北邮研究生概率论第一讲共48页
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概率论与数理统计课件 第1讲
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观 测后就会发现：随机现象的发生具有统计 规律性。
例如: 某射击运动员在一定条件下进行射击训
练， 个别次射击可能会偏离预定目标，但进 行多次射击训练后，该运动员射击的命中率 就会呈现出一定的规律。
再如:
测量一个人的身高时，由 于仪器或观测者受到环境的影 响，每次测量的结果可能有差 异，但多次测量结果的平均值 随着测量次数的增加而逐渐稳 定在某个常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数 越远的测量值出现的可能性越 小。
性，即统计规律性”。
想一想
“天有不测风云”和“天气可以预报” 有无矛盾? ☆ 天有不测风云指的是：对随机现象进行一
次观测，其观测结果具有偶然性； ☆ 天气可以预报指的是：观测者通过大量的
气象资料对天气进行预测，得到天气变 化的统计规律。
概率论的广泛应用
(1)金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (2)流水线上产品质量检验与质量控制； (3)服务性行业中服务设施及服务员配置； (4)生物医学中病理试验与药理试验； (5)食品保质期、弹药贮存分析，电器与电
子产品寿命分析； (6)物矿探测、环保监测、机械仿生与考古.
第一章 随机事件
§1.1 基本概念
1.1.1 随机试验与事件
I. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测
量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件 下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可 预知，则称此试验为随机试验，也简称试验， 记为 E。 （注：以后所提到的试验均指随机试验。）
总结：
随机现象具有偶然性一面，也有必然
性一面：
偶然统性计一规律面是表指现通在过“对对随随机现机象现的象大做量一
次观测时观，察观，测所结呈现果出具来有的偶事然物性的集(不体可性预规知
例如: 某射击运动员在一定条件下进行射击训
练， 个别次射击可能会偏离预定目标，但进 行多次射击训练后，该运动员射击的命中率 就会呈现出一定的规律。
再如:
测量一个人的身高时，由 于仪器或观测者受到环境的影 响，每次测量的结果可能有差 异，但多次测量结果的平均值 随着测量次数的增加而逐渐稳 定在某个常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数 越远的测量值出现的可能性越 小。
性，即统计规律性”。
想一想
“天有不测风云”和“天气可以预报” 有无矛盾? ☆ 天有不测风云指的是：对随机现象进行一
次观测，其观测结果具有偶然性； ☆ 天气可以预报指的是：观测者通过大量的
气象资料对天气进行预测，得到天气变 化的统计规律。
概率论的广泛应用
(1)金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (2)流水线上产品质量检验与质量控制； (3)服务性行业中服务设施及服务员配置； (4)生物医学中病理试验与药理试验； (5)食品保质期、弹药贮存分析，电器与电
子产品寿命分析； (6)物矿探测、环保监测、机械仿生与考古.
第一章 随机事件
§1.1 基本概念
1.1.1 随机试验与事件
I. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测
量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件 下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可 预知，则称此试验为随机试验，也简称试验， 记为 E。 （注：以后所提到的试验均指随机试验。）
总结：
随机现象具有偶然性一面，也有必然
性一面：
偶然统性计一规律面是表指现通在过“对对随随机现机象现的象大做量一
次观测时观，察观，测所结呈现果出具来有的偶事然物性的集(不体可性预规知
概率论第1讲-PPT精选
9•9+9•9+9•9=243
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率论第一章PPT课件
2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
-
8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
-
20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
概率论第一讲
A B = A AB
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第28页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
3 September 2007
abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
3 September 2007
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第28页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
3 September 2007
abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
3 September 2007
北邮概率论11
例1: 袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张
卡片中任取一张，设事件Ａ为“抽得一张标号不大于 ４的卡片”，事件Ｂ为“抽得一张标号为偶数的卡 片”，事件Ｃ为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请 用样本点的集合表示下列事件:Ａ∪Ｂ,ＡＢ,Ａ-Ｂ,Ｂ -Ａ,Ｂ∪Ｃ,(Ａ∪Ｂ)Ｃ 解: 将Ａ,Ｂ,Ｃ表示集合形式为Ａ＝｛１,２,３,４｝, Ｂ＝｛２,４,６,８｝,Ｃ＝｛１,３,５,７｝所以 Ａ∪Ｂ＝｛１,２,３,４,６,８｝ (Ａ∪Ｂ)Ｃ＝｛１,３｝ ＡＢ＝｛２,４｝;Ａ-Ｂ＝｛１,３｝ Ｂ-Ａ＝｛６,８｝ Ｂ∪Ｃ＝｛１,２,３,４,５,６,７,８｝
