数据驱动建模：奇异值分解及主成分分析
机器学习-主成分分析及奇异值分解
机器学习期末报告成员：白子轩，安勇正，李文涛，王琳时间：2016年4月9日主成分分析（PCA ）与奇异值分解（SVD)原理及其应用一、导论在实际问题研究中，多变量问题是经常会遇到的。
变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
二、主成分分析（PCA ）主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标123,,,p X X X X (比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标m F 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量X 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
设1F 表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...p p F a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差1()Var F 越大，表示1F 包含的信息越多。
常常希望第一主成分1F 所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的1F 应该是123,,,p X X X X 的所有线性组合中方差最大的，故称1F 为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标2F ，为有效地反映原信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，即2F 与1F 要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差12(,)0Cov F F =，所以2F 是与1F 不相关的123,,,p X X X X 的所有线性组合中方差最大的，故称2F 为第二主成分，依此类推构造出的12m F F F 、、为原变量指标123,,,p X X X X 第一、第二、……、第m 个主成分。
奇异值分解法
奇异值分解法奇异值分解是一种基于数学的计算技术，有助于研究者在处理非结构化数据时，对数据中的模式和特征进行识别和分析。
主要的应用以及计算机视觉领域，如图像压缩，图像识别，网络指纹识别，特征识别，图像融合，图像检索，脸部识别，图像分类等。
它可以有效地提取结构信息，从而改善数值分析误差和结果准确度。
奇异值分解算法最早由犹太数学家图良克提出，用于解决高维数据的维度问题。
它的核心是利用奇异向量的分解，将原始数据矩阵分解为有限个相对低维的部分，然后在每个部分内求出最佳的拟合系数，最后将拟合系数合并，即可得出整个原始矩阵。
奇异值分解法的主要步骤是：首先，计算原始数据矩阵的奇异值和奇异向量，然后，根据固有值确定奇异值和奇异向量，确定压缩程度，综合利用奇异值分解和奇异向量，进行特征提取和矩阵重建，从而将复杂的原始矩阵压缩成有限的低维数据，增加模型的处理速度，提高预测准确度。
除了图像处理外，奇异值分解在信号处理，数据挖掘，社交网络分析，自然语言处理，机器学习等领域也都有广泛应用。
它可以用来识别微弱的特征，筛选出重要变量，减少数据维度，提高预测准确度，快速处理大型数据集，提高模型效率。
奇异值分解是一种高效的数据分析技术，可以提取原始数据中的有用信息，增强模型的精确性。
它的应用非常广泛，可以改善各种计算机视觉任务的性能，为商业，科学和技术发展带来重大的突破和改进。
然而，奇异值分解也有一些缺点。
例如，它要求原矩阵具有有限的解，但是很多实际数据集中存在大量的噪声，它可能会对奇异值分解造成影响，导致分析结果不准确。
另外，它也有较高的计算复杂度，不能有效地处理大型数据集。
总而言之，奇异值分解是一种有效的数学分析方法，它可以有效地提取原始数据中的有用信息，为计算机视觉和大数据分析研究提供有益的参考。
然而，由于它的计算复杂度较高，要求原矩阵具有有限解，它也存在一定的局限性，需要采取灵活的处理方法以获取更准确有效的分析结果。
数据驱动建模：奇异值分解与主成分分析
问题
• 如何刻画数据的主要变化趋势？ • 个别基因与主要趋势如何联系？ 如何用“最少数量” 的独立参数（最少的假 设），来代表数据中“有意义”的信息？
假设： k种相互独立的调控机制，其相对贡献：σj 对每个基因的影响： Uj （有M个分量） 对每个实验条件的影响：Vj (有N个分量）
∑
i =1
M
可能的稳态流量是零空间的向量
线性最小二乘拟合
Ax = b % b = b+ε
x
理想模型 实际观察 误差最小的结果
% % x = arg min || Ax − b || % b= % ∑ (b • u )u
j j
j =1, k
+ ε =∑
j
% (b • u j )
σj σj
σ ju j + ε
=∑
A=
j =1, k
σ j u j vT , k: number of "non-zero" singular values, ∑
j
A = U ΣV T U : M × M orthogonal matrix V: N × N orthogonal matrix Σ: M × N diagonal matrix
∑
yin y n = λiδ ij j
2、如果保留全部非零本征值，总协方差不变
Var ( X ) =
i =1, M
∑ C = ∑λ
ii i=M
