B ． cm 2 C ．cm 2 D ．cm 214.如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 是，连接BM 、DN ，若四边形MBND 是菱形，则MDAM等于（ ） A ．83 B ．32 C ．53 D ．5415.下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 16.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ）A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm17．在平面中，下列命题为真命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形 B ．对角线垂直的四边形是菱形 C ． 对角线相等的四边形是矩形 D ．四边相等的四边形是正方形 18．如图4，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB . 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN = （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 19．（2013河北省，12，3分）如已知：线段AB ，BC ，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD . 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对对于两人的作业，下列说法正确的是( )B CDA 第14题图MN（第12题图）二、填空题 1．如图6，Rt △ABC 的斜边AB =16, Rt △ABC 绕点O 顺时针旋转后得到C B A Rt '''∆，则C B A Rt '''∆的斜边B A ''上的中线D C '的长度为_____________ .2.如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE ＝CF ②∠AEB ＝750③BE+DF ＝EF ④S 正方形ABCD ＝2+3，其中正确的序号是 。
北师大版九年级上册特殊平行四边形—菱形,矩形,正方形同步练习题
菱形同步练习题一、【基础知识精讲】1.菱形的的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.2.菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边相等.(3)菱形的两条对角线互相垂直平分;并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的识别方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)对角线互相垂直的平行四边形为菱形.(3)四条边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于两对角线乘积的一半.二、【例题精讲】5 1. (1)菱形的周长是8 cm,则菱形的一边长是.(2)菱形的一个内角为1200,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为.(3)菱形的面积为24 cm2, 一对角线长为6 cm,则另一对角线长为_______ ,边长为.(4)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等(5)能够判别一个四边形是菱形的条件是()A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角例2. oABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F,求证：四边形AFCE是菱形。
/29三、【同步练习】 A 组一、选择题 1 .菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） 2 .菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）A.168 cm 2B.336 cm 2C.672 cm 2D.84 cm 23 .菱形的周长为16,两邻角度数的比为1 ： 2,此菱形的面积为（ ）A.对角相等 C.对角线互相垂直B.对边相等D.对角线相等 A.4 "3 B.8 0 C.10J 3 D.12%34.下列语句中，错误的是（ ）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到5 .如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ,E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）A . AC=2OEB . BC=2OEC . AD=OED . OB=OE6 .如图，在菱形ABCD 中，N A=110°, E , F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ±CD 于点P ,则N FPC=（）A . 35°B . 45°C . 50°D . 55 二、填空题1 __________________________________________________________ .菱形的对角线的一半的长分别为8 cm 和11 cm ,则菱形的面积是 ______________2 .菱形的面积为8 V3平方厘米，两条对角线的比为1 ： ■ <3，那么菱形的边长为三、解答题1.如图，AD 是AABC 的角平分线.DE 〃AC 交AB 于E , DF 〃AB 交AC 于F ,四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由.;2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,且AC=16 cm , BD=12 cm , 求菱形ABCD 的高DH.1 .如图，已知：在平行四边形ABCD 中，AB=1 BC,延长AB 至F ,使BF=AB 再延长2BA 至E ,使AE=BA ,请你判断EC 与FD 的位置关系，并说明理由。
北师大版九年级上学期第1章《特殊的平行四边形》单元测练习(含答案)
《特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．93．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠25．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A ．1B ．C ．D ．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A ．对边相等 B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分7．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE ＝EF ；④S △AOE ：S △BCM ＝2：3．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） A ．∠A ＝∠BB ．∠A ＝∠CC ．AC ＝BDD ．AB ⊥BC9．在△ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD ＝CD ，则四边形AE DF 是菱形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形10．如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ，下列说法不正确的是（ ）A ．四边形CEDF 是平行四边形B ．当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C ．当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D ．当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形11．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．则图中阴影部分的面积等于 （ ）A ．1B ．C ．D ．12．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH +∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若＝，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）201414．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（ ）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF16．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断二．填空题17．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于．18．在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是．19．顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线AC、BD的关系是．20．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝5，则四边形DOCE的周长为．23．如图，矩形ABCD中， AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE ＝S△COE，其中正确的结论的序号是．24．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．25．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．26．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．27．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．28．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．29．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得▱ABCD 为正方形．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是．三．解答题32．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．34．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．35．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．36．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．37．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．38．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为，∠ABC＝°．（直接填写结果）39．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？40．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AG与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，故选：A．2．解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝6，∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．故选：A．3．解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．4．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．5．解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵C G＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×＝，故选：C．6．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．7．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，∴∠CDE＝∠DFE，∴DE＝EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE ＝S△COF，∵S△COF ＝2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，∵∠FCO＝30°，∴FM＝，BM＝CM，∴＝，∴S△AOE ：S△BCM＝2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B．8．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．9．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C 、∵四边形CEDF 是平行四边形，∵∠AEC ＝120°，∴∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，正确；D 、当AE ＝ED 时，不能得出四边形CEDF 是菱形，错误；故选：D ．11．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴，∵EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，△AIE 的面积＝△AEG 的面积，∴S 阴＝S 正方形ABCD ＝，故选：B ．12．解：①∵四边形ABCD 为正方形，EF ∥AD ，∴EF ＝AD ＝CD ，∠ACD ＝45°，∠GFC ＝90°，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF ＝FC ，∵EG ＝EF ﹣GF ，DF ＝CD ﹣FC ，∴EG ＝DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），∴∠HEF ＝∠HDC ， ∴∠AEH +∠ADH ＝∠AEF +∠HEF +∠ADF ﹣∠HDC ＝∠AEF +∠ADF ＝180°，故②正确；③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），故③正确；④∵＝， ∴AE ＝2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝GH ，∠FHG ＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG +∠HFG ＝90°+∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，， ∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG +∠DHG ＝∠DHF +∠DHG ＝∠FHG ＝90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝x ，CD ＝6x ，则S △DHC ＝×HM ×CD ＝3x 2，S △EDH ＝×DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故选：D ．