因式分解培优专题

把下列各式因式分解 2 m2

m 1

a x abx

a(a b)3 2a 2(b

m

m3

acx ax a)2 2ab(b a)

(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第

2.利用提公因式法简化计算过程 例•

计算

987

987

例：计算123

268 -

1368 1368

分析：算式中每一项都含有 竺 1368

987

521

1368

，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

456

987 1368

解:

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

举一反三：

1、分解因式：

(1) 4m 2n 3

12m 3n 22mn

3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组 2x y 3

, 5x 3y 2

求代数式(2x

y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。

(2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数)

初三数学因式分解培优专题(一)

一、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是：

(1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。

(2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解

析】 1.

(1)

(2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解：

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数

n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数

即可。 解：

一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。

解：

(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当

n 为自

然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。

解：

5、中考点拨：

例1。因式分解3x(x 2)

(2 x)

解：

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3

2( p 1)2

解：

(3) a(a b)3 2a2 (b a)2 2ab(b a)2

2.计算：(2)11 ( 2)10的结果是()

A. 2100

B. 210

C. 2

D. 1

3. 已知X、y都是正整数，且X(X y) y(y X)仁，求X、。

4. 证明：817279913能被45整除。

、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：

平方差公式 2 2

a b (a b)(a b)

完全平方公式 2 a 2ab b2 (a b)2

立方和、立方差公式 3 a b3但b)但2ab b2)

补充：欧拉公式：

a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)

2(a b c)[( a b )2(b c)2(c a)2]

特别地：（1 ）当a b c o 时，有a3b3c33abc

（2）当c o时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，

正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把a22a b2 2b分解因式的结果是（）

A. (a b)(a 2)(b 2) B (a b)(a b 2)

C. (a 2 2

b)(a b) 2 D. (a 2b)(b 2a)

分析 2 a 2a b2 2b a2 2a 1 b2 2b 1 (a 1)2(b 1)2。

再利用平方差公式进行分解，最后得到（a b）（a b2），故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的

形式。同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式2X3X2 m有一个因式是2X1，求m的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。

解：

3. 在几何题中的应用。

例：已知a、b、c是ABC的三条边，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0，试判断ABC的形状。

分析：因为题中有a2、b2、ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。

解：

4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是

8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：

5、中考点拨：

例1:因式分解：x3 4xy2 __________________________________ 。

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2 :分解因式：2x3y 8x2y2 8xy3 _________________________ 。

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：

例1. 已知： 1

a m

1, 1

b m 2, c

» 3，