高一数学《函数》专题训练材料(含答案)
高一数学函数求解析式专项训练(含答案)
函数求解析式专项训练一、单选题（共8题；共16分）1.（2020高一上·开鲁期中）若，则的解析式为（）A. B. C. D.2.（2020高三上·哈尔滨月考）若，则的解析式为（）A. B. C. D.3.（2020高一上·定远月考）已知，则的解析式为（）A. B. C. D.4.（2020高一上·定远月考）已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（）A. f(x)＝x2－2x－1B. f(x)＝x2－2x＋1C. f(x)＝x2＋2x－1D. f(x)＝x2＋2x＋15.（2020高一上·泸县月考）已知函数，则的解析式是（）A. B. C. D.6.（2020高一上·黄陵期中）已知，则的解析式为（）A. B.C. D.7.（2020高二下·沈阳期末）已知，则的解析式为（）A. B. C. D.8.（2020高一上·泉州期中）已知二次函数，，且，那么这个函数的解析式是（）．A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）9.（2020高一上·湖南期中）已知，则的解析式为________.10.（2020高一上·赣县月考）已知, 则的解析式为________.11.（2020高一上·长治期中）已知则的解析式为________．12.（2020高一上·大名期中）已知函数，则函数的解析式为________.13.（2020高一上·江阴月考）已知，则的解析式为________.14.（2020高二上·六安开学考）若函数满足，则的解析式为________.15.（2020高一上·天津期中）设函数，，则的解析式是________.三、解答题（共6题；共75分）16.（2020高一上·广州期中）求下列函数的解析式.（1）已知一次函数满足，求；（2）已知，求.17.（2020高三上·新疆月考）根据条件，求函数解析式.（1）；（2）；（3）；（4）已知是一元二次函数，且满足；.18.（2020高一上·南阳月考）根据下列条件，求的解析式.（1），其中为一次函数；（2）.19.（2019高一上·长春月考）求函数解析式（1）已知是一次函数，且满足求．（2）已知满足，求．20.（2019高一上·辽源期中）根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式；（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式；（3）已知满足，求的解析式.21.（2019高一上·昌吉月考）求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；（2）已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】f（1）＝x+ ，设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+ ﹣1＝t2﹣t，t≥1，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．故答案为：C.【分析】令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.2.【答案】D【解析】【解答】设，则，则，所以函数的解析式为.故答案为：D.【分析】设，则，解得，即可求得函数的解析式.3.【答案】B【解析】【解答】由，令，则，则，即，故答案为：B。
高一数学函数专项训练题(含答案)
20XX 年秋高一数学第一学期函数压轴训练题1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式211222(log )7log 30x x ++≤，求22()log log 42x xf x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．2.（14分）已知定义域为R 的函数2()12x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax b f x x+=+为奇函数,且12()25f =. (1) 求实数a ,b 的值；(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。
(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2-2bx+4b(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。
6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.7. （12分）设函数124()lg ()3x xa f x a R ++=∈.（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x xk z -+=∈满足(2)(3)f f <。
综合题高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼y =⑽4y =⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236xy x -=+的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(，()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
高一数学函数专题(含答案)
函 数 练 习 题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = ⑵y =2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则(21)f x -的定义域是 ；1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x = ()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
(完整版)高一函数大题训练含答案
(完整版)高一函数大题训练含答案一、解答题1．已知a R ∈，当0x >时，()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）若函数()f x 过点()1,1，求此时函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的值；（Ⅲ）设0a >，若对任意实数1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a 的取值范围.2．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知函数()y f x =，若在区间()2,2-内有且仅有一个0x ，使得0()1f x =成立，则称函数()f x 具有性质M ．（1）若()sin 2f x x =+，判断()f x 是否具有性质M ，说明理由； （2）若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，试求实数m 的取值范围．3．已知函数21()|1|,R.f x x x =-∈我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x ==11()(()).n n f x f f x -=其中2,3,.n =（1）判断函数1()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）求方程13()()f x f x =的实数根个数；（3）已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m ==其中1,0 1.i j n m ≤<≤<<求实数m 的所有可能值构成的集合.4．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.5．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．6．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”.（1）判断函数()21f x x =+和2()g x x =是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数，求ϕ的值； （3）若对于任意[1,)m ∈+∞，()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数，求实数t 的取值范围.7．已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x ∈R ；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的范围；（3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅-将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；8．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．9．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.已知函数1112()1,()2412x xx xm f x a g x m -⋅⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪+⋅⎝⎭⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()y f x =在(,0)-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()y g x =在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的解析式.10．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，且()()xf xg x e +=.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，记()1231n H n F F F F n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()*,2n N n ∈≥.探究是否存在正整数()2n n ≥，使得对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()2g x H n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.11．已知函数()()2xf x x R =∈，记()()()g x f x f x =--．⑴解不等式：()()26f x f x -≤；⑵设k 为实数，若存在实数(]01,2x ∈，使得()()20021g x k g x =⋅-成立，求k 的取值范围；⑶记()()()22h x f x a f x b =++⋅+(其中a ，b 均为实数)，若对于任意的[]0,1x ∈，均有()12h k ≤，求a ，b 的值． 12．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．13．