如果试验是将一枚硬币抛掷两次观察正 反面出现的情况，则样本空间由如下四 个样本点组成： S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 样本空间在如下 其中 第 1次 第 2次 意义上提供了一个理 H H 想试验的模型： (H,H): (H,T)：
H T T T
(T,H):
(T,T):
例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示：
（1）A,B,C,D至少有一个发生；
（2）都不发生；（3）都发生；
（4）A,B,C,D恰有一个发生； （5）至多一个发生。 解:（1）A∪B∪C∪D或 （2） ABC D （4） （5）
ABC D 或A B C D
（3）ABCD或 A B C D
C=A-B,且BA
定义（互不相容事件或互斥事件） 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ，则称事
件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
推广 对有限个事件或可列个事件A1，A2，…，An …， 如果对任意ij, Ai Aj＝Φ,则称A1，A2，…，An两两互 斥，或A1，A2，…，An …两两互不相容。
概率论第一讲
k =1
证明：若An ∈ A (n = 1,2 ,L) ，令Bn = U Ak
Q A是集代数，则：Bn ∈ A (n = 1,2 ,L)
2007-9-18
又 Q A是单调类，且：Bn ↑ (n = 1,2 ,L) ，则U Bn ∈ A
n =1 北京邮电大学电子工程学院
∞
21
第一节 集合代数和σ-代数
2007-9-18 北京邮电大学电子工程学院 24
推广情形：设 Ω = R(n) = (x1, x2,Lxn ) : xi ∈R(1),i =1,2,Ln 为n维 (n) 实数空间，考虑由 R 的一些子集组成的集合类： G
{
}
⎧ ⎫ (1) = ⎨∏(− ∞, ai ] : ai ∈ R , i = 1,2,Ln⎬ ⎩ i=1 ⎭
n
(n) 称σ(G)为 R 上的Borel域，记作B (n)中。
2007-9-18 北京邮电大学电子工程学院 16
第一节 集合代数和σ-代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的F0是包含G 的最小σ-代数，或者 是由G生成的σ-代数，记为σ(G)。 例1.1.2 设A⊂ Ω ，且A≠Ω，A≠ Φ则，则包含{A}的最小 σ-代数为 A, A, Φ, Ω 三、Borel域 设Ω=R(1) ，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类： G= {(-∞,a],a∈ R(1)} ，称σ(G)为R(1)的Borel域，记为B (1) ，并称B (1)中的元素为一维的Borel集。
设事件域： ⎧ ⎫ 1 ⎤ ⎛ F = ⎨ An = ⎜ a + , b ⎥ n = 1,2, L⎬ n ⎦ ⎝ ⎩ ⎭ 显然，∀n，有：An ∈ F 但： An = (a, b]∉ F U
n =1
证明：若An ∈ A (n = 1,2 ,L) ，令Bn = U Ak
Q A是集代数，则：Bn ∈ A (n = 1,2 ,L)
2007-9-18
又 Q A是单调类，且：Bn ↑ (n = 1,2 ,L) ，则U Bn ∈ A
n =1 北京邮电大学电子工程学院
∞
21
第一节 集合代数和σ-代数
2007-9-18 北京邮电大学电子工程学院 24
推广情形：设 Ω = R(n) = (x1, x2,Lxn ) : xi ∈R(1),i =1,2,Ln 为n维 (n) 实数空间，考虑由 R 的一些子集组成的集合类： G
{
}
⎧ ⎫ (1) = ⎨∏(− ∞, ai ] : ai ∈ R , i = 1,2,Ln⎬ ⎩ i=1 ⎭
n
(n) 称σ(G)为 R 上的Borel域，记作B (n)中。
2007-9-18 北京邮电大学电子工程学院 16
第一节 集合代数和σ-代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的F0是包含G 的最小σ-代数，或者 是由G生成的σ-代数，记为σ(G)。 例1.1.2 设A⊂ Ω ，且A≠Ω，A≠ Φ则，则包含{A}的最小 σ-代数为 A, A, Φ, Ω 三、Borel域 设Ω=R(1) ，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类： G= {(-∞,a],a∈ R(1)} ，称σ(G)为R(1)的Borel域，记为B (1) ，并称B (1)中的元素为一维的Borel集。
设事件域： ⎧ ⎫ 1 ⎤ ⎛ F = ⎨ An = ⎜ a + , b ⎥ n = 1,2, L⎬ n ⎦ ⎝ ⎩ ⎭ 显然，∀n，有：An ∈ F 但： An = (a, b]∉ F U
n =1
北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版
知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？
举例说明
..\2005\应用举例.ppt
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 3
第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念：
随机试验 E ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性——不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间Ω——随机试验所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 10
第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
C是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含C。为什么？
。 由于 F 是一个σ -代数，且C F
是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
2017/11/2
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
2017/11/2 6
北京邮电大学电子工程学院
第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A满足：
1. Ω A ；
2. 若AA ，有 A A （余运算封闭）； 3. 若 A, B ∈ A ，有 A B A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
