中考数学压轴题解题技巧江苏徐州

中考数学压轴题解题技巧数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。

综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。

压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。

下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。

先以20XX年河南中考数学压轴题为例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.这是一道函数型压轴题。

函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。

这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。

先从知识角度来分析：（1）通过观察图象可以发现，直线AD和x轴平行，直线AB和y轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B的横坐标相同，因此A的坐标为（4,8）.知道了点A的坐标，加上已知条件点C的坐标，利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。

此问在本题中占3分，解决此问的关键在于：①多角度、全方位观察图形；②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。

（2）这是个动态的问题，解决动态问题的一个根本方法就是化动为静，动静结合。

先看第一小问，当t 为何值时，线段EG 最长?我们通过观察图形，很容易能够发现t 的变化，会导致点P 位置的变化，点P 位置的变化会引起点E 位置的变化，而E 点位置的变化直接决定了线段EF 位置和长度的变化，而线段EF 位置和长度的变化决定了线段EG 位置和长度的变化，我们看到，问题最终就是回归到线段EG 的长度之上。

如果把整个这个变化的过程当作是一个事件来看的话，事件的起因就是t 的变化，而事件的结果就是线段EG 的长度发生变化。

换句话说就是因为t 的变化导致线段EG 长度的变化。

那么我们就可以把这个变化过程中的t 当作自变量，线段EG 的长度就是t 的函数。

因此，求当t 为何值时，线段EG 最长?实际上就是求函数取最大值时自变量的值。

因此本问的关键就是如何求线段EG 长关于t 的函数。

而求线段EG 长关于t 的函数，实际上就是把t 看作是一个常数，求线段EG 的长。

通过观察图形，不难发现，求线段EG 的长，可以通过求点E 、G 的纵坐标求得，点E 的纵坐标可以通过点P 的纵坐标求得，点G 的纵坐标需要通过点E 的横坐标求得，而点E 的横坐标可以通过求线段PE 的长度求得。

思路如下图所示：解决此问的关键是：体会问题中涉及到的函数思想，利用数形结合的方法解决问题。

（３）在点P 、Q 运动的过程中，△CEQ 的形状不断在发生变化，如果△CEQ 是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即点C 、E 、G 分别可能是等腰三角形顶角的顶点。

解决此问的关键是：体会△CEQ 形状不断变化的特点，能够想到存在的情况可能有三种，然后当t 为何值时，线段EG 最长?求线段EG 长关于t 的函数函数的观点求点E 和点G 的纵坐标坐标系中两点间距离求线段ＡＰ的长求点Ｅ的横坐标求线段ＰＥ的长分别去求三种情况所对应的t的值。

详细解题过程如下：解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x …………………3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=12AP=12t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+12t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-12（4+12t）2+4(4+12t）=-18t2+8. …………………5分∴EG=-18t2+8-(8-t) =-18t2+t.∵-18＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t1=163， t2=4013，t3=8525．…………………11分从技术角度来分析：①压轴题的出现是为了让参加中考的学生成绩更有区分度，所以并不是每一个同学都可以把压轴题完整地做出来的。

所以我们告诫所有参加中考的同学，不要一味地把时间都花在压轴题上，一定要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

如果时间还有剩余，再静下心来攻克压轴题，这是技术方面的一个考虑。

②压轴题并不可怕，所以情绪上要积极自信，没有必要惊慌失措。

③就本题而言，如何才能让自己多拿一些分数呢？ⅰ）做一问是一问。

第一问对绝大多数同学来说，不是问题；第二问的两小问都有难度，但是细心的同学会发现第二小问和第一小问没有特别大的联系，因此如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。

事实上中考有较多的压轴题并不是每一问之间都有联系。

ⅱ）过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，拿第二小问来说，大部分同学都知道有3个时刻，可是因为写不出来相应的t 值，因此就放弃不写了，殊不知，你只要回答有3个时刻就可以多得1分。

和2009河南中考压轴题类似的中考题有很多，多数情况下类似第二问会有这样的问题：记图形中的某个变化三角形的面积为s ，求s 关于t 的函数，并求当t 取何值时s 最大，s 最大值是多少？涉及到等腰三角形的讨论类似的情况有直角三角形的问题。

比如： （20XX 年济南中考题的最后一题的第三问）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（20XX 年辽宁朝阳中考题最后一题第二问）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为)0,(x ，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.再以20XX 年江西中考数学压轴题为例：如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，E 是AB 的中点，过点E 作BC EF //交CD 于点F ．6,4==BC AB ，∠ 60=B .（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作AB MN //交折线ADC 于点N ，连结PN ，设x EP =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），⊿PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出⊿PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使⊿PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.这是一道几何型压轴题。

常见的几何型压轴题以常见的三角形、四边形（如正方形、等腰梯形等）、圆等知识为考查重点，贯穿几何、代数及三角函数等知识，以证明题、计算题出现。

先从知识角度来分析：（1）求点到直线的距离，一般的方法就是过这个点向直线作垂线段，然后利用勾股定理或者是解直角三角形的方法求垂线段的长度。

（2）①通过观察点N 的不同位置，可以发现⊿PMN 的形状并不发生变化。

不需要说明理由，然后分别去求三角形的三边长，最终求出三角形的周长。

线段PM 的长实际上就是线段EG 的长，第一问已经求出来了，线段MN 的长就是线段AB 的长，问题复杂就复杂在求线段PN 的长上，求线段的长，我们最容易想到也是最常用的方法还是构造直角三角形，然后使用勾股定理，因此过点P P 作PH MN ⊥于H 。

②通过画草图，可以看到当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形。

和2009河南中考压轴题一样，PMN △为等腰三角形需要讨论三种情况。

详细解题过程如下：解：（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ···················· 1分A D EBFC图4（备用）A D EBFC图5（备用）A D E BFC图1 图2A D EBFC PNM 图3A D EBFCPN M∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··········· 2分 ∴22112132BG BE EG ===-=，．即点E 到BC 的距离为3． ····································· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，3PM EG ==．同理4MN AB ==． ················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴1322PH PM ==． ∴2330cos =⋅=PM MH 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，222253722PN NH PH ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴PMN △的周长=374PM PN MN ++=++． ······································ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分图1A D E BF CG图2A D E BF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===．此时，61353x EP GM ===--=-．当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴130tan =⋅=PM MC此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形．………………..10分从技术角度来分析基本同上，比如求PMN △的周长，即使算不出来线段PN 的长，最起码可以求出另外两边的长，只要形成过程，就会给分。