初中数学旋转解题几何

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初中数学几何移动,旋转路径问题

初中数学是学生们接触到的第一个较为抽象和复杂的数学学科，而几何是其中的一个重要内容。

几何学涉及到了很多抽象的概念和性质，初中阶段的学生们常常需要花费较多的时间和精力来理解和掌握这一部分知识。

在几何学中，移动和旋转路径问题是一个常见的主题。

本文将介绍初中数学几何中的移动和旋转路径问题，希望能够为学生们提供一些帮助。

一、移动路径问题在几何学中，移动路径问题是指在平面上某一点经过一系列移动后到达另一点的路径问题。

这种问题常常需要考虑点的坐标、方向和距离等因素。

初中阶段的学生们在学习了坐标系和平面几何以后，就可以开始接触这一类问题。

1.1 点的坐标在移动路径问题中，点的坐标是非常重要的概念。

学生们需要了解如何用坐标来表示平面上的点，以及如何根据点的坐标进行移动。

给定平面上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，学生们需要计算出从点A移动到点B的路径。

1.2 方向和距离除了坐标外，方向和距离也是移动路径问题中需要考虑的因素。

学生们需要知道如何根据给定的方向和距离来确定移动的路径。

如果一个点向上移动3个单位，向右移动4个单位，那么它最终的位置将是在坐标系原点上方3个单位，右边4个单位的位置处。

1.3 实际应用移动路径问题不仅仅是数学中的抽象概念，它们也有着广泛的实际应用。

在日常生活和工程技术中，移动路径问题常常涉及到物体的位置变换和路径规划等内容。

学生们需要在学习移动路径问题时，也要能够将所学知识与实际应用相结合，更好地理解和运用相关知识。

二、旋转路径问题在几何学中，旋转路径问题是指在平面上某一图形经过一定旋转后到达另一位置的路径问题。

这种问题需要考虑到图形的旋转角度、中心和方向等因素，并且常常需要运用三角函数等知识来求解。

2.1 旋转角度在旋转路径问题中，旋转角度是一个非常重要的概念。

学生们需要了解如何根据给定的旋转角度来确定图形的最终位置。

如果一个三角形绕着一个点逆时针旋转90度，那么它将到达什么位置？2.2 旋转中心除了旋转角度外，旋转中心也是一个必须要考虑的因素。

初中数学九年级旋转知识点

初中数学九年级旋转知识点在初中数学九年级，旋转是一个重要的几何变换方法。

通过旋转，我们可以改变图形的位置和方向，从而帮助我们解决一些几何问题。

本文将介绍九年级数学中与旋转相关的知识点，包括旋转的定义、旋转的性质以及旋转的应用。

一、旋转的定义旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，保持图形内部的点与固定点的距离保持不变。

旋转的固定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。

九年级数学中常用的旋转角度有90度、180度和270度。

二、旋转的性质1. 旋转保持图形面积不变：无论如何旋转一个图形，它的面积都保持不变。

2. 旋转保持图形周长不变：无论如何旋转一个图形，它的周长也保持不变。

3. 旋转保持图形对称性不变：如果一个图形是对称的，那么它的旋转图形也将保持对称性。

三、旋转的应用1. 确定旋转后的图形：通过给出旋转中心和旋转角度，我们可以确定旋转后的图形。

例如，给出一个三角形ABC，旋转中心为点O，旋转90度，我们可以通过连接OA、OB和OC来确定旋转后的图形。

2. 解决几何问题：旋转常常被用于解决一些几何问题。

例如，在证明两个图形相似时，可以通过旋转一个图形使其与另一个图形重合，从而得到相似的证明。

3. 观察图形性质：通过观察旋转后的图形，我们可以揭示一些图形的性质。

例如，通过旋转正方形，可以发现旋转后的图形仍然是正方形，这说明正方形具有旋转对称性。

四、注意事项在进行旋转时，需要注意以下几点：1. 旋转角度是逆时针方向旋转：九年级数学中的旋转一般都是逆时针方向旋转，所以在进行旋转时需要根据旋转角度确定旋转方向。

2. 旋转中心的选择：选择旋转中心时，需要注意选择一个能够旋转整个图形的点，使得旋转后的图形可以被完全覆盖。

3. 使用适当的工具：在实际操作中，可以使用直尺、量角器等几何工具来进行旋转操作，以确保旋转的准确性。

总结：初中数学九年级的旋转知识点是我们在几何学习中重要的一部分。

通过学习旋转的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和解决与旋转相关的问题。

初中数学旋转题型

初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。

掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。

下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。

1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。

解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。

2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。

解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。

3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。

解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。

4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。

解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。

5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。

解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。

以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。

数学人教版九年级上册利用旋转的方法解题

利用旋转解题教学设计学习目标：1、学会利用旋转的辅助线方法解决有关比较分散的条件背景下的几何问题；2、通过类比分析学会总结得出能使用旋转辅助线方法的常见背景，及旋转的基本方法；3、通过对通性通法的总结分析学会解决各种变化情形下的灵活运用问题，并在此过程中逐步提高数学思维分析能力。

学习重点：学会利用旋转的方法解决有关几何问题学习难点：如何作出旋转的辅助线将分散的条件及结论集中学习过程：初中数学几何变换包括平移、旋转、轴对称（翻折）。

这些变换的方法改变了图形的位置，但是不改变图形的形状和大小。

我们常利用这个这个特点通过这些变换方法将一些分散的线段、角的集中到一起，从而解决一些难以解决的几何问题。

下面就我平时教学中的一些体会对旋转的解题方法进行一个简单总结和归纳，希望能让同学们对旋转的解题方法能够更好地掌握。

一、旋转解题常见背景及方法（一）等边三角形背景例1：如图，点O 是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，试证明：∠AOB ＝150°.分析：条件与结论似乎相差甚远，且条件分散不好用，但三个数据使我们想到勾股数，若能将此三条线段集中到一个三角形就好了，考虑到等边三角形的条件，有相等的线段，可考虑旋转的方法，将△BOC绕点B逆时针旋转60°的△BDA，则易得△ADO为等边三角形，问题解决。

小结：有等边三角形则有相等的线段，为旋转后能重合的线段提供了条件，再加上等边三角形60°的角，为旋转后再次出现等边三角形提供了条件，使得题目所有条件迅速贯通，问题轻松解决。

还可尝试其他旋转办法进一步体验利用相等线段可以重合来构造旋转解决问题。

（二）等腰直角三角形背景例2：如图，△ABC是等腰直角三角形，C为直角顶点．（1）操作并观察：将三角尺45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于点E、F，然后将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转，观察点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最大线段是否始终是EF？（2）线段AE、EF、BF能组成以EF为斜边的直角三角形吗？请说明你的理由．分析：从结论猜想可以将这三条线段集中到一个三角形中，证明其是直角三角形则问题全部解决，考虑到条件等腰直角三角形中AC=BC，∠ACB=90°，具备了旋转的条件，可将△CBF绕点C顺时针旋转90°得△CAM，再连ME，三条线段全部集中到了△MAE中，证出∠MAE=90°即可。

初三数学旋转的题解题方法(一)

