高考数学难点突破难点31 数学归纳法解题

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高考数学最后冲刺数学归纳法突破

数学归纳法突破归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。

这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。

由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

例1. 已知数列811322··，得，…，8212122··nn n()()-+，…。

Sn为其前n项和，求S1、S 2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明。

【解】计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，猜测Sn＝()()2112122nn+-+(n∈N)。

当n＝1时，等式显然成立；假设当n＝k时等式成立，即：Sk＝()()2112122kk+-+，当n＝k＋1时，Sk+1＝Sk＋81212322··()()()kk k+++＝()()2112122kk+-+＋81212322··()()()kk k+++＝()()()()()() 21232381212322222k k k kk k+⋅+-+++++··＝()()()()()212321212322222k k kk k+⋅+--++·＝()()2312322kk+-+,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。

数学归纳法在解题中的常见技巧与思路

数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。

它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。

在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。

一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。

归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。

通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。

这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。

例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。

我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。

因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。

如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。

对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。

因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。

三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。

对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。

我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。

根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。

通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。

四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。

高考数学易错点整理及解题的方法技巧

高考数学易错点整理及解题的方法技巧高考数学考试要取得好成绩，除了扎实的基础知识，还要掌握方法和技巧。

下面是小编整理的高中数学考试怎么答和方法技巧，希望能对大家有所帮助。

1、高考答题应先易后难，先做简单的数学题，再做复杂的数学题;根据自己的实际情况，跳过实在没有思路的高考数学题，从易到难。

2、先高分后低分，在高考数学考试的后半段时要特别注重时间，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，对那些拿不下来的数学难题也就是高分题应“分段得分” ，以增加在时间不足前提下的得到更多的分，这样在高考中就会增加数学超常发挥的几率。

3、同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。

建议同学们在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

4、高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

它既是寻找问题解决切入点的“法宝” ，又是优化解题途径的“良方” ，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

1.不能实现二次函数，一元二次方程和一元二次不等式的相互转换。

2.二次函数令 y 为0→方程→看题目要求是什么→要么方程大于小于 0，要么刁塔(那个小三角形)b 的平方-4ac 大于等于小于 0 种.种。

3.比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。

4.忽略对数函数单调性的限制条件导致失误。

5.函数零点定理使用不当致误。

f(a)xf(b)<0，则区间 ab 上存在零点。

6.忽略幂函数的定义域而致错。

高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧

高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧数列和数学归纳法是高考数学中的重要考点，掌握相关解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍高考数学中的数列和数学归纳法题解技巧，帮助考生更好地应对考试。

一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在高考数学中，常见的数列有等差数列、等比数列和等差中项数列。

掌握数列的基本概念和性质是解题的基础。

以等差数列为例，设数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过这一公式，我们可以求得数列的任意一项的值。

同时，还需了解等差数列的前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2此外，还需掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，以及等差中项的计算方法等相关性质。

二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是解决数列相关问题常用的数学推理方法，也是高考数学中常见的一种解题技巧。

掌握数学归纳法的基本原理对于解题至关重要。

数学归纳法的基本原理分为三步：1. 验证基本情况：证明当n取某个特定值时命题成立。

2. 假设成立：假设当n=k时命题成立，即前k项满足题设条件。

3. 推理步骤：利用假设成立和题设条件推导出n=k+1时，命题也成立。

通过以上步骤，我们可以得出命题对于一切自然数n都成立的结论。

三、数列与数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列和数学归纳法常常结合使用，解决一些复杂的问题。

以下是一个综合应用的示例题目：【例】设数列{an}满足an = 2^n - 1，证明aₙ > n，其中n为自然数。

解析：我们通过数学归纳法来解决这道题目。

（1）验证基本情况：当n=1时，a₁ = 2¹ - 1 = 1 > 1，基本条件成立。

（2）假设成立：假设当n=k时命题成立，即aₙ > k。

（3）推理步骤：当n=k+1时，aₙ₊₁ = 2^(k+1) - 1 = 2 × 2^k - 1 = 2 × (2^k - 1) + 1根据假设成立的条件，aₙ > k，我们可以得到aₙ₊₁ > 2k + 1 > k + 1所以，通过数学归纳法可知，数列{an}满足an = 2^n - 1时，aₙ > n，命题成立。

数学归纳法在解题中的技巧

数学归纳法在解题中的技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体内容转变方法存有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段探讨法：适用于于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于于存有显著几何意义的情况。