13．方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3… ∴D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，∴D 1E 1＝C 1D 1sin30°＝，则B 2C 2＝（）1，同理可得：B 3C 3＝＝（）2，故正方形A n B n ∁n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014． 故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，∴D 1E 1＝B 2E 2＝，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2＝60°，∴B 2C 2＝，同理：B 3C 3＝×＝…∴a 1＝1，q ＝，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长＝1×． 14．解：∵▱ABCD 中，AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A 错误；∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 错误；∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，选项C 正确；∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项D 错误．故选：C ．15．解：∵EF 垂直平分BC ，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．16．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．二．填空题（共15小题）17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，＝•AC•BD，∵S菱形ABCDS＝DH•AB，菱形ABCD∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．故答案为：．18．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所对的对角线长为4，∴可得AD＝AB，故△ABD是等边三角形，则AB＝AD＝4，故BO＝DO＝2，则AO＝＝2，故AC＝4，则菱形ABCD的面积是：×4×4＝8．故答案为：8．19．解：∵EFGH为菱形∴EH＝EF又∵E、F、G、H为四边中点∴AC＝2EH，BD＝2FE∴AC＝BD．故答案为AC＝BD．20．解：根据作图，AC ＝BC ＝OA ， ∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形OACB 是菱形，∵AB ＝2cm ，四边形OACB 的面积为4cm 2，∴AB •OC ＝×2×OC ＝4，解得OC ＝4cm ．故答案为：4．21．解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OD ＝BD ，S △AOD ＝S △AOB ，∵AB ＝3，AD ＝4，∴S 矩形ABCD ＝3×4＝12，BD ＝5，∴S △AOD ＝S 矩形ABCD ＝3，OA ＝OC ＝，∵S △AOD ＝S △AOP +S △DOP ＝OA •PE +OD •PF ＝××PE +××PF ＝（PE +PF ）＝3， ∴PE +PF ＝．故答案为．22．解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝BD＝，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×＝10．故答案为：10．23．解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠COD＝60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB＝OA，∴AC＝2AB，由垂线段最短BC＜AC，∴BC＜2AB，故②错误；∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BO＝BE，∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE ＝S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．24．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．25．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．26．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．27．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．28．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC＝同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．29．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．30．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD∴四边形CDFB是矩形∵BC＝CD∴四边形CDFB是正方形∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG∴△BCE≌△BFG（SAS）∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝45°，∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG∴△ABE≌△ABG（SAS）∴AE＝AG＝5，∴A F＝AG﹣FG＝5﹣2＝3在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，∴DF＝6∴BC＝6故答案为：631．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．三．解答题（共9小题）32．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，＝AC▪DF＝×4×5＝10．∴S菱形ADCF33．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×4×2＝4．故答案是：4．35．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．36．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．37．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．38．解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB＝∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BA0＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝BO＝5，∠ABC＝2∠ABO＝120°．故答案为，120．39．解：（1）①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝4×1＝4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC＝BE＝6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC，而BP＝4t，CP＝10﹣4t，∴4t＝10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x＝30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）40．（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC．∵H、I分别是BG、CG的中点．，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI＝BC，∴EF∥HI且EF＝HI．∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH＝AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为：AD⊥BC；②当AG＝BC时，四边形DEFI是菱形．理由：∵△ABC的两条中线BE与CF交于点G、H、I分别是BG、CG的中点，∴FH＝AG，∵EF＝BC，∴当AG＝BC时，FH＝EF，∵四边形EFHI为平行四边形，∴▱EFHI为菱形；故答案为：AG＝BC．。
北师大版九年级上册数学 第一章 特殊的平行四边形 单元测试(解析版)
第一章特殊的平行四边形单元测试一、单选题1．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等【答案】B【解析】试题分析：因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直，两组对角相等，而矩形的四个角相等都是直角，对角线相等，所以菱形具有而矩形不具有的性质是四条边相等和对角线互相垂直，故选B．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．BD=，则该菱形的面积为（）2．如图，菱形ABCD的对角线5AC=，10A．50B．25C D．12.5【答案】B【解析】【分析】根据：菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b（÷2.【详解】S=AC×BD÷2=5×10=25.故选B【点睛】本题考核知识点：求菱形面积.解题关键点：记住菱形面积公式.3．如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作（（AEFC,则∠FAB等于( ).A．22.5°B．45°C．30°D．135°【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四边形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故选A．【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．4．菱形OABC,则点B的坐标为( )A ．,1)B ．)C ．+1,1)D ．+1)【答案】C【解析】 试题解析：过点B 作BD x ⊥ 轴于点E （∵OABC 是菱形,45,AOC OC ∠==45OA AB BAD ∴==∠=，1AD BD ∴===，∴点B 的坐标为：1,1).故选C.5．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ）A B C ．5 D ．5【答案】B【解析】【分析】根据S △ABE =12S 矩形ABCD =3=12•AE•BF ，先求出AE ，再求出BF 即可．【详解】如图，连接BE（∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=2（BC=AD=3（∠D=90°（在Rt △ADE 中，∵S △ABE =12S 矩形ABCD =3=12•AE•BF（∴BF=5（故选：B（【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．6．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A ．B ．C ．5D ．6【答案】C【解析】 试题分析：连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF⊥AC ；利用”AAS 或ASA”易证⊥FMC⊥⊥EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt⊥ABC 中，由勾股定理求得AC=tan⊥BAC=12BC AB =；在Rt⊥AME 中，AM=12AC=tan⊥BAC=12EM AM =可得Rt⊥AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．7．如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接AC、BC、AB、OC若，四边形的面积为。
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线， ∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中， ∠A ＝∠D ＝90°， ∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)． ∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下： ∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形． ∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形． (2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．∵点F是AE的中点，∴AF＝12AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°， ∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ， 又∵∠ANE ＝∠CND ， ∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°， ∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)． ∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)． ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形． ∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ； 当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《菱形的性质与判定》同步练习(含解析2套精选试题)