北邮概率统计课件 1.1随机试验
11/13
12/13
第一章
概率论的基本概念
§1
随机试验
13/13
科学实验 或者对某一事物的某一特征进行观察
E1: 抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况 E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察正面 H出现的次数 E3: 掷一颗骰子，观察出现的点数 E4 : 从一批产品中抽取 n 件，观察次品出现的数量 E5 : E6 :
第一章 概率论的基本概念
4/13
概率论最早是从赌博(博弈)游戏开始的. 博弈游戏产生于人类已有数千年历史了.考古工作者 在公元前3500年的一座埃及古墓中发现古埃及人在一种 “猎犬与豺狼”的板盘游戏中,用投掷距骨的结果决定猎 犬与豺狼移动的步数. 骰子是在距骨之后发现的,伊拉克北部曾发现一颗陶 制的骰子,据推断距今已有3000年历史.它对面的点数是2 和3,4和5,1和6.现在人们使用的对面点数之和为7的骰子 大约出现在公元前1400年左右.纸牌的出现更晚一些.这些 器具不仅用于赌博,还用于占卜和算命. 公元960年意大利主教韦伯尔德(Wibold)把人的品德 归纳为56种,算命者掷3颗骰子,主教就告诉他的品德是什 么.这说明当时人们已经会计算排列组合问题了.
第一章
概率论的基本概念
对某厂生产的电子产品进行寿命测试 观察某地区的日平均气温和日平均降水量
这些试验有什么特点 试验前无法预知结果
第一章 概率论的基本概念
§1
随机试验
14/13
试验可以在相同的条件下重复进行 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所 有可能的全部结果 在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为随机试验 ,简称试验 EN
(r / 2) 2 p 1 r2 4
北邮研究生概率论第一讲解读
他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概 念，并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是 瑞士数学家雅各布·伯努利（1654~1705），他的 重要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理， 即伯努利大数定律，发表在1713出版的遗著《猜 度术》中。美国概率史专家海金（Hacking）称 此书标志着“概率漫长的形成过程的终结与数学 概率论的开端”。
概率论与随机过程
黎淑兰
学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 2. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，《概率论中的反例》 4. 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材
中心
2020/11/14
北京邮电大学电子工程学院
1
教学安排
先修课程：高等数学，概率论 考试：闭卷，期末70%，平时30% 电子邮件：lishulan@ 手机 15210631976
2020/11/14
北京邮电大学电子工程学院
2
一、概率论与随机过程的历史及应用
1. 概率论的诞生及发展
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家 们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生 长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学 这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里 得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
1651年,一个名叫梅累的骑士和朋友保罗各出30枚金 币作为赌金，两人事先选好一个点数，梅累选择了 “5”，保罗选择了“3”，游戏规则是：如果谁先掷 出了3次自己所选的点数，谁就赢得全部60个金币。游 戏进行到梅累掷出2次“5”点，保罗掷出1次“3”点 时，由于发生一个紧急事情，梅累必须马上离开，游 戏因此中断，两人为赌本的分配问题争执不下，恰逢 帕斯卡经过梅累他们所在的小镇，于是梅累就“分赌 金问题”求教于帕斯卡。
使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是 瑞士数学家雅各布·伯努利（1654~1705），他的 重要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理， 即伯努利大数定律，发表在1713出版的遗著《猜 度术》中。美国概率史专家海金（Hacking）称 此书标志着“概率漫长的形成过程的终结与数学 概率论的开端”。
概率论与随机过程
黎淑兰
学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 2. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，《概率论中的反例》 4. 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材
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教学安排
先修课程：高等数学，概率论 考试：闭卷，期末70%，平时30% 电子邮件：lishulan@ 手机 15210631976
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一、概率论与随机过程的历史及应用
1. 概率论的诞生及发展
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家 们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生 长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学 这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里 得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
1651年,一个名叫梅累的骑士和朋友保罗各出30枚金 币作为赌金，两人事先选好一个点数，梅累选择了 “5”，保罗选择了“3”，游戏规则是：如果谁先掷 出了3次自己所选的点数，谁就赢得全部60个金币。游 戏进行到梅累掷出2次“5”点，保罗掷出1次“3”点 时，由于发生一个紧急事情，梅累必须马上离开，游 戏因此中断，两人为赌本的分配问题争执不下，恰逢 帕斯卡经过梅累他们所在的小镇，于是梅累就“分赌 金问题”求教于帕斯卡。
