初二数学《等腰三角形的性质》练习共10页word资料
等腰三角形的性质精选试题附答案
等腰三角形的性质精选试题一．选择题（共21小题）1．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11C．7或11D．7或102．（2006•仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB 的度数是（）A．15°B．30°C．50°D．65°3．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°4．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或D．30°15°5．（2006•普陀区二模）等腰三角形一腰上的高及底边所成的角等于（）A．顶角的一半B．底角的一半C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（）A．6B．9C．12D．157．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（）A．0对B．1对C．2对D．3对9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB 于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为（）A．90°B．80°C．68°D．60°10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（）A．110°B．140°C．110°或140°D．以上都不对11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（）A．40°B．30°C．20°D．10°12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（）根．A．4B．5C．6D．713．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．48B．24C．12D．614．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．65°15．如图，点D是线段AB及线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC 等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°16．如图，AD=BC=BA，那么∠1及∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2B．2∠1+∠2=180C．∠1+3∠2=180D．3∠1﹣°°∠2=180°17．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个18．设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是（）A．0°≤∠A≤1 80°B．0°＜∠A＜180°C．0°≤∠A≤90°D．0°＜∠A＜90°19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若AB=5cm，△BCD的周长为8cm，那么BC的长是（）cm．A．3B．4C．5D．220．已知△ABC中，∠C=32°，∠A、∠B的外角平分线分别交对边的延长线于D、E两点，且AC=AD，则∠E=（）A．10°B．16°C．20°D．24°21．如图，△ABC中，AB=BC=AD，D在BC的延长线上，则角α和β的关系是（）A．α+β=180°B．3α+2β=180°C．3α+β=180°D．2β=α二．填空题（共5小题）22．（2011•沈河区一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在BC、AC边上，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，则∠BAD的度数为_________ ．23．如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=50°，∠DAC=30°，则∠BDC=_________ ．24．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都及OE相等，则最多能添加这样的钢管_________ 根．25．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B_________ ∠1，∠C_________ ∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=_________ 度．26．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有_________ 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于_________ ．三．解答题（共4小题）27．已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和及线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想：_________ ．证明：28．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（3）猜想∠EDC及∠BAD的数量关系？（不必证明）29．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24cm，且BC=10cm，求AB的长．30．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．等腰三角形的性质精选试题参考答案及试题解析一．选择题（共21小题）1．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11C．7或11D．7或10考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①或②解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选C．点评：本题考查等腰三角形的性质和相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答．2．（2006•仙桃）在△AB C中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB 的度数是（）A．15°B．30°C．50°D．65°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：首先由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由DE垂直平分AC可得DC=AD，推出∠DAC=∠DCA．易求∠DCB．解答：解：AB=AC，∠A=50°⇒∠ABC=∠ACB=65°．∵DE垂直平分AC，∴∠DAC=∠DCA．∴∠DCB=∠ACB﹣∠DCA=65°﹣50°=15°．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以和等腰三角形的性质，考生主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．3．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边及角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．4．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．解答：解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．点评：熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．5．（2006•普陀区二模）等腰三角形一腰上的高及底边所成的角等于（）A．顶角的一半B．底角的一半C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半考点：等腰三角形的性质．分析：作出图象根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余列式求解．解答：解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，∴∠ABC=∠C=在Rt△BDC中，∠CBD=90°﹣∠C=90°﹣=．故选A ．点评：本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以和直角三角形两锐角互余的性质．题目本身是规律性的结论，要注意总结掌握，在今后的分析问题时可直接应用．6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（）A．6B．9C．12D．15考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE是AC的垂直平分线，即可证得AD=CD，即可得△BDC的周长是AB 及BC的和，又由AB=AC=9，BC=6，即可求得答案．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△BDC的周长是：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC，∵AB=AC=9，BC=6，∴△BDC的周长是：AB+BC=9+6=15．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想及转化思想的应用．7．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC，求出∠A，根据线段的垂直平分线求出AD=BD，得到∠A=∠ABD，求出∠ABD的度数即可．解答：解：∵AC=AB，∠C=70°，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，题目比较典型，难度适中．8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（）A．0对B．1对C．2对D．3对考点：等腰三角形的性质．分析：利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴BD+DE=CE+DE即：BE=CD，∴△ABE≌△ACD，∴图中全等的三角形共有2对，选C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参及，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB 于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为（）A．90°B．