《菱形的性质与判定》典型题同步练习（一）【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A．30°和150° B．45°和135° C．60°和120° D．80°和100°3.已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B．3 cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm 4.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108° B．72° C．90° D．100°5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A． B． C．5 D．46. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A ． B．2 C．3 D ．二.填空题7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8.如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______cm2.10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．212.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13.如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．参考答案一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为6k，8k.所以有(3k)2+(4k)2=102，∴k=2，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B；【解析】连接PA∵四边形ABCD是菱形，4∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．5.【答案】A.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝.二.填空题7.【答案】．；【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC =.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE ＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵△ACF是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，∵AM∥FC，6∴四边形AMCF是平行四边形，∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，∴四边形AMCF是菱形；（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，在△ABC和△MEC中∵，∴△ABC≌△MEC（SAS）．14.【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CD A．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=E C．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高可由勾股定理算得为，∴菱形AECF的面积为2．15．【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形(3)∵≤△BEF的边长＜2∴∴《菱形的性质与判定》典型题同步练习（二）一．选择题（共15小题）1．若菱形的两邻角之比为1：2，较短的对角线长为6cm，则较长的对角线长为（）A ．cmB ．cm C．6cm D．12cm2．菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm 3．菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）8A．60° B．45° C．30°D．15°4．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形5．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD 的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°7．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM=AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线 D．∠BAD=120°8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（，1），若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A ．向左平移（）个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移个单位，再向上平移1个单位D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AO=B B．AC=AD C．AB=BC D．OD=AC10．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD=∠DCE，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BCC．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°12．下列说法中，错误的是（）10A．平行四边形的对角线互相平分；B．对角线互相垂直的四边形是菱形；C．菱形的对角线互相垂直； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．10 B．12 C．16 D．1814．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．2015．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（）A．100° B．105° C．110° D．120°二．填空题（共6小题）16．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．17．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是．18．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．19．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．20．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：．21．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；①∠CDH=30°；②EF=4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC=3S△BE C．你认为结论正确的有．（填写正确的序号）三．解答题（共5小题）22．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．1223．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BA D．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=O D．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．24．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．26．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=E C．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD的长．14参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．B．3．C．4．B．5．A．6．A．7．D．8．C．9．C．10．D．11．D．12．B．13．C．14．A．15．A．二．填空题（共6小题）16．（﹣5，4）．17．2．18．AB=BC或AC⊥B D．19．．20．四条边相等的四边形是菱形．21．①②③．三．解答题（共5小题）22．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=223．证明：（1）延长OA到E，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，又∠BOE=∠ABO+∠BAO，∴∠BOE=2∠BAO，同理∠DOE=2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）即∠BOD=2∠BAD，又∠C=2∠BAD，∴∠BOD=∠C；（2）连接OC，∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，∴∠BOC =∠BOD，∠BCO =∠BCD，又∠BOD=∠BCD，∴∠BOC=∠BCO，∴BO=BC，又OB=OD，BC=CD，∴OB=BC=CD=DO，∴四边形OBCD是菱形．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC =AC =×6=3，16∵AB=5，AO=3，∴BO===4，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．25．解：（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，，∴△BCE≌△FDE；∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCFD为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB==，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF==2．26．证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）作EF⊥CD于F∵∠BDC=30°，DE=2∴EF=1，DF =，∵CE=3∴CF =2∴CD =2+．18。
(完整版)北师大版九年级数学上学期第一章特殊平行四边形同步练习题菱形的判定(含答案),推荐文档
5 EF 第 1 课时 菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、BD 相交于点 O, AB= , AO=2, OB=1. 四边形 ABCD 是菱形吗？ 为什么？3、 如左下图，AD 是△ABC 的角平分线。
DE ∥AC 交 AB 于 E ，DF ∥AB 交 AC 于 F.四边形 AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如右上图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD 、BC 分别交于 E 、F ，四边形 AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知 DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形 DEAF 为菱形的是（）A. AD 平分∠BAC AA B. AB ＝AC ＝且 BD ＝CD EBDC. AD 为中线 FD. EF⊥ADDC 6、 如右图，已知四边形 ABCD 为菱形， AE ＝CF. 求证：四边形 BEDF 为菱形。
第 6 题7、已知 ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过 BD 中点作 BD 的垂线交 AD 、BC于 E 、F ，沿 BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形 BFDE 为菱形。
你认为小刚的方法对吗？为什么？A ED8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部 O9BF C 分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 、如左下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点O ，且 AC ⊥BD ，第 7 题点 M 、N 分别在 BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN10、如右上图，已知四边形 ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。
AMDM 点从 D 到 N QBPC第 10 题A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为 2㎝/s ；N 点从 A 到B ，Q 点从 C 到D ，两点的速度都为 1㎝/s 。
初中数学北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试(含答案)
第一章特殊平行四边形一、单选题1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC=120°，AC=8，则AB的长为（）A．6B．4C．43D．423．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，点D是AB的中点，则CD的长度是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cmCD的长为半径4．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（）A ．253B ．4C ．256D ．55．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ）A ．158B ．154C ．152D ．156．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，△ABD 的周长为12cm ，则下列结论错误的是（ ）A ．OE ∥ABB ．四边形ABCD 是中心对称图形C ．△EOD 的周长等于3cmD ．若∠ABC =90°，则四边形ABCD 是轴对称图形7．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A．6013B．3013C．2413D．12138．如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE+PD 的最小值为（）A．35B．32C．6D．5二、填空题9．菱形的周长为12cm，它的一个内角为60°，则菱形的面积为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝3，BD＝4，则线段OH的长为．11．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：．12．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=度．13．如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD=90°,AD=8,CP=CD=6，则AE的长是．OA，把矩形OABC沿OB折叠，14．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，AB=12点C落在点D处，BD交OA于点E，则点E的坐标为．15．