2019年高考数学一轮复习：二项式定理
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第26讲 排列组合
2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲 排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。
乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。
排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。
排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。
排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。
【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
高考数学复习考点知识专题讲解与训练52---二项式定理
高考数学复习考点知识专题讲解与训练专题52 二项式定理【考纲要求】1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.【知识清单】知识点1. 二项式定理1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .知识点2. 二项式系数的性质1. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012rnn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，2.注意:（1）．分清r n r r n C a b -是第1r +项，而不是第r 项.(2)．在通项公式1r n r r r n T C a b -+=中，含有1r T +、r n C 、a 、b 、n 、r 这六个参数，只有a 、b 、n 、r 是独立的，在未知n 、r 的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n 、r ,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r ，再求所需的某项；有时则需先求n ,计算时要注意n 和r 的取值范围以及 它们之间的大小关系.(4) 在1r n r r r n T C a b -+=中，r n C 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而1r T +项的系数是指化简后字母外的数．知识点3. 二项式定理的应用二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①()11n x nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++； （5）证明不等式.【考点梳理】考点一 ： 二项式定理【典例1】（2020·北京高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【典例3】（2020·天津高考真题）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rrrr r rr T C xC x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10．【典例4】（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15rrr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是305214123032555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560.【规律方法】1.二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．2．求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法逐层展开法的求解步骤：【变式探究】1.（2018·全国高考真题（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由题可得()5210315522rrr r r rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C =⨯=故选C.2.（2017·全国高考真题（理））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2r rrr T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=.3.（2019·天津高考真题（理））83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________.【答案】28【解析】8848418831(2)()(1)28r r rr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r ，所以的常数项为228(1)28C -=.4.（2017·山东高考真题（理））已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】（1+3x ）n的展开式中通项公式：T r +1rn =（3x ）r ＝3rrn x r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为：4．【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()n a b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．考点二 ： 二项式系数的性质及各项系数和【典例5】（2020·浙江高三月考）二项式6的展开式中，所有有理项．．．（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有____种．（用数字作答）【答案】32. 144.【解析】因为二项式6的展开式的通项为6126321666---+==r rr r r r T C C x x x ，因为2122-=-∈r rZ ，所以0,2,4,6r =， 故所有有理项的系数为0246666611515132+++=+++=C C C C ；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有3434144A A =种. 【典例6】（2019·全国高三月考）5(12)x -的展开式的各个二项式系数的和为________，含x x 的项的系数是________.【答案】32 80-【解析】根据题意，(512x -的展开式的各个二项式系数的和为52=32，当=3r 时，3533451(2)T C x -=⋅⋅- ，所以含x x 80-.【典例7】（2020·浙江省高考真题）设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．【答案】80；122 .【解析】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122【总结提升】1.赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．3．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．【变式探究】1.（2019·内蒙古高二期中（理））已知2012(1)n nn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，01216n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则自然数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C由题意，令1x =，则01212(1)nn n a a a a +=++⋅⋅+=+⋅，因为01216n a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以216n =，解得4n =. 故选：C.2. (2019·石家庄模拟)在(1－2x )n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为 .【答案】1120x 4【解析】由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1120x 4. 3.（2020·湖南师大附中高三月考）若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=______.