2、因式分解根据项数挑选方法和按照通常步骤就是顺利进行因式分解的关键技巧。

因式分解的通常步骤就是：提取公因式；选择用公式；十字相乘法；分组分解法；拆项添项法；3、分体式方法。

利用全然平方公式把一个式子或部分化成全然平方式就是分体式方法，它就是数学中的关键方法和技巧。

分体式方法的主要根据存有：4、换元法。

解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、未定系数法。

未定系数法就是在未知对象形式的条件下求对象的一种方法。

适用于于求点的座标、函数解析式、曲线方程等关键问题的化解。

其解题步骤就是：①设立②列于③求解④写下6、复杂代数等式。

复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。

①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最了不起的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)谋值域范围的思路列于欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式。

基本思路是：把√m化成完全平方式。

即：9、观察法10、代数式求值方法存有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)特别注意：当表达式的代数式就是字母的“等距式”时，通常可以化成字母“和与内积”的形式，从而用“和内积代入法”表达式。

11、解含参方程。

方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。

解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型解(2)根据需要讨论(3)分类写下结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任一x都设立关于x的方程ax+b=0存有无数个求解a=0且b=0。

高考数学归纳法解题

难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想；抽象与概括；从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明；不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列；当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时；均有；a n +c n ＞2b n .命题意图；本题主要考查数学归纳法证明不等式；属★★★★级题目.知识依托；等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析；应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立；不应只证明一种情况. 技巧与方法；本题中使用到结论；(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)；从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明；(1)设a 、b 、c 为等比数列；a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n qb +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列；则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n(n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明；①当n =2时；由2(a 2+c 2)＞(a +c )2；∴222)2(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立；即,)2(2kk k c a c a +>+ 则当n =k +1时；41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中；a 1=1；当n ≥2时；a n ,S n ,S n －21成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4；并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图；本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托；等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析；(2)中；S k =－321-k 应舍去；这一点往往容易被忽视. 技巧与方法；求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项；21为公差的等差数列；进而求得通项公式.解；∵a n ,S n ,S n －21成等比数列；∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1；a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得；a 3=－152同理可得；a 4=－352,由此可推出；a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时；由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时；a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知；a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题；若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)；可以推出P (k +1)成立(归纳)；则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明；恒等式；不等式；数的整除性；几何中计算问题；数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )；则最大的m 的值为( )2.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子；474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________；由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除；其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数；求证；2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列；b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和；试比较S n 与31log a b n +1的大小；并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足；a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式；又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解；假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立；这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=101133970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a 于是；对n =1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立；即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说；等式对n =k +1也成立.综上所述；当a =3,b =11,c =10时；题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析；∵f (1)=36,f (2)=1=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除；猜想f (n )能被36整除. 证明；n =1,2时；由上得证；设n =k (k ≥2)时； f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除；则n =k +1时； f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除；∴所求最大的m 值等于36. 答案；C2.解析；由题意知n ≥3；∴应验证n =3. 答案；C 二、3.解析；11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n 三、5.证明；(1)当n =1时；42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时；42k +1+3k +2能被13整除；则当n =k +1时； 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除；42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知；当n ∈N *时；42n +1+3n +2能被13整除.6.证明；(1)当n =2时；2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立；即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解；设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明；由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是；比较S n 与31log a b n +1的大小⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1；有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2；有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>> 推测；(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时；已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立；即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时；)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时；(*)式成立由①②知；(*)式对任意正整数n 都成立. 于是；当a ＞1时；S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时；S n ＜31log a b n +18.解；∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0, ∴q ≠0,a 2=－29, ∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除；得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是；a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想；a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②；猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证；(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时；a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时；由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时；a 2k =－21q k,则n =2k +2时；由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立；可推知n =2k +2也成立. 综上所述；对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(221)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。

高考数学压轴—数学归纳法(含解法)

高考数学压轴—数学归纳法（含解法）运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为_____。

A. 2k ＋1B. 2(2k ＋1)C.211k k ++ D. 231k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2k -1 B. 2k －1 C. 2k D. 2k ＋13. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。

现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得______。

(94年上海高考)A.当n ＝6时该命题不成立B.当n ＝6时该命题成立C.当n ＝4时该命题不成立D.当n ＝4时该命题成立4. 数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时a n ＝a n -1＋2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是_____。

