有限元网格技巧

有限元网格技巧

1. 引言

有限元法是求解复杂工程问题的一种近似数值解法，现已广泛应用到力学、热学、电磁学等各个学科，主要分析工作环境下物体的线性和非线性静动态特性等性能。

有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化?有限元求解?计算结果的处理三部分。

曾经有人做过统计：三个阶段所用的时间分别占总时间的40%~50%、5%及50%~55%。也就是说，当利用有限元分析对象时，主要时间是用于对象的离散及结果的处理。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。

可喜的是，随着计算机及计算技术的飞速发展，出现了开发对象的自动离散及有限元分析结果的计算机可视化显示的热潮，使有限元分析的“瓶颈”现象得以逐步解决，对象的离散从手工到半自动到全自动，从简单对象的单维单一网格到复杂对象的多维多种网格单元，从单材料到多种材料，从单纯的离散到自适应离散，从对象的性能校核到自动自适应动态设计/分析，这些重大发展使有限元分析摆脱了仅为性能校核工具的原始阶段，计算结果的计算机可视化显示从简单的应力、位移和温度等场的静动态显示、彩色调色显示一跃成为对受载对象可能出现缺陷(裂纹等)的位置、形状、大小及其可能波及区域的显示等，这种从抽象数据到计算机形象化显示的飞跃是现在甚至将来计算机集成设计/分析的重要组成部分。

2. 有限元分析对网格剖分的要求

有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成简单单元的过程，常用的简单单元包括：一维杆元及集中质量元、二维三角形、四边形元和三维四面体元、五面体元和六面体元。他们的边界形状主要有直线型、曲线型和曲面型。对于边界为曲线(面)型的单元，有限元分析要求各边或面上有若干点，这样，既可保证单元的形状，同时，又可提高求解精度、准确性及加快收敛速度。不同维数的同一物体可以剖分为由多种单元混合而成的网格。网格剖分应满足以下要求：合法性。一个单元的结点不能落入其他单元内部，在单元边界上的结点均应作为单元的结点，不可丢弃。相容性。单元必须落在待分区域内部，不能落入外部，且单元并集等于待分区域。逼近精确性。待分区域的顶点(包括特殊点)必须是单元的结点，待分区域的边界(包括特殊边及面)被单元边界所逼近。良好的单元形状。单元最佳形状是正多边形或正多面体。良好的剖分过渡性。单元之间过渡应相对平稳，否则，将影响计算结果的准确性甚至使有限元计算无法计算下去。网格剖分的自适应性。在几何尖角处、应力温度等变化大处网格应密，其他部位应较稀疏，这样可保证计算解精确可靠。

3. 现有有限元网格剖分方法

K. Ho-Le 对网格生成算法进行了系统分类，该分类方法可沿用至今，它们是拓扑分解法、结点连元法、网格模板法、映射法和几何分解法五种。目前，主要是上述方法的混合使用及现代技术的综合应用。

(1) 映射法

映射法是一种半自动网格生成方法，根据映射函数的不同，主要可分为超限映射和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高，故被广泛采用。映射法的基本思想是：在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点，并按某种规则连接结点构成网格单元。这种方法可以很方便地生成四边形和六面体单元，若需要，也很容易转换成三角形和四面体单元。该法的主要缺点：首先必须将待分区域子划分为所要求的简单区域，这是一个十分复杂且很难实现自动化的过程。对复杂域采用手工方法划分甚至不可能。通常各简单区域边界采用等份划分。另外，该法在控制单元形状及网格密度方面是困难的。鉴于简单区域自动划分的困难性，Blacker 试图采用知识系统和联合体素方法解决，但在复杂多孔域上仍难以处理，主要是体素数量和形状有限，将待分区域全自动划分为有限的预定体素并集是很难完全实现的。

(2) 拓扑分解法

在不考虑网格单元大小和形状情况下，Wordenweber提出了使用三种算子连接多边形各顶点形成粗三角形的二维拓扑分解法，然后细化粗单元至预定规定的网格密度为止。三种算子使用顺序为opj?opl?op0 。同时，Wordenweber也提出了在三维域使用opj(i=0,1,2,3)和opp五种算子剖分实体。Woo、Thomasma和Saxena等扩充了该法并将其有效地应用到多面体实体有限元自动网格生成中。Saxena称该法为EE法，并已与RSD法混合使用构成RSD/EE法。单一的拓扑分解法因只依赖于几何体的拓扑结构使网格剖分不理想，有时甚至很差。

(3) 几何分解法

凡在产生结点的同时也确定结点间连接关系的方法均称为几何分解法，常用的有两种：递归法和迭代法。

递归法：

Tracy、左建政和Chae等先离散二维物体边界，然后沿离散边界向物体内挖掉一个、两个或三个三角形，重复此操作直到区域挖空为止。Lindhom、Blacker和B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者，首先从物体中挖掉边界层而不是单元，然后三角化边界层。上述为二维迭代法，Chae在此基础上发展了三维迭代几何分解法，主要分两步：采用二维迭代几何分解法生成表面三角形，然后采用三种算子挖切凸体为四面体。在挖切时，突出的特点在于采用新方法生成关键点。关键点的生成分两步考虑：一是考虑新点对周围面和边的影响；二是通过调整比例因子来确定新点位置。Chae也将所提出的算法成功地应用于自适应网格生成中，但由于被剖分物体形状必须是单连通凸域，因此，不能实现全自动网格生成。

迭代法：

Bykat采用该法。他首先将物体划分为凸体(手工或自动)，随后根据网格密度分布，在每个凸体边界上插入结点，然后将物体中间“最长轴”一分为二，在该轴上插入结点，继续对两部分做递归分割直到最后子域均为三角形为止。商业网格生成软件Triquamesh仍采用该法，只是分割线的选取与Bykat不同。几何分解法的最大优点是在离散物体时考虑网格单元的形状和大小，因此，所生成的网格单元形状和分布均较好。最大缺点是自动化程度低，不利于复杂件网格生成。