初三数学旋转的题解题方法(一)初三数学旋转的题解题方法旋转概念介绍旋转是指图形在平面内绕定点旋转一定角度所得到的新图形。

旋转是初中数学中的一个较难的部分，但对于理解几何变换有很大帮助。

旋转的表示方法在平面中，旋转可以通过角度和旋转中心来表示。

角度可以用弧度制或度数制来表示，而旋转中心就是图形围绕旋转的点。

旋转的应用旋转有很多应用，尤其是在几何题目中常常会出现旋转的情况。

以下是两个例题：例题一已知点A(4,3)，将点A沿着坐标轴旋转180度，求旋转后的坐标。

解：点A与坐标轴的关系如下图所示。

| y|| A-----0-----| x将点A沿着x轴旋转180度后，坐标变为(4,-3)；再将点A沿着y轴旋转180度后，坐标变为(-4,-3)。

所以点A沿着坐标轴旋转180度后，坐标为(-4,-3)。

例题二已知线段AB，将线段AB沿点C旋转α角，求旋转后的线段坐标。

解：如下图所示，线段AB以点C为中心旋转α角度后，变成线段A’B’。

C|||A--------B||假设向量AC的坐标为(a,b)，则向量A’C的坐标为(a cosα+b sinα, -a sinα+b cosα)。

同理，向量BC的坐标为(c,d)，则向量B’C的坐标为(c cosα+d sinα, -c sinα+d cosα)。

因此旋转后的线段坐标为(A’C,B’C)。

以上是初三数学旋转的题解题方法，希望能帮到正在学习数学的同学们。

旋转的注意事项在解决旋转问题时，需要注意以下几点：•旋转角度的正负：顺时针旋转为负角度，逆时针旋转为正角度。

•旋转坐标系的选择：旋转坐标系可以是直角坐标系、极坐标系或其他坐标系，需要根据具体的题目情况选择。

•旋转位置的确定：需要确定旋转的中心点和旋转方向。

•旋转后图形的形状：可通过观察旋转前后图形的变化，来判断旋转后图形的形状，进而求解相关问题。

总结旋转是初中数学中一个比较重要的概念，其应用广泛，在解决几何问题时非常有用。

初中数学《几何旋转》重难点模型汇编(四大题型)含解析

专题旋转重难点模型汇编【题型1手拉手模型】【题型2“半角”模型】【题型3构造旋转模型解题】【题型4奔驰模型】【题型5费马点模型】【题型1手拉手模型】1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2-2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α0°<α<360°，分别连接CE、BD．(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)△BCD的面积的最大值为3-2，旋转角α=135°【详解】(1)证明：由题意得，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴CE =BD ；(2)证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90°，在△ACE 和△ABD 中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90°，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90°，∴∠EFB =90°，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，∴BC =AB 2+AC 2=2，CD =AC +AD =2，∴BC =CD ， ∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；(3)解：在△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时，△BCD 的面积有最大值，∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，DG ⊥BC ，∴AG =12BC =1，∠GAB =45°，∴DG =AG +AD =3-2，∠DAB =180°-45°=135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC ⋅DG =12×2×3-2 =3-2，此时旋转角α=135°．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，D ，E分别为AC ,BC 的中点，将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转得到△CD E (如图2)，使直线D E 恰好过点B ，连接AD ．(1)判断AD 与BD 的位置关系，并说明理由；(2)求BE 的长；(3)若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D E 过Rt△ABC的一个顶点时，请直接写出BE 长的其它所有值．【答案】(1)AD ⊥BD ，见详解(2)14-22(3)2+142或14-2 2【详解】(1)解：AD 与BD 的位置关系为AD ⊥BD ．∵AC=BC，D，E分别为AC,BC的中点，∴CD=CE，即CD =CE ，∵∠C=90°，即∠BCA=∠D CE =90°，∴∠ACD =∠BCE ,∴△CD A≌△CE B，∴∠CE B=∠CD A，∵∠C=90°，CD =CE ，AC=BC，∴∠CD E =∠CE D =∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CE B=∠CD A=135°，∴∠AD B=135°-45°=90°，即：AD ⊥BD ．(2)解：Rt△ACB中，AC=BC=2，∴BA=AC2+BC2=22，同理可求D E =2，∵△CD A≌△CE B，∴AD =BE ，设AD =BE =x，在Rt△AD B中，由勾股定理得：x2+2+x2=222，解得：x=14-22(舍负)，∴BE =14-22．(3)解：①经过点B 时，题(2)已求BE =14-22；②经过点A 时，如图所示，同理可证：△CD A ≌△CE B ，∴∠D AC =∠E BC ，BE =AD∵∠1=∠2，∴∠AE B =∠BCA =90°，设BE =AD =x ，在Rt △AE B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；③再次经过点B 时，如下图：同理可证：△CD A ≌△CE B ，AD ⊥BE ，设BE =AD =x ，在Rt △AD B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；综上所述：BE =2+142或BE =14-22．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键．3如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°．(1)【猜想】如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是，位置关系是；(2)【探究】：把△DCE 绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE 绕点C 在平面内自由旋转，若AC =6，CE =22，当A ，E ，D 三点在同一直线上时，直接写出BE的长．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)(1)中的结论成立，理由见解析(3)42-2或42+2【详解】(1)解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∠ACB=90°，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为：BE=AD，BE⊥AD；(2)解：(1)中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；(3)解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，DE=2，∴CM=EM=12在Rt△ACM中，AC=6，∴AM=AC2-CM2=42，∴AE=AM-EM=42-2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42+2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，DE=2，∴CN=EN=12在Rt△ACN中，AC=6，∴AN=AC2-CN2=42，∴AE=AN+NE=42+2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42-2；综上，BE的长为42-2或42+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．4已知：如图1，△ABC中，AB=AC∠BAC=60°，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，不难发现BD、CE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2位置时，写出BD、CE的数量关系；(2)当∠BAC=90°时，将△ADE绕A点旋转到图3位置．①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．【答案】(1)BD=CE(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明见解析，②45°或135°【详解】(1)∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，水不撩不知深浅∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE；(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明：如图，BD交AC于点F，交CE于点M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF中，∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠MFC，∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，∴∠FMC=90°，∴BD⊥CE，因此BD=CE，BD⊥CE；②如图，当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段CE上时，如图I所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB=∠EDB-∠ADE=45°；当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段DE上时，如图II所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB =∠EDB +∠ADE =135°；故∠ADB 的度数为：45°或135°．5△ABC是等腰直角三角形，点D 是△ABC 外部的一点，连接AD ，AB =AC =2AD =6，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，CE ，BD ．(1)如图1，当点D 在线段EC 上时，线段EC 与线段BD 的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，线段EC 交BD 于点P ，此时(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，请说明理由；(3)如图3，线段EC 交BD 于点P ，点Q 是AC 边的中点，连接DC ，PQ ，当DC =32时，求PQ 的长．【答案】(1)BD =CE ，BD ⊥CE(2)(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，理由见解析(3)PQ 的长为32【详解】(1)解：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴∠DAE =90°，AE =AD ，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD =CE ，∠ABD =∠ACE ，∴∠ACE +∠DBC +∠ACB =∠ABD +∠DBC +∠ACB =∠ABC +∠ACB =90°，∴∠BDC =90°，∴BD ⊥CE ；故答案为：BD =CE ，BD ⊥CE ；(2)解：(1)中线段EC 与线段BD 的关系依然成立；理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转 90° 得到线段AE ，∴∠DAE=90°，AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥CE；(3)解：连接PQ，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE=90°，AE=AD=3，∴DE=2AD=32，∵DC=32，∴DE=CD，由(2)知BD⊥CE，∴EP=CP，∵点Q是AC边的中点，∴PQ=12AE=32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型2“半角”模型】6如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B +∠D =180°，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，∠MAN =60°，请直接写出BN ，DM ，MN 之间数量关系．【答案】(1)MN =DM +BN (2)MN =BN -DM ，证明见解析(3)MN =DM +BN【详解】(1)解：MN =DM +BN ，证明如下：如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BAD =∠D =90°，，由旋转的性质可得：AE =AM ，BE =DM ，∠ABE =∠D =90°，∠DAM =∠BAE ，∴∠ABE +∠ABC =180°，∴点E 、B 、C 共线，∵∠DAM +∠BAM =90°，∴∠BAE +∠BAM =90°=∠EAM ，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BE +BN ，∴MN =DM +BN ；(2)解：MN =BN -DM ，证明如下：如图，在BC 上取BE =MD ，连接AE ，，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠ADC =∠BAD =90°，AB =AD ，∵∠ADC +∠ADM =180°，∴∠ADC =∠ADM =∠ABE =90°，在△ABE 和△ADM 中，AB =AD∠ABE =∠ADM BE =DM，∴△ABE≌△ADM SAS ，∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD ，∵∠BAE +∠EAD =∠BAD =90°，∴∠DAM +∠EAD =∠EAM =90°，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MAN AN =AN，∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BN -BE ，∴MN =BN -DM ；(3)解：如图，将△ABN 绕点A 逆时针旋转120°得△ADE ， ∴∠B =∠ADE ，AB =AD ，AE =AN ，∴∠B +∠ADC =180°，∴∠ADE +∠ADC =180°，∴点E 、D 、C 共线，∵∠BAN +∠NAD =∠BAD =120°，∴∠DAE +∠NAD =∠NAE =120°，∵∠MAN =60°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =60°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△EAM ≌△NAM SAS ，∴EM =MN ，∴MN =DM +BN ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．7如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD，连接D E ．(1)当∠BAC =120°，∠DAE =60°时，求证：DE =D E ；(2)当DE=D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在(2)的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必证明)【答案】(1)见解析(2)∠DAE=12∠BAC，理由见解析(3)DE=2BD【详解】(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴AD=AD ，∠CAD =∠BAD，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠D AE=∠CAD +∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，∴∠DAE=∠D AE，在△ADE和△AD E中，∵AD=AD∠DAE=∠D AE AE=AE，∴△ADE≌△AD E(SAS)，∴DE=D E；(2)解：∠DAE=12∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD E中，AD=AD AE=AE DE=D E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)，∴∠DAE=∠D AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，∴∠DAE=12∠BAC；(3)解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACD =45°，∴∠D CE=45°+45°=90°，∵△D EC是等腰直角三角形，∴D E=2CD ，由(2)DE=D E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴BD=C D ，∴DE=2BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．8学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠ADC =90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到△ADE 的位置，然后证明△AFE ≌△AFE ，从而可得EF =E F ．E F =E D +DF =BE +DF ，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，∠EAF =12∠BAD ，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，∠EAF =12∠BAD ，求证：EF =BE +DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是⊙O 的内接四边形，BC 是直径，AB =AC ，请直接写出PB +PC 与AP 的关系．【答案】(1)BE +DF =EF (2)证明见解析(3)PB +PC =2PA【详解】(1)解：结论：BE +DF =EF ，理由如下：证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于∠BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E 的位置，如图所示，可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ．由∠ADC+∠ADE =180°知，C、D、E 共线，∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠DAE +∠DAF=∠EAF=∠E'AF，∴△AEF≌△AE F，∴EF=E F=BE+DF．(2)证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点E 的位置，如图所示，由旋转可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ，∠B=∠ADE ，∠BAE=∠DAE ，AE=AE ．∴∠ADC+∠ADE =180°，∴点C，D，E 在同一条直线上．∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAE+∠DAF=1∠BAD，2BAD，∴∠DAE +∠DAF=12∠BAD，∴∠FAE =12∴∠EAF=∠FAE ．∵AF=AF，∴△FAE ≌△FAE，∴FE=FE ，即BE+DF=EF．(3)结论：PB+PC=2PA，理由如下：证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP ，使得AB与AC重合，如图所示，由圆内接四边形性质得：∠ACP +∠ACP=180°，即P，C，P 在同一直线上．∴BP=CP ，AP=AP ，∵BC为直径，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CAP +∠PAC=∠PAP ，∴△PAP 为等腰直角三角形，∴PP =2PA，即PB+PC=2PA．【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．9阅读下面材料．小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB、AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决这个问题(如图2)．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)写出小炎的推理过程；(2)如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足于关系时，仍有EF=BE+DF；(3)如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC =2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)∠B+∠ADC=180°(3)5【详解】(1)解：如图所示，将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF；(2)解：当∠B+∠ADC=180°时，仍有EF=BE+DF，理由如下：如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠B=∠ADG∵∠B+∠ADC=180°，∠B=∠ADG，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC=180°；(3)解：如图所示，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴∠B=∠ACG，BD=CG=1，AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°，∠ACG+∠ACB=90°，即∠ECG=90°，∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGE SAS，∴GE=DE，在Rt△CEG中，由勾股定理得GE=CE2+CG2=5，∴DE=GE=5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．10如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．(1)线段BF，EF，ED之间的数量关系是．(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)EF=BE+DF(2)MN2=BM2+DN2【详解】(1)解：结论：EF=BE+DF理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可知：AH=AE，∠ADE=∠ABH=90°，HB=DE，∠EAH=90°，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴F、B、H三点共线，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFH SAS，∴EF=FH，∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．(2)结论：MN2=BM2+DN2,证明如下：如图所示，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△BAG．∵BA=AD，∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知：AN=AG，∠ABG=∠ADB=45°，∠GAE=90°，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°-∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANM SAS，∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM2+BG2=GM2，∴MN2=BM2+DN2．【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．【题型3构造旋转模型解题】11如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF=EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE=2，DF=3，则S△AEF=15；④若AB=62，BM=3，则MN=5．其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【分析】根据旋转的性质得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB=AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，根据勾股定理即可得到S△AEF=15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN(SAS)，从而得MQ=MN，再证明∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°，设MN=x，再由勾股定理求出x即可．【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF和△AEH中，AH=AF∠EAH=∠EAF=45oAE=AE，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，∴∠AGE=∠ABE=90°，在△ABE与△AGE中，∠ABE=∠AGE∠AEB=∠AEGAE=AE，∴△ABE≌△AGE(AAS)，∴AB=AG，∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；∵BE=2，DF=3，∴EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，∴CE=n-2，CF=n-3，∴EF2=CE2+CF2，∴25=(n-2)2+(n-3)2，∴n=6(负值舍去)，∴AG=6，∴S△AEF=12×6×5=15．故③正确；如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ ，连接QM ，由旋转的性质得，BQ =DN ，AQ =AN ，∠BAQ =∠DAN ，∠ADN =∠ABQ =45°，∵∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠BAQ +∠BAE =∠DAN +∠BAE =90°-∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠MAN =45°，在△AMQ 和△AMN 中，AQ =AN∠MAQ =∠MAN AM =AM，∴△AMQ ≌△AMN (SAS )，∴MQ =MN ，∵∠QBM =∠ABQ +∠ABM =90°，∴BQ 2+MB 2=MQ 2，∴ND 2+MB 2=MN 2，∵AB =62，∴BD =2AB =12，设MN =x ，则ND =BD -BM -MN =9-x ，∴32+(9-x )2=x 2，解得：x =5，∴MN =5，故④正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF 和三角形AND ．12如图，已知点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA 、PB 、PC ．若PA =4，PB =2，∠APB =135°，则PC 的长为．【答案】26【分析】先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，根据旋转的性质得BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB= 135°，于是可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=2PB=22，∠PEB=45°，则∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，∴BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PE=2PB=22，∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC中，∵PE=22，CE=4，∴PC=42+(22)2=26．故答案为：26．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．13(1)问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC=；②线段AD，BE之间的数量关系；(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=12，DE=7，求AB的长度；(3)如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC=150°，∠APD=30°，AP=4，CP=3，DP=7，求BD的长．【答案】(1)①120°；②AD=BE；(2)13；(3)229【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)．得到∠ADC=∠BEC．利用△DCE为等边三角形，得到∠CDE=∠CED=60°，再利用点A，D，E在同一直线上，可得∠ADC=120°，即可得∠BEC=120°；(2)证明△ACD≌△BCE(SAS)，可得AD=BE=AE-DE=15-7=8，∠ADC=∠BEC，再证明∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，利用勾股定理求解即可；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，可得△BEC≌△APC，证明△PCE是等边三角形，证明∠BED=90°，再证明D、P、E在同一条直线上，求出DE，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD=BE；故答案为：①120°；②AD=BE．(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE=AE-DE=12-7=5，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．∴AB=AE2+BE2=144+25=13；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：AP=4，CP=3，DP=7则△BEC≌△APC，∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=4，∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=3，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∵∠APD=30°，∴∠DPC=150°-30°=120°，又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE=DP+PE=7+3=10，在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=229，即BD的长为229．【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中．【题型4奔驰模型】14如图，已知点D是等边△ABC内一点，且BD=3，AD=4，CD=5．(1)求∠ADB的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或绕点A逆时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将△ABD进行旋转；丙：我是将△ACD进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求∠ADB的度数；(2)若改成BD=6，AD=8，CD=10，∠ADB的度数=°，点A到BD的距离为；类比迁移：(3)已知，∠ABC=90°，AB=BC，BE=1，CE=3，AE=5，求∠BEC的度数．【答案】(1)∠ADB=150°(2)150，4.(3)∠BEC=135°【详解】(1)解：(1)选择甲：如图1，作∠DBE=60°，且BE=BD，连接DE，AE，则△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3，∠BDE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD=5，∵AD2+DE2=42+32=52=AE2，∴∠ADE=90°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°+60°=150°；乙：如图2，同理可得，∠BFD=60°，∠DFC=90°，∴∠ADB=∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+90°=150；丙：如图3同理可得，∠AGD=60°，∠BDG=90°，∴∠ADB=∠ADG+∠BDG=60°+90°=150；(2)同理(1)可得：AD2+BD2=CD2，∴∠ADB=150°，如图4，过点A作BD的垂线AH，垂足为H，∴∠ADH=30°，AD=4，∴AH=12故答案为：150，4.(3)如图5，将△ABE绕着点B顺时针旋转90°，得到△CBF，连接EF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF=1，AE=CF=5，∴∠FBE=∠BEF=45°，∴EF2=BE2+BF2=2∵EF2+EC2=2+3=5=AE2，∴∠FEC=90°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=45°+90°=135°【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．15(1)问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP 处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求∠APB的度数，写出求解过程；(2)拓展研究：请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF 之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)150°，见解析；(2)①BE2+CF2=EF2，见解析；②213【分析】(1)连接PP ，根据题意得到AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4，∠APB=∠AP C，进而得到△APP '为等边三角形，PP =AP=3,∠AP P=60°，根据勾股定理逆定理证明△PP C是直角三角形，且∠PP C=90°，即可求出∠APB=∠AP C=150°；(2)①证明∠B=∠ACB=45°，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD，连接DF，得到∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，进而得到∠DCE=90°，根据勾股定理得到DF2=CF2 +CD2=CF2+BE2 ，证明△AEF≌△ADF，得到EF=DF，即可得到BE2+CF2=EF2；②将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ，连接PP ，A C，即可得到∠ABA =∠PBP =60°，A B= AB=4，BP=BP ，A P =AP，从而得到△BPP 为等边三角形，∠A BC=90°，BP=PP ，根据两点之间线段最短得到PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，即可得到当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA +PB+PC的值最小为 A C的长，根据勾股定理求出A C=213，即可得到PA+PB+PC的最小值为213 ．【详解】解：(1)连接PP ，∵将△APB绕顶点 A 逆时针PP 旋转60°到△ACP ，∴AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4,∠APB=∠AP C，∴△APP '为等边三角形，∴PP =AP=3,∠AP P=60°，∵P P2+P C=32+42=25，PC2=52=25，∴P P2+P C=PC2，∴△PP C是直角三角形，且∠PP C=90°，∴∠AP C=∠AP P+∠CP P=150°，∴∠APB=∠AP C=150°；(2)①BE2+CF2=EF2．证明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，如图，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD，连接DF，则：∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF2=CF2+CD2=CF2+BE2 ，∵∠EAF=45°，∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF ，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE2+CF2=EF2；②PA+PB+PC的最小值为 213如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ，连接PP ，A C，则：∠ABA =∠PBP =60°，A B=AB=4，BP=BP ，A P =AP，∴△BPP 为等边三角形，∠A BC=∠A BA+∠ABC=90°，∴BP=PP ，∴PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，∴当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为 A C的长，∵∠A BC=90°，∴A C=A B2+BC2=42+62=213，∴PA+PB+PC的最小值为213 ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．16(2023•崂山区模拟)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为；(2)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，水不撩不知深浅∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；(1)如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=22，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PA=2×22=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=172=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=12PP′=12×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===13；(2)如图4，∵正六边形的内角为16×(6-2)•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，∴∠APP′=∠AP′P=12(180°-120°)=30°，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，则AM=12PA=12×2=1，P′M=PM===3，∴PP′=2PM=23，∵PP′2+P′F2=(23)2+12=13，PF2=132=13，水不撩不知深浅∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N(AAS)，∴AN=FN，P′N=MN=12P′M=32，在Rt△AMN中，AN===7 2，∴AF=2AN=2×72=7．故答案为：150°；(1)135°，13；(2)120°，7．【题型5费马点模型】17如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为．【答案】63【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，AB=3，AH=3BH=33，∴BH=12∴AE=2AH=63．故答案为63．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．18如图，在等边三角形ABC内有一点P．(1)若PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数；(2)若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值；(3)如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，PB=2，PC=1，求正方形ABCD的边长．【答案】(1)∠BPC=150°，(2)43(3)5【详解】(1)解：如图所示，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段B P ，连接A P 、P P ，∴△BPC≌△BP A，∴BP=B P ，A P =PC=1，∠PB P =60°，∠A P B=∠BPC，∴△B P P是等边三角形，∴∠B P P=∠PB P =60°，P P =BP=3，∵AP 2+PP 2=1+3=4=AP2，∴△A P P是直角三角形，∠A P P=90°，∴∠A P B=∠AP P +∠B P P=150°，∴∠BPC=150°，(2)解：如图所示，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△ACD，则△ABP≌△ACD，PA=DA，∠PAD=60°，则△APD是等边三角形，∴AP=PD，再将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，则△APC≌△ADE∴PC=DE，∠CAE=60°，CA=EA，∴PA+PB+PC=BP+PD+DE≥BE当B,P,D,E四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，即BE的长，设BE，AC交于点F，∵AB=AC=AE,∠BAF=∠EAF，∠BAE=∠BAF+∠EAF=120°，BE ,∴BE⊥AF，BF=EF=12∴∠ABF=30°，AB=2 ,∴AF=12在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=23 ,∴BE=2BF=43，即PA+PB+PC的最小值为43；(3)如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，∴△BPC≌△BEA，∴BE=BP=2，AE=PC=1，∠PBE=90°，∠AEB=∠BPC，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BEP=∠EPB=45°，PE=2PB=2，∵AE2+PE2=1+4=5=AP2，∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F=90°，∵∠AEP=90°，∠BEP=45°，∴∠BEF=45°=∠EBF，∴BF=EF=1，∴AF=AE+EF=2，∴AB=AF2+BF2=22+1=5，即正方形的边长为5．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，此时△ACP ≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB ，连接CB ，求证：CB 过△ABC的费马点．(3)如图4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求AE+BE+ CE的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)6+2．【详解】(1)解：连结PP′，∵△ABP≌△ACP ，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，。

