精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第01课 二次函数及其图像
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二次函数
第 01 课 二次函数及其图像
知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那 么就说 y 是 x 的 ，x 叫做 。 (2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ， （a,b,c常数，且 ）的函数为二次函数。 其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________． 注意：当 b、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数 y ax 的图象
23.已知二次函数 y ax 2 c(a 0), 当 x=1 时，y= -1；当 x=2 时，y=2，求该函数解析式.
24.富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. 2 (1)如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 ）与 x 有怎样的函数关系？ 2 (2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米 ，应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长 度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
B.y=x－1
2.函数 y ax 2 与 y ax b 的图象可能是（
3.抛物线 y=-x 不具有的性质是（ ） A、开口向下 B、对称轴是 y 轴
2
C、与 y 轴不相交
D、最高点是原点
第 3 页 共 8 页
4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 s= gt （g=9.8） ，则 s 与 t 的函数图像 大致是（ s ） s s s O t D
25.已知二次函数 y ax 2 (a 0) 与直线 y=4 交于 A、B 两点，顶点为坐标原点，连接 OA,OB，若△OAB 为 等腰直角三角形，求二次函数解析式并求出此△OAB 面积。
第 6 页 共 8 页
日期：
1 2
月
日
课堂测试题 01 满分：100 分 姓名：
）
2
得分：
1 x2
1.下列函数中是二次函数的是（ A.y=x+ B.y=3(x-1)
3 2 x 的图象顶点是________，对称轴是_______，开口向_____，当 x=_____时， 7 有最____值是____,当 x>0 时，y 随 x 的增大而________；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________. 1 12.点 A( ，b) 是抛物线 y x 2 上的一点，则 b= ；过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线另一点 B 的 2 坐标是
第 4 页 共 8 页
17.一个长方形的长是宽的 2 倍，写出这个长方形的面积 S 与宽 x 之间的函数关系式．
18.正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一 个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积．
例 3.画出函数 y x 2 ， y 解：列表：
1 2 x ， y 2 x 2 的图象． 2
例 4.请画出函数 y 解：列表：
1 2 x ， y x 2 ， y 2 x 2 的图象． 2
第 2 页 共 8 页
归纳： (1)由图象可知二次函数 y x 2 的图象是一条曲线， 它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； (2)抛物线 y=x2 是轴对称图形， 对称轴是 ； 2 (3)y=x 的图象开口_______； (4) 与 的交点叫做抛物线的顶点。 2 抛物线 y=x 的顶点坐标是 ； 它是抛物线的最 点（填“高”或“低” ） ， 即当 x=0 时，y 有最 值等于 0. (5)在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势， 在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势； 即 x<0 时，y 随 x 的增大而 ， x>0 时，y 随 x 的增大而 。
2
和
。
16.已知 y 与 x 成正比例，并且当 x 1 时， y 3 ．求： (1)函数 y 与 x 的函数关系式； (2)当 x=4 时，y 的值； (3)当 y
②它们对称轴都是 y 轴,顶点都是原点; ④它们开口的大小是一样的. C.3 个 D.4 个
① y x 2 ；② y 2 2 x 2 x 3 ；③ y 2 x ；④ m 3 t t 2 。是二次函数是的 7.函数 y (m 2) x 2 mx 3(m为常数) 。 (1)当 m__________时，该函数为二次函数； 8.当 m = _ _ _ _ 时，函数 y =
第 1 页 共 8 页
例 1.已知 y (m 4) m
2
3m 2
2 x 3 是二次函数,求 m 的值.