i
数据分析中的应用
• 数据投影（可视化）/聚类
每个基因： 多个样本表达数据 （N) (M) 样本之间的协方差矩阵 --〉主成分（每个样本的加权） --〉用多个组合样本中表达数值描述每个基因 基因之间的协方差矩阵 --〉主成分 （每个基因的加权） --〉用多个基因表达的组合数据来描述每个样本
奇异值分解在数据挖掘中的特征提取方法(九)
奇异值分解在数据挖掘中的特征提取方法引言随着信息时代的到来，数据的重要性变得越来越显著。
数据挖掘作为一种从数据中提取模式和知识的方法，被广泛应用于商业、科学和工程领域。
在数据挖掘中，特征提取是一个至关重要的步骤，它可以帮助我们从大量的数据中提取出最重要的特征，从而更好地理解和利用数据。
奇异值分解（SVD）作为一种有效的特征提取方法，在数据挖掘中得到了广泛的应用。
奇异值分解的原理奇异值分解是一种矩阵分解的方法，能够将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
对于一个实数矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的主要作用是将原始矩阵A转换为一个更简洁、更易处理的形式，从而减少数据的维度和复杂度。
奇异值分解在特征提取中的应用在数据挖掘中，奇异值分解可以用来提取数据的主要特征。
通过对原始数据进行奇异值分解，我们可以得到数据的主成分，从而更好地理解数据的结构和特点。
此外，奇异值分解还可以帮助我们降低数据的维度，从而减少数据的复杂度和计算成本。
因此，奇异值分解在数据挖掘中被广泛应用于特征提取和降维处理。
奇异值分解与主成分分析的关系奇异值分解与主成分分析（PCA）是密切相关的。
主成分分析是一种常见的特征提取方法，它通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系中，并且保留最重要的特征。
而奇异值分解可以看作是主成分分析的一种推广，它可以对非方阵进行分解，并且能够得到更加稳定和准确的结果。
因此，奇异值分解在实际应用中往往比主成分分析更加可靠和有效。
奇异值分解在图像处理中的应用除了在数据挖掘中的应用，奇异值分解还广泛应用于图像处理领域。
图像可以看作是一个二维矩阵，而奇异值分解可以帮助我们提取图像的主要特征，从而实现图像的压缩和去噪。
通过对图像进行奇异值分解，我们可以得到图像的主成分，从而减少图像的数据量，提高图像的压缩率和传输效率。
此外，奇异值分解还可以帮助我们去除图像中的噪声，从而提高图像的质量和清晰度。
主成分分析与奇异值分解的关系分析
主成分分析与奇异值分解的关系分析主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)和奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是统计学和线性代数领域的两个重要概念和方法。
它们在数据降维、特征提取和模式识别等领域有着广泛的应用。
本文将从数学角度分析主成分分析和奇异值分解之间的关系。
首先，我们先了解主成分分析和奇异值分解的基本概念和原理。
主成分分析是一种无监督学习方法，旨在找到能够解释数据中最大方差的新组合（也称为主成分）。
主成分分析通过将原始数据投影到新的特征空间中，使得新的特征具有最大的方差。
这样可以降低原始数据的维度，同时保留主要的信息。
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。
对于一个任意的矩阵A，奇异值分解能够将其表示为$A = U \Sigma V^T$的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素称为奇异值。
这种分解可以将原始矩阵A的信息分解为三个部分，分别由U、Σ和V表示。
然后，我们来探讨主成分分析和奇异值分解之间的关系。
主成分分析和奇异值分解有着密切的联系。
事实上，主成分分析可以看作是数据矩阵的奇异值分解的一种特殊情况。
具体来说，如果我们将主成分分析应用于数据矩阵，那么经过中心化的数据矩阵可以表示为X = USV^T，其中X是数据矩阵，U和V是正交矩阵，S是一个对角阵。
这个形式和奇异值分解非常相似，只是U和V的定义稍有不同。
在主成分分析中，U的每一列代表一个主成分，V代表原始特征与主成分之间的关系，而S含有数据的方差信息。
进一步地，我们可以通过奇异值分解的性质来理解主成分分析的几何意义。
奇异值分解可以将原始矩阵A表示为一个线性变换后的椭球体。
每个主成分可以看作是沿着一个特定方向对椭球体进行线性变换的结果。
而主成分分析的目标就是找到这些方向，使得变换后的椭球体的方差最大化。
通过找到能够解释数据最大方差的主成分，我们可以对数据进行降维，同时保留主要的信息。
利用奇异值分解进行数据预处理的最佳实践(Ⅰ)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、特征提取和推荐系统等领域。
在数据预处理中，利用SVD可以帮助我们处理缺失值、去除噪声、降低数据维度，从而提高数据的质量和准确性。
本文将讨论利用SVD进行数据预处理的最佳实践。
首先，我们需要明确SVD的原理和步骤。
对于一个矩阵A，SVD将其分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
在实际应用中，我们通常会对数据矩阵进行SVD分解，然后利用分解后的三个矩阵对数据进行处理。
在数据预处理中，SVD可以用于处理缺失值。
当数据集中存在缺失值时，我们可以利用SVD对数据进行填充，从而提高数据的完整性。