初中几何旋转解题技巧

初中几何旋转解题技巧初中几何旋转解题技巧几何旋转是初中数学中的一个重要内容，也是高中数学的基础。

在初中阶段，我们需要掌握一些基本的几何旋转解题技巧。

下面将从基本概念、性质、方法和例题四个方面进行详细介绍。

一、基本概念1. 旋转轴：平面内一条直线，称为旋转轴。

2. 旋转角度：以旋转轴为轴心，将平面内的点按照一定方向绕着这条直线旋转的角度，称为旋转角度。

3. 顺时针和逆时针：以旋转轴为观察点，看待平面内的点按照顺时针或逆时针方向绕着这条直线旋转。

4. 对称轴：平面内一条直线或一个点，使得对于任意平面内点P，在对称轴上有一个与P关于该对称轴对称的点P'。

二、性质1. 对称性：几何图形经过某种变换后仍保持不变，则该变换具有对称性。

2. 不变性：几何图形在某种变换下保持不变，则该图形具有不变性。

如正方形在旋转变换下仍为正方形。

3. 对称轴上的点：对称轴上的点不动。

4. 对称轴上的线段：对称轴上的线段不动，长度不变。

5. 旋转角度：旋转角度是360度的整数倍时，几何图形保持不变。

三、方法1. 画图法：在解题过程中，我们可以通过画图来辅助理解并找到旋转中心和对称轴。

画出几何图形后，再根据题目所给条件进行旋转操作，最后求出所需答案。

2. 利用性质法：在解题过程中，我们可以利用几何图形的性质来推导出所需答案。

如利用正方形的对称性，在进行旋转操作后求出新位置的坐标。

3. 利用公式法：在解题过程中，我们可以利用几何公式来计算所需答案。

如利用勾股定理来求解坐标距离等问题。

四、例题1. 如图，在平面直角坐标系中，$A(2,1)$关于直线$x=1$逆时针旋转90度得到点B，则点B坐标为（）解析：首先画出点A和直线$x=1$；然后确定该直线为旋转轴，按照逆时针方向旋转90度得到点B；由于旋转轴为直线$x=1$，因此点B的横坐标为1；根据旋转的性质可知，点A与点B关于直线$x=1$对称，因此点A和点B的纵坐标相等且相反，即点B的纵坐标为-2。

初中数学旋转解题几何

旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中,通过旋转180°后能与原字母重合的有A．6个B．7个C．8个D．9个2．从5点15分到5点20分,分针旋转的度数为A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以直角顶点C为旋转中心,将△ABC旋转到△A′B′C的位置,其中A′、B′分别是A、B的对应点,且点B在斜边A′B′上,直角边CA′交AB于D,则旋转角等于A．70°B．80°C．60°D．50°图1 图2 图3二、填空题．1．在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为________,这个定点称为________,转动的角为________．2．如图2,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都是直角,点E在AB上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3,△ABC为等边三角形,D为△ABC内一点,△ABD经过旋转后到达△ACP的位置,则,1旋转中心是________；2旋转角度是________；3△ADP是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4,把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度,可以变到△ECD的位置．如图5,以BC为轴把△ABC翻折180°,可以变到△DBC的位置．图4 图5 图6 图7 如图6,以A点为中心,把△ABC旋转90°,可以变到△AED的位置,像这样,其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状和大小的图形变换,叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,AF=12 AB．1在如图7所示,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE移到△ADF的位置2指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．2．一块等边三角形木块,边长为1,如图,现将木块沿水平线翻滚五个三角形,那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少旋转基础练习二一、选择题1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′,若∠BAC′=130°,∠BAC=80°,则旋转角等于A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中,下列说法错误的是A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图,下面的四个图案中,既包含图形的旋转,又包含图形的轴对称的是二、填空题1．在作旋转图形中,各对应点与旋转中心的距离________．2．如图,△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________,它们之间的关系是______,其中BD CE填“>”,“<”或“=”．3．如图,自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F,∠EAF=45°,在保持∠EAF=45°的前提下,当点E、F分别在边BC、CD上移动时,BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图,正方形ABCD的中心为O,M为边上任意一点,过OM随意连一条曲线,将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次,每次旋转角度都是90°,这四个部分之间有何关系2．如图,以△ABC的三顶点为圆心,半径为1,作两两不相交的扇形,则图中三个扇形面积之和是多少旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中,是中心对称的英文字母的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中,是中心对称图形的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图,把一张长方形ABCD的纸片,沿EF折叠后,ED′与BC的交点为G,点D、C分别落在D′、C′的位置上,若∠EFG=55°,则∠1=A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形,对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______填序号1长方形；2菱形；3正方形；4一般的平行四边形；5等腰三角形；6梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母,将相应的字母填入下表中适当的空格内．A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z对称形式轴对称旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴210852．如图,在正方形ABCD 中,作出关于P 点的中心对称图形, 并写出作法．3．如图,是由两个半圆组成的图形,已知点B 是AC 的中点,画出此图形关于点B 成中心对称的图形．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 A ．等边三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正六边形2．下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形3．如图所示,平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082 二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点至少写出两个_____________．三、解答题1．在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角称为这个图形的一个旋转角,例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,应有一个旋转角为90°． 1判断下列命题的真假在相应括号内填上“真”或“假” ①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°； ②矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°；2填空：下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°是_____．写出所有正确结论的序号①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．3写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,却有一个旋转角为72°,并且分别满足下列条件：①是轴对称图形,但不是中心对称图形；②既是轴对称图形,又是中心对称图形．2．如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠,使D 1点落在D 处且BD 过F 点．1求证：四边形BEFG 是平行四边形；2连接BB,判断△B 1BG 的形状,并写出判断过程．D 1C 1B 1A 1BA CEDG F3．如图,直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．1在图中画出△A 1OB 1；2设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c,求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一三、1．1①假 ②真 2①③3①例如正五边形正十五边形 •②例如正十边正二十边形 2．1证明：∵A 1D 1∥B 1C 1,∴∠A 1BD=∠C 1FB又∵四边形ABEF是由四边形A1B1EF翻折的, ∴∠B1FE=∠EFB,同理可得：∠FBG=∠D1BG,∴∠EFB=90°-12∠C1FB,∠FBG=90°-12∠A1BD,∴∠EFB=∠FBG∴EF∥BG,∵EB∥FG∴四边形BEFG是平行四边形．2直角三角形,理由：连结BB,∵BD1∥FC1,∴∠BGF=∠D1BG,∴∠FGB=∠FBG同理可得：∠B1BF=∠FB1B．∴∠B1BG=90°,∴△B1BG是直角三角形3．解：1如右图所示2由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是-1,0,0,1,2,0∴1042a b cca b c=-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解这个方程组得12121abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求五数解析式为y=-12x2+12x+1．旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中,图象一定关于原点对称的图象是A．y=1xB．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能2．如图,已知矩形ABCD周长为56cm,O是对称线交点,点O到矩形两条邻边的距离之差等于8cm,则矩形边长中较长的一边等于A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm 二、填空题1．如果点P-3,1,那么点P-3,1关于原点的对称点P′的坐标是P′_______．2．写出函数y=-3x与y=3x具有的一个共同性质________用对称的观点写．三、解答题1．如图,在平面直角坐标系中,A-3,1,B-2,3,C0,2,画出△ABC 关于x轴对称的△A′B′C′,再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″,那么△A″B″C″与△ABC有什么关系,请说明理由．2．如图,直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点,且A0,3,B3,0,现将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．1在图中画出直线A1B1；2求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式；3是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b我们发现互相平行的两条直线斜率k相等它与双曲线只有一个交点,若存在,求此直线的解析式；若不存在,请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B二、1．3,-1 2．答案不唯一参考答案：关于原点的中心对称图形．三、1．画图略,△A″B″C″与△ABC的关系是关于原点对称．2．1如右图所示,连结A1B1；2A1B1中点P,,设反比例函数解析式为y=kx,则y=-2.25x．OBACD3A 1B 1：设y=k 1x+b 1 113033b k =-⎧⎨=-⎩1113k b =⎧⎨=-⎩ ∴y=x+3∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25x相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3, 下面证明y=x+3与y=-2.25x相切, 32.25y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩⇒x 2+3x+=0,b 2-4ac=9-4×1×=0,∴y=x+3与y=-2.25x相切．旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转,还有图形轴对称是-3-33B(A)BA-2-21-1yx3-44221-1O2．将三角形绕直线L旋转一周,可以得到如图所示的立体图形的是二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中,图形的______和______都保持不变．2．如上右图,是由________关系得到的图形．三、解答题1．1图案设计人员在进行图设计时,常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案,你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗2现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案,并说明你所表达的意义．2．如图,你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗。

初中几何旋转解题技巧

初中几何旋转解题技巧引言几何学作为数学的一个重要分支，是初中数学教育中不可或缺的一部分。

而在几何学中，旋转是一种常见的变换方式。

通过旋转，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而解决与旋转相关的问题。

本文将介绍初中几何中常见的旋转解题技巧。

什么是旋转在几何学中，旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线进行转动，使得图形保持形状不变但位置发生改变的操作。

我们可以通过角度来描述旋转的程度，常用单位为度（°）或弧度（rad）。

旋转解题技巧1. 确定旋转中心在解决旋转问题时，首先需要确定一个旋转中心。

这个中心可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。

根据问题给出的条件来选择合适的旋转中心。

2. 确定旋转方向确定了旋转中心后，接下来需要确定旋转方向。

根据问题描述和图形特点来判断顺时针还是逆时针方向进行旋转。

3. 确定旋转角度旋转角度是解决旋转问题的关键。

根据问题给出的条件，确定旋转角度。

常见的旋转角度有90°、180°和360°等。

4. 应用旋转公式在确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度后，我们可以根据几何学中的旋转公式来解题。

以下是常见的几个旋转公式：•绕原点逆时针旋转θ°：对于坐标(x, y)，其逆时针旋转θ°后的新坐标为(x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)。