记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数. （1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2xg x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数； （3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.14．若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()(),14f x x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值； （2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．15．已知函数()21log 21mx f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()m 为常数是奇函数. (1)判断函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上的单调性,并用定义法证明你的结论;(2)若对于区间[]2,5上的任意值,使得不等式()2xf x n ≤+恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．（Ⅰ）()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭；（Ⅱ）0a =或14-；（Ⅲ）3[,)2+∞【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）将点()1,1 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即()22log 0f x x += ，根据对数运算后可得210ax x +-= ，将问题转化为方程有一个实根，分0a = 和0,0a ≠∆= 两种情况，得到a 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值()()11f t f t -+≤ 整理为()2110at a t ++-≥ ，对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，0a > 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过点()1,1，()()21log 11f a ∴=+=， 1a ∴=，∴此时函数()21log 1(0)f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（Ⅱ）由()22log 0f x x +=得221log 2log 0a x x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，211a x x ⎛⎫∴+⋅= ⎪⎝⎭化为210ax x +-=， 当0a =时，可得1x =，经过验证满足函数()g x 只有一个零点；当0a ≠时，令140a ∆=+=解得14a =-，可得2x =，经过验证满足函数()g x 只有一个零点， 综上可得：0a =或14-.（Ⅲ）任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则210x x x ∆=->， ()()11221222212121211221211221211log log log ,0,0,0,01,x ax x y f x f x a a x x x ax x x x a x ax x x ax x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫+∆=-=+-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭<∴<+<++∴<<+1122212log 0x ax x x ax x +∴<+，即0y ∆<，()f x ∴在()0,+∞上单调递减.∴函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +， ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫∴-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，整理得()2110at a t ++-≥对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()211h t at a t =++-，0,a >∴函数()h t 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，103h ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭，即11093a a ++-≥，解得32a ≥， 故实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.2．（Ⅰ）()f x 具有性质M ; （Ⅱ）23m ≤-或2m >或0m =【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）()sin 2f x x =+具有性质M ．若存在()022x ∈﹣，，使得()01f x =，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数()2221f x x mx m =+++具有性质M ，即方程2220x mx m ++=在()22﹣，上有且只有一个实根．设()222h x x mx m =++，即()222h x x mx m =++在()22﹣，上有且只有一个零点．讨论m 的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m 的范围．试题解析：（Ⅰ）()sin 2f x x =+具有性质M ．依题意，若存在0x ∈(2,2)-，使0()1f x =，则0x ∈(2,2)-时有0sin 21x +=，即0sin 1x =-，022x k ππ=-，k Z ∈．由于0x ∈(2,2)-，所以02x π=-．又因为区间(2,2)-内有且仅有一个02x π=-，使0()1f x =成立，所以()f x 具有性质M 5分（Ⅱ）依题意，若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，即方程2220x mx m ++=在(2,2)-上有且只有一个实根．设2()22h x x mx m =++，即2()22h x x mx m =++在(2,2)-上有且只有一个零点． 解法一：（1）当2m -≤-时，即2m ≥时，可得()h x 在(2,2)-上为增函数，只需(2)0,{(2)0,h h -<>解得2,{2,3m m >>-交集得2m >．（2）当22m -<-<时，即22m -<<时，若使函数()h x 在(2,2)-上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）0m =时，2()h x x =在(2,2)-上有且只有一个零点，符合题意． （ⅱ）当20m -<-<即02m <<时，需(2)0,{(2)0,h h -≤>解得2,{2,3m m ≥>-交集得∅．（ⅲ）当02m <-<时，即20m -<<时，需(2)0,{(2)0,h h ->≤解得2,{2,3m m <≤-交集得223m -<≤-．（3）当2m -≥时，即2m ≤-时，可得()h x 在(2,2)-上为减函数 只需(2)0,{(2)0,h h -><解得2,{2,3m m <<-交集得2m ≤-．综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是23m ≤-或2m >或0m = 14分 解法二： 依题意，（1）由(2)(2)0h h -⋅<得，(42)(64)0m m -+<，解得23m <-或2m >． 同时需要考虑以下三种情况： （2）由22,{0,m -<-<∆=解得0m =．（3）由20,{(2)0,m h -<-<-=解得02,{2,m m <<=不等式组无解．（4）由02,{(2)0,m h <-<=解得20,{2,3m m -<<=-解得23m =-． 综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是23m ≤-或2m > 或0m = 14分．考点：1．零点存在定理；2．分类讨论的思想．3．（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）⎪⎪⎩⎭.【解析】（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；（2）令1()f x t =，转化条件为0=t 或1，再解方程即可得解；（3）按照m ⎛∈ ⎝⎭、m ⎫∈⎪⎪⎝⎭分类，结合函数的单调性可得()(1,2,,)k f m m k n ≠=，再代入m =.【详解】（1）因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的，又2211()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=，故函数1()f x 是偶函数；（2）令1()f x t =，则0t ≥，于是()()2231211()()()|1|1t f x f f x f f t t ====--，于是22|1|1t t -=+或22|1|1.t t -=-又0t ≥，解得0=t 或1，则方程13()()f x f x =的实数根个数即为210x -=或1的根的总个数，解得1x =±或0或 所以方程13()()f x f x =的实数根个数为11； （3）因为01m <<，当(0,1)m ∈时，1()f m 在(0,1)单调递减，且1(0)1f =，1(1)0f =， 则12(),(),,()n f m f m f m 的值域均为(0,1)，①当m ⎛∈ ⎝⎭时，21()1f m m ⎫=-∈⎪⎪⎝⎭，于是1()f m m >，因为当m ⎛∈ ⎝⎭时，210m m +-<， 所以()()()()42222211110m m m m m m m m m m m -+-=---=-+-<，所以()()()()2142221112f m f f m m m m m ==--=-+<，即2()f m m <， 注意到1()f x 在(0,1)单调递减，于是()()()3121413112()()(),()()()()f m f f m f m f m f f m f f m f m =>=<=，()()()()514123615134()()()(),()()()(),.f m f f m f f m f m f m f f m f f m f m =>==<=于是6421350()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，②当m ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，类比同理可得 5312460()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，于是当(0,1)m ∈且m ≠()(1,2,,)k f m m k n ≠=，若0()i f x m =，其中(0,1)m ∈，m ≠则().j i f m m -≠，即()00()()j i i i f f x f x -≠，也就是00()()j i f x f x ≠；当m =()i f x 的值域为[)0,+∞，所以存在0x 使得0()i f x =又1f ⎝⎭所以()()()()()01101110()()()j j i f x f f x f f f f x -====，即00()()i j f x f x ==所以实数m 的所有可能值构成的集合为⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.4．