A. 3n －2B. n 2C. 3n -1 D. 4n －3 5. 用数学归纳法证明342n +＋521n + (n ∈N)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子3412()k ++＋5211()k ++应变形为_______________________。

6. 设k 棱柱有f(k)个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。

高考数学热点问题专题解析——数学归纳法

数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。

证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。

在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立。

第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。

可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++≤ 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ≥+，n k =时，不等式为321k k ≥+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +≥+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+≤-()()()1313131n n n n +∴-≤+- 1133331n n n n n n n ++⇔⋅-≤⋅+-- 321n n ⇔≥+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =≥∈时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=⋅≥+=+>++ 所以1n k =+时，不等式成立n N *∴∀∈，均有131n n S n S n++≤ 小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++∈ （1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭解：（1）2632n nn S a a =++ ① ()21116322,n n n S a a n n N *---=++≥∈ ②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-⇒+=-0n a > 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a ∴是公差为3的等差数列()131n a a n ∴=+-，在2632n nn S a a =++中令1n =可得： 211116321S a a a =++⇒=（舍）或12a =31n a n ∴=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +⎛⎫⋅⋅⋅> ⎪-⎝⎭，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。

高三数学高效课堂资料学案三十一归纳法

高三数学高效课堂资料学案三十一数学归纳法（数列学案五，共五个）一、考点与能力要求了解数学归纳法的原理，能熟练运用数学归纳法证明一些与正整数数n 有关的的命题。

二、知识讲解（一）预备知识1．数学归纳法的概念数学归纳法：在证明某些与自然数有关的命题时，如果先证明当n 取第一个值n 0时命题成立，然后假设当n=k 时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立，那么命题对于n 0n ≥的一切自然数均成立。

（其本质是一种递推关系；它与归纳法有什么区别与联系？）2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明当n 取第一个值n 0时结论成立；（0n 是使结论成立的最小正整数，不一定是1,如多边形的内角和为（n-2）π，其中n 最小为3）（2）假设当n=k 时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立。

从而推出命题对所有的正整数都成立。

（二）基础知识析理数学归纳法（1）基础解读：数学归纳法是一种重要的证明与正整数有关的命题的方法，关键有两个步骤，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。

（2）应用：○1用数学归纳法证明1+)1(1213121>∈<-+++n N n n n 且第二步证明从k 到 k+1，左端增加的项数是（）A.12-kB.k 2C.k 2-1D. k 2+1○2用数学归纳法证明当n 为正奇数时，n n y x +能被y x +整除，第二步归纳假设应写成（）A. 假设)(12*N k k n ∈+=时成立，再证32+=k n 时成立B. 假设)(12*N k k n ∈-=时成立，再证12+=k n 时成立C. 假设k n =（k 是正奇数）时成立，再证1+=k n 时成立D. 假设)(*N k k n ∈≤时成立，再证2+=k n 时成立三、典题举例与解题指导知识能力考查点：1.归纳-猜想-证明这一题型的思路方法；2.利用数学归纳法证明推理的正确性。

高中数学专题复习数学归纳法的解题应用知识点例题精讲

数学归纳法的解题运用【高考能力要求】数学归纳法是证明与自然数有关的问题，在近年的高考题中，一般不作单独的考题，而是以应用为主，且常与数列、函数、不等式、导数等结合起来进行考查，主要考查归纳、猜想、证明的数学思想方法，若出现在押轴题中则往往难度较大，分值为7分左右。

涉及的主要解题方法是先求出它的前几项,找出其规律、归纳出其共有形式(如问题的一般规律、结构特征等)，才能作出正确的猜想,然后用数学归纳法加以证明.其解题模式是:归纳⇒猜想⇒证明。

在用数学归纳法证明时，要注意正确掌握数学归纳法原理和证明步骤，特别在证明不等式时要注意结合不等式证明的放缩法、分析法等方法。

【例题精讲】【例1】已知函数)(x f 满足1)1(),0,,()()(=≠∈+=f b R b a b x af x xf ，且使x x f =)(成立的实数x 是唯一的。

（1）求函数)(x f 的解析式、定义域、值域；（2）如果数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12)(++=n a f nS n n ，试求此数列的通项公式。

分析：（1）由1)1(=f 及x x f =)(有唯一解建立关于b a ,的方程组，解出b a ,即可；（2）利用n n n S S a -=++11将已知条件转化为1+n a 与n a 的递推关系式，从而猜想出n a 的表达式并用数学归纳法加以证明。