如图，已知点E在菱形ABCD的边AB上，以BE为边向菱形ABCD外部作菱形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=5，BE=2，∠ABC=120°，则MN=．16．如图，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作AE的垂线，交AE于点G，交CD于点H，F是BH上一点，连接EF，若BE=FE，则FH的长为．17．如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =24，点P 在BC 边上，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，则PE +PF = ．18．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，BP ＝5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③S △APD +S △APB ＝12+62；④S 正方形ABCD ＝4+6．其中正确结论的序号是 ．三、解答题19．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC=90°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB 的度数；②四边形ABCD 的面积．20．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．21．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．22．十一国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．武玥同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．23．综合与实践：【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）；（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到了线段BN．【知识运用】请根据上述过程完成下列问题：（1）已知矩形纸片ABCD，AB=43，AM=4，求线段BM的长；（2）通过观察猜测∠NBC的度数是多少？并进行证明；【综合提升】（3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将MN延长交BC于点G．将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．参考答案：1．A2．B3．C4．C5．B6．C7．B8．Acm29．93210．5411．∠BAC=90∘AD平分∠BAC 12．22.513．8314．(5,0)15．67216．517．1201318．①③④19．解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=3又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×3=320．解：（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60∘；（2）∵O是对角线BD的中点，BD=2，∴OB=12∵∠ABD=60∘，=1；∴BE=OBcos60∘=2×12（3）过D作DF⊥AB于点F，由(2)可得：OE=OBsin60∘=3，∵OE⊥AB，点O为BD中点，∴DF=2OE=23，则S菱形ABCD=AB⋅DF=4×23=83．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF经过O且垂直于AC，∴EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，∵∠ADC=60°，∴∠HCD=30°，∴HD=12CD=1，∴CH=CD2−HD2=3，∵AD=3，∴AH=2，∵四边形AECF是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则FH=2−x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，即x2=(2−x)2+(3)2，解得：x=74，∴AF=CF=74，∴菱形AECF的面积为：AF×CH=74×3=734．22．解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，AD=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=AF=20cm，AB=CD=16cm，在Rt△ABF中，由勾股定理：BF=AF2−AB2=202−162=12cm，∴CF=BC-BF=20-12=8cm．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°．设CE=x，则DE=EF=16-x，在Rt△CEF中，由勾股定理：EF2=CE2+CF2，代入数据：(16-x)2=x2+64，解得：x=6．∴EC=6cm．综上所述，线段EC=6cm，CF=8cm．23．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵AB=43，AM=4，∴BM=AB2+AM2=8；（2）猜测：∠NBC=30°，证明：连接AN：∵EF为折痕，∴EF垂直平分AB，∴AN=BN，∵△BMN由△BMA折叠所得，∴AB=BN，∴AN=BN=AB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠NBC=90°−60°=30°；（3）四边形BGHM为菱形，理由：∵△BMN由△BMA折叠所得，∴∠ABM=∠NBM，∠BAM=∠MNB=90°，∵∠ABN=∠ABM+∠NBM=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°，∵∠NBC=30°，∴∠NBM=∠NBC=30°，∴∠MBG=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=BG，∵将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，∴△BMG≌△HGM，BH⊥MG，∴MH=BM，∴MH=BM=BG，∵MH∥BG，∴四边形BGHM是平行四边形，∵BM=BG，∴四边形BGHM是菱形．。
北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形专题练习
特殊平行四边形专题训练专题一：菱形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD 中，100,C E ∠=︒是线段BD 上一动点（点E 不与点B D ，重合），当ABE △是等腰三角形时，DAE ∠的度数是（）A．30B ．70C ．30或60D ．40或60 2．如图，点E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且70DAE B ︒∠∠＝＝，那么CDE ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒ 3．如图，在菱形ABCD 中，110BCD ∠=︒，CD 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接BF ，则ABF ∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒4．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是( )A ．1B ．2CD 5．如图，菱形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，∠BAD =60°，P 是对角线AC 上的一动点，连接PB 、PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝6，AC ＝8，直线OE ⊥AB交CD 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．4.8 B．C ．5 D ．67．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ．则DH =（ ）A ．6B ．245C ．485D ．58．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明理由；（2）若10OE =，16AC =，求菱形ABCD 的面积．专题二：矩形1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为点E ，5AE =，且2EO BE =，则OA 的长为（ ）A B ．C ． D 2．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点E ，DF AC ⊥于F 点，若3ADF FDC ∠=∠，则DEC ∠的度数是（ ）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．55︒3．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是CD 边的中点．若12AB =，92OM =，则线段OB 的长为（ ） A ．7 B ．8 C ．152 D ．1624．如图, 矩形ABCD 的周长为28，对角线AC 与BD 交于点O, OE ⊥BC 于E ，则OE+CE 的值为（ ）A ．7B ．9C ．14D ．165．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，BE 交AC 于点F ，AEF 的面积为2，则四边CDEF 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD和矩形AEFC 的面积分别是12,s s ，则12,s s 的大小关系是（ ）A ．12s s >B ．12s s =C ．12s s <D ．1232s s =7．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若8AB cm =，BC 10cm =，则AEF ∆的面积为（ ）A ．26cmB ．230cmC ．224cmD ．225cm8．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．75︒C ．70︒D ．85︒专题三：正方形 1．如图，正方形ABCD 中，在BA 延长线上取一点E ，使BE BD =，连接DE ，则EDA ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．30D ．22.5︒2．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则BED ∠为（ ）A ．45°B ．25°C ．30°D ．40°3．如图，正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的一点，且AE AB =，连接BE ，DE ，则CDE ∠的度数为（ ）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°4．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠DAE ＝67.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）A ．1BC ．D ．-46．如图，点E 是正方形ABCD 中CD 上的一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为16，DE ＝1，则EF 的长是（ ）A ．4B ．5C ．D 7．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交边AB 、CD于点E 、F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）当DE DF =时，EF 的长为__________．8．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE ，求证：AE ＝EC +CD ．专题四：特殊平行四边形综合1．如图，已知O 是矩形ABCD 的对角线的交点，∠AOB=60°，作DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 、CE 相交于点E.四边形OCED 的周长是20，则BC=（ ）A ．5B ．．10 D ．2．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，若15CAE ∠=，则∠BOE 的度数为（ ）A ．60B ．75C ．72D ．903．如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，DF ⊥AE 于F ，若EF ＝CE ＝1，AB ＝3，则线段AF 的长为（ ）A ．B ．4 CD ．4．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若140ABC ︒∠=，则OED ∠=（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．B ．cm C ．D ．3cm6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．967．如图，正方形ABC 的中，两条对角线的交点为O ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，若正方形的边长为2cm ，则DE 的长是（ ）cm ．A ．1B ．2C ．3 D8．如图，菱形ABCD 中，120D ∠=︒，F 是AD 中点，连接BF ，BE DC ⊥，垂足是E ．（1）求证：BF BE =；（2）若BF =，求四边形BEDF 的面积．参考答案专题一：菱形的性质与判定1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C6．【答案】A 7．【答案】B8．解：（1）四边形AEBO 是矩形，证明：∵BE AC ，AE BD ，∴四边形AEBO 是平行四边形，又∵菱形ABCD 对角线交于点O ，∴AC BD ⊥，即90AOB ∠=︒，∴四边形AEBO 是矩形；（2）∵菱形ABCD ，∴182OA AC ==，∵10OE =，∴根据勾股定理算出6AE =， ∴6OB =，∴212BD OB ==，∴菱形ABCD 的面积1116129622AC BD =⋅=⨯⨯=． 专题二：矩形 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B专题三：正方形1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C6．【答案】D7．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，又因为∠DOF=∠BOE ，OD=OB ，∴△DOF ≌△BOE （ASA ），∴DF=BE ，又因为DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：∵DE=DF ，四边形BEDF 是平行四边形∴四边形BEDF 是菱形，∴DE=BE ，EF ⊥BD ，OE=OF ，设AE=x ，则DE=BE=8-x 在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2+AD 2=DE 2∴x 2+62=（8-x ）2，解之得：x=74，∴DE=8-74=254，在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2+AD 2=BD 2∴＝10，∴OD=12 BD=5，在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2 -OD 2=OE 2，∴154，∴EF=2OE=152．8．【详解】证明：连接FE ，过点F 作FH ⊥AE 交AE 于点H ，∵AF 平分∠DAE ，∠D ＝90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，FH ＝FD ，又∵DF ＝FC ＝FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE ＝CE ．∵AE ＝AH +HE ，AH ＝AD ＝CD ，HE ＝CE ，∴AE ＝EC +CD ．专题四：特殊平行四边形综合1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B6．【答案】C 7．【答案】B8．【详解】（1）证明：连接BD∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=120°，∴AB=CB=CD=AD ，∠A=∠C=60°，∵F 是AD 中点，BE ⊥DC ， ∴△ABD 、△CBD 是等边三角形，∵F 是AD 中点，BE ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，∴∠AFB=∠CEB =90°，∵∠A=∠C ，AB=CB ，∴△ABF ≌△CBE （AAS ），∴BF=BE ；（2）由（1）得△ABF 是直角三角形，∠A=60°，∵BF=sin60°=2， ∴AB=CB=CD=AD=4，AF=12AB=2，∴ABCD 4S 菱形=ABF CEB 1S =S =22⨯⨯△△= ∴四边形BEDF 的面积=ABF CEB ABCD S S S --△△菱形。