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+,所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =, 2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤, ()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题.5．（1）证明见解析 （2）k ≥（3）存在，4T ≥【解析】 【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论. 【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪≥= ⎪⎪⎝⎭ （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”， ()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.6．(1) 对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数, 不存在m 有2()g x x =为位差奇函数.(2),3k k Z πϕπ=-∈;(3) (),4t ∈-∞【解析】【分析】(1)根据题意计算()()f x m f m +-与()()g x m g m +-,判断为奇函数的条件即可.(2)根据()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数计算ϕ的值即可.(3)计算()()f x m f m +-为奇函数时满足的关系,再根据对于任意[1,)m ∈+∞()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数求解恒不成立问题即可.【详解】(1)由()21f x x =+,所以()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=为奇函数.故对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数.又2()g x x =,设222()()()()2G x g x m g m x m m x mx =+-=+-=+.此时()22()22G x x mx x mx -=--=-,若()G x 为奇函数则22220x mx x mx -++=恒成立.与假设矛盾,故不存在m 有2()g x x =为位差奇函数.(2) 由()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得,()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数.即()()sin()sin()3333f x f x ππππϕϕ+-=++-+为奇函数. 即3k πϕπ+=,,3k k Z πϕπ=-∈.(3)设()()22()()()(222)12122x m m m m m x x x m h t x f t m t f x m ----+-=+-=--⋅-⋅⋅=--- .由题意()()0h x h x +-=对任意的[1,)m ∈+∞均不恒成立.此时()()()()22222222()()11110m x m x x m x m h x t h x t ----+-=--⋅-⋅-+--=即()()222221112122m x x x x m m m t t -----+-=-+=⋅-⇒⋅对任意的[1,)m ∈+∞不恒成立. 故22m t =在[1,)m ∈+∞无解.又22224m ≥=,故4t <.故(),4t ∈-∞【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.7．（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）证明见解析，min 4M =； 【解析】【分析】（1）由已知()g x 在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值。
高一数学《函数》专题训练材料(含答案)
高一数学《函数》专题训练材料（学生版）一、函数概念相关 1、解析式相关①若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.②给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.③已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.2、定义域求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y2、值域① 求13+--=x x y 的值域 ②求函数x x y -+=142的值域③求函数66522-++-=x x x x y 的值域3、复合函数①已知函数分别由下表给出，则满足f(g(x))>g(f(x))的x 值是②已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a axf ax f xg 的定义域。
②若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域③已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。
4、分段函数①设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0,0,1221x x x x 若f(x 0)>1，求x 0的取值范围。
高一数学函数经典练习题(含答案详细)
高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。
同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。
⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。
同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。
_。
_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。
对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。
因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。
3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。
答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。
对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。
高一数学函数经典练习题(含答案详细)
《函 数》复习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：答案：x²又⑵y =答案：2111x x -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭, ()()22111x x -≤+, ()()2211x x -≤+,222121x x x x -+≤++,-4x ≤0, ∴x ≥0{|0}x x ≥⑶01(21)111y x x =+-+-答案：211011011210210104022x x x x x x x x x ⎧+≠⇒-≠-⇒≠⎪-⎪⎪-≠⇒≠⎨⎪-≠⇒≠⎪≥⇒-≥⇒-≤≤∴1{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _2 f x ()-2的定义域为________；答案：函数f(x)的定义域为[0.1], 则0≤x ≤1于是0≤x ²≤1 解得-1≤x ≤1所以函数f x ()2的定义域为[-1,1]f∴4≤x ≤93、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1x 1(2)f x+的定义域为 。
答案：y=f(x+1)的定义域是【-2,3】注：y=f(x+1)的定义域是【-2，3】 指的是里面X 的定义域 不是括号内整体的定义域 即-2<=x<=3∴-1<=x+1<=4 ∴x+1 的范围为 [-1,4] f(x)括号内的范围相等y=f(2x-1)f(4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
答案解1：知函数f(x)的定义域为[-1.1],则对函数F （X ）=f(m+x)-f(x-m)来说 -1≤m+x ≤1 -1≤x-m ≤11. 由-1≤m+x 和x-m ≤1 两式相加-1+x-m ≤m+x+1 解得2m ≥-2 m ≥-12. 由m+x ≤1和-1≤x-m 两式相加 m+x-1≤x-m+12m ≤2 解得m ≤1综上：-1≤m ≤1答案解2： -1<x+m<1 →→-1-m < x<1-m-1<x-m<1 → -1+m<x<1+m定义域存在,两者的交集不为空集，（注：则只需（-m-1，1-m ）与（m-1，1-m ）有交集即可。
(完整版)高一函数大题训练及答案
(完整版)高一函数大题训练及答案一、解答题1．已知a R ∈，当0x >时，()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）若函数()f x 过点()1,1，求此时函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的值；（Ⅲ）设0a >，若对任意实数1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a 的取值范围.2．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知函数()y f x =，若在区间()2,2-内有且仅有一个0x ，使得0()1f x =成立，则称函数()f x 具有性质M ．（1）若()sin 2f x x =+，判断()f x 是否具有性质M ，说明理由； （2）若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，试求实数m 的取值范围．3．已知函数21()|1|,R.f x x x =-∈我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x ==11()(()).n n f x f f x -=其中2,3,.n =（1）判断函数1()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）求方程13()()f x f x =的实数根个数；（3）已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m ==其中1,0 1.i j n m ≤<≤<<求实数m 的所有可能值构成的集合.4．