•绕原点顺时针旋转θ°：对于坐标(x, y)，其顺时针旋转θ°后的新坐标为(x cosθ + y sinθ, -x sinθ + y cosθ)。

•绕任意点逆时针旋转θ°：先将图形平移使得旋转中心位于原点，然后按照绕原点逆时针旋转的方式计算新坐标，最后再将图形平移回原来位置。

5. 注意坐标变换在应用上述旋转公式进行计算时，需要注意坐标变换。

通常情况下，我们使用直角坐标系进行计算，在计算过程中需要将问题中给出的坐标转换为直角坐标系下的坐标，最后再将计算得到的坐标转换回原来的坐标系。

初中数学辅助线添加技巧：旋转

初中数学辅助线添加技巧：旋转方法总结1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋转180°，构造中心对称；遇90°，旋90°，造垂直；遇60°，旋60°，造等边；遇等腰，旋等腰．综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然．如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．图2图1OABCDDCB AO倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．典例精析例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（）A．1-BC．1 D ．12（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为．图2图1D'C'BA解：（1）A ；（2）（4，0）．点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．例2．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、DC 上的点，且∠EAF =45°，求证：EF =BE ＋DF ．FED CBA证明：延长CB 到点G ，使得BG =DF ，连接AG ．GF ED CBA∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,D ABG AB AD ∠=∠=︒=． ∴ADF ABG △≌△． ∴,AF AG DAF BAG =∠=∠． ∵45EAF ∠=︒， ∴45DAF BAE ∠+∠=︒．∴45DAG BAE ∠+∠=︒，即45EAG ∠=︒． ∵AE AE =， ∴AFE AGE △≌△．∴EF EG EB BG BE DF ==+=+．点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有效的解题方法．这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用．本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多．例3．如图，以ABC △的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EC 交AB 于点H ，连接BG 交CE 于点M ，求证：BG ⊥CE ．MH GFEDCBA证明：∵四边ABDE 、ACFG 是正方形， ∴,,90AE AB AC AG EAB GAC ==∠=∠=︒． ∴EAB BAC GAC BAC ∠+∠=∠+∠． ∴EAC GAB ∠=∠． ∴EAC GAB =△△． ∴AEC ABG ∠=∠．∵90,AEC AHE AHE BHM ∠+∠=︒∠=∠， ∴90ABG BHM ∠+∠=︒． ∴90EMB ∠=︒． ∴BG CE ⊥．点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以ABC △为基本，以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形．例4．如图，在等腰ABC △中，,AB AC ABC α=∠=，在四边形BDEC 中，DB =DE ，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM 、DM ．M EDCB A（1）在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形；（2）求证：AM DM ⊥；（3）当α= 时，AM DM =．解：（1）M FEDCB A（2）在（1）中连接AD 、AF ．M FEDCB A由（1）中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴,,DE FC BD DM FM DEM FCM ===∠=∠， ∵2BDE α∠=，∴ABD ABC CBD ∠=∠+∠360BDE DEM BCE α=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠．∵360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠． ∵AB AC =， ∴ABD ACF =△△． ∴AD AF =． ∵DM FM =， ∴AM DM ⊥．（3）45α=︒．∵,,AB AC AD AF BAC DAF ==∠=∠， ∴ADF ABC α∠=∠=．若AM DM =，则ADM △为等腰直角三角形，即45ADM ∠=︒， ∴45α=︒点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很清晰．本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角．初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等．例5．已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.D CBAA B CDABCD图1 图2 图3（1）（2）（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE＋AC=a＋b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a＋b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a＋b．例6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB＋AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．ABCDMN AB CD M NN M 图3图2图1D CBA解：（1）=证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN =120°， ∴∠CAB =∠CAD =60°， ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACB =∠ACD =30°， ∴12AB AD AC ==， ∴AB ＋AD =A C ．（2）成立．证法一：如图，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F ，ABCD M N F E∵AC 平分∠MAN ， ∴CE =CF ，∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ADC ＋∠CDE =180°， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵∠CED =∠CFB =90°， ∴△CED ≌△CFB ， ∴ED =FB ，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE ，由（1）知AF ＋AE =AC ， ∴AB ＋AD =AC ，证法二：如图，在AN 上截取AG =AC ，连接CG ，AB CD M NG∵∠CAB =60°，AG =AC ，∴∠AGC =60°，CG =AC =AG ， ∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ABC ＋∠CBG =180°， ∴∠CBG =∠ADC ， ∴△CBG ≌△CDA ， ∴BG =AD ，∴AB ＋AD =AB ＋BG =AG =AC ；（3）①证明：由（2）知，ED =BF ，AE =AF ，ABC D M N FE在Rt △AFC 中，cos AFCAF AC∠=，即cos2AFACα=， ∴cos2AF AC α=，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE =2AF 2cos 2AC α=．把α=60°，代入得AB AD +=． ②2cos2α点拨：在第（2）小题中，由题意可知，60BCD ∠=︒，有60°角就可把有关图形旋转60°，所以我们作,CE AM CF AN ⊥⊥的实质，就是将CBF △以顶点C 为旋转中心顺时针旋转了60°，从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路．例7．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．（1）探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．AB CDE 1F 1O FE 图2图1O DC BA解：（1）AE 1=BF 1．证明：∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA =OD ，∵OF =2OA ，OE =2OD ， ∴OE =OF ，∵将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1 ∴OE 1=OF 1，∵∠F 1OB =∠E 1OA ，OA =OB ， ∴△E 1AO ≌△F 1BO ， ∴AE 1=BF 1；（2）证明：取OE 1中点G ，连接AG ，ABCDE 1F 1O G∵∠AOD =90°，α=30°， ∴∠E 1OA =90°－α=60°， ∵OE 1=2OA ， ∴OA =OG ，∴∠E 1OA =∠AGO =∠OAG =60°，∴AG =GE 1，∴∠GAE 1=∠GE 1A =30°， ∴∠E 1AO =90°，∴△AOE 1为直角三角形．例8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点．D'C'MFE DCBA（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD')与AB 交于一点E ，MC 即MC')同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQ D'C'M FE DCBA∵∠C =∠B =60°∴12CP BQ AB ==，CP +BQ =AB 又∵ADPQ 是矩形，AD =PQ ，故BC =2AD ，由已知，点M 是BC 的中点， BM =CM =AD =AB =CD ，即△MDC 中，CM =CD ，∠C =60°，故△MDC 是等边三角形．（2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，△MAB ，△MAD 和△MC'D'是等边三角形，∠BMA =∠BME +∠AME =60°，∠EMF =∠AMF +∠AME =60°， ∴∠BME =∠AMF ）．在△BME 与△AMF 中，BM =AM , ∠EBM =∠FAM =60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )．∴BE =AF , ME =MF ,AE +AF =AE +BE =AB ，∵∠EMF =∠DMC =60°，故△EMF 是等边三角形，EF =MF ． ∵MF 的最小值为点M 到ADEFAEF 的周长=AE +AF +EF =AB +EF ， △AEF的周长的最小值为2．跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上的任意一点，探究：22BD CD +与2AD 的关系，并证明你的结论．CBA2．如图，P 是等边△ABC 内一点，若AP =3，PB =4，PC =5，求APB ∠的度数．PCBA3．如图1，在ABCD □中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．（1）求证：AD AE =；（2）如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -=；（3）请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．图1EDCBA图2PF ABCDE图3ABCDE4．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE =30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图3图2图1CE ADBCE AD BEDCBA5．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．6．在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．DCG PAB EF图2DAB EF CPG图1图2图1AEBMD CMEDB CA7．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，EF =BE ，∠BEF =90°，按图1旋转，使点F 在BC 上，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探索EG 、CG 的关系，并说明理由；（2）将图1中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°得图2，连接DF ，取DF 的中点G ．问（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意度数（旋转角在0到90°之间）得图3，连接DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．图3BF DC GEABFDCGE AG F图2图1E DBCA中考前瞻将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111A B C D ，如图1所示．（1）当45α=︒时，如图2，若线段OA 与边11A D 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立①EOP FOP △≌△，②1PA PA =，试选择一个证明；（2）当090α︒<<︒时，第（1）小题的结论1PA PA =还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）在旋转过程，记正方形1111A B C D 与AB 边交于P 、Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出POQ 的度数．PQ PD 1AA 1BB 1CC 1DD 1C 1B 1A 1F E F图2图1EDBCA。

