抽象函数的解题方法与技巧窍门

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抽象函数的解题方法

解抽象函数的常用方法抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。

此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。

然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。

我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.一、利用线性函数模型在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。

常见的抽象函数模型有：例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2，f （x ）在区间[－４，２]上的值域为。

0a a ≠且解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。

例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。

分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则，即，∴f （x ）为单调增函数。

∵，又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。

∴2(22)(1)f a a f --，∴2221a a --，解得不等式的解为－1 < a < 3。

抽象函数问题求解的常用方法

抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。

2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。

在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。

3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。

4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。

需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。

因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。

高考抽象函数技巧全总结

高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

关于抽象函数问题的解法

抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考数学抽象函数6种快速解题方法与技巧(....

高考数学抽象函数的6大快速解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。

例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

(完整版)抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

如何解答抽象函数问题

解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。

抽象函数问题有关解法

抽象函数问题有关解法（7）一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

抽象函数题的十种解题策略

抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。

由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。

本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。

策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。

例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。

解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。

故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。

证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。

例析抽象函数问题的求解策略

例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学贺明荣（200940）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。

一般地，抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。

这类1000561．评注：当f(x)是定义在自然数集N 上的函数时，可根据题中所给函数方程，通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系，然后根据递推关系进一步求解．2、适当赋值例2、设函数y=f(x)（x ∈R 且x ≠ 0），对任意实数x 1 、x 2 满足f(x 1)+ f(x 2)= f(x 1·x 2) ．(1) 求证：f(1)=f(-1)=0；(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3) 已知y=f(x)在（0，+∞）上为增函数，解不等式f(x)+f( x -12)＜0．． -12)〕或 -1解得1-17 4 ＜x ＜ 1+17 4 且 x ≠0 , 12．评注：对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的．3、巧妙换元例3、设f(x)的定义域为｛x∣x≠0,且x≠1｝，满足f(x)+f(x-1x)=1+x ， (1)求f(x) ．解：令x =y-1y(y≠0，y≠1)，并将y 换成x，得f(x-1x)+f(11-x)=1+x-1x， (2)，即求f(x)在〔-3 ， 3〕上的最大值和最小值．解：任取-3≤x1＜x2≤3 ，由条件（1）得f(x2)=f〔(x2-x1)+x1〕= f(x2-x1)+f(x1)，∴ f(x2)- f(x1) = f(x2-x1) ，∵ x2- x1＞0 ，由条件（2）得 f(x2-x1) ＜0 ，∴ f(x 2) ＜f(x 1) ， ∴ f(x)在〔-3 ， 3〕上单调递减．在（1）中令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0) ， ∴ f(0)=0再令x=-y ，得f(x-x)=f(x)+f(-x) ， ∴ f(-x)= -f(x) ，从而f(x)为奇函数，比如，证明：由（1）得， f(x+c)+f(x)=2f(x+c 2)f(c 2)=2f(x+c2)×0=0 ，∴ f(x+c)+f(x)=0 ，∴ f(x+c)= - f(x) ， ∴ f(x+2c)=f 〔(x+c)+c 〕= - f(x+c)= f(x) ，又因为c ＞0，所以f(x)是周期函数，2c 是它的一个周期．评注：通过对题目所给条件与结论的比较并联想已学过的知识，开拓思路，即可找到解题的关键．对于本题，我们若联想公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosx×cosy ，再类比余弦函数y=cosx的性质：cos ?2= 0，又其周期为2? =?2×4，故，从中得到启示，并进一步探求f(x)的周期是否为，即．此逆命题为真命题．现证明如下：（用反证法）假设a+b≥0不成立，即有a+b＜0，则 a＜-b， b＜-a，根据单调性，得 f(a)＜f(-b)， f(b)＜f(-a)，从而f(a)+f(b)＜f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，这与已知f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 相矛盾．故a+b＜0不成立，即a+b≥0成立，因此（1）中命题的逆命题是真命题．评注：当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略．以上通过实例介绍了求解抽象函数问题的几种常用策略，只有深刻理解概念，掌．试3、已知函数f(x) 满足 af(x)+f( 1x)=cx ，其中a 、b 、c是不为零的常数，且a≠b，求f(x) ．( 答： f(x)=c(ax2-b)(a2-b2)x)4、函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)×? 1-f(x)?=1+f(x)，又知f(1)=2 + 2 ，试求f(2002) 的值． ( 答： f(2002) = 1-2 2 )5、是否存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：①f(n)＞0 ，n∈N；(Ⅲ) 记an =f( 2n +2n) ，求 limn??(lnan) ．（答：(Ⅰ) 求f( 12) = a ， f(14)=4a ；(Ⅱ) f(x)的一个周期为2；(Ⅲ) an =2na 、 limn??(lnan)=0 ）通讯地址：上海市吴淞中学贺明荣上海市泰和路99号（同泰北路99号）邮编：200940。