80°C．68°D．60°考点：等腰三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．解答：解：∵AB=AC∴∠B=∠C∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E∴∠BED=∠FDC=90°∵∠AFD=158°∴∠EDB=∠CFD=180°﹣158°=22°∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣22°=68°．故选C．点评：本题综合考查等腰三角形及等边三角形的性质和三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（）A．110°B．140°C．110°或140°D．以上都不对考点：等腰三角形的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角及外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．解答：解：∵等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，∴当顶角∠A=40°时，则∠C=∠B=（180﹣40）=70°，∴∠ACB的外角的度数是180﹣70=110°，∴当底角∠A=40°时，∠B=40°，则∠ACB的外角的度数为2∠A=2×40=80°，当底角∠A=40°时，∠ACB=40°，则∠ACB的外角的度数为180﹣40=140°．故选C．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角及外角的关系；此题要采用分类讨论的思想，本题比较简单，属于基础题．11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（）A．40°B．30°C．20°D．10°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出∠B=∠C=40°，根据线段垂直平分线得出BD=AD，AE=CE，推出∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，即可求出∠DAE．解答：解：∵∠BAC=100°，AC=AB，∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=40°，∵D M、EN分别是边AB和AC的垂直平分线，∴BD=AD，AE=CE，∴∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，∴∠DAE=100°﹣40°﹣40°=20°，故选C．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（）根．A．4B．5C．6D．7考点：等腰三角形的性质．分析：由于焊上的钢条长度相等，并且A P1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数．解答：解：∵∠A=∠P1P2A=16°∴∠P2P1P3=32°，∠P1P3P2=32°∴∠P1P2P3=116°∴∠P3P2P4=48°∴∠P3P2P4=48°∴∠P2P3P4=96°∴∠P4P3P5=52°∴∠P3P5P4=52°∴∠P3P4P5=52°∴∠P5P4P6=76°∴∠P4P6P5=76°∴∠P4P5P6=28°∴∠P6P5P7=86°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选B．点评：本题主要考点：等腰三角形底角相等，三角形内角和为180度，平角度数为180度等．结合图形依次算出各角的度数，根据等腰三角形底角小于90度判断何时不能在焊接上．13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．48B．24C．12D．6考轴对称的性质；等腰三角形的性质．点：分析：根据等腰三角形性质求出BD=DC，AD⊥BC，推出△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF=S△CEF ，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．解答：解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=DC=8，AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF=S△CEF，∵△AB C 的面积是×BC×AD=×8×6=24，∴图中阴影部分的面积是S△ABC=12．故选C．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的面积，轴对称性质等知识点的理解和掌握，能求出图中阴影部分的面积是S△ABC是解此题的关键．14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．65°考点：等腰三角形的性质．分析：要求∠PAB，题中已知没有能直接求出的条件，故可作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P'C、PP'，得出A、B、C、P'四点共圆，从而求得∠PAB的度数．解答：解：如图，作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P′C、PP′，则P′C=PC，ACP′=∠ACP．∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，又∵∠PBC=10°，∠PCB=20°，∴∠BPC=150°，∠ACP=30°，∠ACP′=30°，∴∠PCP′=60°，∴△PCP′是等边三角形，∴PP′=PC，∠P′AC=∠PAC，∠P′PC=60°，∴∠BPP′=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠BPP′=∠BPC，∴△PBP′≌△PBC，∴∠PBP′=∠PBC=10°，∴∠P′BC=20°，∠ABP′=30° 又∠ACP′=30°，∴∠ABP′=∠ACP′，∴A、B、C、P′四点共圆，∴∠PAC=∠P′AC=∠P′BC=20°，∴∠PAB=60°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定，难度较大．辅助线的作出是解答本题的关键．15．如图，点D是线段AB及线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC 等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°考点：等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接BD、AC．设∠1=x．根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，BD=CD．根据等边对等角，得∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x．根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，进而求得∠ADC．解答：解：连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB及线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，∴∠ADC=∠BDC﹣∠ADB=80°．故选D．点评：此题综合考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角的性质以和三角形的内角和定理；作出辅助线是正确解答本题的关键．16．如图，AD=BC=BA，那么∠1及∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°考点：等腰三角形的性质．分析：由已知条件可得到∠2=∠B，∠1=∠BCA，在△ABC中，由∠1+∠ACB+∠B=180°，可推出结论．解答：解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B．点评：本题考查了对等边对等角和三角形内角和定理的应用．17．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：认真阅读各小题提供的已知条件，依据三角形的分类方法，然后根据三角形内角和为180°进行分析解答．解答：解：①中，必定正确．如果两个角的和不大于90°，则第三个内角将大于或等于90°，该三角形将不是锐角三角形；②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度．所以正确的是①，③，⑤三个．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理；掌握三角形的分类方法，理解各个概念，同时注意三角形的内角和是180°．18．设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是（）A．0°≤∠A ≤180°B．0°＜∠A＜180°C．0°≤∠A≤90°D．0°＜∠A＜90°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：本题考查等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可以判断出顶角的取值范围．解答：解：因为等腰三角形的底角只能为锐角，但顶角可以是钝角或锐角，所以0°＜∠A＜180°，故选B．点评：本题考查等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可以得出结论．19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若AB=5cm，△BCD的周长为8cm，那么BC的长是（）cm．A．3B．4C．5D．2考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线定理得出AD=BD，根据BC+CD+BD=8cm求出AC+BC=8cm，把AC的长代入求出即可．解答：解：∵D在AB垂直平分线上，∴AD=BD，∵△BCD的周长为8cm，∴BC+CD+BD=8cm，∴AD+DC+BC=8cm，∴AC+BC=8cm，∵AB=AC=5cm，∴BC=8cm﹣5cm=3cm，故选A．点评：本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线定理，关键是求出AC+BC的值，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．20．已知△ABC中，∠C=32°，∠A、∠B的外角平分线分别交对边的延长线于D、E两点，且AC=AD，则∠E=（）A．10°B．16°C．20°D．24°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专计算题．