解：（1）ax bx f -=)(，∵ b a f =-⇒=11)1( ① 由x x f =)(得 02=--b ax x 有唯一解，∴ 042=+=∆b b ② 由①②得 1,2-==b a ，∴xx f -=21)(，其定义域为{}2|≠x x ，值域为{}0|≠y y（2）∵ 12)(++=n a f n S n n ，xx f -=21)(，∴n n n na n n a n S -+=++-=)14(12)2(，当1=n 时，255111=⇒-=a a S 。

高考数学难点突破_难点31__数学归纳法解题

104难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ).●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n +c n=nn qb +b n q n =b n (nq1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2nnc a+＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a+>+②设n =k 时成立，即,)2(2kkkc a c a+>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a(a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c )＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{nS 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得105通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*)(1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立. ②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0 ∴S k =321,121--=-k S k k (舍)由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除106f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++nn n .7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2107=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24) =12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k+9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k=(6k +27)·3k－(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2 (k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C 二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *)112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *)53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析73:答案、83、93、10353=n三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2 )∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除108∴当n =k +1时也成立. 由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++(2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知 S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1 的大小⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41) (1)231-n )＞313+n (*)①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41) (1)231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k10931)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0, ∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n (n =1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1 ∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k ,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立.综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1 )－21 (q +q 2+…+q n ))24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q qq nnn---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(q qqn---依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。

高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)

二、数学归纳法的证明步骤
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。注意：（1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）．（2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】

高考数学难点突破-难点31--数学归纳法解题Word版

难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k)(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n q b +b n q n =b n (n q1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n+9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a c b a c b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k=(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2) ∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2(2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1的大小⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n…猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=2(1+q +q 2+…+q n -1)－21 (q +q 2+…+q n))24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

2024高考数学数学归纳法知识点整理

2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。

它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。

在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。

本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。

这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。

2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。

这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。

2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。

这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。

2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。

这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。

3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。

以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。

3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。

例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。

3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。

例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。

4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。

高考数学中的数学归纳法

高考数学中的数学归纳法高考数学是中学阶段的最后一次考试，也是学生们备受关注的考试之一。

其中，数学科目通常是考生们最为关注的科目之一，因为数学知识点繁杂，要求掌握的方法、技巧也相对繁琐。

其中，数学归纳法是高考数学中的一个非常重要的知识点之一，在此，我们将深入探讨高考数学中的数学归纳法。

一、数学归纳法基础数学归纳法是数学证明的一种基本方法，用来证明一个命题对整数“自然数集合”中的所有自然数都成立。

即把命题对自然数进行递归论证。

这种方法常常被用于数学证明中，能够使一道问题的证明变得比较简单和优雅。

在数学归纳法中，需要证明以下两个条件成立：1.基本步骤：证明命题对于n=1成立。

2.归纳步骤：对于所有的k，如果命题对于n=k成立，则命题对于n=k+1也必然成立。

通过这两个步骤，能够得到整个数列的正确性，也就证明了该命题在自然数集上成立。

二、数学归纳法的应用范围数学归纳法可以被应用在多个数学领域中，与各种数学理论和概念有关。

例如，它可以被用来证明等差数列和等比数列等的公式，同时也可以被用来证明与斐波那契数列和多项式恒等式相关的问题。

在高考数学中，数学归纳法同样被广泛应用。

例如，在数列部分的求和问题中，我们可以借助数学归纳法来解决相关问题。

具体而言，可以用归纳法来证明等差数列的求和公式, 同时也可以用归纳法来证明等比数列的求和公式。

三、数学归纳法的实际应用数学归纳法不仅仅在数学领域中有广泛的应用，同时也被广泛应用在各种其他领域中。

例如，在计算机科学领域中，数学归纳法可以被用来证明递归算法的正确性。

在生物科学领域中，数学归纳法也被用来描述和证明种群数量问题和几何规律等问题。

在经济学领域中，数学归纳法也被用来证明消费者决策和竞争行为偏好等问题。

总的来说，数学归纳法在许多不同领域中都有着广泛的应用，使得研究问题变得更加简单和易于了解。

结语数学归纳法作为数学证明中的一种基本方法，被广泛应用于各种数学领域以及其他更广泛的领域中。

高考数学总结归纳点拨数学归纳法解题

数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n nq b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2(2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32 由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152 同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21) ∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21) .1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k 由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.。