具体做法是先对原始数据进行SVD分解，然后利用分解后的矩阵进行插值，最后将插值后的数据作为预处理后的数据进行后续分析。
除了处理缺失值，SVD还可以用于去除噪声。
在实际数据中，常常存在一些噪声数据，影响了数据的准确性。
利用SVD分解，我们可以将数据矩阵分解为低秩矩阵的乘积，从而去除噪声，提高数据的质量。
具体做法是对原始数据进行SVD分解，然后只保留分解后矩阵中的部分特征值和特征向量，从而得到去噪后的数据矩阵。
此外，SVD还可以用于降低数据维度。
对于高维数据，我们常常希望将其降维，以便进行有效的分析和建模。
利用SVD分解，我们可以将高维数据矩阵分解为低秩矩阵的乘积，从而实现数据的降维。
具体做法是对原始数据进行SVD分解，然后只保留分解后矩阵中的部分特征值和特征向量，从而得到降维后的数据矩阵。
在实际应用中，我们可以结合上述方法，利用SVD对数据进行预处理。
首先，对数据进行SVD分解，然后根据具体情况选择合适的处理方法，如填充缺失值、去除噪声或降低数据维度，最后得到预处理后的数据，以便进行后续分析和建模。
需要注意的是，在使用SVD进行数据预处理时，我们需要考虑到SVD的计算复杂度和存储空间。
线性代数中的奇异值分解与主成分分析
线性代数中的奇异值分解与主成分分析奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）和主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是线性代数领域中两个重要的概念和技术。
它们在数据处理、模式识别、图像处理等领域中被广泛应用，并具有很高的实用价值。
本文将对奇异值分解和主成分分析进行介绍和解释。
一、奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）奇异值分解是指对一个实数或复数的矩阵进行分解，将矩阵分解为三个矩阵的乘积。
具体来说，对于一个m × n的矩阵A，可以将它表示为如下形式的乘积：A = UΣV^T其中，U是一个m × m的酉矩阵，Σ是一个m × n的矩阵，只有对角线上有非零元素且非负，V^T是一个n × n的酉矩阵，表示V的共轭转置。
奇异值分解的重要性在于它可以实现对矩阵的降维和信息提取。
通过SVD，我们可以找到矩阵A的主要特征，将其表示为一系列奇异值以及对应的特征向量的线性组合。
这些特征向量对应的奇异值越大，代表这些特征在数据中的重要性越大。
因此，奇异值分解在数据压缩、模式识别和数据挖掘等领域发挥着重要作用。
二、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）主成分分析是一种常用的数据降维技术，能够将高维数据转换为低维数据，同时保留原始数据的重要特征。
PCA的核心思想是找到原始数据中方差最大的方向，并将数据投影到这个方向上，以达到数据降维的目的。
具体来说，主成分分析包括以下几个步骤：1. 标准化数据：对原始数据进行标准化处理，使得每个维度的数据具有相同的尺度。
2. 计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。
3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分：按照特征值从大到小的顺序选择前k个特征向量作为主成分。
使用奇异值分解进行主成分分析的方法(九)
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种十分重要的数学工具，其在主成分分析、图像压缩、推荐系统等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨奇异值分解在主成分分析中的应用方法和原理。
首先，我们需要了解奇异值分解的基本原理。
在线性代数中，任意一个矩阵A都可以分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V都是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的一个重要性质是，对于任意的矩阵A，其奇异值分解都是唯一的。
在主成分分析中，我们通常希望通过降维来实现数据的压缩和特征的提取。
奇异值分解可以帮助我们实现这一目标。
假设我们有一个数据矩阵X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。
通过对X进行奇异值分解，我们可以得到三个矩阵U、Σ和V^T。
其中，U代表了样本在新的特征空间中的投影，Σ的对角线元素则代表了每个新特征上的重要程度，V^T则提供了原始特征与新特征之间的关系。
接下来，我们可以根据奇异值的大小来选择保留的主成分个数。
通常来说，我们会选择保留那些对应奇异值较大的主成分，而忽略那些对应奇异值较小的主成分。
这样可以实现对数据的压缩，同时尽可能地保留原始数据的特征。
除了在数据压缩和特征提取方面的应用，奇异值分解还在推荐系统中发挥着重要作用。
在推荐系统中，我们通常会使用用户-物品评分矩阵来表示用户对物品的喜好程度。
通过对评分矩阵进行奇异值分解，我们可以得到用户和物品在一个潜在的特征空间中的表示。
这样一来，我们就可以利用这些潜在特征来进行推荐，从而提高推荐系统的准确性和效率。
总的来说，奇异值分解是一种强大的数学工具，其在主成分分析、数据压缩、特征提取和推荐系统中都有着重要的应用。
通过对数据进行奇异值分解，我们可以发现数据中的潜在结构，实现数据的降维和压缩，从而更好地理解和利用数据。
希望本文对读者对奇异值分解的应用方法和原理有所帮助。