题：分析：根据等腰三角形的性质求得∠C=∠D=32°，有外角平分线的性质知∠EAD=∠DAB=64°；然后在△ABD中求得∠ABD=86°，从而根据外角平分线的性质求出∠ABE=42°；最后在△ABE中，根据三角形内角和求∠E的度数．解答：解：∵AC=AD，∴∠C=∠D；又∵∠EAD=∠C+∠D，∠C=32°，∠EAD=∠DAB，∠EAD=∠DAB=64°，∴∠EAB=128°；在△ABD中，∠DAB=64°，∠D=32°，∴∠ABD=180°﹣∠D AB﹣∠D=84°；又有∠EBA=∠EBD，∴∠EBA=42°；∴在△ABE中，∠E=180°﹣∠EBA﹣∠EAB=10°；故选A．点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角平分线的性质．解答此题的关键是灵活运用三角形的外角及内角的关系和三角形的内角和定理．21．如图，△ABC中，AB=BC=AD，D在BC的延长线上，则角α和β的关系是（）A．α+β=180°B．3α+2β=180°C．3α+β=180°D．2β=α考点：等腰三角形的性质．分析：首先利用等腰三角形的性质得到∴∠B=∠D=α和∠BAC=∠BCA，然后利用三角形内角和求解．解答：解：∵AB=AD，∴∠B=∠D=α，∵AB=BC∴∠BAC=∠BCA，∵∠ACB=α+β∴在等腰三角形ABC中，2（α+β）+α=180°∴3α+2β=180°，故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是找到图中所有的等腰三角形．二．填空题（共5小题）22．（2011•沈河区一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在BC、AC边上，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，则∠BAD的度数为30°．考点：等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用等量代换即可求解．解答：解；∵在△ABD中，∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB，∠ADB=180°﹣∠ADC，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B，∵∠B=∠C，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE+15°﹣∠B=∠B+15°+15°﹣∠B=30°．故答案为30°．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，难易程度适中，适合学生的训练，是一道典型的题目．23．如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=50°，∠DAC=30°，则∠BDC=25°．考点：等腰三角形的性质．分析：结合题意，可分析得出点B、C、D在以点A位圆心，以AB长为半径的圆周上，即可得出∠BDC和∠CAB分别为圆周角和圆心角，且两角对应的弧相等，即可得出∠BAC=2∠BDC=50°，即可得出∠BDC=25°．解答：解：根据题意，可以以点A为圆心，以AB为半径作圆，即可得出点B、C、D均在圆周上，故有∠BAC=2∠BDC=50°，即∠BDC=25°．故答案为：25°．点评：本题主要考查了学生对知识的灵活运用能力和对问题的分析能力，属于常规性试题，是学生练习的很好的题材．24．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都及OE相等，则最多能添加这样的钢管8 根．考点：等腰三角形的性质．专题：应用题；压轴题．分析：根据已知利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律和三角形的内角和定理不难求解．解答：解：∵添加的钢管长度都及OE相等，∠AOB=10°，∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．点评：此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质和三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．25．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B= ∠1，∠C= ∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=72 度．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AG=CG，故∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理可知，∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，故∠B+∠C=54°，由于∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，再把∠B+∠C=54°代入即可求解．解答：解：∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AG=CG，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，∴∠B+∠C=54°，∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，故∠EAG=180°﹣2×54°=72°．故答案为：72°．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，解答此题的关键是熟知以下知识：①线段的垂直平分线到线段两端的距离相等；②三角形的内角和为180°．26．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB=，然后即可确定C点的位置；计算这三个三角形的面积时，△ABC的面积直接用×4×3得出，其它两个三角形面积可用正方形面积减去多余三角形的面积即可，例如三角形ABC′的面积用正方形面积20减去2个相等的三角形面积，再减去梯形的面积即可．解解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，答：∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC =×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形面积等知识点的理解和掌握，此题关键是根据AB 的长度确定C点的不同位置，然后再计算3个三角形面积即可．此题有一定难度，属于难题．三．解答题（共4小题）27．已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和及线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想：AB+AC=2AM ．证明：考点：等腰三角形的性质．专题：开放型．分析：根据题目提供的条件和图形中线段的关系，做出猜想AB+AC=2AM，过点C 作CE∥AB，CE及AM的延长线交于点E，进一步证明AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE，从而得到AB+AC=2AM．解答：猜想：AB+AC=2AM．（1分）证明：过点C作CE∥AB，CE及AM的延长线交于点E．（2分）则∠ECD=∠B，∠E=∠BAD．（两直线平行，内错角相等）（3分）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．（角平分线定义）∴∠E=∠CAD．（等量代换）∴AC=EC．（等角对等边）（4分）又CM⊥AD于M，∴AM=ME，即AE=2AM．（等腰三角形底边上的高线及底边上的中线重合）（5分）∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等边对等角）又∠EDC=∠ADB，（对顶角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代换）∴ED=EC．（等角对等边）（6分）∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代换）∴AB+AC=2AM．（7分）点本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确地做出猜想，然后向着评：这个目标努力即可．28．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（3）猜想∠EDC及∠BAD的数量关系？（不必证明）考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．解答：（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=45°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣30°=60°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=60°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣60°=15°，答：∠EDC的度数是15°．（2）解：及（1）类似：∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=90°﹣α，∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°﹣α+30°=120°﹣α，∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=α﹣30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=105°﹣α，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=（120°﹣α）﹣（105°﹣α）=15°，答：∠EDC的度数是15°．（3）∠EDC及∠BAD 的数量关系是∠EDC=∠BAD．点评：本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律．29．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24cm，且BC=10cm，求AB的长．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：关键已知能求出BE+CE的值，关键线段垂直平分线求出AE=BE，求出AC即可．解答：解：由已知得，BC+BE+CE=24，∵BC=10，∴BE+CE=14，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴AE+CE=14，即AC=14，∵AB=AC，∴AB=14．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是根据题意求出BE=AE 和求出AC 的长，通过做此题培养了学生运用线段的垂直平分线定理进行推理的能力，题目较好，难度适中．30．如图，在等腰△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的平分线相交于点O（1）连接OA ，求∠OAC 的度数；（2）求：∠BOC．考点：等腰三角形的性质．分析： （1）连接AO ，利用等腰三角形的对称性即可求得∠OAC 的度数； （2）利用三角形的内角和定理以和角平分线的定义求∠BOC 及∠A 的关系，再把∠A 代入即可求∠BOC 的度数．解答： 解：（1）连接AO ，∵在等腰△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，∴等腰△ABC 关于线段AO 所在的直线对称，∵∠A=80°，∴∠OAC=40°（2）∵BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（ ∠ABC+∠ACB） =180°﹣（∠ABC+∠ACB） =180°﹣（180°﹣∠A） =90°+∠A．。
