《概率论与数理统计》习题三答案

《概率论与数理统计》习题及答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.

0 1 2 3 1 0 0 3

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.

0 1 2 3 0 0 0 1 0

2

P (0黑,2红,2白)=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,

0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由

-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=⎰⎰

⎰

⎰

得 A =12 （2） 由定义，有

(3) {01,02}P X Y ≤<≤<

X

Y

X

Y

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ；

（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

故 1

8

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=⎰⎰

(3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

⎰⎰⎰⎰如图

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

⎰⎰⎰⎰如图b

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩

⎨⎧>-.,0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. 题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

而 所以

(2) 5()(,)d d 25e

d d y

y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

⎰⎰⎰⎰如图

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,

0,

0,0),1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.

8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩

其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

⎰

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,

0,

0,其他e y x y

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

⎰

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,

0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

⎰⎰

⎰⎰如图

得

21

4

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

⎰

11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

⎰

所以

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大

的号码为Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

3 4 5 1 2 0 3 0 0

(2) 因{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===

⨯=≠=== Y

X