已知2()2(1)3()=-++∈f ax x a x R a .（1）若函数()f x 在3[,3]2单调递减，求实数a 的取值范围；（2）令()()1=-f x h x x ，若存在123,[,3]2∈x x ，使得121()()2+-≥a h x h x 成立，求实数a 的取值范围.5．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 6．已知函数()2x f x =，2()log g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根； （2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 7．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.8．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．9．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足： ①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.11．已知函数()242 1.x xf x a =⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.12．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况. 13．若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()(),14f x x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值； （2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.15．已知函数()21log 21mx f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()m 为常数是奇函数.(1)判断函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上的单调性,并用定义法证明你的结论;(2)若对于区间[]2,5上的任意值,使得不等式()2xf x n ≤+恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．（Ⅰ）()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭；（Ⅱ）0a =或14-；（Ⅲ）3[,)2+∞【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）将点()1,1 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即()22log 0f x x += ，根据对数运算后可得210ax x +-= ，将问题转化为方程有一个实根，分0a = 和0,0a ≠∆= 两种情况，得到a 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值()()11f t f t -+≤ 整理为()2110at a t ++-≥ ，对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，0a > 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过点()1,1，()()21log 11f a ∴=+=， 1a ∴=，∴此时函数()21log 1(0)f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（Ⅱ）由()22log 0f x x +=得221log 2log 0a x x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，211a x x ⎛⎫∴+⋅= ⎪⎝⎭化为210ax x +-=， 当0a =时，可得1x =，经过验证满足函数()g x 只有一个零点；当0a ≠时，令140a ∆=+=解得14a =-，可得2x =，经过验证满足函数()g x 只有一个零点， 综上可得：0a =或14-.（Ⅲ）任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则210x x x ∆=->， ()()11221222212121211221211221211log log log ,0,0,0,01,x ax x y f x f x a a x x x ax x x x a x ax x x ax x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫+∆=-=+-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭<∴<+<++∴<<+1122212log 0x ax x x ax x +∴<+，即0y ∆<，()f x ∴在()0,+∞上单调递减.∴函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +， ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫∴-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，整理得()2110at a t ++-≥对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()211h t at a t =++-，0,a >∴函数()h t 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，103h ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭，即11093a a ++-≥，解得32a ≥， 故实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.2．（Ⅰ）()f x 具有性质M ; （Ⅱ）23m ≤-或2m >或0m =【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）()sin 2f x x =+具有性质M ．若存在()022x ∈﹣，，使得()01f x =，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数()2221f x x mx m =+++具有性质M ，即方程2220x mx m ++=在()22﹣，上有且只有一个实根．设()222h x x mx m =++，即()222h x x mx m =++在()22﹣，上有且只有一个零点．讨论m 的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m 的范围．试题解析：（Ⅰ）()sin 2f x x =+具有性质M ．依题意，若存在0x ∈(2,2)-，使0()1f x =，则0x ∈(2,2)-时有0sin 21x +=，即0sin 1x =-，022x k ππ=-，k Z ∈．由于0x ∈(2,2)-，所以02x π=-．又因为区间(2,2)-内有且仅有一个02x π=-，使0()1f x =成立，所以()f x 具有性质M 5分（Ⅱ）依题意，若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ，即方程2220x mx m ++=在(2,2)-上有且只有一个实根．设2()22h x x mx m =++，即2()22h x x mx m =++在(2,2)-上有且只有一个零点． 解法一：（1）当2m -≤-时，即2m ≥时，可得()h x 在(2,2)-上为增函数， 只需(2)0,{(2)0,h h -<>解得2,{2,3m m >>-交集得2m >．（2）当22m -<-<时，即22m -<<时，若使函数()h x 在(2,2)-上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）0m =时，2()h x x =在(2,2)-上有且只有一个零点，符合题意． （ⅱ）当20m -<-<即02m <<时，需(2)0,{(2)0,h h -≤>解得2,{2,3m m ≥>-交集得∅．（ⅲ）当02m <-<时，即20m -<<时，需(2)0,{(2)0,h h ->≤解得2,{2,3m m <≤-交集得223m -<≤-．（3）当2m -≥时，即2m ≤-时，可得()h x 在(2,2)-上为减函数 只需(2)0,{(2)0,h h -><解得2,{2,3m m <<-交集得2m ≤-．综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是23m ≤-或2m >或0m = 14分 解法二： 依题意，（1）由(2)(2)0h h -⋅<得，(42)(64)0m m -+<，解得23m <-或2m >． 同时需要考虑以下三种情况： （2）由22,{0,m -<-<∆=解得0m =． （3）由20,{(2)0,m h -<-<-=解得02,{2,m m <<=不等式组无解． （4）由02,{(2)0,m h <-<=解得20,{2,3m m -<<=-解得23m =-． 综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是23m ≤-或2m > 或0m = 14分．考点：1．零点存在定理；2．分类讨论的思想．3．（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）⎪⎪⎩⎭.【解析】（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；（2）令1()f x t =，转化条件为0=t 或1，再解方程即可得解；（3）按照m ⎛∈ ⎝⎭、m ⎫∈⎪⎪⎝⎭分类，结合函数的单调性可得()(1,2,,)k f m m k n ≠=，再代入m =.