例 2.为了改善小区环境， 某小区决定要在一块一边靠墙 （墙长 25m） 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD， 绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住（如图） ．若设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面 2 积为 y m ．求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
4.关于二次函数 y x 2 与y x 2 的图象,下列说法错误的是( A.它们的开口方向相同 B.对称轴都是 y 轴
C.顶点都是原点 )
5.二次函数 y x 2 和 y 2 x 2 ,以下说法中其中正确的说法有( ①它们的图象都是开口向上; ③当 x＞0 时,它们的函数值 y 都随 x 的增大而增大; A.1 个 6.下列函数中: B.2 个
2
2
有最高点，则 m=________
13.二次函数 y (k 1) x 2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为
第 7 页 共 8 页
14.若二次函数 y ax 2 的图象过点（1，-2） ，则 a 的值是___________ 15.抛物线:① y 5 x 2 ；② y 2 x 2 ；③ y 5 x 2 ；④ y 7 x 2 。开口从小到大排列是_____________； （只 填序号）其中关于 x 轴对称的两条抛物线是
11.函数 y 13.当 m= 时，抛物线 y (m 1) x m
2
m
开口向下．
14.如图，A、B 分别为 y ax 2 上两点，且线段 AB⊥y 轴于点（0,6） ，若 AB=6， 则该抛物线的表达式为 15.对于函数 y 2 x 2 下列说法：①当 x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大； ③y 随 x 的增大而减小；④图象关于 y 轴对称。其中正确的是 。
2
( x,t 为自变量 )
(2)当 m__________时，该函数为一次函数．
2
(m 2 + m )x m
- 2m - 1
是关于 x 的二次函数
9.二次函数 y x bx 3 ．当 x=2 时，y=4，则这个二次函数解析式为 10.函数 y 6 x 2 的图象顶点是________， 对称轴是_______， 开口向______， 当 x=_______时， 有最______ 值是_____．当 x>0 时，y 随 x 的增大而________；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________. 11.二次函数 y m 3x 2 的图象开口向下，则 m_______ 12.二次函数 y mx m
2
m
3 x 1 是二次函数，则 m 的值为___________
是二次函数，则 m=
2
7.若 y (m 2 m) x m
2
2 m 1
8.当 m = _ _ _ _ 时，函数 y (m 4) x m
5m 6
3 x 是关于 x 的二次函数。
9.若点 A ( 2, m) 在函数 y x 2 1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿ 10.若物体运动的路段 s（米）与时间 t（秒）之间的关系为 s 5t 2 2t ，则当 t=4 秒时，该物体所经过 的路程为
C.y=(x+1) -x ） C.a≠1
2
2
D. y
x
2.若函数 y (a 1) x 2 2 x a 2 1 是二次函数，则（ A.a＝1 B.a＝±1
D.a≠-1
2
3.在一定条件下，若物体运动的路段 s（米）与时间 t（秒）之间的关系为 s=5t +2t，则当 t=4 秒时，该 物体所经过的路程为（ A．28 米 ） B．48 米 C．68 米 ) D.与 x 轴都有且只有一个交点 D．88 米
2
复习：画一个函数图象的一般过程是① 一次函数图象的形状是 抛物线 y ax 的性质
2
；②
；③
。
(2)当 a＞0 时，在对称轴的左侧，即 x 0 时，y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧，即 x 0 时,y 随 x 的增大而 (3)在前面图中，关于 x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答：
16.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1） y 1 3 x 2 （2） y 3 x 2 2 x （3） y x( x 5) 2
（4） y 3 x 3 2 x 2
（5） y x
1 x
(6) y x(1 2 x) 2 x 2 3
19.二次函数 y mx
m 2 1
在其图象对称轴的左则，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值。
20.二次函数 y
3 2 x ，当 x1＞x2＞0 时，求 y1 与 y2 的大小关系。 2
21.已知二次函数 y x 2 bx 3 ．当 x=2 时，y=3，求 这个二次函数解析式．
3 2
1 2
2
t
O A
2
t
O B
2
t
O C
2
5.观察：① y 6 x ；② y 3 x 5 ；③y=200x ＋400x＋200；④ y x 2 x ；⑤ y x ⑥ y x 1 x 2 ．这六个式子中二次函数有
2
1 3； x
。 （只填序号）
6.已知 y (m 1) x m
第 5 页 共 8 页
22.已知函数 y m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x m
2
m4
是关于 x 的二次函数，求：
(1)满足条件的 m 的值； (2)m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大； (3)m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
； 。
。由此可知和抛物线 y ax 2 关于 x 轴对称的抛物线是
。
(4)当 a＞0 时，a 越大，抛物线的开口越___________；当 a＜0 时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此， a 越大，抛物线的开口越________。 自主学习： 1. 用 16m 长 的 篱 笆 围 成 长 方 形 圈 养 小 兔 , 圈 的 面 积 y( ㎡ ) 与 长 方 形 的 长 x(m) 之 间 的 函 数 关 系 式 为 。(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为 x 米，则宽为 米，如果 将面积记为 y 平方米，那么 y 与 x 之间的函数关系式为 y= ，整理为 y= .) 2.n 支球 队参加 比赛， 每两队 之间进 行一场 比赛 .写出 比赛的 场次数 m 与球 队数 n 之间 的关系 式 _______________________． 3.用一根长为 40cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 S 与它的半径 r 之间的函数关系式 是 。
例 5.二次函数 y ax 与直线 y 2 x 3 交于点 P（1，b） ．
2
(1)求 a、b 的值； (2)写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小．
课堂练习：
1.下列函数中，是二次函数的是（ A.y=x －1
2
） C.y= ） 8 x D.y= 8 x2
第 01 课 二次函数及其图像
知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那 么就说 y 是 x 的 ，x 叫做 。 (2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ， （a,b,c常数，且 ）的函数为二次函数。 其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________． 注意：当 b、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数 y ax 的图象
23.已知二次函数 y ax 2 c(a 0), 当 x=1 时，y= -1；当 x=2 时，y=2，求该函数解析式.
