等腰三角形中的分类讨论问题归类
专题11 等腰三角形中的分类讨论 (原卷版)
专题11 等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论 设等腰三角形中有一个角为α时 对应结论 当α为顶角时底角=α2190-︒ 当α为直角或钝角时不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时α可以为顶角；也可以为底角 当等腰三角形的一个外角为α时对应结论 若α为锐角、直角α必为顶角的外角 若α为钝角α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1．已知△ABC 是等腰三角形，它的周长为20cm ，一条边长6cm ，那么腰长是 cm ．2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是 ．（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是 ．（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 ．3．如果等腰三角形的周长是35cm ，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm ，则这个等腰三角形的底边长是 ．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．5．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．87．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．8．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN ＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是．9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为．12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q 运动路线的长为．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为．14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为．15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．16．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P 为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．。
2020年中考数学专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想
专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。
【初二数学方法技巧专题】等腰三角形的分类讨论思想
【初二数学方法技巧专题】等腰三角形的分类讨论思想每日更新教研资源等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在解有关等腰三角形问题时，当所给的边、角等条件不明确时，常常要进行分类讨论，否则易造成错解.那么在什么情况下应该进行分类讨论呢？下面有4种常考题型，快来和小名老师一起学习一下吧！类型1针对顶角和底角进行分类例1. 若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是()A．70° B．40°C．70°或40° D．70°或55°分析：70°角可能是底角，也可能是顶角.当70°是底角时，则顶角的度数为180°－70°×2=40°；当70°角是顶角时，则顶角的度数就等于70°.所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°.故应选C.变式已知一个等腰三角形中有一个角为100°，则这个等腰三角形的顶角为 .答案100°方法归纳：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.类型2针对腰长和底边长进行分类题型1 遇边需讨论例2 已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是 .分析：已知条件中并没有指明5和9谁是腰长谁是底边的长，因此需要针对腰长及底边长分别是哪一个进行分类谈论.当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是9，则此时等腰三角形的周长等于5+5+9=19；当9是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是5，则此时等腰三角形的周长等于9+9+5=23.故这个等腰三角形的周长等于19或23.变式答案25方法归纳：在已知条件中没有明确等腰三角形的腰长和底边长时，应分类讨论.分类讨论时，还要判断所给的三边能否构成三角形，避免造成错解.题型2 遇中线需讨论例3 已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9 cm和12 cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为 .分析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形：①AB+AD=9,BC+CD=12；②AB+AD=12,BC+CD=9.若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得：即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm.变式若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底和腰的长分别为 .答案10 cm和4 cm．易错警示：这里求出来的解验证一下三角形的边满足三角形三边关系定理，如果不满足一定要舍去.类型3针对三角形的形状进行分类题型1 遇高需讨论例4 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．分析：本题中等腰三角形腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分原三角形为锐角三角形和钝角三角形进行分类求解.详解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示．∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝1/2×(180°－54°)＝63°.②若∠A＞90°，如图2所示．同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝1/2∠DAB＝27°.综上所述：等腰三角形底角的度数为63°或27°.题型2 遇中垂线需讨论例5 在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____.分析：本题中AB的中垂线与AC直线的交点不确定，交点可能在边AC上，也可能在其延长线上，故需进行分类讨论.详解：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAD=40°，所以故这个等腰三角形的底角为70°或20°.易错警示：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题.类型4找点构造等腰三角形需讨论例6 如图，已知线段AB，在直线l上找一点C，使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有个.分析：存在三种情况①AB＝AC；②BA＝BC；③CA＝CB．详解：①当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C3即为所求点；②当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C1,C2即为所求点；③当CA＝CB时，做线段AB的垂直平分线与直线l的交点C4即为所要求点.所以使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有4个方法指导：等腰三角形的存在性问题方法常用两圆一线。