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

抽象函数几类问题的解题方法与技巧

一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。

2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。

例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。

（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数得周期性:1、定义在x∈R上得函数ｙ=f(ｘ),满足f(x+a)=f(ｘ—a)(或f(x-2a)＝f(x))(ａ＞０)恒成立,则y＝f(ｘ)就是周期为2ａ得周期函数;２、若y=ｆ(x)得图像关于直线x＝ａ与x=ｂ对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜a-ｂ｜得周期函数;３、若y=ｆ(x)得图像关于点(ａ,０)与(b,0)对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜ａ—b｜得周期函数;4、若y=f(x)得图像有一个对称中心A(a,0)与一条对称轴ｘ=b(a≠b),则函数ｙ＝ｆ(x)就是周期为４｜ａ-b|得周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+ｘ)=f(ａ-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a;如果y=f(ｘ)为偶函数,则其周期为2a;６、定义在x∈R上得函数ｙ＝f(ｘ),满足f(x+a)=—f(x),则y=ｆ(x)就是周期为2|a｜得周期函数;7、若在x∈R恒成立,其中ａ>０,则ｙ＝f(x)就是周期为4ａ得周期函数;8、若在ｘ∈R恒成立,其中a>０,则ｙ=f(x)就是周期为2a得周期函数。

(7、8应掌握具体推导方法,如7)函数图像得对称性:1、若函数y=ｆ(ｘ)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=ｆ(ｘ)得图像关于直线对称;2、若函数ｙ=f(x)满足f(x)=ｆ(２a－x)或f(x＋a)=ｆ(a－x),则函数y＝f(x)得图像关于直线x=a对称;３、若函数ｙ＝f(x)满足f(a+x)＋f(ｂ-x)=c,则y＝f(x)得图像关于点成中心对称图形;4、曲线f(x,y)=0关于点(a,ｂ)得对称曲线得方程为f(2a-x,2b—y)=0;５、形如得图像就是双曲线,由常数分离法知:对称中心就是点;6、设函数y=ｆ(x)定义在实数集上,则y=f(x+ａ)与y=f(b-x)得图像关于直线对称;7、若函数y=f(ｘ)有反函数,则y=f(a+x)与ｙ=f -１(ｘ＋a)得图像关于直线y=x+a对称。

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；5、形如()0,ax b y c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。

抽象函数问题求解的几种常用求法

抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。

如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。

它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。

一．特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。

2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。

解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。

解：利用特殊值法令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =，有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二．函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。

抽象函数常见题型和解法

抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略 (无答案)

高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的 4 种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。

对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。

化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出 n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。

例 1、设奇函数 f (x ) 的定义域为[-5,5] ，若当 x ∈ (0,5]时， f (x ) 是增函数且 f(2)=o 求不等式 x f (x ) < 0 的解。

例 2、已知函数 f （x ）对一切实数 x 都有 f （2+x ）= f （2-x ），如果方程 f （x ）=0 恰好有 4 个不同的实根，求这些实根之和。

评注①一般地，若函数 f （x ）满足 f （a+x ）=f （a-x ），则直线 x=a 是函数图象的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。

②、对称性的定义③轴对称定义：如果函数 y = f (x )满足 f (a + x ) = f (b - x )，则函数 y = f (x )的图象关于直线 2b a x +=对称。

④点对称定义：如果函数 y = f (x )满足 f (a + x )+ f (a - x ) = 2b ，则函数 y = f (x )的图象关于点(a ,b )对称。