【详解】（1）因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的，又2211()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=，故函数1()f x 是偶函数；（2）令1()f x t =，则0t ≥，于是()()2231211()()()|1|1t f x f f x f f t t ====--，于是22|1|1t t -=+或22|1|1.t t -=-又0t ≥，解得0=t 或1，则方程13()()f x f x =的实数根个数即为210x -=或1的根的总个数，解得1x =±或0或 所以方程13()()f x f x =的实数根个数为11； （3）因为01m <<，当(0,1)m ∈时，1()f m 在(0,1)单调递减，且1(0)1f =，1(1)0f =， 则12(),(),,()n f m f m f m 的值域均为(0,1)，①当m ⎛∈ ⎝⎭时，21()1f m m ⎫=-∈⎪⎪⎝⎭，于是1()f m m >，因为当m ⎛∈ ⎝⎭时，210m m +-<， 所以()()()()42222211110m m m m m m m m m m m -+-=---=-+-<，所以()()()()2142221112f m f f m m m m m ==--=-+<，即2()f m m <， 注意到1()f x 在(0,1)单调递减，于是()()()3121413112()()(),()()()()f m f f m f m f m f f m f f m f m =>=<=，()()()()514123615134()()()(),()()()(),.f m f f m f f m f m f m f f m f f m f m =>==<=于是6421350()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，②当m ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，类比同理可得5312460()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，于是当(0,1)m ∈且m ≠()(1,2,,)k f m m k n ≠=，若0()i f x m =，其中(0,1)m ∈，m ≠则().j i f m m -≠，即()00()()j i i i f f x f x -≠，也就是00()()j i f x f x ≠；当m =()i f x 的值域为[)0,+∞，所以存在0x 使得0()i f x =又1f ⎝⎭所以()()()()()01101110()()()j j i f x f f x f f f f x -====，即00()()i j f x f x ==所以实数m的所有可能值构成的集合为⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题. 4．（1）12a ≤（2）4([,).5∈-∞⋃+∞a 【解析】【分析】（1）对a 讨论，0a =，0a >，0a <，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到a 的范围；（2）由题意可得在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x 成立， 1()(1)21ah x a x x -=-+--，令11[,2]2=-∈t x ，则11()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈．对a 讨论，（i ）当0a ≤时，（ii ）当01a <<时，求出单调性和最值，即可得到a 的范围.【详解】（1）①当0a =时，()23f x x =-+，显然满足，②010123a a a a >⎧⎪⇒<<+⎨≥⎪⎩，③00132a a a a <⎧⎪⇒<+⎨≤⎪⎩， 综上实数a 的取值范围：12a ≤. （2）存在123,[,3]2∈x x ，使得121()()2+-≥a h x h x 成立即：在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x ，因为()1()(1)211-==-+---f x a h x a x x x ，令11[,2]2=-∈t x ， 则11()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈ （i ）当0a ≤时，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，所以max min 1()()2+-≥a g t g t ，等价于112()(2)227+-≥⇒≤a g g a ，所以0a ≤； （ii ）当01a <<时，1()()2-=+-aa g t a t t ，()g t在上单调递减，在)+∞上单调递增. ①12≤时，即451a ≤<，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增.由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到114(2)()225+-≥⇒≥a g g a ，所以451a ≤<. ②2≥时，即105a <≤，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到112()(2)227+-≥⇒≤a g g a ，所以105a <≤. ③当122<<时，即1455a <<，min ()=g t g ，最大值则在(2)g 与1()2g 中取较大者，作差比较13(2)()322-=-g g a ，得到分类讨论标准：a .当1152<<a 时，13(2)()3022-=-<g g a ，此时max 1()()2=g t g ，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到211()32409022a g g a a a +-≥⇒-+≥⇒≥或a ≤，所以15<≤ab .当1425≤<a 时，13(2)()3022-=->g g a ，此时max ()(2)=g t g ， 由max min 1()()2+-≥a g t g t，得到14(2)25+-≥⇒≥≥a g g a a ，此时无解，在此类讨论中，4[,1).5∈⋃a c .当1a ≥，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到114(2)()225+-≥⇒≥a g g a ，所以1a ≥，综合以上三大类情况，4([,).5∈-∞⋃+∞a 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查运算能力，属于难题. 5．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案. 【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.6．（1）证明见解析（2）72【解析】（1）因为0x 是方程3()2f x x =-的根，即00322x x =-，将02x 代入()g x 根据对数的运算性质可得.（2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-，设方程322t t =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，结合（1）的结论及函数的单调性可求. 【详解】解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根， 所以00322xx =-，即00322x x =- ()0002032log 222x x x g x ===- 所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ， 即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ， 令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-， 由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根. 令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点， 又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+= 【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题.7．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+, 所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =,2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤, ()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题.8．（1）证明见解析 （2）k π≥（3）存在，4T ≥【解析】 【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论. 【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪≥= ⎪⎪⎝⎭ （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”， ()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.9．（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤【解析】 【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义， 因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x=+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =， 因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根.由()222240a a a ∆=+->解得32a <-或12a >.（3）()2212a f x a a x=+-，()22a f x x ≤()22a f x x⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立.令()12h x x x=+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤.又32a <-或12a >，所以a 的取值范围是112a <≤. 【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.10．（1）1a <；（2）2m ≥；（3）当1T =时，2k n π=，n ∈Z ；当1T =-时，(21)k n π=+，n ∈Z .【解析】 【分析】（1）由题意f （x +1）＞2f （x ）整理可求得a ＜x ﹣121x --，令x ﹣1＝t （t ≥2），由g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a 的取值范围；（2）由x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，可求得当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，利用f （x ）在[0，+∞）上单调递增，可得m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1），从而可求实数m 的取值范围；（3）f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立，即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立，分当k ＝0时，T ＝1；当k ≠0时，要使cos k （x +T ）＝T cos kx 恒成立，只有T ＝±1，于是可得答案． 【详解】（1）由题意可知：f （x +1）＞2f （x ），即﹣（x +1）2+a （x +1）＞2（﹣x 2+ax ）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x ﹣1）a ＜x 2﹣2x ﹣1，∵x ≥3，∴a ()22122111x x x x x ----==--＜x ﹣121x --， 令x ﹣1＝t ，则t ∈[2，+∞），g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，∴g （t ）min ＝g （2）＝1， ∴a ＜1．