奇异值分解与主成分分析
数值实验03：奇异值分解与主成分分析主成分分析，也简称为PCA。
它是一种对数据进行分析的技术，属于多元统计分析的范畴，最重要的应用是对原有数据进行简化。
这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。
它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便地应用于许多实际课题。
基本问题1、从代数的角度来看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间，或者说它是线性变换Z=PX，而新的基要怎样揭示原有的数据间的关系？PCA 适用的前提条件是什么？答：主成分分析在统计学中指的是一种简化数据集的技术，是一个线性变换。
它把数据变换到一个新的坐标系中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。
主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
这样低阶成分往往能保留住数据的最重要方面。
PCA适用的前提条件为尽量不改变数据特性：（1）满足线性要求。
由于PCA的目标是使用另一组新的基去重新描述得到的数据空间，它是线性变换Z=PX，这使得它能进行的主元分析之间的关系也是线性的。
（2）符合正态分布或指数分布。
如果数据不满足正态分布或指数分布，方差和协方差就不能很好地反映噪声和冗余，PCA将失效。
（3）本身具有较高的信噪比。
在进行数据处理时把具有较高方差的一维向量当作主元，方差较小的当作噪声，这样可以很方便的取出数据中的主要成分，去除次要部分的噪声。
主要成分能够很好的还原数据的信息。
（4）主元正交。
主元正交能够使用一系列的线性变换对数据进行处理，提高PCA 的性能及效率。
2、对于一组具有m 个观测变量，n 个采样点的数据X ，将每个观测变量的采样值写为行向量，可以得到一个m n ⨯的矩阵12(,,,)Tm X x x x =L ，这m 个观测变量的协方差矩阵如下：11TX C XX n =-证明协方差矩阵是m 阶的对称半正定矩阵。
pytorch svd 主成分
pytorch svd 主成分PyTorch是一个开源的深度学习框架，提供了许多用于构建和训练神经网络的工具和功能。
其中之一就是SVD（奇异值分解）算法，这是一种重要的线性代数方法，用于矩阵分解和降维。
本文将介绍PyTorch中的SVD主成分分析方法，并探讨其在机器学习和数据处理中的应用。
一、SVD的基本概念SVD是一种矩阵分解方法，它将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
给定一个m×n的矩阵A，SVD将其分解为U、Σ和V三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T。
其中，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n的正交矩阵。
Σ的对角线上的元素称为奇异值，它们是矩阵A的特征值的平方根。
二、PyTorch中的SVD函数在PyTorch中，我们可以使用torch.svd()函数来进行SVD分解。
这个函数接受一个张量作为输入，并返回三个张量作为输出。
下面是一个简单的示例代码：```import torchA = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])U, S, V = torch.svd(A)```在这个例子中，我们定义了一个3×3的矩阵A，并使用torch.svd()函数对其进行分解。
分解的结果是三个张量U、S和V，分别对应于矩阵A的左奇异向量、奇异值和右奇异向量。
三、SVD主成分分析SVD主成分分析是一种常用的降维方法，它可以帮助我们从高维数据中提取出最重要的特征。
在SVD分解中，奇异值的大小代表了特征的重要程度。
通常，我们可以根据奇异值的大小选择前k个奇异值和对应的奇异向量，将它们作为数据的主成分。
这样，我们就可以将原始数据投影到主成分上，实现数据的降维。
在PyTorch中，我们可以利用SVD分解来进行主成分分析。
首先，我们需要对数据进行中心化处理，即将每个维度的平均值减去。
然后，我们可以使用torch.svd()函数对中心化后的数据进行SVD分解，得到奇异值和奇异向量。
使用奇异值分解进行数据预处理的技巧(九)
使用奇异值分解进行数据预处理的技巧数据处理在现代社会中扮演着越来越重要的角色。
从商业领域到科学研究，数据处理都是必不可少的一环。
在处理数据时，我们经常会遇到一些问题，比如数据维度过高、数据噪声过大等。
奇异值分解（SVD）作为一种常用的数据预处理技巧，可以帮助我们解决这些问题。
在本文中，我们将探讨使用奇异值分解进行数据预处理的技巧。
奇异值分解是一种矩阵分解的方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
假设有一个矩阵A，我们可以将其分解成三个矩阵的乘积：A = UΣV^T。
其中，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
奇异值分解可以帮助我们降低数据的维度，去除数据的噪声，提取数据的重要特征等。
在实际应用中，我们经常会遇到数据维度过高的问题。
高维数据不仅会增加计算的复杂性，还会导致维度灾难等问题。
奇异值分解可以帮助我们降低数据的维度，提取数据的主要特征。