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
八年级数学竞赛专题训练16等腰三角形的性质(附答案)
八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特姝的性质，这些性质为角度的讣算、线段相等、直线位宜关 系的证明等问题提供了新的理论依据.因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形 知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基 本图形、基本结论.（2）图2中,只要下述四个条件：®AB = AC；②Z1 = Z2：③CD = DB ；④AD 丄BC 中任意两个成立，就可以推出英余两个成 立.例题与求解【例1】如图，在8BC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB=AC. BC=BD, AD=DE=BE, 则Z 心 .（五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，用ZA 的代数式表示这些角，建立关于ZA 的等式.【例2】如图，在AABC 中，已知ZBAC=90°, AB=AC. D 为AC 中点，AE 丄BD 于E,延长AE 交 BC 于F,求证：ZADB=ZCDF ・（安徽省竞賽试题）解题思路：ZADB 与ZCDF 对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中， 作顶角的平分线或底边上的髙（中线）是一条常用的辅助线.(1)图 1 中，ZA = 180°-2ZB,ZB=ZC=180(>-ZA2ZDAC = 2ZB = 2ZC ・【例3】如图，在△ABC中，AC=BC, ZACB=90\ D是AC上一点，且A£垂直BD的延长线于& 又AE=-BD,求证：BD是ZABC的角平分线.2（北京市竞赛试题）解题思路：ZABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形.【例4】如图，在/XABC 中，ZBAC=ZBCA=44°, M、）gABC内一点，使ZMCA=30°, ZA/AC=16°, 求/BMC度数.解题思路：作等腰'ABC的对称轴（如图1）,通过计算，证明全等三角形，又44516—60。
等腰三角形的性质与判定综合练习
数学问题中的应用
等腰三角形在几何证明中 的应用
等腰三角形在三角函数中 的应用
等腰三角形在代数方程中 的应用
等腰三角形在实际问题中 的应用
解题技巧
利用等腰三角形的性质，将问题转化为已知问题求解。 结合等腰三角形的判定定理，确定等腰三角形的边和角。 利用等腰三角形的性质和判定定理，证明三角形中的等腰关系。 结合实际应用，利用等腰三角形的性质解决实际问题。
综合判定
定义：等腰三角形是两边长度 相等的三角形
判定方法：通过角度、边长、 高线等条件判定
判定定理：等腰三角形的两底 角相等，且顶角平分底角
判定辅助线：作等腰三角形的 高线，证明高线与底边垂直
03
等腰三角形的应用
实际问题中的应用
建筑学应用：等腰三角形在建筑设计中的稳定性 物理学应用：等腰三角形在力学中的平衡原理 计算机图形学应用：等腰三角形在图像处理中的对称性 日常生活应用：等腰三角形在生活用品设计中的应用，如衣架、椅子等
等腰三角形的底 边上的中点到顶 点的距离相等， 等于等腰三角形 的高。
面积计算
等腰三角形面积公式：面积 = (底 × 高) ÷ 2 面积与边长的关系：等腰三角形的底边长相等，高相等，因此面积相等 面积与角度的关系：等腰三角形的两个底角相等，因此面积与角度无关 面积与轴对称性的关系：等腰三角形是轴对称图形，因此面积可以通过轴对称性质计算
角相等
等腰三角形的 两个底角相等
底角相等是等 腰三角形的基
本性质之一
两个底角相等 是等腰三角形 的一个重要特
征
等腰三角形的 底角相等，这 是等腰三角形 的一个重要性
质
轴对称
等腰三角形是轴 对称图形，其对 称轴为底边的垂 直平分线。
人教版八年级上册数学等腰三角形的性质与判定练习题及答案
13.3.1 第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D．7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8 C． 5 D． 2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A．5m B．8m C．10m D．20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米 B．9米C．12米 D．15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．10．如图，∠AO E=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________米．16．在△ABC中，已知A B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B 处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________海里．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△A ED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20、解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°；在Rt△BCD中，CD= BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理），∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6，∴AC=9．22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△A BC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．13.3.1 第2课时等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。
等腰三角形的性质基础练习
等腰三角形的性质基础练习一．选择题（共10小题）1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或72．已知一个等腰三角形的两边长a、b 满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．4 C．3 D．5或43．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50° B．80° C．50°或80°D．40°或65°4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°6．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°7．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm8．若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．14 C．15 D．12或159．如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）A．80° B．100°C．140°D．160°二．填空题（共5小题）10．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．11．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．第4题第5题第6题第9题13．如图，在等腰△ABC 的两腰AB 、BC 上分别取点D 和E ，使DB=DE ，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B 的度数是．14．如图，在△ABC 中，AB=AC，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为 ．三．解答题15．如图，已知AB=AC=AD ，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点E ．求证：∠CBE=∠B AD ．17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！第13题第14题。
初二数学等腰三角形的性质试题答案及解析
初二数学等腰三角形的性质试题答案及解析1.如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于O点，作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC=a，AC=b，AB=c，则△GMO的周长+△ENO的周长-△FHO的周长= .【答案】b+c-a【解析】由角平分线及平行线可得等腰三角形，进而得边长相等，再通过转化，即可得出结论．∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，∴OM=BM，ON=NC，OG=AE，OE=AG，∴△GMO周长+△ENO的周长-△FHO的周长=OG+OM+GM+OE+ON+EN-OH-OF-FH=AE+EN+NC+BM+GM+AG-HC-FH-BF=b+c-a，故应填b+c-a．【考点】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质点评：解答本题的关键是掌握由角平分线及平行线可得等腰三角形，再通过转化求解。
2.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．【答案】60°【解析】由AB=AC根据等边对等角可得∠B=∠C，即可得到∠A=∠B=∠C，再根据三角形的内角和180°即可求得结果。