（2）∵x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，∴当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m 2f （x ﹣2）＝…＝mnf （x ﹣n ）＝mn •2x ﹣n ， 即x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，n ∈N *， ∵f （x ）在[0，+∞）上单调递增，∴m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1）， 即m ≥2．（3）由已知，有f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立， 即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立， 当k ＝0时，T ＝1； 当k ≠0时， ∵x ∈R ，∴kx ∈R ，kx +kT ∈R ，于是cos kx ∈[﹣1，1]， 又∵cos （kx +kT ）∈[﹣1，1]，故要使cos k （x +T ）＝T cos kx 恒成立，只有T ＝±1， 当T ＝1时，cos （kx +k ）＝cos kx 得到 k ＝2n π，n ∈Z 且n ≠0； 当T ＝﹣1时，cos （kx ﹣k ）＝﹣cos kx 得到﹣k ＝2n π+π， 即k ＝（2n +1）π，n ∈Z ；综上可知：当T ＝1时，k ＝2n π，n ∈Z ； 当T ＝﹣1时，k ＝（2n +1）π，n ∈Z ． 【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题． 11．（1）9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）0a >【解析】 【分析】（1）当1a =时，函数()()22221x x f x =--，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】（1）当1a =时，()()224212221x x x x f x =⋅--=--，令2x t =，[]3,0x ∈-，则1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故221921248y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故值域为9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）关于x 的方程()222210x x a --=有解，等价于方程2210ax x --=在()0,∞+上有解记()221g x ax x =--当0a =时，解为10x =-<，不成立； 当0a <时，开口向下，对称轴104x a=<，过点()0,1-，不成立； 当0a >时，开口向上，对称轴104x a=>，过点()0,1-，必有一个根为正， 所以，0a >. 【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．12．（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a b x a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b （2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点 只需讨论222b x a =-的解的个数即可 ①当0b =时，222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点 ②当0b >时 ，2220x a b =+>x ∴=222b x a =-的解 ()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解 ()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点 综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a=-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.13．(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）不妨设12x x >，则12k ≥恒成立．211114,42x x ≤≤≤∴<<，从而可得结果；（2）令1211,24x x ==，则()221111log log 1212424f f ⎛⎫⎛⎫-=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得函数()2log f x x =不是“2-利普希兹条件函数”； （3）设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[]0,2，内()(),f a M f b m ==，利用基本不等式的性质可证明()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤--<.试题解析：（1）若函数f （x ）=，（1≤x≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f （x1）﹣f （x2）|≤k|x1﹣x2|成立， 不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为 ．（2）f （x ）=log2x 的定义域为（0，+∞）， 令x1=，x2=，则f （）﹣f （）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f （x1）﹣f （x2）＞2|x1﹣x2|， ∴函数f （x ）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ， 则|f （x1）﹣f （x2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b|． 若|a ﹣b|≤1，显然有|f （x1）﹣f （x2）|≤|a ﹣b|≤1． 若|a ﹣b|＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b+2﹣a ＜1，∴|f （x1）﹣f （x2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b+2）≤|a ﹣b ﹣2|＜1． 综上，|f （x1）﹣f （x2）|≤1．14．（1）函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”；（2）54-；（3）[1,1)-.【解析】 【详解】试题分析：(1) 由()()f x f x -=-，得sin()sin()33x x ππ-+=-+整理可得02x R π=∈满足00()()f x f x -=-(2) 由题存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解.令12[,2]2xt =∈分离参数可得11()2m t t =-+，设11()()2g t t t =-+求值域，可得m 取最小值54-(3) 由题即存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，分02x ≥，022x -<<，02x ≤-三种情况讨论可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()()f x f x -=-，得：sin()sin()33x x ππ-+=-+0x = 所以存在02x R π=∈满足00()()f x f x -=-所以函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”，（2）因为()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解. 令12[,2]2xt =∈则11()2m t t =-+，因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增，在[1,2]上递减所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <因为若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数142y x x=-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以33-=，矛盾③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+因为函数142y x x=-+(2)x ≤-是减函数，所以1m ≥-综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.15．(1)()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数;证明见解析 (2)25log 63n ≥- 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用奇偶性，确定函数的解析式，然后利用函数单调性的定义，判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性，结合不等式恒成立问题，求解参数的取值范围.试题解析：(1)由条件可得()()0f x f x -+=,即 2211log log 02121mx mx x x -+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭化简得222114m x x -=-,从而得2m =±;由题意2m =-舍去,所以2m =即()212log 21x f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, ()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数, 证明如下:设1212x x <<<+∞, 则()()12f x f x -=122122121212log log 2121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为1212x x <<<+∞,所以210x x ->,12210,210x x ->->; 所以可得1212122112112x x x x +-⋅>-+,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >; 所以函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数, (2)设()()2x g x f x =- ,由(1)得()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数, 所以()()2x g x f x =-在[]2,5上单调递减;所以()()2x g x f x =-在[]2,5上的最大值为()252log 63g n =≥-. 由题意知()n g x ≥在[]2,5上的最大值,所以25log 63n ≥-.。
高一数学：函数章节测试题(含解析)