初中数学巧用旋转进行计算之三大题型及答案

解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.52(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC 的长为．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD的中心与正方形EFGH的顶点E重合，且与边AB、BC相交于M、N，图中阴影部分的面积记为S，两条线段MB、BN的长度之和记为l，将正方形EFGH绕点E逆时针旋转适当角度，则有()A.S变化，l不变B.S不变，l变化C.S变化，l变化D.S与l均不变3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A B C O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A B C O绕点O旋转的过程中，OA 与AB相交于点M，OC 与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD =∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD中，AB⊥DB．将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE，记旋转角∠ABF=α0°<α≤180°，当线段FB与DB不共线时，记△ABE的面积为S1，△FBD的面积为S2．【特例分析】如图2，当EF恰好过点A，且点F，B，C在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD=43，则S1=，S2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S1与S2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E作EH⊥AB于点H，过点D作DG⊥FB，交FB的延长线于点G，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S1与S2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S1+S2为▱ABCD面积的12时，α的值为解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型【考点导航】目录【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】【题型三利用旋转计算面积】【典型例题】【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D，由对顶角相等可得∠BFD=∠EFA，根据三角形的外角性质可得∠DBF=∠AEF，即可求解．【详解】解：∵将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，∴∠A=∠D，∵∠BFD=∠EFA，∴∠BFE=∠A+∠AEF=∠D+∠DBF∵∠FEA=40°，∴∠DBF=∠AEF=40°，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()A.86°B.96°C.106°D.116°【答案】B【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=42°，就可以算出旋转角．【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=42°，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=96°，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．2(2023春·河南新乡·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠BAC=104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为()A.25°B.30°C.33°D.40°【答案】C【分析】由旋转的性质可得∠BAD=94°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB=43°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，∴∠BAD=94°，AB=AD，∴∠B=∠ADB=43°，∵∠BAC=104°，∴∠C=180°-104°-43°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3(2023·浙江温州·校联考三模)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，使点D恰好落在AC边上，连结CE，则∠ACE的度数为()A.45°B.55°C.65°D.75°【答案】C【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAC=50°，AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，在△ACE中，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∴50°+2∠ACE=180°，解得：∠ACE=65°，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．4(2023春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中)如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，使得CC ∥AB，划∠BAB 的度数是()A.35°B.40°C.50°D.70°【答案】B【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：∵CC ∥AB，∠CAB=70°，∴∠C CA=∠CAB=70°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C 的位置，∴∠C AB =∠CAB=70°，AC =AC，∴∠AC C=∠C CA=70°，∴∠C AC=180°-70°-70°=40°，∵∠BAB =∠CAB-CAB ，∠CAC =∠C AB -CAB ，∴∠BAB =∠C AC=40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．5(2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为()A.60°B.70°C.75°D.85°【答案】D【分析】根据旋转的性质得出∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，根据三角形内角和定理可得∠CAF=20°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设AD,BC交于点F，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，∵AD⊥BC，∴∠AFC=90°，∴∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，∴∠BAC=∠DAE=85°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图，∠AOB=90°，∠B=20°，△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A 在AB上，则旋转角α的度数是.【答案】40°/40度【分析】根据旋转的性质得到AO=A O，根据等边对等角得到∠A=70°=∠OA A，再利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：△A OB 可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A 在AB上，∴AO=A O，∵∠B=20°，∠AOB=90°，∴∠A=70°=∠OA A，∴∠AOA =180°-2×70°=40°，即旋转角α的度数是40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，关键是得出∠A=70°=∠OA A，题目比较典型，难度不大．7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)已知△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F(如图)，如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为．【答案】36°或180°7【分析】如图，设∠B=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A=180°-2x，再利用旋转的性质得CB=CD，∠2=∠B=x，则∠1=∠B=x，利用平角定理得∠5=180°-2x，利用三角形外角性质∠3=360°-4x得，讨论：当CD=CF时，∠2=∠3=x，则x=360°-4x；当CD=DF时，∠4=∠3，利用∠2+∠3+∠4=180°得到x+2360°-4x=180°；当CF=DF时，∠2=∠4=x，利用∠2+∠3+∠4= 180°得到x+x+360°-2x=180°，然后分别解关于x的方程，然后计算180°-2x即可得到∠A的度数．【详解】解：如图，设∠B=x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x∴∠A=180°-2x，∵△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，∴CB=CD，∠2=∠B=x，∴∠1=∠B=x，∴∠5=180°-2x，∠3=∠A+∠5=360°-4x，当CD=CF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠3=x，则x=360°-4x，解得x=72°，此时∠A=180°-2x =36°；当CD=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠4=∠3，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+2360°-4x=180°，解得x=540°7，此时∠A=180°-2x=180°7，当CF=DF时，△CDF为等腰三角形，即∠2=∠4=x，而∠2+∠3+∠4=180°，则x+x+360°-2x=180°，无解，故舍去，综上所述，△CDF为等腰三角形时∠A的度数为36°或180°7，故答案为36°或180°7．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想．【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】1(2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试)如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，若BC=5,AC=3，则AB 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【分析】根据图形旋转的性质可得CB =CB=5，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A B C ，此点A在边B C上，∴CB =CB=5，∴AB =CB -CA=5-3=2．故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·四川达州·八年级校考期中)如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠ACB =90°，∠A=30°，AB=10，AC=8，则AD的长为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【分析】利用勾股定理求得BC=6，再根据旋转的性质可得CD=CB=6，即可求解．【详解】解；∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=102-82=6，∵把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，∴CD=CB=6，∴AD=AC-CD=8-6=2，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2(2023春·陕西汉中·八年级统考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC=22,DE=1，则线段BD的长为．【答案】32【分析】先由旋转的性质得到AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，然后由∠ACB= 90°计算出AB的长度，最后由勾股定理算出线段BD的长．【详解】解：由旋转得，AD=AB，DE=BC=1，AE=AC=22，∠DAB=90°，∵∠ACB=90°,∴AB=AC2+BC2=222+12=3，∴AD=AB=3，∵∠DAB=90°，∴BD=AB2+AD2=32+32=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练应用“旋转过程中对应线段相等”是解题的关键．3(2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A BC ，若点C 在AB上，则AA 的长为．【答案】25【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质可得AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，从而求出的长，然后在Rt△A C A中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，由旋转得：AC=A C =4，BC=BC =3，∠C=∠BC A =90°，∴AC =AB-BC =5-3=2，∠AC A =180°-∠BC A =90°，∴AA =C A2+A C 2=22+42=25，故答案为：25．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4(2023·山西运城·校联考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC的中点，点E是AB边上的一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AF，EF，若BE= 22，则AF的长为．【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性质可求AD=DH，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°=∠ADH，由“SAS”可证△ADF≌△HDE，可得AF=HE=2．【详解】解：如图，取AB的中点H，连接CH，DH，∵∠C=90°，AC=BC=6，H是AB的中点，∴AB=62，AH=BH=32=CH，CH⊥AB，又∵点D是AC的中点，∴AD =CD =DH ，AD ⊥DH ，∵BE =22，∴EH =2，∵将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°，∴DE =DF ，∠EDF =90°=∠ADH ，∴∠ADF =∠EDH ，∴△ADF ≌△HDE SAS ，∴AF =HE =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．5(2023·河南周口·统考一模)如图1，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，现将△ADE 绕点A 自由旋转，如图2，设直线BD 与CE 相交于点P ，当AE ⊥EC 时，线段PC 的长为．【答案】3-1或3+1【分析】由△ADE 绕点A 自由旋转可知有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，先证△ABD 和△ACE 全等，进而可证四边形AEPD 为正方形，然后求出PE =1，CE =3，进而可得PC 的长；②当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，同理①证△ABD 和△ACE 全等，四边形AEPD 为正方形，进而得PE =1，CE =3，据此可求出PC 的长，综上所述即可得出答案．【详解】解：∵△ADE 绕点A 自由旋转，∴有以下两种情况：①当点E 在AC 的右侧时，AE ⊥CE ，如图：由旋转的性质得：∠DAE =∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =∠DAC +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，D ，E 分别为边AB 和AC 的中点，∴AD =AE =1，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠ADB =∠AEC =90°，∴∠ADP =∠DAE =∠AEC =90°，∴四边形AEPD 为矩形，又AD =AE =1，∴矩形AEPD 为正方形，∴PE =AE =1，在Rt△AEC中，AE=1，AC=2，∠AEC=90°，由勾股定理得：CE=AC2-AE2=3，∴PC=CE-PE=3-1；②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：同理可证：△ABD≌△ACE(SAS)，四边形AEPD为正方形，∴BD=CE，PE=AE=1，在Rt△ABD中，AD=1，AB=2，∠ADB=90°，由勾股定理的：BD=AB2-AD2=3，∴CE=BD=3，∴PC=CE+PE=3+1．综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为3-1或3+1．答案为：3-1或3+1．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错点之一．6(2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．【答案】3【分析】根据旋转的性质得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】∵∠B=60°，AB=3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，∴AB=AD，∠B=60°，AB=3，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定是解题的关键．【题型三利用旋转计算面积】1(2023秋·湖南永州·九年级校考开学考试)如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是()A.14B.12C.13D.不能确定【答案】A【分析】根据正方形的性质得出OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，证出△OBN≌△OCM，即可求出两个正方形重叠部分的面积．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°∴∠BON=∠MOC．在△OBN与△OCM中，∠OBN=∠OCM OB=OC∠BON=∠COM，∴△OBN≌△OCM ASA，∴S△OBN=S△OCM，∴S四边形OMBN =S△OBC=14S正方形ABCD=14×1×1=14．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形OMBN 的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．【变式训练】1(2023春·山东青岛·八年级统考期中)将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是( )cm2．A.12.5B.2536C.2533D.不能确定【答案】B【分析】设AB 与B C 交于D 点，根据旋转角∠CAC =15°，等腰直角△ABC 的一锐角∠CAB =45°，可求∠C AD ，旋转前后对应边相等，对应角相等，AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，解直角△AC D ，可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C 交于D 点，根据旋转性质得∠CAC =15°，而∠CAB =45°，∴∠C AD =∠CAB -∠CAC =30°，又∵AC =AC =5cm ，∠C =∠C =90°，∴设C D =x ，则AD =2x ，∴AD 2=AC 2+C D 2，即2x 2=52+x 2，∴解得x =533，∴C D =533cm ，∴阴影部分面积为：12×5×533=2536cm 2 .故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．2(2023秋·四川德阳·九年级统考期末)如图，边长为定值的正方形ABCD 的中心与正方形EFGH 的顶点E 重合，且与边AB 、BC 相交于M 、N ，图中阴影部分的面积记为S ，两条线段MB 、BN 的长度之和记为l ，将正方形EFGH 绕点E 逆时针旋转适当角度，则有()A.S 变化，l 不变B.S 不变，l 变化C.S 变化，l 变化D.S 与l 均不变【答案】D 【分析】如图，连接EB ，EC ．证明△EBM ≌△ECN ASA ，可得结论．【详解】解：如图，连接EB ，EC ．∵四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，∴EB =EC ，∠EBM =∠ECN =45°，∠MEN =∠BEC =90°，∴∠BEN +∠BEM =∠BEN +∠CEN =90°，∴∠BEM =∠CEN ，在△EBM 和△ECN 中，∠EBM =∠ECNEB =EC ∠BEM =∠CEN，∴△EBM ≌△ECN ASA ，∴BM =CN ，∴S 阴=S 四边形EMBN =S △EBC =14S 正方形ABCD=定值，l =MB +BN =CN +BN =BC =定值，故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3(2023春·广东清远·八年级校考期中)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，则图中阴影部分的面积是．【答案】3【分析】过点B 作B D ⊥AB 于点D ，根据旋转的性质可得到△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C ，进而得到阴影部分的面积等于S △ABB ，再由勾股定理求出AB ，继而得到S △ABB，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°到△ABC 的位置，∴AB =AB ,∠BAB =60°，△ABC ≌△AB C ，∴△ABB 是等边三角形，S △ABC =S △AB C，∴AB =BB ，阴影部分的面积等于S △ABB，∵AC =BC =2，∠C =90°，∴AB =AC 2+BC 2=2，∴BB =2,BD =1，∴B D =BB 2-BD 2=3，∴S △ABB=12AB ×B D =12×2×3=3，即阴影部分的面积是3．故答案为：3【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A B C O 与正方形ABCD 的边长相等．在正方形A B C O 绕点O 旋转的过程中，OA 与AB 相交于点M ，OC 与BC 相交于点N ，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD 的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°，连接AC ．若AC =6，求四边形ABCD 的面积．请你帮小颖解答这道题．【答案】(1)14，见解析(2)18，见解析【分析】(1)只需要证明△MOB ≌△NOC 得到S △MOB =S △NOC ，即可求解．(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，证明△EAD ≌△CAB 得到S △ABC =S △ADE ，AE =AC =6，则S △AEC =12×6×6=18S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △ADE =S △EAC =12AE ⋅AC =18．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，四边形OA B C 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBM =∠OCN =45°，∠A OC =90°，∴∠BOC =∠A OC =90°，∴∠BOM =∠CON ，∴△BOM ≌△CON ASA ，∴S △BOM =S △CON ，∴S 四边形OMBN =S △OBC =14S 正方形ABCD ．答案为：14；(2)过A 作AE ⊥AC ，交CD 的延长线于E ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC =90°，∵∠DAB =90°，∴∠DAE =∠BAC ，∵∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ADC +∠B =180°，∵∠EDA+∠ADC =180°，∴∠EDA =∠B ，∵AD =AB ，在△ABC 与△ADE 中，∠EAD =∠CABAD =AB ∠EDA =∠B，∴△ABC ≌△ADE ASA ，∴AC =AE ，∵AC =6，∴AE =6，∴S △AEC =12×6×6=18，∴S 四边形ABCD =18．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023春·广东深圳·八年级统考期末)【问题背景】如图1，在▱ABCD 中，AB ⊥DB ．将△ABD 绕点B 逆时针旋转至△FBE ，记旋转角∠ABF =α0°<α≤180° ，当线段FB 与DB 不共线时，记△ABE 的面积为S 1，△FBD 的面积为S 2．【特例分析】如图2，当EF 恰好过点A ，且点F ，B ，C 在同一条直线上时．(1)α=°；(2)若AD =43，则S 1=，S 2=；【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，S 1与S 2之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：思路1：如图1，过点A ，E 分别作直线平行于BE ，AB ，两直线交于点M ，连接BM ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；思路2：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，过点D 作DG ⊥FB ，交FB 的延长线于点G ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；⋯⋯(3)如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究S 1与S 2之间的等量关系为，并说明理由．【拓展应用】在旋转过程中，当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，α的值为【答案】(1)60；(2)33；33；(3)S 1=S 2，理由见解析；拓展应用：60°或120°【分析】(1)由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得△ABF 是等边三角形，即可求解；(2)过点F 作FM ⊥BD 交DB 延长线于点M ，设AD ,BE 交于点N ，通过证明△ABN ≌△FBM AAS ，进而得出s 1=s 2，再证明AE =AF ，可得S △ABE =12S △EFB ，仅为求解即可；(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可；拓展应用：先根据面积之间的关系得出BD=2DG，继而得出∠DBG=30°=∠ABE，分别在图3和图2中进行求解即可．【详解】(1)由旋转可得，∠F=∠BAD,BA=BF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABF=∠BAD，∴∠ABF=∠F，∴BA=AF，∴BA=AF=BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF=α=60°，故答案为：60；(2)如图，过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M，设AD,BE交于点N，∵AD∥BC，∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM，∠EAN=∠AFB，∴∠MBF=∠ABN，∵BF=BA，∴△ABN≌△FBM AAS，∴AN=FM，∵BD=BE，∴S1=S2，∵△ABF是等边三角形，∴∠AFB=60°=∠EAN,AB=AF，∴∠E=30°=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=AF，S△EFB，∴S△ABE=12∵AD=43，∴AB=23=BF,BD=6=BE，×6×23=63，∴S△EFB=12∴S△ABE=33，∴s1=s2=33，故答案为：33,33；(3)解：S1=S2，理由如下：思路1：如图，过点A，E分别作直线平行于BE，AB，两直线交于点M，连接BM，∵AM∥BE,ME∥AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴AM=BE，∠MAB+∠ABE=180°，∵旋转，∴AB=BF，BD=BE，∠ABD=∠EBF=90°，∴BD =AM ，∵∠ABD +∠ABE +∠EBF +∠FBD =360°，∴∠ABE +∠DBF =180°，∴∠MAB =∠DBF ，在△MAB 和△DBF 中，AM =BD∠MAB =∠DBF AB =BF，∴△MAB ≌△DBF ，∴S △MAB =S 2，∵ME ∥AB ，∴S △MAB =S 1，∴S 1=S 2.思路2：如图，过点E 作EH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，过点D 作DG ⊥BF 交BF 延长线于点G ，∵EH ⊥AB ，DG ⊥BF ，∴∠H =∠G =90°，∵旋转，∴BD =BE ，AB =BF ，∠DBA =∠EBF =90°，∴∠EBG =90°，∴∠EBG =∠ABD ，∴∠EBG -∠ABG =∠ABD -∠ABG ，即∠EBH =∠GBD ，在△EBH 和△DBG 中，∠H =∠G∠EBH =∠GBD BD =BE，∴△EBH ≌△DBG ，∴EH =DG ，∴S 1=12AB ⋅EH =12BF ⋅DG =S 2；拓展应用：∵S 1=S 2，∴当S 1+S 2为▱ABCD 面积的12时，S 1=S 2=14S 平行四边形ABCD ，由(3)思路2得，S 1=12⋅AB ⋅EH ,S 平行四边形ABCD =AB ⋅BD ,EH =DG ，∴12⋅AB ⋅EH =14AB ⋅BD ，∴BD =2EH ，即BD =2DG ，∴∠DBG =30°=∠ABE ，如图3，∠ABF =120°；如图2,∠DBE =∠ABF=90°-30°=60°，综上，α的值为60°或120°，故答案为：60°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。

旋转模型(初中数学典型模型六)

＝
，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
变式练习
二、半角模型中旋转
例3.（1）正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，证明： DQ+BP＝PQ；（2）在（1）题中，连接BD分别交AP、AQ于点M、N，求BM、MN、ND的数量关系．
证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D＝∠ABE＝90°，∵∠ABP＝90°， ∴∠ABE+∠ABP＝180°∴点E、B、P共线，由旋转知，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ， BE＝DQ，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAE＝45°， ∴∠PAQ＝∠PAE，在△APE和△APQ中
几何模型六：旋转模型
一、等线段共点类型
引例：如图，点P是等边△ABC内一点，且AP＝6，BP＝8，CP＝10；若将
△APC绕点A逆时针旋转后得△AP'B；
求：AP'＝，∠APB＝
度．
解：连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PAP′＝∠CAB＝60°，AP＝AP′， ∴△APP′为等边三角形， ∴AP′＝AP＝6；由旋转的性质可知，BP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝6，BP＝8，由勾股定理的逆定理得，△BPP′是直角三角形， ∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．
∴△ABC≌△ADC′（SAS）， ∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′ 的面积，所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝2
四、费马点
例5.△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接 PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．