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
等腰三角形中的分类讨论问题归类
初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。
那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。
一、遇角需讨论例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。
当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。
故应选D 。
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
二、遇边需讨论例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。
当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。
故这个等腰三角形的周长等于16或17。
说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
三、遇中线需讨论例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1221,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.921,1221y x x x 解得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩⎨⎧==.5,8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。
怎样运用分类讨论思想解答几何中的动点问题
数学篇几何动点问题一直是初中几何中的一个难点，因为点运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种.同学们在求解此类问题时常常因为考虑不周导致漏解而出错.因此，解答动点问题尤其要注意分类讨论.下面就如何运用分类讨论思想解答两类几何图形中的动点问题进行分析，以供参考.一、运用分类讨论思想解答等腰三角形中的动点问题等腰三角形具有两条边相等、底角相等的特点，在求解涉及等腰三角形的动点问题时，由于边的不确定性或角的不确定，需要运用分类讨论思想，从动态的角度逐一讨论三角形的三边两两相等的三种情况，或三角形的三个角为其顶角的三种可能性，然后综合所有分类的结果确定最终答案.例1如图1，在直角坐标系中，已知点P (-2,-1)，点T （t ,0）是x 轴上的一个动点.（1）求点P 关于原点的对称点P ′的坐标；（2）当[t ]取何值时，△P ′TO是等腰三角形？图1图1-1分析：第（1）问求P 点的对称点P ′比较简单，利用对称性即可解答.第（2）问，T 是x 轴上的动点，它在运动的过程中△P ′TO 可能是等腰三角形但顶点未确定，需要分情况讨论.解：（1）∵P (-2,-1)，∴P 关于原点的对称点P ′坐标为（2，-1），（2）由（1）知P ′（2，-1），作图如图1-1所示，①当△P ′TO 中，点P ′为顶点时，T 点为图1-1中T 4点，此时P ′T =P ′O ，T 坐标为T 4(4,0)，②当△P ′TO 中，点T 为顶点时，T 点为图1-1中T 2点，此时TO =TP ′，又∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(2-t )2+(-1-0)2解得，t =54，此时点T 坐标为T 2（54，0），③当△P ′TO 中，点O 为顶点时，T 点为图1-1中T 1和T 3点，此时TO =P ′O ，∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(0-2)2+[0-(-1)]2，解得，t =±5，此时T 点坐标为T 1(-5，0)和T 3（5，0），综合①②③可知，当t 取-5、54、5、4时，△P ′TO 是等腰三角形.评注：本题看似简单，实则非常复杂.由于题目中没有明确等腰三角形的顶点，且T 为坐标轴上的一个动点，所以点T 、O 、P 均有可能为等腰三角形顶角的顶点，需要对此进怎样运用分类讨论思想解答几何中盐城市新洋初级中学吉华丽解法荟萃32数学篇行分类讨论.二、运用分类讨论思想解答圆中的动点问题圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性.圆的这些特性决定了与圆有关的动点问题可能存在多解.在解题时，我们可以根据题目要求初步绘制“圆”可能存在的位置，然后依据分类标准（比如x 轴、y 轴等）逐一分类讨论，做到不重不漏，最后综合所有情况得到完整答案.例2如图2，直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .（1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线y=-43x +4相切，求点P 的坐标.图2图2-1分析：这是一个直线与圆相结合的题目.第（1）问，我们借助直线方程y=-43x +4可以直接求出M 、N 的坐标.第（2）问P 点在坐标轴上，到底在x 轴还是y 轴不确定，所以以P 点为圆心，半径为125的圆也具有不确定性，需要借助分类讨论思想加以讨论.解：（1）∵直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，∴令x =0，y =4，即N （0，4）.同理可得M （3，0）.（2）经过分析发现P 点可能在x 轴上或y 轴上，通过作图发现可能有4种情况，如图2-1所示.①当P 在x 轴上时，设P （x 0，0），则圆P可能是图2-1中的两个虚线圆.125=43x ，解得x 0=0或6，此情况下P 点坐标为P 1（0，0）P 2（6，0）；②当P 在y 轴上时，设P （0，y 0），则圆P可能是图2-1中的两个实线圆.125=|-43×0-y 0+4|4，解得y 0=0或8，此情况下P 坐标为P 3（0，0）和P 4（0，8），由此可见P 1和P 3重合，是同一个点.综合①②，符合条件的P 点一共有3个，分表为（0，0）、（6，0）、（0，8）.评注：审题时一定要充分挖掘隐含条件，“点P 在坐标轴上”就是一个不确定的表述，可能存在多种情况.另外作图要准确，可以通过作图的方式大致确定点的位置，预估答案.此外，该题还有一个关键之处，即“点到直线的距离公式”.考试中常用的有两种公式，分别为：①设直线方程为一般式Ax +By +C =0，点P 的坐标为（x 0，y 0），则点P 到直线L 的距离为：d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B2；②当P (x 0,y 0)，直线L 的方程为截距式y =kx +b ，则P 点到直线的距离为d =|kx 0-y 0+b |1+k2.总之，动点问题常常要借助分类讨论思想辅助解题.一般涉及到与“直角三角形”“等腰三角形”“相似三角形”“圆”等相关的动点问题，往往具有不确定性，存在多解的情况.解法荟萃。
等腰三角形中的分类讨论