函数章节测试卷（时间120，满分150）一．选择题1. 函数f (x )＝)12(log 13-12++x x的定义域为（ ）A ．(－21,0) B ．(－21，＋∞) C ．(－21，0)∪(0，＋∞) D ．(－21，2) 2. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,30,log 21x x x x ，则f (f (4))=（ ）A ．－91B ．－9C ．91 D ．93. 设a =log 54－log 52，b=3ln 32ln +，c=5lg 2110，则a ,b,c 的大小关系为（ ）A ．a<b<cB ．b <c<aC ．c<a<bD ．b <a <c4. 函数y=21x －1的图像关于x 轴对称的图像大致为（ ）5. 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)=2，则不等式f (log 2x )>2的解集为（ ）A ．(2，＋∞)B ．(0，21)∪ (2，＋∞) C ．(0，22)∪ (2，＋∞)D ． (2，＋∞)6. 设函数f (x )满足f (x+π)=f (x )+sin x ，当0≤x <π时，f (x )=0，则f (623π)=（ ） A ．21B ．23C ．0D ．－217. 函数y=)106(log 231+-x x 在区间[1，2]上的最大值为（ ）A ．0B ．5log 31 C ．2log 31D ．18. 设函数f (x )=))((22b ax x x x +++，若对任意的x ，都有f (x )=f (2－x )，则f (x )的零点个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29. 已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧<≥+-0,0,3x a x a x x，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0，1) B ．(0，31] C ．[31，1) D ．[31，＋∞) 10. 函数f (x )的图像与函数g (x )=x)21(的图像关于直线y=x 对称，则f (2x －x 2)的单调递减区间为（ ）A ．(－∞，1)B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．[1，2]11. 在如图所示的锐角三角形空地（底边长为40m ，高为40m ）中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园，则其边长x 的取值范围为（ ）A ．[15,20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]12. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--<-1,2)2(1,)1(log 25x x x x ，则方程f (x+x 1－2)＝a 的实根的个数不可能为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二. 填空题13. 已知函数f (x )＝ ⎩⎨⎧<≥+0),(0,22x x g x x x 为奇函数，则f (g (－1))= . 14. 已知函数f (x )＝x 2+mx －1,若对于任意的x ∈[m ，m+1]都有f (x )<0，则m 取值范围为 .15. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈]3,1(,2329]1,0[,3x x x x ，当t ∈[0，1]时，f (f (t))∈[0，1]，则t 取值范围为 . 16. 函数f (x )＝ ⎩⎨⎧≤+>+-0,140,2ln 2x x x x x x 的零点个数为 . 三．解答题17. 函数f (x )＝ax)21(，a 为常数，且函数图像过点（－1，2）. （1）求a 的值（2）若g (x )=x-4－2, 且g (x )=f (x )，求满足条件的x 的值。
【必刷题】2024高一数学上册集合与函数专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学上册集合与函数专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若集合M={1，2，3}，N={x|x²4x+3=0}，则M∩N的结果是（）A. {1}B. {2}C. {3}D. {1，2}3. 已知函数f(x)=2x+1，那么f(2)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 下列函数中，哪一个是一对一函数？（）A. f(x)=x²B. f(x)=2xC. f(x)=|x|D. f(x)=x³5. 若函数g(x)=3x2，那么g(1)的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 26. 设函数h(x)=x²2x，那么h(x)的最小值是（）A. 1B. 0C. 1D. 27. 若函数f(x)=kx²+2x+1（k≠0），且f(x)是单调递增函数，则k的取值范围是（）A. k>0B. k<0C. k=0D. k≠08. 已知集合P={x|1≤x≤4}，那么不属于P的数是（）A. 0B. 2C. 3D. 59. 若函数f(x)=x²+2x+1，那么f(x)的图像是（）A. 向上开口的抛物线B. 向下开口的抛物线C. 经过原点的直线D. 水平直线10. 已知函数g(x)=|x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在二、判断题：1. 集合{1，2，3}和{3，2，1}是同一个集合。
（）2. 函数f(x)=x²和g(x)=|x|在定义域内都是单调递增的。
（）3. 若函数h(x)=kx²+bx+c（k≠0），则h(x)的图像一定是一个抛物线。
（）4. 对于任意实数x，都有|x|²=x²。
（）5. 函数f(x)=2x+3和g(x)=2x3的图像关于y轴对称。
【必刷题】2024高一数学上册集合与函数专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学上册集合与函数专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若集合M={1，2，3}，N={x|x²4x+3=0}，则M∩N的结果是（）A. {1}B. {2}C. {3}D. {1，2}3. 已知函数f(x)=2x+1，那么f(2)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 下列函数中，哪一个是一对一函数？（）A. f(x)=x²B. f(x)=2xC. f(x)=|x|D. f(x)=x³5. 若函数g(x)=3x2，那么g(1)的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 26. 设函数h(x)=x²2x，那么h(x)的最小值是（）A. 1B. 0C. 1D. 27. 若函数f(x)=kx²+2x+1（k≠0），且f(x)是单调递增函数，则k的取值范围是（）A. k>0B. k<0C. k=0D. k≠08. 已知集合P={x|1≤x≤4}，那么不属于P的数是（）A. 0B. 2C. 3D. 59. 若函数f(x)=x²+2x+1，那么f(x)的图像是（）A. 向上开口的抛物线B. 向下开口的抛物线C. 经过原点的直线D. 水平直线10. 已知函数g(x)=|x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在二、判断题：1. 集合{1，2，3}和{3，2，1}是同一个集合。
（）2. 函数f(x)=x²和g(x)=|x|在定义域内都是单调递增的。
（）3. 若函数h(x)=kx²+bx+c（k≠0），则h(x)的图像一定是一个抛物线。
（）4. 对于任意实数x，都有|x|²=x²。
（）5. 函数f(x)=2x+3和g(x)=2x3的图像关于y轴对称。
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.·等于A．－B．－C．D．【答案】A【解析】主要考查根式的运算、根式与分数指数幂的关系。
解：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）.2.在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log x四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是A．f1（x）=x B．f2（x）=x2C．f3（x）=2x D．f4（x）=log x【答案】A【解析】主要考查基本初等函数的图象和性质。
由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数.3.甲、乙两人解关于的方程：甲写错了常数b，得到根为，乙写错了常数c，得到根为.求方程的真正根。
【答案】4或8【解析】主要考查对数方程解法。
解：原方程可变形为：4.已知，若，则的值是（）A．B．或C．，或D．【答案】D【解析】该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴；5.·等于A．－B．－C．D．【答案】A【解析】主要考查根式的运算、根式与分数指数幂的关系。
解：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）.6.若方程有解，则a的取值范围是（）A．a>0或a≤－8B．a>0C．D．【答案】D【解析】主要考查解指数方程的换元法，一元二次方程根的分布讨论。
解答过程中巧妙地转化为求函数的值域。
解：方程有解，等价于求的值域∵∴，则a的取值范围为，故选D。
7.函数（1）,(2) ,(3) ,(4) 中在上为增函数的有[ ]A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(3)和(4)D．(1)和(4)【答案】C【解析】主要考查函数单调性的概念及函数单调性判定方法。
解：当时为减函数。
为④两函数在(－∞，0)上是增函数．8.如果函数在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥－3B．a≤－3C．a≤5D．a≥3【答案】B【解析】主要考查函数单调性的概念及二次函数单调区间判定方法。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
高一数学专题练习：函数的定义域、值域(含答案)
高一数学专题练习：函数的定义域、值域(含答案)高一函数同步练2（定义域、值域）一．选择题1.函数y=(2+x+x^2-x-2)的定义域是（）A) x-2≤x≤-1B) x-2≤x≤1C) x>x^2-2D) x∈R且x≠12.函数y=(x-4)/(x+5)(x-6)的定义域是A) {x|x>4}B) {x|2<x<3}C) {x|x3}D) {x∈R|x≠2且x≠3}3.函数y=x-2x+1的值域是A) [0,+∞)B) (-∞,+∞)C) (-∞,+∞)D) [1,+∞]4.下列函数中，值域是(-∞,+∞)的是A) y=2/(x^2-3x+1)B) y=2x+1(x>0)C) y=x^2+x+1D) y=1/(2x)5.若f(2x-1)的定义域是(-∞,1)，则f(1-3x)的定义域是A) (-2,4]B) (-2,-1)C) (-∞,1/3)D) (1/3,3/2]6.若函数y=f(x)的定义域为(0,2)，则函数y=f(-2x)的定义域是A) (0,2)B) (-1,0)C) (-4,0)D) (-∞,2)7.函数y=x+3-x+1的值域是A) (0,2)B) [-2,0]C) [-2,2]D) (-2,2)二．填空题：21.函数y=1-x+x^2-1的定义域是[-∞,∞)。