⑤抽象函数技巧规律总结：（1）当 x 前面的符号相同时考虑周期性。

（2）当 x 前面的符号不同考虑对称性， f 前面的同号为轴对称， f 前面的异号为点对称。

（3）奇偶性 + 周期性⇒ 对称性；奇偶性 + 对称性⇒ 周期性。

奇偶性有制造负号的能力练习1、（2014 年新课标）设函数 f (x ), g (x )的定义域都为 R ，且 f (x ) 是奇函数， g (x ) 是偶函数，则下列结论正确的是（）A . f (x )g (x ) 是偶函数B . f (x ) g (x )是奇函数C . f (x ) g (x ) 是奇函数D . f (x )g (x ) 是奇函数2、（2014 年湖南）已知分别 f (x ), g (x )是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 1)()(23++=-x x x g x f ，则 f (1) + g (1) =二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号 f 即为“穿”，去掉函数符号 f 即为“脱”。

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抽象函数的解题方法与技巧摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。

因而显得特别抽象。

所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。

尽可能使抽象函数变得不再抽象。

关键词：抽象函数；性质；求值；解析式；解题方法；技巧Problem-solving methods and skills of abstract functionsXue JieSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract:: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract.Keywords: abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills;1.提出问题的背景抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。

由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。

因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。

2. 抽象函数的知识点（1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。

所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。

对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。

（2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。

那么具有相同对应关系的两个抽象函数()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。

（3）函数三性：即奇偶性，对称性，周期性。

利用函数三性可根据部分函数的图像描绘出整个定义域上的函数图像，进而从函数的图像上更直观的研究函数。

奇偶性：函数()x f 的定义域D 关于原点对称，若满足()()x f x f -=-，D x ∈,则称()x f 是奇函数；若满足()()x f x f =-，D x ∈,则称()x f 是偶函数。

如果奇函数的定义域包含原点，那么一定有()00=f 。

对称性：函数的对称性分轴对称和中心对称。

若函数()x f 关于点()b a ,对称，则有()()b x a f x a f 2=-++。

若函数()x f 关于直线a x =对称，则有()()x a f x a f -=+。

周期性：若函数()x f ，定义域为D ，满足()()x f T x f =+,0≠∈T D x ，，那么就说该函数是周期函数，T 为函数的一个周期。

函数三性之间的联系：① 函数()x f 是奇函数等价于函数()x f 关于原点对称；函数()x f 是偶函数等价于函数()x f 关于y 轴对称。

② 如果函数()x f 具有两种形式的对称性，那么函数()x f 就一定是周期函数；如果函数()x f 是周期函数，且具有一种对称性，那么函数()x f 就一定具有另一种相应的对称性。

③ 一般结论：i 若()()c x f a x f =++（c 为常数），则()x f 是周期函数，且a 2是它的一个周期。

ii 若()()k x f a x f =+（常数0≠k ），则()x f 是周期函数，且a 2是它的一个周期。

iii 若()()()x f a x f a x f -+=+2，则()x f 是周期函数，且a 6是它的一个周期。

iv 若()x f 的图像关于两条直线a x =，b x =()a b >对称，则()x f 是周期函数，且()a b -2是它的一个周期。

v 若()x f 的图像关于点()0,a A 和()0,b B ()a b >对称，则()x f 是周期函数，且()a b -2是它的一个周期。

vi 若()x f 的图像关于两条直线a x =及点()0,b B ()a b >对称，则()x f 是周期函数，且()a b -4是它的一个周期。

（4）单调性：函数()x f 的定义域为D ，对于任意的1x ，D x ∈2，当1x <2x 时，都有 ①()()21x f x f <，那么就说()x f 在此区间上是增函数；②()()21x f x f >，那么就说()x f 在此区间上是减函数。

对抽象函数，由于解析式未知，所以要证明其单调性，一般只能考虑定义法。

在关于抽象函数不等式问题的解决中，单调性起到重要的作用。

3. 涉及抽象函数的问题类型3.1 求抽象函数的定义域：（1）已知()[]x g f 的定义域，求()[]x h f 的定义域；（2）求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。