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，故答案为60°.【考点】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是根据等边对等角得到∠A=∠B=∠C.3.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AC=AD，BE=BC，则∠DCE等于（）A、45°B、60°C、50°D、65°【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形内角和定理可分别表示出∠ACD，∠BCE，再根据角之间的关系，不难求得∠DCE的度数．∵AC=AD，BC=BE∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC∴∠ACD=（180°-∠A），∠BCE=（180°-∠B）∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°-（∠A+∠B）∵∠A+∠B=90°∴∠DCE=45°故选A.【考点】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用点评：解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用。
2021-2022学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案
等腰三角形的性质一、选择题1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90°B．100°C．105°D．110°6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．37．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．AB＝CB8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°二、非选择题11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案与试题解析一、选择题1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90°B．100°C．105°D．110°【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根据等边对等角的性质，可求得∠ABC 的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度数，又由等边对等角的性质，可求得∠BED的度数，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝20°，∴∠BDE＝∠BED＝80°，∴∠DEC＝100°．故选：B．6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．AB＝CB【分析】由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，即可得出结论．【解答】解：由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，AB＝AC，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．【解答】解：分两种情况：①当高在三角形内部时（如图1），∵∠ABD＝30°，∴顶角∠A＝90°﹣30°＝60°；②当高在三角形外部时（如图2），∵∠ABD＝30°，∴顶角∠CAB＝90°+30°＝120°．故选：D．二、非选择题11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝40度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，∵EA＝EC，∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC 的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】（1）解：当点D在BC的中点时，DE＝DF．理由：如图1中，连接AD．∵D为BC的中点，∴BD＝CD．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°．在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）解：DE+DF＝CG．证明如下：如图2，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF．∵AB＝AC，∴DE+DF＝CG．（3）解：当点D在BC的延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．理由如下：如图3，延长BC至点D，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，即AB•DE＝AB•CG+AC•DF．∵AB＝AC，∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．【分析】由AD＝AC，BC＝BE，根据等边对等角得出∠ACD＝∠ADC，∠BEC＝∠ECB，再利用三角形内角和定理得出∠A＝180°﹣2∠ADC，∠B＝180°﹣2∠DEC，而∠A+∠B＝90°，那么求出∠ADC+∠DEC＝135°，则∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．【解答】解：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠ECB．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．在△ACD中，∠A＝180°﹣2∠ADC，在△BCE中，∠B＝180°﹣2∠DEC，∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC＝90°．∴360°﹣2（∠ADC+∠DEC）＝90°．∴∠ADC+∠DEC＝135°．∴∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．。
等腰三角形性质习题库
等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为底边的垂直平分线；等腰三角形的两个底角相等，顶角平分底边所对的角；等腰三角形的三线合一，即底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一。
详细述
可以通过两边相等或两角相等来判定一个三角形为等腰三角形。
如果一个三角形的两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形；如果一个三角形的两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。
总结词：根据等腰三角形的判定定理，可以判断一个三角形是否为等腰三角形，从而解决一些几何问题。
总结词
详细描述
示例
分析
利用等腰三角形的面积公式，可以解决一些与面积有关的几何问题。
在解题过程中，利用等腰三角形的面积公式，可以计算出三角形的面积，从而进一步解决问题。
在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=BD=2AD，求△ABC的面积与△ABD的面积之比。
等腰三角形在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、艺术等领域。等腰三角形的稳定性和美观性使得它在许多实际场景中成为优选的几何形状。
总结词
在建筑领域，等腰三角形可以用于设计美观的屋顶、塔尖等建筑元素，同时其稳定性也使得它在桥梁、高层建筑等工程结构中得到广泛应用。此外，在艺术领域，等腰三角形也常被用于设计图案、雕塑等艺术作品。
详细描述
总结词
等腰三角形是数学竞赛中常见的考点之一，常与其他几何图形结合，考察学生的综合解题能力和数学思维能力。
详细描述
在数学竞赛中，等腰三角形往往与勾股定理、全等三角形等知识点结合，形成难度较大的题目。解题时需要灵活运用等腰三角形的性质和相关定理，通过推理、计算和证明来找到解题思路。
等腰三角形的解题技巧
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03
总结词
初二数学等腰三角形的性质试题
初二数学等腰三角形的性质试题1.如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过Ｆ作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）.A．9B．8C．7D．6【答案】A【解析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，可得∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，再根据两直线平行内错角相等，可得∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，则有∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，根据等角对等边可得BD=FD，EC=EF，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．∵BF为∠ABC的平分线，CF为∠ACB的平分线，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴BD=FD，EC=EF，则DE=DF+FE=BD+CE=9，故选A．【考点】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质点评：解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的基本图形，从而利用性质和已知条件计算．2.如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是（）.A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】根据垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，可得DA=DB，EA=EC，再根据等角对等边可得∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，则有∠B+∠C+2∠DAE=150°，即180°-∠BAC+2∠DAE=150°，再与∠BAC+∠DAE=150°联立解方程组即可．∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．∵∠BAC+∠DAE=150°，①∴∠B+∠C+2∠DAE=150°．∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°，即∠BAC-2∠DAE=30°．②由①②组成的方程组：解得∠BAC=110°，故选B.【考点】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理点评：本题主要考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，三角形的内角和定理知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．3.如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．【答案】20°【解析】先根据垂直平分线的性质：“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”得到AD=BD，即可根据“等边对等角”得到∠ABD=∠A，从而求得结果。