精微专题 等腰三角形中的分类讨论应城市实验初中 龚利鹏【知识与方法】等腰三角形是一种特殊的三角形，既可以按边分类，又可以按角分类，因此在求解一些问题时一定要分类讨论，做到不重也不漏。
知识一．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）．知识二．有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．有些甚至有三种情况，因此遇到求角时要分类讨论．知识三．有两条边相等的三角形是等腰三角形．因此遇到求边时要分腰和底分类讨论。
类型一 腰和底不明时需讨论例1. 已知等腰三角形的一边长为10cm ，周长为28cm,求其它两边的长.解：分两种情况：（1）底边长为10cm ，则腰长为（28-10）÷2=9（cm ）,所以另两边的长为9cm ，9cm ，能构成三角形。
(2)腰长为10 cm ，则底边长为28-20=8（cm ），所以另两边的长为10 cm ，8 cm ，能构成三角形。
综上所述，其他两边的长为9 cm ，9 cm 或10 cm ，8 cm. 类型二 顶角和底角不明时需讨论例2．已知等腰三角形的一个内角是050，则另个角的度数分别是多少?解：当050为底角时，另两个内角分别为050，080当050，为顶角时，另两个内角分别为065，065 类型三 三角形的形状不确定时需讨论例3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为030时，求顶角为多少度? 解：当为钝角三角形时，顶角为0120，当为锐角三角形时，顶角为060.【针对练习】1. 已知等腰三角形的两边长分别是3和4，求其周长.2. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，求其周长.3. 已知等腰三角形的一个内角为070，求其他两个内角.4. 已知等腰三角形的一个内角为092，求其它两个内角.5. 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少020，求顶角的度数.6. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为040，则此等腰三角形的顶角为多少度?7. 在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交直线AC 于点E ，若∠EBC=042, 求∠BAC 的度数.8. 等腰三角形一腰上的高与等腰三角形一边的夹角为020 ，求其顶角.【答案简析】1.10或112.133.055，055或040，070 4. 044，044 5. 044或080或0140 6. 050或0130 7.032或0152或088 8. 070或040或0110。
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初中数学等腰三角形的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。
那么在什么情况下应该分类讨论呢本文分以下几种情形讲述。
一、遇角需讨论
例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。
当75°是底角时，则顶角的度数为
180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。
故应选D 。
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
二、遇边需讨论
例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。
当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。
故这个等腰三角形的周长等于16或17。
说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
三、遇中线需讨论
例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1221,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.92
1,1221y x x x 解
得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩
⎨⎧==.5,8y x 即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。
说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
四、遇高需讨论
例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析：依题意可画出图1和图2两种情形。
图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。
例5. 为美化环境，计划在某小区内用230m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
简析：在等腰ΔABC 中，设AB=10m ，作CD⊥AB 于D ，由3021=⋅⨯=
∆CD AB S ABC ，可得CD=6m 。
如下图，当AB 为底边时，AD=DB=5m ，所以)(6122m AD CD BC AC =+==。
如下图，当AB 为腰且ΔABC 为锐角三角形时，
m AC AB 10==，所以)(822m CD AC AD =-=，
)(102,222m BD CD BC m BD =+==。
如下图，当AB 为腰且ΔABC 为钝角三角形时，
m BC AB 10==，)(822m CD BC BD =-=，
所以)(106,1822m AD CD AC m AD =+==。
说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。
五、遇中垂线需讨论
例6.在ΔABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1，当交点在腰AC 上时，ΔABC 是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以 ∠B=∠C=2
1（180°－40°）=70°。
如图2，当交点在腰CA 的延长线上时，ΔABC 为钝角三有形，此时可求得
∠BAC=140°，所以∠B=∠C=2
1（180°－140°）=20°
故这个等腰三角形的底角为70°或20°。
说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。
六、和方程问题的综合讨论
例7. 已知ΔABC 的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC 长为5。
（1）k 为何值时，ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形
（2）k 为何值时，ΔABC 是等腰三角形，并求ΔABC 的周长。
简析：（1）略。
（2）若ΔABC 是等腰三角形，则有AB=AC ，AB=BC ，AC=BC 这三种情形。
方程023)32(22=++++-k k x k x 可化为0)1)(2(=----k x k x ，即21+=k x ，12+=k x ，显然21x x ≠，即AC AB ≠。
当AB=BC 或AC=BC 时，5是方程023)32(22=++++-k k x k x 的根。
当5=x 时，代入原方程可得01272=+-k k ，解得31=k ，42=k 。
当3=k 时，原方程的解为4,521==x x ，等腰ΔABC 的三边长分别为5，5，4，周长为14。
当4=k 时，原方程的解为5,621==x x ，等腰ΔABC 的三边长分别为5，5，6，周长为16。
所以当3=k 或4=k 时，ΔABC 是等腰三角形，周长分别为14或16。