旋转两种解题模型(学生版)-初中数学

旋转两种解题模型目录解题知识必备压轴题型讲练题型一：奔驰模型题型二：费马点模型压轴能力测评模型一：奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题模型二：费马点模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

题型一：奔驰模型一．选择题(共1小题)1.(2020秋•顺平县期中)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且P A=3，PB=4，PC=5，将ΔABP绕点B顺时针旋转60°到ΔCBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是()A.∠QPB=60°B.∠PQC=90°C.∠APB=150°D.∠APC=135°二．填空题(共4小题)2.(2023秋•北屯市校级期中)如图，在平面直角坐标系中，已知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0,6)，点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ΔABD，连接DP．则DP=，D点坐标为．(如图)，把ΔABC绕3.(2023秋•长宁区校级期中)已知在ΔABC中，∠ACB=90°，AB=20，sin B=55着点C按顺时针方向旋转α°(0<α<360)，将点A、B的对应点分别记为点A 、B ，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B′的距离为．线上的点E处时，∠BED的度数为．5.(2021秋•盘龙区校级期中)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且P A=3，PB=4，PC=5，以BC为边在ΔABC外作ΔBQC≅ΔBP A，连接PQ，则以下结论中正确有(填序号)①ΔBPQ是等边三角形②ΔPCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=135°三．解答题(共6小题)6.(2022秋•西湖区校级期中)如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ΔCDE的位置，使A，C，D三点在同一直线上，连接AE，求∠DEA的度数．7.(2021秋•长乐区期中)在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，将ΔABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到ΔDBE，点A，C的对应点分别是D，E，连接AD．(1)如图1，当点E恰好在边AB上时，求∠ADE的大小；(2)如图2，若F为AD中点，求CF的最大值．8.(2022秋•东胜区校级期中)(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结P A，PB，PC现将ΔP AB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若P A=2，PB=3，∠APB=135°，则PC的长为，正方形ABCD的边长为．(变式猜想)(2)如图2，若点P是等边ΔABC内的一点，且P A=3，PB=4，PC=5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．(拓展应用)(3)聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长度为．9.(2023秋•梁山县期中)如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A=6，PB=8，PC=10．若将ΔP AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．(1)求点P与点P′之间的距离；(2)求∠APB的度数．10.(2020秋•黄石期中)下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．(1)如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，P A=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．11.(2023秋•罗山县期中)阅读与理解：如图1，等边ΔBDE(边长为a)按如图所示方式设置．操作与证明：(1)操作：固定等边ΔABC(边长为b)，将ΔBDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．(2)操作：若将图1中的ΔBDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α(60°<α<180°)，连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？题型二：费马点模型一．选择题(共1小题)1.(2023秋•萧山区期中)如图，已知∠BAC=60°，AB=4，AC=6，点P在ΔABC内，将ΔAPC绕着点A逆时针方向旋转60°得到ΔAEF．则AE+PB+PC的最小值为()A.10B.219C.53D.213二．解答题(共2小题)2.(台州期中)(1)知识储备①如图1，已知点P为等边ΔABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC=P A．②定义：在ΔABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ΔABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为ΔABC的费马距离．(2)知识迁移如图2，在ΔABC 的外部以BC 为边长作等边ΔBCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段AD 的长度即为ΔABC 的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出ΔABC 的费马点P (要求尺规作图)．(3)知识应用①判断题(正确的打√，错误的打×):ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形ABCD ，P 是正方形内部一点，且P A +PB +PC 的最小值为6+2，求正方形ABCD 的边长．3.(宿豫区校级期中)探究问题：(1)阅读理解：①如图(A )，在已知ΔABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为ΔABC 的费马点，此时P A +PB +PC 的值为ΔABC 的费马距离；②如图(B )，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ⋅CD +BC ⋅DA =AC ⋅BD ．此为托勒密定理；(2)知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图(C )，已知点P 为等边ΔABC 外接圆的BC上任意一点．求证：PB +PC =P A ；②根据(2)①的结论，我们有如下探寻ΔABC (其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图(D )，在ΔABC 的外部以BC 为边长作等边ΔBCD 及其外接圆；第二步：在BC 上任取一点P ′，连接P ′A 、P ′B 、P ′C 、P ′D ．易知P ′A +P ′B +P ′C =P ′A +(P ′B +P ′C )=P ′A +；第三步：请你根据(1)①中定义，在图(D )中找出ΔABC 的费马点P ，并请指出线段的长度即为ΔABC 的费马距离．(3)知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A 、B 、C 构成了如图(E )所示的ΔABC (其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°)，现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．1.(连城县期中)(1)如图1，点P 是等边ΔABC 内一点，已知P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．要直接求∠A 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作∠P AD =60°使AD =AP ，连接PD ，CD ，则ΔP AD 是等边三角形．∴=AD =AP =3，∠ADP =∠P AD =60°∵ΔABC 是等边三角形∴AC =AB ，∠BAC =60°∴∠BAP =∴ΔABP ≅ΔACD∴BP =CD =4，=∠ADC ∵在ΔPCD 中，PD =3，PC =5，CD =4，PD 2+CD 2=PC 2∴∠PDC =°(2)如图3，在ΔABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点P 是ΔABC 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数．2.(西城区校级期中)如图，P 是等边ΔABC 内的一点，且P A =5，PB =4，PC =3，将ΔAPB 绕点B 逆时针旋转，得到ΔCQB ．求：(1)点P 与点Q 之间的距离；(2)求∠BPC 的度数．3.(汉阳区期中)如图，P 是等腰ΔABC 内一点，AB =BC ，连接P A ，PB ，PC ．(1)如图1，当∠ABC =90°时，将ΔP AB 绕B 点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；(2)在(1)中，若P A =2，PB =4，PC =6，求∠APB 的大小；(3)当∠ABC =60°时，且P A =3，PB =4，PC =5，则ΔAPC 的面积是943+3(直接填答案)4.(汉阳区期中)(1)阅读证明①如图1，在ΔABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为ΔABC 的费马点，此时P A +PB +PC 的值为ΔABC 的费马距离．②如图2，已知点P 为等边ΔABC 外接圆的BC 上任意一点．求证：PB +PC =P A ．(2)知识迁移根据(1)的结论，我们有如下探寻ΔABC (其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在ΔABC 的外部以BC 为边长作等边ΔBCD 及其外接圆；第二步：在BC 上取一点P 0，连接P 0A ，P 0B ，P 0C ，P 0D ．易知P 0A +P 0B +P 0C =P 0A +(P 0B +P 0C )=P 0A +；第三步：根据(1)①中定义，在图3中找出ΔABC 的费马点P ，线段的长度即为ΔABC 的费马距离．(3)知识应用已知三村庄A ，B ，C 构成了如图4所示的ΔABC (其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．5.(当涂县校级期中)如图，点P 是等边ΔABC 外一点，P A =3，PB =4，PC =5(1)将ΔAPC 绕点A 逆时针旋转60°得到△P 1AC 1，画出旋转后的图形；(2)在(1)的图形中，求∠APB 的度数．。

初中数学旋转的六大模型,初中几何旋转经典例题

初中数学旋转的六大模型,初中几何旋转经典例题标题：初中数学旋转的六创作者，初中几何旋转经典例题在初中的数学学习中，旋转是一个重要的概念，它不仅在几何学中占据着核心地位，还在代数学、统计学等其他领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍初中数学旋转的六创作者，并通过经典例题来深化理解。

旋转是指一个图形绕着某一点转动一定的角度。

在这个过程中，图形上任意一点所经过的路径形成一个圆，这个圆叫做旋转圆，点叫做旋转中心。

旋转的角度一般用角度或者弧度来表示。

中心对称旋转：图形以旋转中心为对称中心，旋转角度为偶数倍的180度。

绕固定点旋转：图形围绕一个固定点旋转，这个固定点称为旋转中心。

旋转对称图形：图形可以通过旋转得到，这种图形称为旋转对称图形。

旋转角相等：如果两个图形可以通过旋转互相得到，那么它们的旋转角必然相等。

旋转角互补：如果两个图形的一条边和另一条边的延长线组成一个平角，那么这两个图形的旋转角互补。

旋转改变形状：旋转可以改变图形的形状，但不会改变图形的面积。

例1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是AC上一点，且CF=2AF。

求证：EF平分∠AEB。

证明：我们可以通过旋转证明。

把△ABE绕B点按逆时针方向旋转60°，得到△CBG，则BG//AE，所以∠FGB=∠FEA。

因为CF=2AF，所以FG=2FE。

所以可以得出∠FEB=∠FGB+∠GBF=∠FEA+∠AEB+∠ABE=∠FEA+∠AEB+∠EAB=180°即∠FEA+∠AEB=180°-∠EAB=∠BEF所以∠BEF = ∠FEA即 EF平分∠AEB。

例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上，且DE⊥DF。

求证：EF^2=AE^2+BF^2。

证明：把Rt△ABC绕D点按顺时针方向旋转90°得到Rt△AB’C’，则可知：△ABC≌△AB’C’，所以可知DE=DF，因为DE⊥DF，所以可知四边形DECF’是正方形。

初中数学专题一旋转中的几何模型(手拉手模型、对角互补模型)(解析版)

专题一旋转中的几何模型模型一　“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．模型说明：如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC.图1 图2 图3等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。

1【问题提出】(1)如图①，△ABC,△ADE均为等边三角形，点D,E分别在边AB，AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD,CE．在图②中证明△ADB≅△AEC．[学以致用](2)在(1)的条件下，当点D,E,C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．[拓展延伸](3)在(1)的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4直接写出△DBC的面积S的取值范围．【思路点拨】(1)根据“手拉手”模型，证明△ADB≅△AEC即可；(2)分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得∠EDB的大小；(3)分别求出△DBC的面积最大值和最小值即可得到结论【详解】(1)∵ABC,ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠BAD=∠CAE在△ADB和△AEC中，AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC∴ABD ≅ACE (SAS )；(2)当D ,E ,C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∴∠AEC =180°-∠AED =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =120°，∴∠EDB =∠ADB -∠ADE =120°-60°=60°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°∴∠ADC =180°-∠ADE =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC∴∠ADB =∠AEC =60°，∴∠EDB =∠ADB +∠ADE =60°+60°=120°综上所述，∠EDB 的大小为60°或120°(3)过点A 作AF ⊥BC 于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∴DF =33-4此时S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33-4)=93-12；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3，∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∵AD =4∴DF =AF +AD =33+4此时，S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33+4)=93+12；综上所述，△DBC 的面积S 取值是93-12≤5≤93+12【点评】利用“手拉手”模型，构造对应边“拉手线”组成的两个三角形全等是解题关键2已知正方形ABCD 和等腰直角三角形BEF ，BE =EF ，∠BEF =90°，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ．(1)探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图(1)中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(见图2)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图(1)中△BEF绕点B顺时针转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF中点G(见图3)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论．【思路点拨】(1)首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG= GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；(2)首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG⊥CG；(3)首先证明：△BEC≌△FEH，即可证得：△ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EG⊥CG．【解题过程】解：(1)EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．(2)仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG(3)仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．针对训练11已知ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF，CF，AF．(1)问题发现：如图1，当点E在线段AD上时，且∠AFC=35°，则∠FAC的度数是；(2)结论证明：如图2，当点E 在线段AD 的延长线上时，请判断∠AFC 和∠FAC 的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展延伸：若点E 在直线AD 上运动，若存在一个位置，使得ΔACF 是等腰直角三角形，请直接写出此时∠EBC 的度数．【答案】(1)55°；(2)∠AFC +∠FAC =90°，见解析；(3)15°或75°【解析】(1)55°，理由：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；∵∠AFC =35°，∴∠FAC =55°；(2)结论：∠AFC +∠FAC =90°，理由如下：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；(3)∠EBC =15°或75°分两种情况：①点E 在点A 的下方时，如图：∵ΔACF 是等腰直角三角形，∴AC =CF ，由(2)得ΔABE ≌ΔCBF ，∴CF =AE ，∴AC =AE =AB ，∴∠ABE =180°-30°2=75°，∴∠EBC =∠ABE -∠ABC =75°-60°=15°；②点E 在和点A 的上方时，如图：同理可得∠EBC =∠ABE +∠ABC =75°．2已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．(1)如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；(2)当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF 的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出∠BEF 的度数；(3)联结AF ，求证：DE =2AF ．【答案】(1)30°；(2)不变；45°；(3)见解析【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE=CD,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE=60°.又∵∠BCD=90°,∴α=∠DCE=30°.(2)∠BEF的度数不发生变化.在△CED中，CE=CD,∴∠CED=∠CDE=180°-α2=90°-α2，在△CEB中,CE=CB,∠BCE=90°-α,∴∠CEB=∠CBE=180°-∠BCE2=45°+α2,∴∠BEF=180°-∠CED-∠CEB=45°.(3)过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I易知四边形AGFH是平行四边形，又∵BF⊥DF，∴平行四边形AGFH是矩形.∵∠BAD=∠BGF=90°，∠BPF=∠APD，∴∠ABG=∠ADH.又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADH.∴AG=AH，∴矩形AGFH是正方形.∴∠AFH=∠FAH=45°，∴AH=AF∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°∴∠DAH=∠CDI又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，∴△AHD≌△DIC∴AH=DI，∵DE=2DI，∴DE=2AH=2AF模型二　对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。