北师大版九年级上第一章 特殊的平行四边形测试卷(含答案)
第一章 特殊的平行四边形（2）答题时间：90分钟 总分：120分1.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ） A.20 B.24 C.40 D.48第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图2.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O,AO=CO,BO=DO.添加下列条件，不能判断四边形ABCD 是菱形的是（ ）A.AB=ADB.AC=BDC.AC ⊥BDD.∠ABO=∠CBO3.如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=4,EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是（ ） A.7 B.83 C. 87 D. 85 4.如图，在矩形ABCD 中，E,F 分别是边AB,CD 上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB 的长为（ ）A.38B.8C. 34D.6 5.如图，矩形ABCD 中，∠AOB=60°，AB=2，则AC 的长为（ ） A.2 B.4 C. 32 D. 346.如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E,则AE 的长是（ ） A. 35 B. 52 C.524 D.548第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图7.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC 、BD,CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE 长为（ ） A.12- B.22C.1D.221-8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O ，AE ⊥BD,垂足为E ，AE=3,ED=3BE,则AB 的值为（ ） A.6 B.5 C. 32 D. 339.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=2,E,F 两点分别从A,B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点B,C 移动，连接EF,在移动的过程中，EF 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3D, 310.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC 和DEF 沿直线l 滑动，下列说法错误的是（ ） A.四边形ACDF 是平行四边形 B.当点E 为BC 中点时，四边形ACDF 是矩形 C.当点B 与点E 重合时，四边形ACDF 是菱形 D.四边形ACDF 不可能是正方形 11.如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若AB=2,则AP+BP+CP 的最小值为（ ） A.52+B. 62+C.4D. 2312.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设∠PAD=1θ，∠PBA=2θ，∠PCB=3θ，∠PDC=4θ，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）A. （1θ+4θ）-（2θ+3θ）=30°B. （2θ+4θ）-（1θ+3θ）=40°C. （1θ+2θ）-（3θ+4θ）=70°D. （1θ+2θ）+（3θ+4θ）=180°第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 二、填空题（每题3分，共24分） 13.如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为______________ 14.如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，AE=DF=2,BE 与AF 相交于点G,点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为_____________15.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE 的长是____________ 16.以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是___________17.如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB=50°，对角线AC,BD 相交于点O,DH ⊥AB 于H ，连接OH,则∠DHO=____________°第17题图 第18题图 第20题图18.如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24m 2，则AC 长是__________cm19.菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=9，点P 是菱形ABCD 内一点，PB=PD=33，则AP 的长为__________20.如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E,F 分别在AD,BC 上，连接BE,DF,EF,BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC,则边BC 的长为_____________三、解答题（本题6分）21.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BEDF是菱形四、解答题（每题10分，共40分）22.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）若AB=5，BD=2，求OE的长23.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积24.如图，在矩形ABCD中，AD=80，DC=60,点P从点A出发沿AD→DC方向向点C运动，点Q从点A出发，沿AO10→OB→BC方向向点C运动，若P、Q两点同时出发，结果Q点比P点早到2秒，已知点Q的速度是点P的7（1）求AC的长；（2）求点P每秒运动几个单位？25.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F（1）求证：四边形BEDF是菱形（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积五、解答题（本题14分）26.如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E,F是AD的中点，FG⊥BC于点G,与DE交于点H，若FG=AF,AG 平分∠CAB,连接GE,GD.（1）求证：△ECG≌△GHD;（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC。
北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元练习题
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元练习题一、选择题1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BD＝4，则BC的长是(C)A．6 B．5 C．4 D．4 32．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为(B)A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(3，1)，若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是(C)A．向左平移(4－3)个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度4．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD为菱形的是(C)A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC ．AC ⊥BD D ．OA ＝OC ，OB ＝OD5．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，AE ⊥DC 于点E ，连接OE.若∠ABC＝40°，则∠OEA 的度数是(A)A ．20°B ．30°C ．50°D ．70°6．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处．若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是(D)A ．12B ．24C ．12 3D ．16 37．正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕C 点逆时针方向旋转90°后，A 点的坐标为(A)A ．(2，－1)B ．(2，0)C ．(1，－1)D ．(－1，0)8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接CE ，过点B 作BF⊥CE 于点F ，则BF 的长为(C)A.51210 B.5610 C.12510 D.6510二、填空题9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E.若AB＝3，则AE10．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为16．11．如图，菱形ABCD与矩形BMDN有公共对角线BD，M，N在AC上，且AC＝4，BD＝2，则AD∶DM12．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2＝36．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F.若BE＝3，AF＝5，则AC的长为14．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B，D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA长的最小值是15．如图，将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′.若两个三角形重叠部分的面积为1 cm 2，则它移动的距离AA′等于1_cm ．16．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，点B 和点D 都与点O 重合，得到菱形AECF.若AB ＝3，则BC17．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝1，BC ＝3，现把矩形ABCD 绕着它的对称中心旋转．若重叠部分的形状为菱形且面积为S ，则S 的取值范围为1≤S≤53．18．如图，在菱形OBCD 中，OB ＝1，相邻两内角之比为1∶2，将菱形OBCD 绕顶点O 顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′视为一次旋转，则菱形旋转45次后点C 的坐标为(2，－32)．19．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 上的一个动点，以EF 为对称轴折叠△CEF，使点C 的对称点G 落在AD 上．若AB ＝3，BC ＝5，则CF 的取值范围为53≤CF≤3．三、解答题20．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 是CD 上一点，且FC ＝14DC.求证：AE⊥EF.证明：连接AF ，设FC ＝a ，则DC ＝DA ＝AB ＝BC ＝4a. ∴DF ＝3a ，CE ＝EB ＝2a. 由勾股定理，得AF ＝5a ， EF ＝5a ，AE ＝25a. ∵(5a)2＋(25a)2＝(5a)2， ∴EF 2＋AE 2＝AF 2.∴△AEF 为直角三角形，∠AEF ＝90°. ∴AE⊥EF.21．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)．(1)求CE 的长；(2)写出点E的坐标．解：(1)∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10，8)，∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8.由折叠性质，得AD＝AF＝10，DE＝EF.在Rt△AOF中，OF＝AF2－AO2＝6，∴FC＝10－6＝4.设CE＝x，则DE＝EF＝8－x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2＋FC2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，即CE的长为3.(2)点E的坐标为(10，3)．22．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.∴△BGF≌△DEH(AAS)．∴BG＝DE.(2)连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E为AD中点，∴AE＝ED.∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG.∴四边形ABGE是平行四边形．∴AB＝EG.