等腰三角形的性质(分层作业)(解析版)-八年级数学上册
13.3.1等腰三角形的性质夯实基础篇一、单选题：1．如图，B 在AC 上，D 在CE 上，AD BD BC ，25ACE ，ADE 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】C 【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：BD BC ∵，25ACE ，25BDC C ，50ABD ，AD BD ∵，50A ABD ，75ADE A C .故答案为：C.【分析】由等边对等角得25BDC C ，利用三角形外角的性质求出50ABD ，由等边对等角得50A ABD ，根据三角形外角的性质求出75ADE A C .2．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（）A ．110°B ．70°C ．35°D ．55°【答案】C【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个外角是70 ，与这个外角相邻的内角的度数为18070110，这个等腰三角形的顶角的度数为110 ，底角的度数为1(180110)35，2故答案为：C.【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.3．若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6B．7C．8D．7或8【答案】D【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；偶次幂的非负性；绝对值的非负性【解析】【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，解得a=2，b=3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8．故答案为：D．【分析】首先根据非负数的性质可以得到a,b的长度，再分类讨论:腰为2，底为3；和腰为3，底为2，分别求出即可4．如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC ＝8，DE＝2，则△BCE的面积是（）A．4B．6C．8D．12【答案】C【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积＝12×BC×EF＝12×8×2=8.故答案为：C.【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE 的面积.5．一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为()A．2B．8C．2或8D．10【答案】B【知识点】等腰三角形的性质【解析】【解答】∵BD为中线，AB=AC，BC=5，∴AD=CD，∵C△ABD=AB+BD+AD，C△CBD=BC+CD+BD，①当C△ABD-C△CBD=3时，∴AB+BD+AD-（BC+CD+BD）=3，即AB-BC=3，∴AB=3+5=8，∴△ABC三边长分别为：8，8，5，符合三角形三边之间的关系，②当C△CBD-C△ABD=3时，∴BC+CD+BD-（AB+BD+AD）=3，即BC-AB=3，∴AB=5-3=2，∴△ABC三边长分别为：2，2，5，2+2 5，不符合三角形三边之间的关系，故答案为：B.【分析】根据等腰三角形的性质和中线的定义分两种情况讨论：①当C△ABD-C△CBD=3，②当C△CBD-C△ABD=3，分别求出AB的长，再结合三角形三边之间的关系来分析即可得出答案.6．在Rt△AB C中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，∴AC=CD=5cm，∠ACE=∠DCE，∠AEC=90°，∵CD平分∠BCE，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ACE=∠DCE=∠BCD，∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB=90°∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，在△AE C中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴∠A=60°，在△AB C中，∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，∴∠B=∠BCD=30°，∴BD=CD=5cm.故答案为：A。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
等腰三角形典型例题练习含答案
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性质：两腰相等，底边与两腰之间 的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中， 利用等腰三角形的边长比例解决问 题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两 腰相等，底边与 两腰之间的夹角 相等。
等腰三角形的边 长关系可以根据 勾股定理进行计 算。
等腰三角形的高、 中线和角平分线 等性质可用于计 算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互 补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等， 即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角， 其余两个角为底角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角， 其余两个角为顶角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度 顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数 等腰三角形的高、中线和角平分线重合 等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法 为取等腰三角形ABC，作底边BC的 中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象 中经常出现等腰三角形的形状。
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建筑学：等腰三角形在建筑设计中 有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕 塑和图案设计中常被用作基本构图 元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡 建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性 机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途 自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用
浙教版数学八年级上册2.3《等腰三角形的性质定理》课堂练习
数学：等腰三角形的性质课堂练习（浙教版八年级上）本课重点：1、掌握等腰三角形的性质；2、会用等腰三角形的性质进行说明和计算。
基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。
（2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是 和（3）△ABC 中，∠A=∠B=2∠C ，那么∠C= 。
（4）在等腰三角形中，设底角为x °，顶角为y °，则用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的代数式表示x ，得x= 。
2、选择题（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）A 、40°B 、100°C 、70°D 、40°或70°（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A 、顶角B 、底角C 、顶角的一半D 、底角的一半（3）在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（ ）A 、100°B 、75°C 、150°D 、75°或100°（4）等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，则“①AD ⊥BC ，②BD=DC ，③∠B=∠C ，④∠BAD=∠CAD ”中，结论正确的个数是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、13、如图，已知△ABC 中，D 在BC 上，AB=AD=DC ，∠C=20°，求∠BAD 。
4、如图，已知△ABC 中，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE 。
请说明BD=CE 的理由。
拓展思考如图，现有顶角度数互不相同的等腰三角形（AB=AC ）纸片（a 图、b 图、c 图、d 图）各一块，其中有的能从一个底角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片。
（1）能剪成两块等腰三角形的纸片是 ，并用尺规在选中的图上作出你的剪痕（用虚线表示），虚线另一端标上字母T 。
八年级数学上册 2_3 等腰三角形的性质定理同步练习(pdf)(新版)浙教版1