24.富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. 2 (1)如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 ）与 x 有怎样的函数关系？ 2 (2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米 ，应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长 度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
B.y=x－1
2.函数 y ax 2 与 y ax b 的图象可能是（
3.抛物线 y=-x 不具有的性质是（ ） A、开口向下 B、对称轴是 y 轴
2
C、与 y 轴不相交
D、最高点是原点
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4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 s= gt （g=9.8） ，则 s 与 t 的函数图像 大致是（ s ） s s s O t D
25.已知二次函数 y ax 2 (a 0) 与直线 y=4 交于 A、B 两点，顶点为坐标原点，连接 OA,OB，若△OAB 为 等腰直角三角形，求二次函数解析式并求出此△OAB 面积。
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日期：
1 2
月
日
课堂测试题 01 满分：100 分 姓名：
）
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得分：
1 x2
1.下列函数中是二次函数的是（ A.y=x+ B.y=3(x-1)
3 2 x 的图象顶点是________，对称轴是_______，开口向_____，当 x=_____时， 7 有最____值是____,当 x>0 时，y 随 x 的增大而________；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________. 1 12.点 A( ，b) 是抛物线 y x 2 上的一点，则 b= ；过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线另一点 B 的 2 坐标是
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17.一个长方形的长是宽的 2 倍，写出这个长方形的面积 S 与宽 x 之间的函数关系式．
18.正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一 个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积．
例 3.画出函数 y x 2 ， y 解：列表：
1 2 x ， y 2 x 2 的图象． 2
例 4.请画出函数 y 解：列表：
1 2 x ， y x 2 ， y 2 x 2 的图象． 2
第 2 页 共 8 页
归纳： (1)由图象可知二次函数 y x 2 的图象是一条曲线， 它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； (2)抛物线 y=x2 是轴对称图形， 对称轴是 ； 2 (3)y=x 的图象开口_______； (4) 与 的交点叫做抛物线的顶点。 2 抛物线 y=x 的顶点坐标是 ； 它是抛物线的最 点（填“高”或“低” ） ， 即当 x=0 时，y 有最 值等于 0. (5)在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势， 在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势； 即 x<0 时，y 随 x 的增大而 ， x>0 时，y 随 x 的增大而 。
2
和
。
16.已知 y 与 x 成正比例，并且当 x 1 时， y 3 ．求： (1)函数 y 与 x 的函数关系式； (2)当 x=4 时，y 的值； (3)当 y
②它们对称轴都是 y 轴,顶点都是原点; ④它们开口的大小是一样的. C.3 个 D.4 个
① y x 2 ；② y 2 2 x 2 x 3 ；③ y 2 x ；④ m 3 t t 2 。是二次函数是的 7.函数 y (m 2) x 2 mx 3(m为常数) 。 (1)当 m__________时，该函数为二次函数； 8.当 m = _ _ _ _ 时，函数 y =
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例 1.已知 y (m 4) m
2
3m 2
2 x 3 是二次函数,求 m 的值.