∵EG＝FH＝2，∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为8.23．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1.已知∠ACB＝30°，AB＝1.(1)求证：△A1AD1≌△CC1B；(2)当CC1＝1时，求证：四边形ABC1D1是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ＝AD ，BC ∥AD. ∴∠DAC ＝∠ACB.∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1， ∴∠AA 1 D 1＝∠DAC，A 1D 1＝AD ，AA 1＝CC 1. ∴∠AA 1 D 1＝∠ACB，BC ＝A 1D 1.在△A 1AD 1和△CC 1B 中，⎩⎪⎨⎪⎧AA 1＝C 1C ，∠AA 1D 1∠C 1CB ，A 1D 1＝CB ，∴△A 1AD 1≌△CC 1B(SAS)．(2)∵∠ACB＝30°，∴∠CAB ＝60°. ∵AB ＝1，∴AC ＝2. ∵CC 1＝1，∴AC 1＝1.∴△AC 1B 是等边三角形．∴AB＝BC 1. ∵△A 1AD 1≌△CC 1B ，∴AD 1＝BC 1. ∵AB ＝CD ，CD ＝C 1D 1，∴AB ＝C 1D 1. ∴四边形ABC 1D 1是平行四边形． 又∵AB＝BC 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形．24．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG∥CD 交BE 于点G ，连接CG.(1)求证：四边形CEFG 是菱形；(2)若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．解：(1)证明：由题意可得△BCE≌△BFE. ∴∠BEC ＝∠BEF，FE ＝CE. ∵FG ∥CE ， ∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠FEG.∴FG＝FE ＝EC. 又∵CE∥FG，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ， ∴∠A ＝∠D＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10. ∴AF ＝8.∴DF＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x. ∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴四边形CEFG 的面积是CE·DF＝103×2＝203.25．已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF 是什么特殊四边形？并证明你的结论； (3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠A ＝∠D，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)． (2)四边形MENF 是菱形．证明：∵E，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得△ABM≌△DCM，∴BM ＝CM. ∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．26．用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD.把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转．(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？(直接写出结论，不用证明)；(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗？说明理由；(3)在上述情况中，△AEC 的面积是否会等于23？如果能，求BE 的长；如果不能，请11 / 11 说明理由．解：(1)BE ＝CF.(2)BE ＝CF 仍然成立．理由：∵∠CAE ＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝60°， ∴∠CAE ＝∠DAF.∵∠BCA ＝∠ACD＝60°，∴∠ACE ＝120°.∵∠ADC ＝60°，∴∠ADF ＝120°.在△ACE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE＝∠DAF，AC ＝AD ，∠ACE ＝∠ADF，∴△ACE ≌△ADF(ASA)．∴CE＝DF. ∴BE ＝CF.(3)能．理由如下：∵△ABC 的高h ＝23，又∵S △AEC ＝12h·CE＝23， ∴CE ＝2.∴BE ＝6或2.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形练习题(有答案)
第一章特殊的平行四边形一．选择题1．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（）A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°3．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．8C．16D．164．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC 的长为（）A．4B．6C．2D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．59．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．11．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°12．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②二．填空题13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．14．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，则下列结论：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正确的结论是．15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝．17．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．20．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．21．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是．22．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．三．解答题23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．26．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．27．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．28．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．29．如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．30．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．31．如图，▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．32．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．33．如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若DE＝3，OE＝9，求AB、AD的长；34．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．35．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．36．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S正方形ABCD；【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG 的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．37．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．38．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD 于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP 与线段CE的数量关系，并说明理由．39．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．（1）求证：△ABG≌△ADF；（2）求证：AG⊥AF；（3）当EF＝BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．40．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF 于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．参考答案一．选择题1．【解答】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故选：D．2．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，∵△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE，或AB＝BE，当AE＝BE时，∴∠ABE＝∠BAE＝40°，∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，故选：C．3．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，∴∠CAD＝25°，故选：B．6．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．7．【解答】解：如图，连接AE，设EF与AC交点为O，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝6，∴AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝4+6＝10，∴AB＝＝＝2，∴AC＝＝＝2，故选：C．8．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故选：B．9．【解答】解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．10．【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2 +2．故选：B．11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．12．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．二．填空题13．【解答】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．14．【解答】解：连接DB交AC于O，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥CB，AD＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，∠DAC＝∠CAB，∴∠1＝∠DAC，∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠2，∴AE＝BE，故①正确；∵AE＝BE，EG⊥AB，∴AG＝GB＝AB，∵F是AD中点，∴AF＝AD，∴AF＝AG，在△AEF与△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴∠AFE＝∠AEG＝90°，∴BF⊥AD，故②正确；在△AFB与△ABO中，，∴△AFB≌△ABO（AAS），∴BF＝AO＝AC，∴AC＝2BF，故③正确；∵∠2+∠CAB+∠CAD＝90°，∠2＝∠CAB＝∠CAD，∴∠2＝∠CAB＝∠CAD＝30°，∴BO＝AB＝BG，在Rt△EGB与Rt△EOB中，，∴Rt△EGB≌Rt△EOB（HL），∴EG＝EO，∴CE＝CO+EO＝BF+EG，故④错误．故答案为：①②③．15．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，∴AB＝2CD＝6cm．故答案为：6cm．16．【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，故答案为：8．17．【解答】（1）证明：如图，连接BP．∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，∴四边形PEBF是矩形；∴EF＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•CP，即×4×3＝×5•CP，解得CP＝．故答案为：．18．【解答】解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故答案为：．19．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．20．【解答】解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为5．21．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠ODE＝∠OBF，∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形，即E在AD上任意位置（不与A、D重合）时，四边形BEDF恒为平行四边形，故选项①正确．（2）当BE⊥BC时，四边形BEDF是矩形，故选项②正确．（3）如图3，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，由于AB＜AD，即AB＜AE+BE，可以保证E点AD上，故一定存在点E满足要求，故选项③正确．（4）由②可知，∠ADB＝45°，四边形BEDF是正方形，故选项④正确．故答案为：①②③④．22．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，故答案为：8．三．解答题23．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．24．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．25．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．27．