初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之旋转

第32讲几何三大变换之旋转旋转的性质【例题讲解】例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=度．【解答】解：由图145AOD ∠=︒ ，1459055AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，则905535BOC ∠=︒-︒=度．故答案为：35．例题2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC ∆绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为，ADF ∆是等腰三角形．旋转中心：O旋转角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性质：OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋转中心：B旋转角：∠ABA'=∠CBC'性质：AB=A'B 、CB=C'B 连接AA'、CC'△ABA'∽△CBC'，且均为等腰三角形【解答】解：ABC ∆ 绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，DCA α∴∠=，CD CA =，11(180)9022CDA CAD αα∴∠=∠=︒-=︒-，ADF ∆ 是等腰三角形，30DFA α∠=︒+，①CD CA =，则CDA CAD ∠=∠，当FD FA =，则FDA FAD ∠=∠，这不合题意舍去，②当AF AD =，ADF AFD ∴∠=∠，190302αα∴︒-=︒+，解得40α=︒；③当DF DA =，DFA DAF ∴∠=∠，13090302αα∴︒+=︒--︒，解得20α=︒．故答案为40︒或20︒．【旋转60°】得等边例题3.如图，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，△AOE 是等边三角形，点P 为x 轴正半轴上任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交x 轴于点F .（1）问∠QFP 角度是否发生变化，若不变，请说明理由；（2）若AO =，OP =x ，请表示出点Q 的坐标（用含x 的代数式表示）【解答】（1）不变（2）【旋转90°】构造全等例题4．如图，在平面直角坐标系中，点(,)A a b 为第一象限内一点，且a b <．连结OA ，并以点A 为旋转中心把OA 逆时针转90︒后得线段BA ．若点A 、B 恰好都在同一反比例函数的图象上，则b a的值等于多少？【解答】解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BD AE ⊥，90OAB ∠=︒ ，90OAE BAD ∴∠+∠=︒，90AOE OAE ∠+∠=︒ ，BAD AOE ∴∠=∠，在AOE ∆和BAD ∆中，90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOE BAD AAS ∴∆≅∆，AE BD b ∴==，OE AD a ==，DE AE AD b a ∴=-=-，OE BD a b +=+，则(,)B a b b a +-；A 与B 都在反比例图象上，得到()()ab a b b a =+-，整理得：22b a ab -=，即2(10b b a a--=， △145=+=，∴152b a ±=，点(,)A a b 为第一象限内一点，0a ∴>，0b >，则152b a +=．故答案为152+．【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5．如图所示，抛物线2:(0,0)m y ax b a b =+<>与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180︒，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ．（1）四边形11AC A C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（2）若四边形11AC A C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．【解答】解：（1）当1a =-，1b =时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+．令0x =，得：1y =．(0,1)C ∴．令0y =，得：1x =±．(1,0)A ∴-，(1,0)B ，C 与1C 关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：22(2)143y x x x =--=-+；四边形11AC A C 是平行四边形．理由：连接AC ，1AC ，11A C ，C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称，1AB BA ∴=，1BC BC =，∴四边形11AC A C 是平行四边形．（2）令0x =，得：y b =．(0,)C b ∴．令0y =，得：20ax b +=，∴x =∴(A B ，∴AB BC ===．要使平行四边形11AC A C 是矩形，必须满足AB BC =，∴=，∴24(b b b a a⨯-=-，3ab ∴=-．a ∴，b 应满足关系式3ab =-．例题6．如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过(1,0)A -，(3,2)C 两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，过点(1,1)E -作EF x ⊥轴于点F ，将AEF ∆绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆（点M ，N ，Q 分别与点A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标．【解答】解：（1）抛物线23y ax ax b =-+过(1,0)A -、(3,2)C ，03a a b ∴=++，299a a b =-+．解得12a =-，2b =，∴抛物线解析式213222y x x =-++．（2）如图2，由题意知，AEF ∆ 绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆，∴设绕点I 旋转，联结AI ，NI ，MI ，EI ，AI MI = ，NI EI =，∴四边形AEMN 为平行四边形，//AN EM ∴且AN EM =．(1,1)E - 、(1,0)A -，∴设(,)M m n ，则(2,1)N m n -+M 、N 在抛物线上，213222n m m ∴=-++，2131(2)(2)222n m m +=--+-+，解得3m =，2n =．(3,2)M ∴，(1,3)N ．【旋转过后落点问题】例题7．如图，Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，48B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =，把Rt ABC ∆绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m =．【解答】解：当旋转后点B 的对应点B '落在AB 边上，如图1，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，48DB B B ∴∠'=∠=︒，18084B DB DB B B ∴∠'=︒-∠'-∠=︒，即84m =︒；当点B 的对应点B '落在AB 边上，如图2，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，2BD CD = ，2DB CD ∴'=，90C ∠=︒ ，30CB D ∴∠'=︒，60CDB ∴∠'=︒，18060120B DB ∴∠'=︒-︒=︒，即120m =︒，综上所述，m 的值为84︒或120︒．故答案为84︒或120︒．例题8．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3CAB ∠=，若将ACB ∆绕点A 顺时针旋转得到Rt △AC B ''，且C '落在CO 的延长线上，连接BB '交CO 的延长线于点F ，则BF =．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于点D ，CA CO = ，AD DO ∴=，在Rt ACB ∆中，16cos 3AC CAB AB AB∠===，318AB AC ∴==，在Rt ADC ∆中：1cos 3AD CAB AC ∠==，123AD AC ∴==，24AO AD ∴==，18414BO AB AO ∴=-=-=，△AC B ''是由ACB ∆旋转得到，AC AC ∴='，AB AB ='，CAC BAB ∠'=∠'，1(180)2ACC CAC ∠'=︒-∠' ，1(180)2ABB BAB ∠'=︒-∠'，ABB ACC ∴∠'=∠'，∴在CAO ∆和BFO ∆中，BFO CAO ∠=∠，CA CO = ，COA CAO ∴∠=∠，又COA BOF ∠=∠ （对顶角相等），BOF BFO ∴∠=∠，14BF BO ∴==．故答案为：14．例题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26(0)y mx mx n m =++>与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线BC 交y 轴于E ，且ABC ∆与AEC ∆这两个三角形的面积之比为2:3．（1）求点A 的坐标；（2）将ACO ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点A 与B 重合，此时点O 的对应点O '恰好也在y 轴上，求抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图1，抛物线26(0)y mx mx n m =++>∴对称轴3x =-，当:2:3ABC AEC S S ∆∆=时，:2:1ABC AEB S S ∆∆∴=，过点C 作CF x ⊥轴于F ，:2:1CF OE ∴=易知，BFC BOE ∆∆∽，::2:1BF OB CF OE ∴==，1OB ∴=，2BF =，5OA ∴=，(5,0)A ∴-，(1,0)B -；（2）(1,0)B - ，06m m n ∴=-+，5n m ∴=，(3,4)C m ∴--，如图2，作CF AB ⊥于F ，CP OD ⊥于P ，则四边形CFOP 是矩形，4OP CF m ∴==，3CP OF ==，OP O P '=，28OO OP m'∴==由旋转知，5OA BO '==，在Rt BOO '∆中，1OB =，根据勾股定理得，2285126m =-=，64m ∴=263656424y x x ∴=++【旋转+“恰好”问题】例题10．如图，在直角坐标系中，直线4y =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，且30B ∠=︒，4AB =，将ABO ∆绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标．【另外再可思考，当“AB 所在直线与MN 垂直时点A 的坐标”】【解答】解：①4AB = ，30ABO ∠=︒，122OA AB ∴==，903060BAO ∠=︒-︒=︒，120OAD ∴∠=︒，直线MN 的解析式为43y x =-+，30NMO ∴∠=︒，//AB MN ，30ADO NMD ∴∠=∠=︒，30AOC ∴∠=︒，112AC OA ∴==，OC ∴==∴点A 的坐标为，1)；② 图②中的点A 与图①中的点A 关于原点对称，∴点A 的坐标为：(，1)-，故答案为：，1)、(1)-．例题11．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点(3,0)A ，(0,4)B ，以点A 为旋转中心，把ABO ∆顺时针旋转，得ACD ∆．记旋转角为α．ABO ∠为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足//BC x 轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足AOD β∠=时，求直线CD 的解析式（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）点(3,0)A ，(0,4)B ，得3OA =，4OB =，∴在Rt AOB ∆中，由勾股定理，得225AB OA OB =+=，根据题意，有3DA OA ==．如图①，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则//MD OB ，ADM ABO ∴∆∆∽．有AD AM DM AB AO BO==，得39355AD AM AO AB ==⨯= ，65OM ∴=，∴125MD =，∴点D 的坐标为6(5，12)5．（2）如图②，由已知，得CAB α∠=，AC AB =，ABC ACB ∴∠=∠，∴在ABC ∆中，1802ABC α∴=︒-∠，//BC x 轴，得90OBC ∠=︒，9090ABC ABO β∴∠=︒-∠=︒-，2αβ∴=；（3）若顺时针旋转，如图，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点C 作CF OA ⊥于F ，AOD ABO β∠=∠= ，3tan 4DE AOD OE ∴∠==，设3DE x =，4OE x =，则43AE x =-，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+，2299(43)x x ∴=+-，2425x ∴=，96(25D ∴，72)25，∴直线AD 的解析式为：247277y x =-，直线CD 与直线AD 垂直，且过点D ，∴设724y x b =-+，把96(25D ，72)25代入得，72796252425b =-⨯+，解得4b =，互相垂直的两条直线的斜率的积等于1-，∴直线CD 的解析式为7424y x =-+．同理可得直线CD的另一个解析式为7424y x=-．【巩固练习】1．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ．若10BC =，9BD =，则AED ∆的周长是．2.如图一段抛物线：(3)(03)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于点O 和1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，如此进行下去，直至得到10C ，若点(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，则m 的值为.3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，ABC ∆绕点C 顺时针旋转得△11A B C ，当1A 落在AB 边上时，连接1B B ，取1BB 的中点D ，连接1A D ，则1A D 的长度是．4．如图，AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，AOB ∆绕点O 逆时针旋转到△A OB ''处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，求线段B E '的值．5．如图，在直角坐标系中，直线14:83l y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 顺时针旋转45︒得到2l ．求2l 的函数表达式．6．如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，则k 的值为．7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(8,0)-，直线BC 经过点(8,6)B -，(0,6)C ，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转a 度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．在四边形OABC 旋转过程中，若使12BP BQ =？则点P 的坐标为．8．如图，在BDE ∆中，90BDE ∠=︒，BD =，点D 的坐标为(5,0)，15BDO ∠=︒，将BDE∆旋转到ABC ∆的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为．9．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，问CE =时，A 、C 、F 在一条直线上．10．如图，一次函数1(0)2y x m m =-+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，点C 的横坐标为n ，点D 在线段AB 上，且2AD BD =，将ACD ∆绕点D 旋转180︒后得到△11A C D ．（1）若点1C 恰好落在y 轴上，试求n m的值；（2）当4n =时，若△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，求该一次函数的解析式．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，3cos 5ABC ∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C ．（1）如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时．①求证：11//BB CA ；②求△1AB C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差．12．如图（1），在ABC=，动点P在线段AC上以5/cm s的速度从=，3BC cmAB cmC∆中，90∠=︒，5点A运动到点C，过点P作PD AB'，设点P的⊥于点D，将APD∆绕PD的中点旋转180︒得到△A DP 运动时间为()x s．（1）当点A'落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A BC'是以A B'为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5/cm s的速度从点B运动到点C，过点Q 作QE AB⊥于点E，将BQE'，连结A B''，当直线A B''与ABC∆绕QE的中点旋转180︒得到△B EQ∆的一边垂直时，求线段A B''的长．13．如图，(0,2)A ，(1,0)B ，点C 为线段AB 的中点，将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到线段BD ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点D ．（1）若该抛物线经过原点O ，且13a =-，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点(,)P m n 在抛物线上，且POB ∠锐角，满足90POB BCD ∠+∠<︒，求m 的取值范围．14．如图1，抛物线210y ax ax c =-+经过ABC ∆的三个顶点，已知//BC x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上35OA BC =，且AC BC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将AOC ∆沿x 轴对折得到1AOC ∆，再将1AOC ∆绕平面内某点旋转180︒后得△112(A O C A ，O ，1C 分别与点1A ，1O ，2C 对应）使点1A 、2C 在抛物线_P 上，求点1A 、2C 的坐标；15．点P为图①中抛物线22m>上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90︒=-+为常数，0)y x mx m m2(后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）若点Q的坐标为(-，求该抛物线的函数关系式；（2）如图②，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AGQ∆是以AG 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【解答】解：ABC ∆ 是等边三角形，10AC AB BC ∴===，BAE ∆ 由BCD ∆逆时针旋旋转60︒得出，AE CD ∴=，BD BE =，60EBD ∠=︒，10AE AD AD CD AC ∴+=+==，60EBD ∠=︒ ，BE BD =，BDE ∴∆是等边三角形，9DE BD ∴==，AED ∴∆的周长19AE AD DE AC BD =++=+=．故答案为：19．2.【解答】解：令0y =，则(3)0x x --=，解得10x =，23x =，1(3,0)A ∴，由图可知，抛物线10C 在x 轴下方，相当于抛物线1C 向右平移3927⨯=个单位，再沿x 轴翻折得到，∴抛物线10C 的解析式为(27)(273)(27)(30)y x x x x =---=--，(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，(2827)(2830)2m ∴=--=-．3.【解答】解：90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，2AC =，9060A ABC ∴∠=︒-∠=︒，4AB =，BC =，1CA CA = ，1ACA ∴∆是等边三角形，112AA AC BA ===，1160BCB ACA ∴∠=∠=︒，1CB CB = ，1BCB ∴∆是等边三角形，1BB ∴=，12BA =，1190A BB ∠=︒，1BD DB ∴==，1A D ∴==，．4.【解答】解：90AOB ∠=︒ ，3AO =，6BO =，AB ∴==AOB ∆ 绕顶点O 逆时针旋转到△A OB ''处，3AO A O ∴='=，A B AB ''==，点E 为BO 的中点，116322OE BO ∴==⨯=，OE A O ∴='，过点O 作OF A B ⊥''于F ，1362A OB S OF ''=⨯=⨯⨯ ，解得655OF =，在Rt EOF ∆中，5EF ==，OE A O =' ，OF A B ⊥''，22A E EF ∴'==（等腰三角形三线合一），B E A B A E ∴'=''-'=5.【解答】解：直线483y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，(0,8)A ∴、(6,0)B -，如图2，过点B 做BC AB ⊥交直线2l 于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，在BDC ∆和AOB ∆中，CBD BAO CDB AOB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDC AOB AAS ∴∆≅∆，6CD BO ∴==，8BD AO ==，6814OD OB BD ∴=+=+=，C ∴点坐标为(14,6)-，设2l 的解析式为y kx b =+，将A ，C 点坐标代入，得1468k b b -+=⎧⎨=⎩，解得178k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2l ∴的函数表达式为187y x =+；6.【解答】解：如图所示：过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得：BAO OAF ∠=∠，AO AF =，//AB OC ，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，故60AOF DOM ∠=︒=∠，624OD AD OA AB OA =-=-=-= ，2MO ∴=，MD =，(2,D ∴--，2(k ∴=-⨯-=．故答案为：．7.【解答】解：存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =．理由如下：过点Q 画QH OA ⊥'于H ，连接OQ ，则QH OC OC ='=，12POQ S PQ OC ∆= ，12POQ S OP QH ∆= ，PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =，2BQ x ∴=，如图4，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO ∆中，222(8)6(3)x x ++=，解得13612x =+，23612x =-，（不符实际，舍去）．3692PC BC BP ∴=+=+，1(92P ∴--，6)，如图5，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO ∆中，222(8)6x x -+=，解得254x =，257844PC BC BP ∴=-=-=，27(4P ∴-，6)，综上可知，存在点136(92P --，6)，27(4P -，6)使12BP BQ =．8.【解答】解：如图，AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF x ⊥轴于F ．点C 在BD 上，∴点P 到AB 、BD 的距离相等，都是12BD ，即12⨯=45PDB ∴∠=︒，4PD ==，15BDO ∠=︒ ，451560PDO ∴∠=︒+︒=︒，30DPF ∴∠=︒，114222DF PD ∴==⨯=，点D 的坐标是(5,0)，523OF OD DF ∴=-=-=，由勾股定理得，PF ===∴旋转中心的坐标为(3，．故答案为：(3，．9.【解答】解：过F 作FN BC ⊥，交BC 延长线于N 点，连接AC ，90DCE ENF ∠=∠=︒ ，90DEC NEF ∠+∠=︒，90NEF EFN ∠+∠=︒，DEC EFN ∴∠=∠，Rt FNE Rt ECD ∴∆∆∽，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，:2:1DE EF ∴=，:::2:1CE FN DE EF DC NE ∴===，2CE NF ∴=，1522NE CD ==．45ACB ∠=︒ ，∴当45NCF ∠=︒时，A 、C 、F 在一条直线上．则CNF ∆是等腰直角三角形，CN NF ∴=，2CE CN ∴=，22553323CE NE ∴==⨯=．53CE ∴=时，A 、C 、F 在一条直线上．故答案为：53．10.【解答】解：（1）由题意，得(0,)B m ，(2,0)A m ，如图，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，交直线11A C 于点F ，易知：23DE m =，2(3D m ，2)3m ，14(3C m n -，4)3m ，∴403m n -=，∴43n m =；（2）由（1）得，当3m >时，点1C 在y 轴右侧；当23m <<时，点1C 在y 轴左侧．①当3m >时，设11A C 与y 轴交于点P ，连接1C B ，由△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，S ∴△1:BA P S △13:1BC P =，11:3A P C P ∴=，∴，185m ∴=，11825y x ∴=-+；②当23m <<时，同理可得：11827y x =-+；综上所述，11827y x =-+或11825y x =-+．11.【解答】解：（1）①证明：AB AC = ，1B C BC =，1AB C B ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，1AB C ACB ∠=∠ （旋转角相等），111B CA AB C ∴∠=∠，11//BB CA ∴；②过A 作AF BC ⊥于F ，过C 作CE AB ⊥于E ，如图①：AB AC = ，AF BC ⊥，BF CF ∴=，3cos 5ABC ∠=，5AB =，3BF ∴=，6BC ∴=，16B C BC ∴==，1318655BE B E ∴==⨯=，1365BB ∴=，424655CE =⨯=，13611555AB ∴=-=，∴△1AB C 的面积为：1112413225525⨯⨯=；（2）如图2，过C 作CF AB ⊥于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ，1EF 有最小值，此时在Rt BFC ∆中，245CF =，1245CF ∴=，1EF ∴的最小值为249355-=；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于1F ，1EF 有最大值；此时11369EF EC CF =+=+=，∴线段1EF 的最大值与最小值的差为936955-=．12.【解答】解：（1）如图1，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，当点A '落在边BC 上时，由题意得，四边形APA D '为平行四边形，PD AB ⊥ ，90ADP C ∴∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，5AP x = ，4A P AD x ∴'==，45PC x =-，A PD ADP ∠'=∠ ，//A P AB ∴'，∴△A PC ABC '∆∽，∴PC A P AC AB '=，即45445x x -=，解得：2041x =，∴当点A '落在边BC 上时，2041x =；（2）当A B BC '=时，222(58)(3)3x x -+=，解得：4012373x ±=．45x ，∴4073x -=；当A B A C '='时，58x =．（3）Ⅰ、当A B AB ''⊥时，如图6，DH PA AD '∴==，HE B Q EB ='=，2224235AB AD EB x x =+=⨯+⨯= ，514x ∴=，514A B QE PD x ∴''=-==；Ⅱ、当A B BC ''⊥时，如图7，5B E x ∴'=，57DE x =-，53cos 575x B x ∴==-，1546x ∴=，2523A B B D A D ∴''='-'=；Ⅲ、当A B AC ''⊥时，如图8，由（1）有，2041x =，12sin 41A B PA A ∴''='=；当A B AB ''⊥时，514x =，514A B ''=；当A B BC ''⊥时，1546x =，2546A B ''=；当A B AC ''⊥时，2053x =，2553A B ''=．13.【解答】解：（1）过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ．90ABD ∠=︒ ，90DBF ABO ∴∠+∠=︒．又90OAB ABO ∠+∠=︒ ，DBF OAB ∴∠=∠．由旋转的性质可知AB BD =．在AOB ∆和BFD ∆中DBF OAB AOB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB BFD ∴∆≅∆．1DF OB ∴==，2AO BF ==．(3,1)D ∴．把点D 和点O 的坐标代入213y x bx c =-++得：1300b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：43b =，0c =．∴抛物线的解析式为21433y x x =-+．（2）如图2所示：点(0,2)A ，(1,0)B ，C 为线段AB 的中点，1(2C ∴，1)．C 、D 两点的纵坐标为1，//CD x ∴轴．BCD ABD ∴∠=∠．∴当POB BAO ∠=∠时，恰好90POB BCD ∠+∠=︒．设点P 的坐标为214(,)33m m m -+．当点P 在x 轴上且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -+=，解得：52m =或0m =（舍去）．当点P 位于x 轴的下方，点P '处时，且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -=，解得：112m =或0m =（舍去）．POB ∠ 为锐角，4m ∴≠．由图形可知：当点P 在抛物线上P 与P '之间移动时，90POB BCD ∠+∠<︒．m ∴的取值范围是：51122m <<且4m ≠．14.【解答】解：（1）35OA BC = ，AC BC =∴设3OA k =，5(0)AC BC k k ==>4OC k∴= 当0x =时，210y ax ax c c=-+=(0,)C c ∴，即4OC c k==4c k ∴=3(4c A ∴-，50)(4c B ，)c 抛物线经过点A 、B ∴2233()10()04455(1044c c a a c c c a a c c ⎧---+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得：1128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：2158126y x x =-++（2）如图1，1AOC ∆旋转后得到△112A O C 的位置如图所示116O A OA ∴==，128O C OC ==，11//O A x 轴，12O C x ⊥轴设2C 坐标为215(,8)126t t t -++，则2115(6,)126A t t t +-+221515(6)(6)8126126t t t t ∴-++++=-+解得：10t =1A ∴坐标为(16,0)，2C 坐标为(10,8)．15.【解答】解：（1）对于222y x mx m =-+，当0y =时，x m =，OG m ∴=，点Q 为点P 绕顶点G 逆时针旋转90︒后的对应点，P m ∴，2)m +，把P m +，2)m +代入222y x mx m =-+中，得222)2)m m m m m +=-+，4m ∴=，∴该抛物线的函数关系式为；2816y x x =-+；（2）存在，点Q 在第一象限内，AQ GQ =，如图2中，由题意可知OA OG =，∴m =，1m ∴=，∴点(0,1)A ，点A 的对应点(2,1)C ，(1,0)G ，∴直线CG 解析式为1y x =-，线段CG 的中垂线MN 解析式为2y x =-+，由2221y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点P 在第一象限，∴点P坐标1(2+，32-．。