北邮概率论1-4(new)
24
由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1
B
A4 A2
A7
A5 A6
A8
诸Ai是原因 B是结果
25
贝叶斯公式：
设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω 的一个划 分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且 P(B)>0, 则
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
26
例 盒中12个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3 个球，用后放回。第三次比赛时3个球，取到3个 新球的概率。
它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
23
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
12
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 .
A3 A1
B
A4 A2
A7
A5 A6
A8
诸Ai是原因 B是结果
25
贝叶斯公式：
设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω 的一个划 分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且 P(B)>0, 则
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1,2,, n
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
26
例 盒中12个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3 个球，用后放回。第三次比赛时3个球，取到3个 新球的概率。
它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
23
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
12
乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
概率论与数理统计第一章课件
样本均值
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
北邮概率统计课件1.5条件概率
的
概率都是1/5.
这就是有关抽签顺序问题的正确解答: 抽签不必争先恐后.
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
例 6． 箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优
名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶． 问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒,同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶,第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大? 解：设 A {第 一 个 人 拿 到 两 瓶 部 优 酒 } 名
定理1： 设 P(B)>0 或 P(A)>0，则:
二. 乘法原理
P( AB) P( B) P( A B) P( A) P( B A)
注：乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB)
( 2) P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( An A1 A2 An1 )
非负性
P ( Bi A) P ( Bi A)
i 1 i 1
2013-8-9
可列可 加性
概率统计
北邮概率统计课件
2．性质 在第三节中概率的性质1 ~性质 5 对条件概率都成 立, 其它相关的性质请见常用的有：
(1) P ( B ) 0 ( 2) P ( A B ) 1 P ( A B ) ( 3) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B )
3. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
概率论课件第一章 随机事件与概率
若A B，则必有A∪B=B，称之为并的“吸收律”。
当A、B互斥时，A∪B可记为A+B。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则 n Ai n Ai
i 1
i 1
如果事件A1，A2， … ，An两两互斥，且
Ω=A1+A2+…+An
则称这n个事件构成互斥完备群(若基本事件互不相容，则
他们的和为必然事件)。
数理统计部分： 数理统计的基本概念 参数估计 假设检验
第一章 随机事件与概率
§1.1 随机现象与随机试验 随机试验与随机事件 事件的关系与运算
§1.2 概率的定义 概率的统计定义 概率的古典定义 概率的几何定义 概率的公理化定义
§1.3 条件概率与独立性 条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性
参考书： 《概率论与数理统计》，第三版 ，浙江大学 盛骤
等编，高等教育出版社 《概率论与数理统计》，第二版 ，栾长福等编著，
华南理工大学出版社 《概率论与数理统计学习指导》，栾长福等编著，
华南理工大学出版社
概率论与数理统计
概率论部分： 随机事件与概率 一维随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理
可列多个事件的和事件是指一列事件A1…An中 至少有一个发生；
A1发生，或A2发生，…，或An发生；
某一个发生，或某两个发生，…，或都发生。
n
记为 Ai ，或 A1 A2
An。
i 1
一系列事件A1…An…中至少有一个事件发生，记
为
Ai
i1
2.事件的积
事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。 记为AB或A∩B。
Ω4=[0，+∞)={x∈R∣0≤x＜+∞}