通过保留奇异值较大的部分，我们可以将原始数据降维到一个较低维度的空间中，从而提高数据的处理效率。
除了降维之外，奇异值分解还可以帮助我们去除数据的噪声。
在实际应用中，我们经常会遇到数据中有一些噪声，这些噪声会影响数据的分析和预测结果。
通过保留奇异值较大的部分，我们可以过滤掉数据中的噪声，从而提高数据的质量。
另外，奇异值分解还可以帮助我们提取数据的重要特征。
在实际应用中，我们经常会遇到数据中包含了大量的特征，但是并不是所有的特征都对我们的分析和预测有用。
通过保留奇异值较大的部分，我们可以提取出数据的重要特征，从而提高数据的分析和预测的准确性。
在使用奇异值分解进行数据预处理时，我们需要注意一些技巧。
首先，我们需要选择合适的奇异值个数。
通常情况下，我们可以根据奇异值的大小来选择保留的奇异值个数。
其次，我们需要对数据进行中心化处理。
通过将数据减去均值，我们可以避免由于数据的偏移而导致的错误分析。
最后，我们需要对数据进行归一化处理。
通过对数据进行归一化，我们可以消除数据之间的量纲差异，从而使得数据更容易被分析和处理。
主成分分析与奇异值分解算法在数据降维中的应用
主成分分析与奇异值分解算法在数据降维中的应用数据降维是在大数据时代中日益重要的技术之一。
数据降维的目标是将高维度的数据投影到低维度的空间，在保留足够多的信息的前提下减小数据的维度，以便加快计算处理速度，并减少数据存储空间。
在实际应用中，数据降维技术被广泛应用于图像处理、自然语言处理、信号处理、计算机视觉等领域。
而在数据降维技术中，主成分分析和奇异值分解算法是两种非常有代表性的算法。
一、主成分分析主成分分析（PCA）是一种线性降维技术，它通过对数据协方差矩阵的特征值分解来选取主成分。
主成分是原始数据经过线性变换后得到的新数据，通过选择前k个主成分，可以得到降维后的数据集。
对于输入矩阵X，我们可以通过以下步骤得到它的主成分：1、对矩阵X进行数据标准化，使每一列的均值为0，标准差为1。
2、计算数据的协方差矩阵C。
3、计算协方差矩阵的特征值及其对应的特征向量。
4、将特征值从大到小排列，选取前k个特征值及对应的特征向量作为主成分。
5、用选出的前k个特征向量将矩阵X投影到新的k维空间。
主成分分析的优点是简单易懂，容易实现，并且能够在一定程度上保留数据的原有信息。
但是，主成分分析的缺点是它只能处理线性数据，当数据不是线性的时候，效果会受到影响。
二、奇异值分解奇异值分解（SVD）是一种非线性降维技术，它可以处理线性和非线性数据，具有更广泛的适用性。
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵之积，即矩阵X=UΣVT，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
通过奇异值分解，可以得到矩阵X的Singular Vector或Singular Value，它们是表示数据中最显著的方向和重要性的向量和值。
通过选择其中最大的k个奇异值和对应的向量，就可以得到数据的主要特征。
对于一个矩阵X，奇异值分解的步骤可以由以下过程实现：1、将矩阵X进行数据标准化。
2、计算标准化后的矩阵X的转置矩阵XT和矩阵X的乘积XTX。
3、对矩阵XTX进行特征值分解，并计算出它的特征向量V和特征值Σ2。
奇异值与主成分分析（PCA）
奇异值与主成分分析（PCA）：主成分分析在上一节里面也讲了一些，这里主要谈谈如何用SVD去解PCA 的问题。
PCA的问题其实是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方差。
方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时候，往往说要减小方差，如果一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。
但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不然输入的数据都是同一个点，那方差就为0了，这样输入的多个数据就等同于一个数据了。
以下面这张图为例子：这个假设是一个摄像机采集一个物体运动得到的图片，上面的点表示物体运动的位置，假如我们想要用一条直线去拟合这些点，那我们会选择什么方向的线呢？当然是图上标有si gnal的那条线。
如果我们把这些点单纯的投影到x轴或者y轴上，最后在x轴与y轴上得到的方差是相似的（因为这些点的趋势是在45度左右的方向，所以投影到x轴或者y轴上都是类似的），如果我们使用原来的xy坐标系去看这些点，容易看不出来这些点真正的方向是什么。
但是如果我们进行坐标系的变化，横轴变成了signal的方向，纵轴变成了no ise的方向，则就很容易发现什么方向的方差大，什么方向的方差小了。
一般来说，方差大的方向是信号的方向，方差小的方向是噪声的方向，我们在数据挖掘中或者数字信号处理中，往往要提高信号与噪声的比例，也就是信噪比。
对上图来说，如果我们只保留s ignal方向的数据，也可以对原数据进行不错的近似了。
PCA的全部工作简单点说，就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的，这样假设在N维空间中，我们可以找到N个这样的坐标轴，我们取前r个去近似这个空间，这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了，但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。
奇异值分解在多元统计分析中的应用(十)