初中数学巧用旋转法妙证几何题

初中数学巧用旋转法妙证几何题旋转法是几何证题中一种很重要的解题技巧。

在同一平面内。

将图形的某一部分按特定的条件旋转一个角度。

把分散的条件和结论相对集中起来，使图形中的相关部分发生新的联系，能使已知和未知得到更好的沟通，从而使问题化难为易，化繁为简。

现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。

一、证两线段相等例1. 如图1，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于G。

求证：AG＝AB。

解析：条件中有共点且相等的边AD和AB，可将△ADF以点A为中心，顺时针方向旋转90°到△ABH的位置，如图2。

此时只要证AG、AB为两个全等三角形对应边上的高即可。

由△ABH≌△ADF，可得∠BAH＝∠DAF，AH＝AF。

∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋BAH＝∠BAE＋∠DAF＝90°－45°＝45°，于是∠EAF＝∠EAH。

从而可证△AEF≌△AEH（SAS），故AG＝AB（全等三角形对应边上的高相等）。

二、证两线段不等例2. 如图3，在△ABC中，AB＝AC。

D是△ABC内一点，∠ADB＞∠ADC。

求证：DC ＞BD。

解析：条件中有共点且相等的边AB和AC，可将△ABD以点A为中心，逆时针方向旋转∠BAC的角度到△ACE的位置，如图4。

这样可把分散的条件和结论相对集中，使问题迎刃而解。

由△ACE≌△ABD，得到∠AEC＝∠ADB，AE＝AD，CE＝BD，从而∠AEC＞∠ADC。

连DE，因AE＝AD，故有∠ADE＝∠AED，从而有∠DEC＞∠EDC。

则在△CDE中，有DC＞CE，故DC＞BD。

三、证线段间的关系例3. 如图5，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平分∠DAE。

求证：AE＝BE＋DF。

解析：略。

四、证两角相等例4. 如图6，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°。

三角形旋转解题技巧初中

三角形旋转解题技巧初中引言三角形是初中数学中重要的几何图形之一，而旋转是一种常见的几何变换。

本文将介绍如何运用旋转解决与三角形相关的问题。

我们将从基本概念开始，逐步深入探讨旋转解题技巧，并通过实例演示其应用。

1. 旋转的基本概念1.1 什么是旋转？旋转是指以某个固定点为中心，按照一定的角度和方向，将图形或物体绕着该点进行移动的操作。

在数学中，我们通常以坐标平面上的原点为中心进行旋转操作。

1.2 旋转角度在二维平面上，我们使用弧度或度数来表示旋转角度。

一个完整的圆周对应360°或2π弧度。

在初中数学中，我们通常使用度数来表示旋转角度。

1.3 顺时针和逆时针顺时针方向是指按照钟表走时方向进行旋转；逆时针方向则是相反方向。

在解题过程中，需要根据具体情况确定顺时针或逆时针方向。

2. 三角形的旋转性质2.1 三角形的旋转不改变其形状和大小在二维平面上，三角形绕着一个点进行旋转后，仍然是一个三角形，并且其形状和大小保持不变。

这一性质是我们运用旋转解决三角形问题的基础。

2.2 顶点旋转当我们将一个三角形绕着顶点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数不变。

这些性质对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数。

2.3 边中点旋转当我们将一个三角形绕着边的中点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数相等；•边中点连线在旋转前后保持不变。

这些性质同样对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数，并且可以构造出一些特殊图形来简化问题。

3. 旋转解题技巧3.1 求未知边长当我们已知一个三角形的两条边和它们的夹角度数，需要求解第三条边长时，旋转可以帮助我们简化问题。

以顶点旋转为例，假设三角形ABC中，已知边AB和AC的长度分别为a和b，夹角BAC的度数为θ°。

我们需要求解BC的长度。

初中数学几何专题——旋转

初中数学几何专题——旋转一．选择题（共5小题）1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（）A．B．2 C．D．2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．84．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（）A．1：B．1：2 C．：2 D．1：5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A．1﹣B．1﹣C．D．二．填空题（共5小题）6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小．7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，，则BB1= ．9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为．10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是．三．解答题（共6小题）14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．（1）求两个正方形重叠部分的面积；（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．。

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