【答案】1721-由题意，由1717(2)[1(1)]x x +=++，17171(1)T x +=+，17令0x =，则17012172a a a a ++++=⋯，所以1701231621a a a a a ++++⋯+=－.故答案为：1721-. 【特别提醒】1.对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；[来源:学_科_网]③证明不等式时，应注意运用放缩法.2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.3.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.考点三：二项式定理的应用【典例8】（2012·湖北高考真题（理））设，且，若能被13整除，则（）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本题考察二项展开式的系数.由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））71.95的计算结果精确到个位的近似值为（）A.106B.107C.108D.109【答案】B【解析】∵()77716252771.9520.05220.0520.05C C =-=-⨯⨯+⨯⨯-⋅⋅⋅107.28≈， ∴71.95107≈. 故选：B【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -= B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r rn n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122n n n n n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确；550514*******555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）7(ax的展开式中，3x 项的系数为14，则a =_____，展开式各项系数之和为______．【答案】2 1【解析】由题，7a x⎛ ⎝的展开式通项为()72577331771rrr r r r rr a T C x a C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令57363r r -=∴=，此时67142C a a =∴=所以原式为72x ⎛- ⎝，令1x =，得各项系数之和为()7211-=故答案为2、1【总结提升】二项式定理应用的常见题型及求解策略1．逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．2．利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．3. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.【特别提醒】用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【变式探究】1．（多选题）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，下列结论正确的是（ ）A ．6012563a a a a a -+-+= B ．23100a a += C ．1236,,,,a a a a 中最大的是2a D ．当999x =时，6(21)x +除以2000的余数是1【答案】ABD【解析】将原二项展开式转化为()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，再逐一判断.详解：由()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，得40123562356666666601234564,2,2,2,2,2,2a a a a a a a C C C C C C C =======， 所以6012563a a a a a -+-+=，故A 正确；223323662+2=100a a C C +=，故B 正确；1236,,,,a a a a 中最大的是4a ，故C 错误；当999x =时，11000x +=，1256,,,a a a a 能被2000整除，所以6(21)x +除以2000的余数是1，故D 正确；故选：ABD2.（2019·浙江高考模拟）已知7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++，则128...a a a +++=_____，3a =_____．【答案】5- 476-【解析】因为7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++，令1x =得0128...(21)(121)3a a a a ++++=+-⨯=-，令0x =得02a =，所以128...5a a a +++=-，由7(12)x -展开式的通项为17(2)r r r r T C x +=-，则33223772(2)(2)476a C C =⨯-+-=-，故答案为：5- ，476-.3.若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n－1n 除以9的余数是 .【答案】0或7【解析】根据二项式定理可知，7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －1＝8n －1，又因为8n －1＝(9－1)n －1＝9n ＋C 1n 9n －1·(－1)＋C 2n 9n －2·(－1)2＋…＋C n －1n 9·(－1)n －1＋(－1)n －1，所以当n 为偶数时，除以9的余数为0，当n 为奇数时，除以9的余数为7. 4.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______.【答案】36【解析】由题意，第0行的数为1，第1行的数为0111,C C ，第2行的数为012222,,C C C ，第3行的数为01233333,,,C C C C ，第4行的数为0123444444,,,,C C C C C ，因此，第n 行第m 个数为：1m n C -， 所以第9行第8个数是817299998362C C C -⨯====. 故答案为：36.。
高考数学一轮总复习 第十章 10.3 二项式定理
跟踪训练 3 (1)(2018·泉州模拟)1－90C110＋902C210－903C310＋
＋…＋9010C1100除以 88 的余数是
A.－1
√B.1
C.－87
D.87
解析 1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9 8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
令 4－2k＝2＋2k＝3，解得 k＝2， 故展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
例1 (1)(2017·全国Ⅰ) 1＋x12 (1＋x)6的展开式中x2的系数为
A.15
B.20
思维升华
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋
c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数
数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
f1＋f－1， 偶数项系数 2
a5＋…＝
f1－f－1
(3)若 x2－1xn 的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a 则a1＋a2＋…＋an的值为_2_5_5_. 解析 x2－1xn 展开式的第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·－1xk
＝Ckn(－1)kx2n－3k， 当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8. 对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.
二项式定理-学易试题君之每日一题君2019年高考数学(理)一轮复习
1
()()
511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4
B ．5
C ．8
D ．12 【参考答案】
B
【解题必备】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，把（1+x ）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 2项的系数．在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法、求导后赋值、积分后赋值等.
（1）二项式系数的性质：
①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n -=得到.