例 2.为了改善小区环境， 某小区决定要在一块一边靠墙 （墙长 25m） 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD， 绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住（如图） ．若设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面 2 积为 y m ．求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
4.关于二次函数 y x 2 与y x 2 的图象,下列说法错误的是( A.它们的开口方向相同 B.对称轴都是 y 轴
C.顶点都是原点 )
5.二次函数 y x 2 和 y 2 x 2 ,以下说法中其中正确的说法有( ①它们的图象都是开口向上; ③当 x＞0 时,它们的函数值 y 都随 x 的增大而增大; A.1 个 6.下列函数中: B.2 个
2
2
有最高点，则 m=________
13.二次函数 y (k 1) x 2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为
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14.若二次函数 y ax 2 的图象过点（1，-2） ，则 a 的值是___________ 15.抛物线:① y 5 x 2 ；② y 2 x 2 ；③ y 5 x 2 ；④ y 7 x 2 。开口从小到大排列是_____________； （只 填序号）其中关于 x 轴对称的两条抛物线是
11.函数 y 13.当 m= 时，抛物线 y (m 1) x m
2
m
开口向下．
14.如图，A、B 分别为 y ax 2 上两点，且线段 AB⊥y 轴于点（0,6） ，若 AB=6， 则该抛物线的表达式为 15.对于函数 y 2 x 2 下列说法：①当 x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大； ③y 随 x 的增大而减小；④图象关于 y 轴对称。其中正确的是 。
2
( x,t 为自变量 )
(2)当 m__________时，该函数为一次函数．
2
(m 2 + m )x m
- 2m - 1
是关于 x 的二次函数
9.二次函数 y x bx 3 ．当 x=2 时，y=4，则这个二次函数解析式为 10.函数 y 6 x 2 的图象顶点是________， 对称轴是_______， 开口向______， 当 x=_______时， 有最______ 值是_____．当 x>0 时，y 随 x 的增大而________；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________. 11.二次函数 y m 3x 2 的图象开口向下，则 m_______ 12.二次函数 y mx m
2
m
3 x 1 是二次函数，则 m 的值为___________
是二次函数，则 m=
2
7.若 y (m 2 m) x m
2
2 m 1
8.当 m = _ _ _ _ 时，函数 y (m 4) x m
5m 6
3 x 是关于 x 的二次函数。
9.若点 A ( 2, m) 在函数 y x 2 1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿ 10.若物体运动的路段 s（米）与时间 t（秒）之间的关系为 s 5t 2 2t ，则当 t=4 秒时，该物体所经过 的路程为
C.y=(x+1) -x ） C.a≠1
2
2
D. y
x
2.若函数 y (a 1) x 2 2 x a 2 1 是二次函数，则（ A.a＝1 B.a＝±1
D.a≠-1
2
3.在一定条件下，若物体运动的路段 s（米）与时间 t（秒）之间的关系为 s=5t +2t，则当 t=4 秒时，该 物体所经过的路程为（ A．28 米 ） B．48 米 C．68 米 ) D.与 x 轴都有且只有一个交点 D．88 米
2
复习：画一个函数图象的一般过程是① 一次函数图象的形状是 抛物线 y ax 的性质
2
；②
；③
。
(2)当 a＞0 时，在对称轴的左侧，即 x 0 时，y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧，即 x 0 时,y 随 x 的增大而 (3)在前面图中，关于 x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答：
16.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1） y 1 3 x 2 （2） y 3 x 2 2 x （3） y x( x 5) 2
（4） y 3 x 3 2 x 2
（5） y x
1 x
(6) y x(1 2 x) 2 x 2 3
19.二次函数 y mx
m 2 1
在其图象对称轴的左则，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值。
20.二次函数 y
3 2 x ，当 x1＞x2＞0 时，求 y1 与 y2 的大小关系。 2
21.已知二次函数 y x 2 bx 3 ．当 x=2 时，y=3，求 这个二次函数解析式．
3 2
1 2
2
t
O A
2
t
O B
2
t
O C
2
5.观察：① y 6 x ；② y 3 x 5 ；③y=200x ＋400x＋200；④ y x 2 x ；⑤ y x ⑥ y x 1 x 2 ．这六个式子中二次函数有
2
1 3； x
。 （只填序号）
6.已知 y (m 1) x m
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是关于 x 的二次函数，求：
(1)满足条件的 m 的值； (2)m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大； (3)m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
； 。
。由此可知和抛物线 y ax 2 关于 x 轴对称的抛物线是
。
(4)当 a＞0 时，a 越大，抛物线的开口越___________；当 a＜0 时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此， a 越大，抛物线的开口越________。 自主学习： 1. 用 16m 长 的 篱 笆 围 成 长 方 形 圈 养 小 兔 , 圈 的 面 积 y( ㎡ ) 与 长 方 形 的 长 x(m) 之 间 的 函 数 关 系 式 为 。(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为 x 米，则宽为 米，如果 将面积记为 y 平方米，那么 y 与 x 之间的函数关系式为 y= ，整理为 y= .) 2.n 支球 队参加 比赛， 每两队 之间进 行一场 比赛 .写出 比赛的 场次数 m 与球 队数 n 之间 的关系 式 _______________________． 3.用一根长为 40cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 S 与它的半径 r 之间的函数关系式 是 。
例 5.二次函数 y ax 与直线 y 2 x 3 交于点 P（1，b） ．
2
(1)求 a、b 的值； (2)写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小．
课堂练习：
1.下列函数中，是二次函数的是（ A.y=x －1
2
） C.y= ） 8 x D.y= 8 x2