3.2 求抽象函数的值域：（1）已知函数()x f 的值域，求()[]x f g 的值域；（2）已知函数()[]x f g 的值域，求()x f 的值域；（3）已知函数()x f 满足的某些关系式或条件，求()x f 的值域。

3.3 求抽象函数的函数值：（1）已知函数()x f 满足的某些关系式或条件，根据已知条件可以求得()x f 的周期，求函数在某一特定点的函数值；（2）已知函数()x f 满足的某些关系式或条件，根据已知条件求不出()x f 的周期，求函数在某一特定点的函数值。

3.4 求抽象函数的解析式：（1）已知表达式()[]()x h x g f =，求()x f 的解析式；（2）已知()x f 的某些性质或满足某些条件，求()x f 的解析式。

3.5 与函数单调性，周期性，奇偶性相关的问题：（1）判断函数的单调性，周期性，奇偶性；（2）解不等式问题；（3）函数存在性问题。

4. 解决抽象函数问题的方法技巧4.1 定义域（1）已知()[]x g f 的定义域，求()[]x h f 的定义域。

该类问题需明确两点：一是明确函数定义域的定义（指自变量x 的取值范围）；二是明确在同一对应法则f 下，()x g 和()x h 的取值范围是一样的。

例1.若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为分析：如前所述，函数2(log )f x 和函数(21)f x +的定义域都是指x 的取值范围，而非x 2log 和12+x 的取值范围。

并且12+x 和x 2log 的取值范围是一样的。

因而可根据(21)f x +中x 的取值范围是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，求解出12+x 的取值范围，即x 2log 的取值范围，再从中解出x 的取值范围，即所求定义域。

解：由(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知∈x 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ 4121<+<-x ，故4log 12<<-x ，解得4221<<x ， ∴ 2(log )f x 的定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛42,21.（2）求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。

该类问题的解决依然首先要明确函数的定义域是使得函数有意义的自变量的取值范围，所以求得新函数的定义域要在使得组合前每个函数有意义的基础上，还保证组合后的新函数也有意义，也就是取各个函数定义域的交集。

但有一点需要注意，若该运算是商的形式，还要保证处于分母位置的函数不为0。

例2.若()x f 的定义域为[]35-，，则()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域为解：由已知，()x f 的定义域为[]35-，，根据例1的求法可求得:()x f -的定义域为[]3,5-，∴ ()52+x f 的定义域为[]15,1-，从而()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域为[]3,5-I []15,1-，即为[]3,1-。

例3.函数()x x x f 1-=，()xx x g 12+=，()x x h 3=，求下列函数的定义域： ① ()()x g x f +； ②()()x h x f ⋅； ③ ()[]()[]x g h x h f . 分析：第①、②问的两个新函数整理后都不再含分式，所以其定义域会误认为分别是实数集和非负实数集，其实不然。

这里需要注意，虽然在组合成新函数时，原函数的分母被抵消或约掉，但是仍然要保证每个原函数都有意义，故在求新函数的定义域时，必须先分别求出每个函数的定义域，再做交集。

而第③问中的新函数在前面所述的基础上还要再注意一点，分母不能为0，所以还要要求()[]x g h 不为0。

解：由已知，()x f 定义域是}{0≠=x x A ；()x g 定义域是}{0≠=x x B ；()x h 定义域是}{0≥=x x C .所以① ()()x g x f +的定义域是B A I =}{0≠x x ； ② ()()x h x f ⋅的定义域是B A I =}{0≠x x ； ③ ()[]x x x h f 313-=,()[]xx x g h 132+=， ∴ ()[]x h f 的定义域是}{0>=x x M ,()[]x g h 的定义域是}{10-≤>=x x x N 或, 令()[]0132≠+=x x x g h ，得1-≠x ，令}{1-≠=x x P∴ ()[]()[]x g h x h f 的定义域是P N M I I }{0>=x x .4.2 值域（1）已知函数()x f 的值域，求()[]x f g 的值域；该类问题一般采用换元法：即在()[]x f g 中令()x f =t ，那么问题就转化为已知函数()t g 的定义域，求值域的问题，此时()t g 是一个具体的函数，其值域可利用不等式，单调性，求导等方法进行求解。

抽象函数的解题方法与技巧窍门