②增减性与最大值.当n 是偶数时，展开式的中间一项12
n T +的二项式系数2C n n 最大；当n 是奇数时，展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数1
2C
n n -,1
2C n n +相等且最大.③二项展开式的各个二项式系数的和为2n
. （2）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1C k n k k k n T a b -+=的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的
值代回通项求解,注意k 的取值范围(0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).学科&网
①第m 项：此时1k m +=,直接代入通项；
②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.。
1高考数学新高考一轮复习教师用书：第十章第二讲 二项式定理 含答案
第二讲二项式定理)(1+x)6展开式中x2的系数为() 1.[2017全国卷Ⅰ](1+1x2A.15B.20C.30D.352.[2019广东湛江一模](2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于() A.16 B.32 C.64 D.128−x)6的展开式的结论正确的是() 3.[多选题]下列关于多项式(1+2xA.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为212C.存在常数项D.x3项的系数为404.[2019安徽十校高三摸底考试](x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为.5.[2019天津高考](2x - 1)8的展开式中的常数项为.8x36.[2017 山东高考]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.7.[2017 浙江高考]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.考法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数)5的展开式中x4的系数为1(1)[2018全国卷Ⅲ](x2+2xA.10B.20C.40D.80(2)[2019全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24(3)[2019太原二模](x2+x+y)4的展开式中x3y2的系数是.(1)利用(x2+2)5的展开式的通项公式求解;x(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;(3)把x 2+x +y 看成x 2+x 与y 的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x 2+x +y )4看成4个因式x 2+x +y 的乘积,利用组合数公式求解.(1)T r +1=C 5r (x 2)5 - r (2x )r =C 5r 2r x 10 - 3r,由10 - 3r =4,得r =2,所以x 4的系数为C 52×22=40,故选C .(2)因为(1+2x 2)(1+x )4=(1+x )4+2x 2·(1+x )4, ..................................................................... (注意各项的分配)其中(1+x )4的展开式中x 3的系数为C 43=4,2x 2·(1+x )4的展开式中x 3的系数为2C 41=8,所以(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为4+8=12,故选A .(3)解法一 (x 2+x +y)4=[(x 2+x)+y]4,...................................................... (把“三项”当“两项”看)其展开式的第r +1项的通项公式为T r +1=C 4r (x 2+x)4-r y r , ..................................... (利用通项公式求解)因为要求x 3y 2的系数,所以r =2,即T 3=C 42(x 2+x)4-2y 2=6(x 2+x )2y 2.因为(x 2+x)2的展开式中x 3的系数为2, 所以x 3y 2的系数是6×2=12.解法二 (x 2+x +y )4 表示4个因式x 2+x +y 的乘积,在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x ,剩下的一个选x 2 ,即可得到含x 3y 2 的项, ............................................................................................................... (利用组合数公式求解)故x 3y 2的系数是C 42·C 21·C 11=12.1.(1)在(1 - √x 3)7+(√x +a√x)6的展开式中,若x 2的系数为19,则a = .(2)[2019浙江高考]在二项式(√2+x )9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .考法2 二项式系数的性质及应用命题角度1 二项展开式中的系数和问题2(1)已知(1 - 2x )n (n ∈N *)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x )n 的展开式中所有项的系数和为.(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2- (a1+a3+…+a9)2=39,则实数m 的值为.(3)[2015 新课标全国Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,再给x赋值- 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,再代入条件,列出方程求解.(3)展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.(1)因为(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,所以C n2=C n7,解得n=9.令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1,.............................................................................. (对(1 - 2x)n中的x赋值)所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为- 1.(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,又(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a9)(a0 - a1+a2 - a3+…+a8 - a9)=39,所以(2+m)9·m9=39,所以m(2+m)=3,解得m= - 3或m=1,故m的值为- 3或1.(3)解法一直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.解法二(1+x)4的展开式的通项为T r+1=C4r x r,由题意可知,a(C41+C43)+C40+C42+C44=32,解得a=3.