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF ∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．28．【解答】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，，∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，∴．29．【解答】证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．30．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．31．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∴EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，∴BE＝2，AE＝，∵四边形AECF是矩形，∴FC⊥BC，FC＝AE＝．∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABC＝30°，在Rt△BCF中，∠FCB＝90°，∠FBC＝30°，FC＝，∴BC＝6，∴AD＝BC＝6．32．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠DEB＝90°，∵AE＝3，DE＝4，DF＝5∴AD＝＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DF A，∵AB∥CD，∴∠F AB＝∠DF A，∴∠F AB＝∠DF A，∴AF平分∠DAB．33．【解答】证明：（1）∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，∴∠ABO＝∠DEA＝90°．在Rt△ABO与Rt△DEA中，∵∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）∴∠AOB＝∠DAE．∴AD∥BC．又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB＝DE＝3，设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x．在Rt△DEA中，由AE2+DE2＝AD2得：（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5．∴AD＝5．即AB、AD的长分别为3和5．34．【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．35．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．36．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE（SAS），∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．37．【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．38．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP ∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．39．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．∵BG＝DF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）；（2）证明：∵△ABG≌△ADF，∴∠GAB＝∠F AD，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠F AD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；（3）①解：△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，在△AEG和△AEF中．，∴△AEG≌△AEF（SSS）．∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2﹣x）2+1 2＝（1+x）2，得x＝．∴BE的长为．40．【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OC＝OF，∴OE＝OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO＝CO，EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，同理，∠ACF＝∠ACG，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，∵MN∥BC，∴∠BCA＝∠AOM，∴∠BCA＝90°，∴△ABC是直角三角形．。
北师大版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形 同步练习题 (含答案)
第一章特殊的平行四边形一．选择题（共10小题）1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．482．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．284．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）A．OA＝OC B．BC＝DC C．AD＝BC D．AD＝DC5．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④6．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN，MN为垂足若AB＝a，则DM+CN的值为（）A．a B．a C．D．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（）A．B．2 C．1.5 D．8．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 9．正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（）A．4B．32 C．64 D．12810．在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60°D．AB＝AF二．填空题（共10小题）11．已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝23°．则∠FEC＝度．12．在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，则菱形ABCD的面积是．13．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为（写出一个即可）15．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．16．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2：．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，△AEF（A、E、F是格点）同时形变为△A′E′F′，若这个菱形的“形变度”k＝，则S△A′E′F′＝．17．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．18．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．20．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为．三．解答题（共7小题）21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AB＝，OA＝a，OB＝b，且a，b满足：．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求的值．22．如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，已知BE ∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）填空：若AD＝7，AB＝2.5，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，菱形BFCE的面积是．23．已知：AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点EF分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）当∠ABE＝15°时，AB＝1+，求BE．24．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．25．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF ＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．26．在正方形ABCD的外侧作等腰△ABE，已知∠EAB＝a，连接ED交等腰△ABE底边上的高AF所在的直线于点G．（1）如图1，若a＝30°，求∠AGD的度数；（2）如图2，若90°＜a＜180°，BE＝8，DE＝14，则此时AE的长为．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∵菱形ABCD的周长为24，∴AD＝AB＝6，∵AC+BD＝16，∴AO+BO＝8，∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，∵AO2+BO2＝AB2，∴AO•BO＝14，∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，故选：D．4．【解答】解：A、若AO＝OC，且BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠BAO＝∠OCD，且∠OAB＝∠OAD∴∠OAD＝∠OCD∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC＝DC，BO＝DO∴AC是BD的垂直平分线∴AB＝AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，C、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝BC∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝CD∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，∴2OG＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），∴②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．6．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝a，∴AN平分∠DAB，∴∠DAM＝45°，∴∠CEN＝∠DEM＝45°，∵DM⊥AN，CN⊥AN，∴△DME和△CNE是等腰直角三角形，∴DM＝DE，CN＝CE，∴DM+CN＝（DE+CE）＝CD＝a；故选：C．7．【解答】解：连接BE，如图所示：由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，∴S△BDE＝2S△BOE＝．∴DE•AB＝，又∵AB＝2，∴DE＝，∴BE＝在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝1.5．故选：C．8．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．9．【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×8×8＝32，故选：B．10．【解答】解：由正方形的性质知，∠ACD＝∠ACB＝45°，BC＝CD，CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴BF＝FD，同理，BE＝ED，∴当BE＝DF，有BF＝FD＝BE＝ED，四边形BEDF是菱形．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，∴∠BAE＝∠FAC，且AB＝AC，∠B＝∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝∠D＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，又∠AEC＝∠B+∠BAE＝83°，∴∠CEF＝83°﹣60°＝23°．故答案为：2312．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝6，∴∠AOD＝90°，∴OD＝＝8，∴BD＝2OD＝16，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96，故答案为96．13．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝10若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴OB＝＝∴AD＝AB﹣2OB＝故答案为：14．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB＝AD（答案不唯一）15．【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．16．【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：a2，形变后的菱形的面积为：a•a＝a2，∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：a2：a2＝2：，∵这个菱形的“形变度”为2：．∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比＝这个菱形的“形变度”，S△AEF＝×2×2+×2×2＝4，∵若这个菱形的“形变度”k＝，∴＝，即＝，∴S△A′E′F′＝．故答案为：．17．【解答】解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．18．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2019．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．20．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAF+∠EAD＝90°，∵BF⊥a，DE⊥a，∴∠AED＝∠AFB＝90°∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，∴△AFB≌△DEA，∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，故答案为：8三．解答题（共7小题）21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∵OA＝a，OB＝b，AB＝，∴a2+b2＝5，，∵a，b满足：．