22.函数y=2/(x-x^2)的定义域为(-∞,0)∪(1,∞)。
23.函数y=-2x^2-8x-9.x∈[0,3]的值域是[-15,-1]。
24.设函数y=f(x)的定义域是[0,2]，则f(x-1)的定义域是[1,3]。
25.函数y=x-x^2的值域是[-1/4,1/4]；函数y=x-x^3(-1≤x≤1)的值域是[-2/3,2/3]；函数y=22/(x-x^2)的值域是(-∞,-4]∪[4,∞)。
三．解答题1.求下列函数的定义域（用区间表示）：1）y=2x+3；(-∞,+∞)2）y=(x-1)/(1-x)；x∈R且x≠13）y=√(x-1)/(x+1)；x∈[1,+∞)4）y=1/(x+|x|)+5；x≠05）y=(x^2-1)/(x-1)；x∈(-∞,1)∪(1,+∞)2.求下列函数的值域（用区间表示）：1）y=x^2-2x-3；①(-∞,+∞)，②[-4,2)，③[-3/4,+∞) 2）y=-x^2+x+2；(-∞,9/4]3）y=2x-4/(x+5)；(-∞,-4/5)∪(-4/5,+∞)。
[必刷题]2024高一数学上册函数专项专题训练(含答案)
![[必刷题]2024高一数学上册函数专项专题训练(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/59a70d1cbf1e650e52ea551810a6f524cdbfcb50.png)
[必刷题]2024高一数学上册函数专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 设函数f(x) = (x^2 1)/(x + 1)，则f(x)的定义域为（）A. x ≠ 1B. x ≠ 0C. x ≠ 1D. x ≠ 1 且x ≠ 12. 若函数f(x) = 2x + 3在R上单调递增，则f(x)的图像（）A. 经过一、三象限B. 经过二、四象限C. 经过原点D. 经过y轴3. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = |x|D. y = x^2 + 14. 已知函数f(x) = 2x 3，那么f(2)的值是（）A. 1B. 1D. 25. 若函数f(x) = (1/2)^x，则f(x)在区间（0，+∞）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 增减性不确定D. 先增后减6. 设函数g(x) = |x 1|，那么g(x)在x = 1处的导数是（）A. 1B. 1C. 0D. 不存在7. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（）A. y = cos(x)B. y = sin(x)C. y = x^3 xD. y = x^2 + x8. 若函数f(x) = log2(x)，则f(1/2)的值是（）A. 1B. 0C. 1D. 29. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，那么f(x)的最小值是（）B. 1C. 1D. 210. 若函数g(x) = 3x^3 4x^2 + 2x在x = 1处取得极值，则g'(1)的值是（）A. 1B. 5C. 0D. 1二、判断题：1. 函数f(x) = x^3 x是奇函数。
（）2. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) ≥ 0。
（）3. 函数f(x) = |x|在x = 0处的导数不存在。
（）4. 两个单调递增函数的和仍然是单调递增函数。
（）5. 函数f(x) = 1/x在区间(0, +∞)上单调递减。
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高一数学《函数》专题训练材料（学生版）一、函数概念相关 1、解析式相关①若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.②给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.③已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.2、定义域求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y2、值域① 求13+--=x x y 的值域 ②求函数x x y -+=142的值域③求函数66522-++-=x x x x y 的值域3、复合函数①已知函数分别由下表给出，则满足f(g(x))>g(f(x))的x 值是②已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a axf ax f xg 的定义域。
②若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域③已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。
4、分段函数①设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0,0,1221x x x x 若f(x 0)>1，求x 0的取值范围。
②已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈-∈+),4(,11]4,2(,13]2,0[,12x x x x x ，求函数f(x)的值域。
③设f(x)为定义域在R 上的偶函数，当x ≤-1时，f(x)的图象是过点（-2，0），斜率为1的射线。
又在的图象中有一部分是过顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数f(x)解析式，并作出其图象。
二、函数的性质1、单调性①已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内()②函数f (x )＝ax －1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________．③已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) ④定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2⑤偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.2、奇偶性①已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。
②若f (x )为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f (-2)=0，则xf (x )<0的解集为________③已知y=f (x )是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f (1－x 2)是增函数的区间是 3、最值①已知函数M ，最小值为m,则M/m 的值②求函数()[]224,,0,2f x x mx m m R x =-+∈∈的最大值与最小值 ③求函数()[]223,2,f x x x x a a =++∈-，a R ∈的最大值与最小值④分别在下列定义域范围内，求函数24x y x+=的最值（1）0x >（2）[]1,2x ∈（3）[]1,4x ∈（4）[]()1,1x a a ∈>⑤求函数()[]2412,2,51x x f x x x -+=∈-的最大值与最小值 ⑥已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞ （1） 当2a =时，求函数()f x 的最小值；若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围高一数学《函数》专题训练材料（教师版）二、函数概念相关 5、解析式相关①若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21. ∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a②给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2-1,x∈［1，+∞).（2）设f(x)=ax 2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x 2-x+3. ③已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解：（1）设f （x ）=ax+b ，则3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7.（2）2f （x ）+f （x1）=3x ， ①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x-x 3，∴f（x ）=2x-x1.6、定义域 ①求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x7、值域求13+--=x x y 的值域解法一：（图象法）可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图，观察得值域{}44≤≤-y y解法三：（选）（不等式法）414114)1(134)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 可得值域②求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤4③求函数66522-++-=x x x x y 的值域方法一：去分母得 (y -1)2x +(y+5)x -6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥0检验 51-=y （有一个根时需验证）时 2)56(2551=-⋅+--=x （代入①求根）∵2 ∉ 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴51-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1综上所述，函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1，∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}8、复合函数①已知函数分别由下表给出，则满足f(g(x))>g(f(x))的x 值是 2 (代入)②已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a xf ax f xg 的定义域。
［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2321|{<<-x x ； （2）当a a 2323>，即10<<a 时，有221a a ->-，定义域为}232|{a x a x <<-；（3）当a a 2323<，即1>a 时，有221a a -<-， 定义域为}2321|{ax a x <<-. 故当1≥a 时，定义域为}2321|{a x a x <<-； 当10<<a 时，定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。