解法三 设(a +x )(1+x )4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 1+a 3+a 5=32. 令x =1,得(a +1)×24=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 ①. 令x = - 1,得0=a 0 - a 1+a 2 - a 3+a 4 - a 5 ②.由① - ②,得16(a +1)=2(a 1+a 3+a 5)=2×32,所以a =3.命题角度2 与二项展开式中的系数有关的最值问题3已知(√x 3+x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n 的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - 1x )2n 的展开式中,二项式系数最大的项为 ,系数的绝对值最大的项为 .先根据两个二项式系数和的关系求出n ,由n 值来确定(2x - 1x )2n 中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.由题意知,22n - 2n =992,即(2n - 32)(2n +31)=0, 故2n =32,解得n =5.由二项式系数的性质知,(2x - 1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T 6=C 105(2x )5( - 1x )5= - 8 064.设第k +1项的系数的绝对值最大,则T k +1=C 10k ·(2x )10 - k ·( - 1x)k =( - 1)k C 10k ·210 - k ·x 10 - 2k ,令{C 10k ·210-k ≥C 10k -1·210-k+1,C 10k ·210-k ≥C 10k+1·210-k -1,得{C 10k ≥2C 10k -1,2C 10k ≥C 10k+1,即{11-k ≥2k,2(k +1)≥10-k,解得83≤k ≤113. 因为k ∈Z,所以k =3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T 4= - C 103·27·x 4= - 15 360x 4.故二项式系数最大的项为 - 8 064,系数的绝对值最大的项为 - 15 360x 4.2.(1)[2020山西大同高三调研]若(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 ( )A.210B.180C.160D.175(2)已知(2x - 1x )n 的展开式中的二项式系数和为32.若(x +ax )(2x - 1x )n 的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.1.C(1+x)6展开式的通项T r+1=C6r x r,所以(1+1x2)(1+x)6的展开式中x2的系数为1×C62+1×C64=30,故选C.2. A∵(2x- 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,∴C n n- 1·21·(-3)n- 1=- C n n- 2·22·(- 3)n- 2,解得n=4,24=16,则(3x- 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.3.BCD由题意可得,(1+2x- x)6的展开式中,各项系数之和为26,各项系数的绝对值之和为212,(1+2x - x)6=[1+(2x- x)]6,该展开式第一项即为常数项,故多项式的展开式中一定存在常数项,由题中的多项式可知,若出现x3项,可能的组合只有(2x )0×(- x)3和(2x)1×(- x)4,则可得x3项的系数为C63×13×C30×20×(- 1)3+C65×11×C51×21×(- 1)4=40.故选BCD.4.120 (x - y - 2z )6的展开式中含x 2y 3z 的项为C 64x 2·C 41(- y )3·(- 2z )=120x 2y 3z ,故展开式中含x 2y 3z的项的系数为120.5.28 二项展开式的通项T r +1=C 8r (2x )8- r (- 18x 3)r =(- 18)r ·28- r ·C 8r x 8- 4r ,令8- 4r =0,可得r =2,故常数项为(- 18)2×26×C 82=28.6.4 由题意可知C n 232=54,所以C n 2=6,解得n =4.7.16 4 由题意知a 4为含x 的项的系数,根据二项式定理得a 4=C 32×12×C 22×22+C 33×13×C 21×2=16,又a 5是常数项,所以a 5=C 33×13×C 22×22=4.1.(1)2 (1- √x 3)7+(√x √)6的展开式中x 2的系数为C 76(- 1)6+C 61(a )1=C 76+a C 61,则a C 61+C 76=19,解得a =2.(2)16√2 5 (√2+x)9的通项公式为T r +1=C 9r(√2)9- r x r (r =0,1,2,…,9),可得常数项为T 1=C 90(√2)9=16√2,当系数为有理数时,r =1,3,5,7,9,有T 2, T 4, T 6, T 8, T 10,共5个项.2.(1)B 解法一 因为(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n =10,则(√x −2x 2)10的展开式的通项公式为T k +1=C 10k (√x )10- k (- 2x 2)k =(- 2)k C 10k x10- k 2- 2k=(- 2)k C 10k x 5- 52k,令5-52k =0,解得k =2,所以常数项为(- 2)2C 102=180.解法二 因为(√x −2x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n =10,则(√x −2x 2)10可以看成10个多项式√x −2x2相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取- 2x2,余下的8个多项式中都取√x ,则常数项为C 102(- 2x 2)2(√x )8=180.(2)40 因为(2x - 1x)n 的展开式中的二项式系数和为32,所以2n =32,所以n =5.令x =1,得(x +ax)(2x -1x)5的展开式中的各项系数的和为(1+a )(2- 1)5=2,即a =1,所以(x +a x )(2x - 1x )5的展开式中的常数项为C 53·(- 1)3·25- 3+C 52·(- 1)2·25- 2=40.。
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案二项式定理1
第三节 二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________． 解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：3知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10， 通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ， 所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3， 令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。
二项式定理讲义 高三数学一轮复习