∴a2b2＝4，∴ab＝2，∴△AOB的面积＝ab＝1，∴菱形ABCD的面积＝4△AOB的面积＝4；（2）∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，∴a+b＝3，∴＝．22．【解答】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF，AB＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．（2）解：连接EF交BC于O，如图所示：∵AD＝7，AB＝DC＝2.5，∴BC＝AD﹣AB﹣DC＝2，∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，EF⊥BC，OB＝BC＝1，OE＝OF，∴△CBE是等边三角形，∠BEO＝30°，∴BC＝EC＝2，∴OE＝OB＝，∴EF＝2，∴菱形BFCE的面积＝BC×EF＝×2×2＝2；故答案为：2．23．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝BC＝CD，且∠BAD＝60°∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°∴AB＝AD＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°∴∠ABD＝∠EBF＝60°＝∠BDC，∴∠ABE＝∠DBF，∠BAD＝∠BDF＝60°，且AB＝BD∴△ABE≌△DBF（ASA）∴BE＝BF，且∠EBF＝60°．∴△BEF是等边三角形（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，作∠GEB＝∠ABE＝15°，∴∠EGH＝30°，GE＝GB，设HE＝x，在Rt△GHE中，∠EGH＝30°∴GE＝2x＝BG，HG＝x，在Rt△AHE中，∠BAD＝60°∴AH＝x，∵AB＝AH+HG+BG＝1+∴x+x+2x＝1+∴x＝∴HE＝∴BH＝∵BE2＝HE2+BH2，∴BE2＝（）2+（）2，∴BE＝24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACE，∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACF，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，∴a2＝122+（18﹣a）2，∴a＝13，∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．25．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，在△ADF和△ABH中，，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，∴∠FAH＝90°，∴∠EAF＝∠EAH＝45°，在△FAE和△HAE中，，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝HE＝BE+HB，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8．故答案为：EF；8．（2）EF＝BE+DF，理由如下：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，即∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．26．【解答】解：（1）∵AE＝AB，AF⊥BE，∠EAB＝30°∴∠FAE＝15°∵∠EAB＝30°，∠BAD＝90°∴∠EAD＝120°，且AE＝AD∴∠AED＝∠ADE＝30°∴∠AGD＝∠AED+∠EAF＝45°（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是正方形∴BO＝DO，BD＝AB，∠ABD＝∠ADB＝45°∵AE＝AB，AF⊥BE∴∠AEB＝∠ABE，EF＝BF＝4，且BO＝DO∴FO＝DE＝7，FO∥DE∵AE＝AD∴∠AED＝∠ADE∵∠ABD+∠ADB+∠AED+∠ADE+∠AEB+∠ABE＝180°∴2（∠AEB+∠AED）＝90°∴∠DEB＝45°∵FO∥DE∴∠BFO＝45°，且BM⊥FO∴FM＝BM，∴BF＝BM＝4∴BM＝FM＝4∴MO＝3∴BO＝＝5∴BD＝2BO＝10∴AB＝5＝AE故答案为：527．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，解得，t＝；②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，解得t＝；④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，解得，t＝12．综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．。
2015年北师大版数学九年级上册(新)第一章特殊平行四边形-平行四边形与菱形同步练习题
2015 学年新北师大版数学平行四边形与菱形同步练习题一、填空题1、如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中，点 E 在边 CD上，点 F 为 BE延伸线与 AD延伸线的交点．若 DE=1，则 DF的长为．2、若菱形的周长为 36cm，则它的边长是cm．若其有一条对角线长为 9，则其四个角的度数分别为。
3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD的极点 A， B 的坐标分别为（﹣ 6，0），（4，0），点 D在 y 轴上，则点 C的坐标是． [根源:ZXXK]4、如图，菱形 ABCD中， E、F 分别是 BC、 CD的中点，过点 E 作 EG⊥AD于 G，连结GF．若∠A=80°，则∠ DGF的度数为．5、假如菱形的两条对角线的长为 a 和 b，且 a，b 知足（ a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于．6、如图，在菱形 ABCD中，AB=4cm，∠ ADC=120°，点 E、F 同时由 A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点 B 匀速挪动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s ，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒△ DEF为等边三角形，则t 的值为．[ 根源:]7、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD中，∠ A=60°，M是 AD边的中点， N是 AB边上的一动点，将△ AMN沿 MN所在直线翻折获得△ A′ MN，连结 A′C，则 A′ C长度的最小值是．二、选择题8、如图，在 ?ABCD中，点 E 是 AD的中点，延伸 BC到点 F，使 CF：BC=1：2，连结 DF，EC．若 AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（）A．B．C．D． 29、如图，在菱形 ABCD中，M，N 分别在 AB，CD上，且 AM=CN，MN与 AC交于点 O，连结 BO．若∠ DAC=28°，则∠ A． 28°OBC的度数为（ B ．52°）C．62°D．72 °10、菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的边长是（）A．10B．8C．6D．511、如图，菱形 ABCD中，对角线 AC、BD订交于点 O，H 为 AD边中点，菱形28，则 OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D． 14ABCD的周长为12、如图，在菱形ABCD中，E 是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有以下结论：①AE=BF；②△ DEF是等边三角形；③△ BEF是等腰三角形；④∠ ADE=∠ BEF，此中结论正确的个数是（）A． 3 B ．4 C ．1D．213、如图，在菱形ABCD中， AB=5，对角线 AC=6．若过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，则 AE的长为（）A. 4 B ． C ． D ． 514、如图，已知 AC、BD是菱形 ABCD的对角线，那么以下结论必定正确的选项是（）A．△ABD与△ ABC的周长相等B．△ ABD与△ ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍15、如，菱形 ABCD的角 AC=4cm，把它沿着角AC方向平移 1cm获得菱形 EFGH，中暗影部分形的面与四形EMCN的面之比（）A.4：3B．3：2C．14：9D． 17 ：916、如，两个接在一同的菱形的都是 1cm，一只子甲虫从点 A 开始按ABCDAEFGAB⋯的序沿菱形的循爬行，当子甲虫爬行 2014cm停下，它停的位置是（A. 点F ）B．点E C．点A D．点C[ 根源:学。
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新北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形专题训练
菱形练习题
1.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD= 43AB 2其中正确的结论有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ）A ．75° B ．65° C ．55° D ．50°
3．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．35 cm B ．52 cm C ．548 cm D ．5
24 cm 4.已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A ．12cm 2
B ．24cm 2
C ．48cm 2
D ．96cm 2
5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点C 的坐标是（3，4），则顶点A 、B 的坐标分别是（ ）
A ．（4，0）（7，4）
B ．（4，0）（8，4）
C ．（5，0）（7，4）
D ．（5，0）（8，4）
6. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32 cm B ．33 cm C ．34 cm D ．3cm
7.如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AE/AD=4/5，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD=15cm 2
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
8.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 为（ ） A ．80° B ．70° C ．65° D ．60°
9.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A ．12m B ．20m C ．22m D ．24m
10.如图，把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到菱形A ′B ′C ′D ′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD 面积的1/2 ，若AC=2 ，则菱形移动的距离AA ′是（ ）
A ．1
B ．12
C ． 22
D 2
1 11.若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为
12.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，
则点0到边AB的距离OH= ．
13.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是cm．
14.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P
是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），
且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是
15．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是
16.菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为cm．
17.如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件时，四边形EFGH是菱形．
18.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD ⊥EF．
19.如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE⊥DC．
20.如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG．（1）证明：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；
21.．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．22．（2011•河南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向
以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
23.．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．
（1）证明：∠APD=∠CBE ；（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的41，为什么？ 24. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD ．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；
（3）在上述情况中，△AEC 的面积是否会等于32？如果能，求BE 的长；如果不能，请说明理由．
25.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AD 是角平分线，CH 是高，交AD 于F ，DE ⊥AB 于E ，试证明四边形CDEF 是菱形．
26．如图，D 是菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是OA 、OC 的中点．下列结论：①S △ADE =S △EOD ；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积为EF×BD ；④∠ADE=∠EDO ；⑤△DEF 是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
27.下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B ．有一条对角线平分对角的四边形是菱形 C ．菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D ．菱形的对角线相等。