2.3 等腰三角形的性质定理一、选择题（共15小题；共75分）1. 如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=20∘，则∠2的度数为( )A. 60∘B. 45∘C. 40∘D. 30∘2. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则周长为( )A. 12B. 16C. 20D. 16或203. 有一个角是40∘的等腰三角形，它的另外两个内角的度数分别为( )A. 40∘,100∘B. 70∘,70∘C. 40∘,100∘或70∘,70∘D. 40∘,70∘或100∘,70∘4. 在等边三角形ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则△ABC中∠BAC处的角平分线长等于( )A. 4B. 8C. 16D. 325. 在△ABC中，AB=BC，∠A=80∘，则∠B=( )A. 100∘B. 80∘C. 20∘D. 80∘或20∘6. 如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 180∘7. 如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=( )A. 7B. 8C. 9D. 108. 如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为( )A. 1B. 3C. 2D. 49. 已知一足够长的钢架MAN，∠A=15∘，现要在其内部焊上等长的钢条（相邻钢条首尾相接）来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1=B1C2=AC1 .照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条( )A. 7根B. 6根C. 5根D. 4根10. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A. √32B. 3√32C. 32D. 不能确定11. 如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点．若AB=AC，AD=AE，则( )A. 当∠B为定值时，∠CDE为定值B. 当α为定值时，∠CDE为定值C. 当β为定值时，∠CDE为定值D. 当γ为定值时，∠CDE为定值12. 如图所示，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的两点，且AD=CE，AE，BD相交于O点，则∠DOE的度数为( )A. 120∘B. 130∘C. 115∘D. 110∘13. 等腰三角形的一个外角是140∘，则其顶角的度数为( )A. 40∘B. 40∘或70∘C. 70∘D. 40∘或100∘14. 如图所示，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2的度数( )A. 120∘B. 240∘C. 300∘D. 360∘15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：① △BCD≌△CBE；② △BAD≌△BCD；③ △BDA≌△CEA；④ △BOE≌△COD；⑤ △ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是( )A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ①③④二、填空题（共15小题；共75分）16. 等边三角形ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC等于．17. 一个等腰三角形有一角是70∘，则其余两角分别为．18. 一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则此三角形的周长为( )．19. 如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为．20. 等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是．21. 等腰三角形的一个角为40∘，则它的底角度数是．22. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC=6，∠B=65∘，则BD=∠ADB=，∠BAC=．23. 如图，在△ABC中，AD垂直平分边BC，AB=5，则AC=．24. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为( )．25. 等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为．26. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40∘，则∠β等于．=√3，则BB1 = ( )．27. 如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，S△PB1C28. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30∘，则顶角的度数为．29. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=⋯=P13P14=P14A，则∠A的度数是．30. 如图所示，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连接BD．请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．32. 如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，求∠EDC的度数．33. 如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形.Ⅰ求证：AB∥CQ .Ⅱ是否存在点P，使得AQ⊥CQ ?若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.34. 如图，在△ABC中，AD=AC，BE=BC．Ⅰ若∠ACB=96∘，求∠DCE的度数．Ⅱ问：∠DCE与∠A，∠B之间存在怎样的数量关系（直接写出答案）?35. 在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连接AD，CD，设CD交直线BM于点E．Ⅰ依题意补全图1，若∠ABM=30∘，求∠BCE的度数；Ⅱ如图2，若60∘<∠ABM<90∘，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值，若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．答案第一部分1. C2. C3. C4. C5. C6. C7. C8. C9. C 10. B11. B 12. A 13. D 14. B 15. D第二部分16. 120∘17. 70∘，40∘或55∘，55∘18. 18或2119. 120∘20. 120∘21. 40∘或70∘22. 3；90∘；50∘23. 524. 45∘25. 30∘或150∘26. 20∘27. 128. 60∘或120∘29. 12∘30. 2第三部分31. 等腰三角形有△ABD和△BCD．理由如下：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC．∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠ADC＝∠ABC＝90∘．∵AC＝AC，∴△ACD≌△ACB .∴AD＝AB，CD＝CB．∴△ABD，△BCD都是等腰三角形．32. ∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD=30∘ .∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180∘−∠CAD2=180∘−30∘2=75∘ .∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90∘−75∘=15∘．33. （1）因为△ABC，△APQ均为等边三角形，所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=∠B=60∘ . 所以∠BAP=∠CAQ .所以△ABP≌△ACQ .所以∠B=∠ACQ=60∘ .所以∠ACQ=∠BAC .所以AB∥CQ .（2）存在，当点P为BC的中点时，AQ⊥CQ .理由如下：因为点P为BC的中点，所以∠CAP=30∘ .又△APQ为等边三角形，所以∠CAQ=30∘ .由（1）知∠ACQ=60∘，所以∠AQC=90∘，即AQ⊥CQ .34. （1）∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD．∴∠A=180∘−2∠ADC．∵BE=BC，∴∠CEB=∠ECB．∴∠B=180∘−2∠CEB．∵∠ACB=96∘，∴∠A+∠B=84∘．∴(180∘−2∠ADC)+(180∘−2∠CEB)=84∘．∴∠CEB+∠ADC=138∘ .∴∠DCE=42∘．(∠A+∠B)．（2）∠DCE=1235. （1）补全图形1，如图所示．连接BD．∵点D与点A关于直线BM对称，∴BM⊥AD，BM平分AD．∴BD=BA，∠DBM=∠ABM=30∘．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60∘．∴BD=BC．∴∠BCD=∠BDC．∵∠CBD=∠ABC+∠ABM+∠DBM=120∘，=30∘．∴∠BCD=180∘−120∘2（2）直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，为60∘．连接BD，AE．∵点D与点A关于直线BM对称，∴BM⊥AD，BM平分AD．∴BD=BA，ED=EA．∴∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD．∴∠EDA−∠BDA=∠EAD−∠BAD．即∠BDE=∠BAE．∵BD=BA=BC，∴∠BCE=∠BDE．∴∠BAE=∠BCE．∵∠BAC+∠ACB=120∘，∴∠BAE+∠1+∠ACB=120∘．∴∠BCE+∠1+∠ACB=120∘．即∠1+∠ACE=120∘．∴∠AEC=180∘−120∘=60∘．∴∠AED=120∘．由对称性可得∠AEM=∠DEM=60∘．∴直线BM和CD相交所成的锐角的度数是60∘．。