奇异值分解在多元统计分析中的应用奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种十分重要的矩阵分解方法，广泛应用于信号处理、图像压缩、推荐系统等领域。
在多元统计分析中，奇异值分解也发挥着重要作用，可以用于降维、聚类分析、数据压缩等方面。
1. 奇异值分解的基本概念奇异值分解是指对一个任意的矩阵A，可以分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
在多元统计分析中，常常使用奇异值分解来进行主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）。
通过奇异值分解，可以将原始的高维数据转换为低维空间，从而减少数据的维度，提取数据的主要特征。
2. 奇异值分解在数据降维中的应用在多元统计分析中，数据的维度往往非常高，为了方便分析和可视化，需要对数据进行降维处理。
奇异值分解可以帮助我们将原始的高维数据进行降维，得到更容易理解和处理的数据。
通过奇异值分解得到的主成分，可以帮助我们更好地理解数据的结构和关系，发现数据中的潜在规律。
3. 奇异值分解在聚类分析中的应用聚类分析是一种常用的数据分析方法，通过将数据对象分成不同的类别或簇，可以帮助我们发现数据的内在结构和规律。
奇异值分解可以用来对数据进行聚类分析，通过对数据进行降维和特征提取，可以更好地将数据对象进行分类，从而更准确地理解数据的分布和相似性。
4. 奇异值分解在数据压缩中的应用在实际的数据分析中，往往会遇到大规模的高维数据，这些数据需要占用大量的存储空间和计算资源。
通过奇异值分解，可以将数据进行压缩，减少数据的存储和计算成本。
同时，压缩后的数据也更易于传输和处理，能够加快数据分析的速度和效率。
5. 结语奇异值分解作为一种重要的矩阵分解方法，在多元统计分析中发挥着重要作用。
通过对数据进行降维、聚类分析和数据压缩，奇异值分解可以帮助我们更好地理解和处理数据，发现数据中的规律和特征。
使用奇异值分解进行主成分分析的方法(Ⅱ)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种十分重要的矩阵分解方法，广泛应用于数据处理、信号处理、图像处理等领域。
其中，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是SVD的一个重要应用，通过PCA可以发现数据中的主要特征，对数据进行降维和去噪。
本文将介绍奇异值分解和主成分分析的基本原理，并探讨其在实际应用中的一些特点和局限性。
1. 奇异值分解的基本原理奇异值分解是将一个任意的矩阵分解为三个部分的乘积，即A=UΣV^T，其中A是一个m×n的实数矩阵，U是一个m×m的实数矩阵，Σ是一个m×n的实数对角矩阵，V^T是一个n×n的实数矩阵的转置。
其中，U和V都是正交矩阵，Σ的对角元素称为A的奇异值。
奇异值分解的几何意义是，将一个线性变换分解为三个部分：先进行一个从n维空间到m维空间的正交变换V^T，然后对得到的m维向量进行一个对角矩阵Σ的缩放变换，最后再进行一个从m维空间到n维空间的正交变换U。
2. 主成分分析的基本原理主成分分析是一种常用的数据降维方法，通过将原始数据投影到一组新的坐标轴上，使得投影后的数据具有最大的方差。
假设原始数据矩阵为X，每一行代表一个样本，每一列代表一个特征，将X进行奇异值分解得到X=UΣV^T，然后取U 的前k列组成矩阵U_k，将原始数据投影到U_k上得到降维后的数据矩阵Y=XU_k。
主成分分析的几何意义是，找到一个新的坐标系，使得原始数据在新的坐标系下的投影具有最大的方差，也就是找到一个新的基，使得用这个新的基表示数据时，数据的能量损失最小。
3. 奇异值分解在主成分分析中的应用奇异值分解在主成分分析中有着重要的应用，通过SVD可以方便地进行主成分分析。
由于SVD可以将原始数据进行降维和去噪，所以主成分分析通常是通过SVD来实现的。
在实际应用中，可以利用SVD找到数据的主要特征，去除噪声和冗余信息，从而得到更加纯净的数据。
使用奇异值分解进行主成分分析的方法(五)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常见的矩阵分解方法，主要用于降维和特征提取。
在主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）中，我们经常会用到SVD来进行数据降维和特征提取，从而发现数据中的主要变化模式和结构。
本文将就使用SVD进行主成分分析的方法进行探讨。
首先，SVD是一种非常强大的数学工具，能够将一个矩阵分解成三个独特的部分：左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
这种分解可以帮助我们发现数据中的内在模式和结构，特别是在大数据分析和图像处理领域中有着广泛的应用。
在主成分分析中，我们通常会将原始数据矩阵进行SVD分解，然后利用分解得到的奇异值和奇异向量来找到数据中的主成分。
主成分通常是数据中最重要的变化模式，它们能够帮助我们理解数据中的关联性和结构信息。
通过使用SVD进行主成分分析，我们能够更好地理解数据的特点，从而更好地进行数据处理和分析。
其次，SVD分解得到的奇异值和奇异向量可以帮助我们进行数据降维。
在实际应用中，我们经常会遇到高维数据，这些数据中可能存在大量的冗余信息和噪音，给数据分析和模型建立带来了困难。
通过使用SVD分解，我们可以将原始数据矩阵进行降维，只保留最重要的奇异值和奇异向量，从而减少数据的维度，提高数据的处理效率和模型的表现力。