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《等腰三角形的性质》练习1一、选择题（1）等腰三角形中的一个角等于︒100，则另两个内角的度数分别为（）（A）︒20100，︒40，︒40（B）︒（C）︒40或︒20100，︒40，︒50，︒50（D）︒（2）等腰三角形的一个外角等于︒100，则这个三角形的三个内角分别为（）（A）︒80，︒2080，︒80（B）︒50，︒50，︒（C）︒80，︒20 100，︒80或︒80，︒20（D）︒50，︒100，︒50，︒（3）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大︒15，那么顶角为（）（A）︒55（D）︒5040（C）︒45（B）︒（4）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）（A）顶角（B）顶角的一半（C）顶角的2倍（D）底角的一半（5）在下列命题中，正确的是（）（A）等腰三角形是锐角三角形（B）等腰三角形两腰上的高相等（C）两个等腰直角三角形全等（D）等腰三角形的角平分线是中线（6）已知等腰三角形的一边长为cm5，另一边长为cm6，则它的周长为（）（A ）cm 11 （B ）cm 17 （C ）cm 16 （D ）cm 16或cm 17（7）已知等腰三角形的一边长为cm 4，另一边长为cm 9，则它的周长为（ ）（A ）cm 13 （B ）cm 17 （C ）cm 22 （D ）cm 17或cm 22（8）在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（ ）（A ）121≤≤x （B ）120≤<x（C ）120<<x （D ）126<<x（9）在ABC ∆中，x AC AB ==，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（ ）（A ）120<<x （B ）240<<x（C ）126<<x （D ）2412<<x（10）三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰三角形 （D ）等边三角形（11）如图，已知BD AC AB ==.那么（ ）（A ）21∠=∠（B ）D ︒=∠+∠180212（C ）︒=∠+∠180231（D ）︒=∠-∠180213（12）等腰三角形底边长为cm 5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为cm3.则腰长为（）（A）cm82（B）cm（C）cm8（D）以上答案都不对2或cm（13）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）（A）底角大于相邻外角（B）底角小于或等于相邻外角（C）底角大于或等于相邻外角（D）底角小于相邻外角（14）已知ABCAD⊥，D为垂足，AB=，又BC36，且AC∆的周长为cm30，那么AD的长为（）ABD∆的周长为cm（A）cm12（D）cm208（C）cm6（B）cm二．填空题（1）等边三角形的三个内角的度数分别为_______.（2）有一个底角为︒20的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.（3）顶角为︒20的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______.（4）有一个内角为︒40的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.（5）有一个内角为︒140的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.（6）如果ABC2和cm4，那么它的AB=，它的两边长为cm∆中，AC周长为________.（7）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.（8）如果等腰三角形的周长为cm 18，那么它的底边x 的取值范围是_______.（9）等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.（10）已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.（11）等边三角形的周长为cm 15，则它的边长为________.（12）在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.（13）如图，AC AB =，BC AD ⊥交BC 于点D ，cm BD 5=，那么BC 的长为_________.（14）如图，在ABC ∆中，AC AB =，BD 是ABC ∆的角平分线，且BE BD =，︒=∠100BAC ，则=∠DEC _______.（15）如图，在ABC ∆中，D 是AC 上的一点，且BC BD AD ==，︒=∠40DBC ，则=∠A _______，=∠C ______，=∠ABC ________.三、解答题1．计算题（1）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠30A ，BD 是ABC ∆的角平分线，求ADB ∠的度数。
（2）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠30A ，BD 是ABC ∆的高，求CBD ∠的度数。
（3）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，BC BD =，BE DE AD ==，求A ∠的度数。
（4）如图，已知：在ABC ∆中，D 是AC 上一点，且DC DB AB ==，︒=∠40C 。
求：ABD ∠的度数。
（5）如图，已知：在ABC ∆中, AC AB =，CD 平分ACB ∠交AB 于D 点，若︒=∠150BDC 。
求：A ∠的度数。
（6）如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且CE AD =，BE 和CD 相交于点P 。
求：BPD ∠的度数。
（7）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠40A ，点O 在ABC ∆内，且OCA OBC ∠=∠，求：BOC ∠的度数。
（8）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，CD BE =，︒=∠70B ，CF BD =。
求：EDF ∠的度数。
（9）如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠80A ，CF CD BE BD ==,。
求：EDF ∠的度数。
2．证明题（1）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，BD 和CE 是两腰上的高。
求证：CE BD =。
（2）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 中点，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F 。
（3）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BC DF ⊥于F ，BC EG ⊥于G 。
求证：EG DF =。
（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，且BC EF AC AE //,=交AC 于点F 。
求证：CE 平分DEF ∠。
（5）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使AD AE =，连结DE 。
求证：BC DE ⊥。
（6）如图，已知：在ABC ∆中，D 为BC 延长线上一点，且AC CD =，F 为AD 中点，且CE 平分ACB ∠交AB 于E 。
求证：CF CE ⊥。
3.证明题（1）如图，已知：ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形.求证：CD AE =.（2）如图，已知：ABC ∆是等边三角形，分别在AC 、BC 边上取点E 、F ，使CF AE =，BE 、AF 相交于点D .求证：︒=∠60BDF .（3）如图，已知：DC BD AC AB ==,，AD 的延长线交BC 于点E . 求证：BC AE ⊥.（4）如图，已知：BD BC AD AC ==,，AB 与CD 相交于O 点.（5）如图，已知：在ABC ∆中，CE AC AB ==，B 是AD 上一点，CB BE ⊥交CD 于E ，DC AC ⊥. 求证：BC BE 21=.（6）如图，已知：在ABC ∆中，CA BC AB ==，E 是AD 上一点，并且DE BD EB ==. 求证：AD DC BD =+.参考答案：1．选择题（1）A （2）D （3）D （4）B （5）B （6）D （7）C（8）C （9）C （10）C （11）D （12）B （13）D （14）C2．填空题（1）︒60，︒60，︒60 （2）︒140，︒20 （3）︒80，︒80（4）︒40，︒100或︒70，︒70 （5）︒20，︒20 （6）cm 10（7）cm cm cm 4,3,3或cm cm cm 2,4,4 （8）cm x cm 90<< （9）︒120（10）︒40 （11）cm 5 （12）90；36 （13）cm 10 （14）︒100 （15）︒35；︒70；︒75三、解答题1．计算题（1）解：由AC AB =，︒=∠30A ，得︒=∠=∠75C ABC 。
∴︒=∠5.37DBC ，（2）由︒=∠=30,A AC AB ，得︒=∠=∠75C ABC 又∵AC BD ⊥，（3）解：由条件易得EDB EBD ∠=∠，DEA A ∠=∠，CDB C ∠=∠，且A EDB EBD DEA ∠=∠+∠=∠ ∴A EBD ∠=∠21，又A EBD A BDC C ∠=∠+∠=∠=∠23（4）解：︒=∠=∠40C DBC ，∴︒=∠+∠=∠80C DBC ADB ，︒=∠=∠80ADB A ，∴︒=︒-︒-︒=∠208080180ABD （5）解：︒=︒+∠+∠18015021B B ，∴︒=∠20B ，∴︒=︒-︒-︒=∠1402020180A（6）解：易证CBE ACD ∆≅∆，（7）解：∵OCA OBC ∠=∠，∴OCB OCA OCB OBC ∠+∠=+∠ACB ∠=︒=70（8）解：由已知条件易证FDC DEB ∆≅∆。
∴CDF BED ∠=∠（9）解：2180BEDB ∠-︒=∠，2180CFDC ∠-︒=∠2.证明题（1）证明：∵AC AB = ∴ACB ABC ∠=∠。
BC 是公共边， ∴易证BCD BCE ∆≅∆ ∴CE BD =（2）证明：∵AC AB =∴C B ∠=∠，又∵CD BD =，易证CDF BDE ∆≅∆ ∴DF DE =（3）证明：∵AC AB =，∴CE BD =，C B ∠=∠，∴易证CEG BDF ∆≅∆，∴EG DF =（4）证明：由已知条件易证ADC ADE ∆≅∆，∴DC DE =，∴DCE DEC ∠=∠。
又∵BC EF // ∴DEC ECD FEC ∠=∠=∠， ∴EC 平分DEF ∠。
（5）证明：作BAC ∠的角平分线AF 交BC 于点F ，则又∵E EDA E BAC ∠=∠+∠=∠2。
∴E BAF ∠=∠，∴DE AF //。
∴BC DE ⊥（6）证明：∵CD AC =，F 为D 中点，∴CF 同时为ACD ∠的角平分线，3.证明题（1）证明：由已知条件易证CBD ABE ∆≅∆，∴CD AE =.（2）证明：由已知条件易证ACF ABE ∆≅∆，∴CAF ABE ∠=∠，（3）证明：由已知条件易证ACD ABD ∆≅∆，∴AE 为ABC ∆的角平分线， 又∵AC AB =，∴AE 同时为ABC ∆的高，即BC AE ⊥.（4）证明：由已知条件易证ABD ABC ∆≅∆，∴AB 为ACD ∆的角平分线， 又∵AD AC =，∴ AB 同时为ACD ∆的高，即CD AB ⊥.（5）证明：作BC AF ⊥于点F ，则∵AB AC =，∴ AF 同时为ABC ∆的中线， 即BC CF 21=.由已知条件易证CEB ACF ∆≅∆，∴CF BE =.即BC BE 21=. （6）证明：由已知条件易证CBD ABE ∆≅∆，∴CD AE =，希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。