在图像处理领域，SVD分解也有着重要的应用。
通过对图像的SVD分解，我们可以将图像分解成若干个奇异值和奇异向量，从而实现图像的压缩和特征提取。
这种方法在图像压缩和图像识别中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和处理图像数据。
另外，SVD分解还可以帮助我们进行数据的去噪和恢复。
在实际应用中，我们常常会遇到数据中的噪音和缺失值，这些问题会影响数据的分析和建模。
通过使用SVD分解，我们可以将数据分解成奇异值和奇异向量，从而更好地理解数据的结构和特点，减少噪音的影响，提高数据的质量和准确性。
奇异值分解（SVD）与主成分分析（PCA）
奇异值分解（SVD）与主成分分析（PCA）奇异值分解(SVD)与主成分分析(PCA)1 算法简介奇异值分解（Singular Value Decomposition），简称SVD，是线性代数中矩阵分解的⽅法。
假如有⼀个矩阵A，对它进⾏奇异值分解，可以得到三个矩阵相乘的形式，最左边为m维的正交矩阵，中间为m*n 的对⾓阵，右边为n维的正交矩阵：A = U Σ V T A=U\Sigma V^{T} A=UΣV T这三个矩阵的⼤⼩如下图所⽰：矩阵Σ \Sigma Σ除了对⾓元素其他元素都为0，并且对⾓元素是从⼤到⼩排列的，前⾯的元素⽐较⼤，后⾯的很多元素接近0。
这些对⾓元素就是奇异值。
( u i u_i ui为m维⾏向量， v i v_i vi为n维⾏向量)Σ \Sigma Σ中有n个奇异值，但是由于排在后⾯的很多接近0，所以我们可以仅保留⽐较⼤的前r个奇异值，同时对三个矩阵过滤后⾯的n-r个奇异值，奇异值过滤之后，得到新的矩阵：在新的矩阵中，Σ \Sigma Σ只保留了前r个较⼤的特征值:实际应⽤中，我们仅需保留三个⽐较⼩的矩阵，就能表⽰A，不仅节省存储量，在计算的时候更是减少了计算量。
SVD在信息检索（隐性语义索引）、图像压缩、推荐系统、⾦融等领域都有应⽤。
主成分分析（Principal Components Analysis），简称PCA，是⼀种数据降维技术，⽤于数据预处理。
⼀般我们获取的原始数据维度都很⾼，⽐如1000个特征，在这1000个特征中可能包含了很多⽆⽤的信息或者噪声，真正有⽤的特征才100个，那么我们可以运⽤PCA算法将1000个特征降到100个特征。
这样不仅可以去除⽆⽤的噪声，还能减少很⼤的计算量。
简单来说，就是将数据从原始的空间中转换到新的特征空间中，例如原始的空间是三维的(x,y,z)，x、y、z分别是原始空间的三个基，我们可以通过某种⽅法，⽤新的坐标系(a,b,c)来表⽰原始的数据，那么a、b、c就是新的基，它们组成新的特征空间。
利用奇异值分解进行数据预处理的最佳实践(Ⅱ)
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种常用的矩阵分解方法，被广泛应用于数据降维、特征提取和推荐系统等领域。
在数据预处理中，利用SVD进行降维和去噪可以提高数据的质量和准确性。
本文将探讨利用SVD进行数据预处理的最佳实践。
数据预处理是数据分析的重要环节，它包括数据清洗、转换、集成和降维等步骤。
在实际应用中，数据往往是高维稀疏的，存在着大量的噪声和冗余信息，因此需要对数据进行有效的处理才能更好地应用于建模和分析中。
利用SVD进行数据预处理可以将高维稀疏的数据降维，去除噪声，提取有效特征，从而提高模型的性能。
首先，利用SVD进行数据降维可以减少数据的维度，降低计算复杂度，提高模型的训练和预测效率。
对于包含大量特征的数据集，直接应用传统的机器学习算法往往会导致过拟合和维度灾难等问题，而利用SVD可以将数据映射到低维空间，保留数据的主要信息，减少冗余特征，提高模型的泛化能力。
在实际应用中，可以根据累积贡献率等指标选择合适的降维后的维度，使得模型在保持较高准确性的同时减少计算开销。
其次，利用SVD进行数据去噪可以减少数据中的噪声，提高数据的质量。
在实际的数据采集和存储过程中，数据往往会受到各种因素的影响而包含一定程度的噪声，这些噪声会影响数据的准确性和可靠性。
利用SVD可以将数据分解为低秩近似矩阵和噪声矩阵，去除噪声后再进行重构，从而提高数据的信噪比，减少对模型的干扰。
在实际应用中，可以根据SVD分解后的奇异值大小选择合适的截断位置，保留主要信息同时去除噪声。
最后，利用SVD进行特征提取可以提高数据的表征能力，增强模型的表达能力。
在实际的数据分析和建模过程中，往往需要从数据中提取有效的特征以捕捉数据的内在规律和结构。
利用SVD可以得到数据的奇异值和左右奇异向量，通过对奇异值的大小和奇异向量的权重进行排序和选择，可以提取出数据的主要特征，减少冗余信息，增强模型的判别能力。
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uj: “eigengene” vj: “eigen expression”
: M N diagonal matrix
含义？
“eigengene” j is only expressed in the jth “eigenarray” with expression level j
假设所有观察数据受到 kห้องสมุดไป่ตู้种互相独立的调控机制的影响。
Av j ju j
奇异值分解与几何变换：
A的“大小”（范数）
|| Av j |||| ju j || j
MN
|| A ||F
a2 ( ij
2 l
)2
i1 j 1
l
x
b=Ax
奇异值分解与线形方程组
{v | 0}: basis of null space for A
Ax 0
x c v
j 1,k
N M k k *(M N ),
小的奇异值代表误差
A%
j
u
j
vT j
,
l : number of singular values with values
j 1,l
larger than some 1
A%x Ax
j
u
j
vT j
x,
j 1
j l 1,k
example
AV UV TV U
Ax b
b bgu
b
b
( u )
奇异值为零和不为零的U(V)向量将M(N)维 线性空间分为U0(V0)和U1(V1) 两个互相正 交的子空间。
V0: A 的零空间
U1: A 的定义域
x
b
(v )
c v
例子：代谢流量平衡
aA bB ƒ cC
ciA, a
ciB, b
ciC, c
M 个基因的表达水平不一定是相互独立的 N 个样本不一定是相互独立的
基因和样本之间是如何关联的？
A
j
u
j
vT j
,
k: number of "non-zero" singular values,
j 1,k
A U V T U : M M orthogonal matrix V: N N orthogonal matrix
数据驱动建模：奇异值分解与主成分分析 data-driven modeling: singular value decomposition (SVD) and principal component analysis (PCA)
“Omics”: 海量数据
• microarray:
– 在N个样本中 – 同时监测M个基因的表达水平 – 数据量： M x N – 未考虑关于N个基因的背景知识
每种调控机制对各个基因表达的影响： uj uj系数： 相对强度和相位 （对基因归一化）
不同调控机制对表达数据的贡献：j
每种调控机制对各个样本的贡献：vj vj的系数：相对强度和相位 （对样本归一化）
例子：出芽酵母细胞周期基因表达 数据驱动建模 （PNAS,2000， 10102）
390 min /30 min ( 14 samples) 6109 open reading frames (ORFs)， 5981 genes with complete data 表达数据: 5981x 14
dxi
dt
c i
ciother, 0
ci 0, 1,..., number of reactions
i=1,..., number of chemical species
可能的稳态流量是零空间的向量
线性最小二乘拟合
Ax b
理想模型
b% b
实际观察
x% arg min || Ax b%|| x
umj (ij j )vnj
j 1,k
j1,k i1,k
A U V T
U (u1,..., uk , uk1,..., uM )
V (v1,..., vk , vk1,..., vN )
1 0 0 0
0
..
0
0
0
0 k
0
0 0 0 0
0 0 0 0
SVD 是什么？
• 考虑 M x N 的矩阵 A
i 1
Ax b
N 组（不同条件下）近似观察结果： {b%k , k 1,..., N}
？与每组观察结果对应的体系状态参数 {xik , i 1,..., N}, k 1,..., M
复习
• 线性组合、线形空间 • 向量的内积，正交 • 向量、基矢量 • 线性变换与矩阵乘法
amn umj jvnj
问题
• 如何刻画数据的主要变化趋势？ • 个别基因与主要趋势如何联系？
如何用“最少数量” 的独立参数（最少的假 设），来代表数据中“有意义”的信息？
假设： k种相互独立的调控机制，其相对贡献：j 对每个基因的影响： Uj （有M个分量） 对每个实验条件的影响：Vj (有N个分量）
M
aik xk bk , k 1,..., N
ui gu j ij , or U TU I
vi gv j ij , or VTV I
1 0 0 0 0
0
2
0
0
0
0
0
0 0
... 0
0 j
0
,
ij
j ij
0
0 0 0 0
数据压缩与数据过滤
A
ju
j
vT j
,
k: number of non-zero singular values
SVD
SVD-original data
• 最大奇异值 〉90%的表达水平
time invariant ( vj constant )
2
1 90%
2 j j
表明： 样本是在稳态 基础上的小的变化
SVD-original data
The second, third, and fourth eigengenes, which show oscillations during the cell cycle, capture about 3%, 1%, and 0.5% of the overall relative expression, respectively.
误差最小的结果
b% (b%• u j )u j j 1,k
j
(b%•
u
j
j
)
ju
j
j
(b%•
u
j
j
)
Av j
A
j
(b%• u j )
j
vj
x%
j
(b%•
u
j
j
)
v
j
|| Ax% b%|||| ||
Back to gene expression data
在N个样本中 同时监测M个基因的表达水平 数据量： M x N 基因表达矩阵
A U V T U : M M orthogonal matrix V: N N orthogonal matrix : M N diagonal matrix
U (u1 , u2 , ..., uM )
u1 j
u2
j
v1 j
v2
j
uj
.
,
v
j
.
,
.
.
uMj
vNj