高三讲义：二项式定理【知识园地】1、二项式定理：设n 是正整数，等式()nb a +=___________________________________ 称为二项式定理.相关概念:（1）上述等式右端称为二项展开式, 一共有__________项;（2）各项的系数C (0,1,,)rn r n =称为_____________;（3）通常用1+r T 表示展开式中的第________项，即1+r T =____________),1,2,1,0(n n r -=1+r T 称为()nb a +展开式的通项，________是第r+1项的二项式系数.2、二项式系数的性质(1) 对称性: 011C C ,C C ,n n n n n n -==, 即C C rn r n n -=.(2) 在二项式定理中, 令a b ==____, 则二项式系数和为:=+++n n n n n C C C C 210_____; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和：=+++ 420n n n C C C =+++ 531n n n C C C ____（3）若二项式的幂指数n 是偶数, 则___________的二项式系数最大; 若是奇数, 则___________的二项式系数相等, 并且最大;3、各项系数和：【例】()n x 12+的各项系数和为_____________【例题讲解】例1、（1）求51⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式，并求第4项（2）求（x 2﹣）4的二项展开式考点一、求展开式某一项的系数例2、（1）求()623x -的二项展开式中3x 的系数（2）求92⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中3x 的系数（3）已知二项式(52x x，则展开式中3x 的系数为________（用数字作答）.（4）在（1﹣x ）5（1+x 3）的展开式中，x 3的系数为 ．（结果用数值表示）考点二、求展开式的常数项 例3、（1）求61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中的第3项、常数项（2）在262()x x +的二项展开式中，常数项等于 ．（3）求展开式中常数项为______________考点三、二项式系数和、系数和例3、（1）在912x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为________. （2）若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321展开式的各项系数之和为256，则n=_________考点四、系数最大值例3、求()1531x +的二项式展开中，系数最大的项 变式：()1531x -例4、已知对任何给定的实数x ，都有 求值：（1）100210a a a a ++++（2）99531a a a a ++++（3）求1a 的值()()()()100100221010011121-++-+-+=+x a x a x a a x【回家作业】1. 在（1+x ）6的二项展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．2．在8(21)x +的二项式展开式中，2x 项的系数是 ．3.（1﹣2x ）5的展开式中x 3的项的系数是 （用数字表示）4．（x 2+）5的展开式中x 4的系数为5. 二项式（3x ﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为 ．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为160-，则实数a =___________． 7.二项式（）6的展开式的常数项为 ． 8.若23(2)n a b +的二项展开式中有一项为412ma b ，则m = ．9. 若272314012314(1)x a a x a x a x a x -=+++++，则58a a += _ .10.设（x ﹣1）（x +1）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6，则a 3＝ （结果用数值表示）11. 若在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中，二项式系数之和为64 （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项.12．（5分）“n ＝4”是“（x +）n 的二项展开式中存在常数项”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13、设(62)n x -的展开式中, 各项系数之和为256, 则展开式中二项式系数最大项是第（ ）项.A. 2B. 3C. 4D. 514、（1）求()721x +的二项展开式中系数最大的项 （2）求()721x -二项展开式中系数最大的项（提示：先求系数绝对值最大）15、（1）在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项式展开式中，若x 的系数是-10，求实数a 的值； （2）求92⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中3x 的二项式系数与系数； （3）在()2021x -的二项展开式中，如果第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，求此展开式的第4r 项.。
2019版高考数学(理)一轮总复习作业：80二项式定理
题组层级快练(八十)1．(2017·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8、9、10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1、2、3、4、5、6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A ．10 B ．20C ．30 D ．40答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2018·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名、1名、1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( )A ．1 260种 B ．2 025种C ．2 520种 D ．5 040种答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种 B ．18种C ．24种 D ．36种答案 D解析 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6种，再C42C21C11A22分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．5．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( )A ．12种 B ．16种C ．18种 D ．36种答案 C解析 可先分组再排列，所以有C 42A 33＝18(种)放法．126．(2017·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )A ．40种 B ．48种C ．60种 D ．68种答案 B解析 4，2分法：A 22(C 64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C 63C 33＝20，∴共有48种．7．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为( )A ．C 62C 52C 82 B ．C 62＋C 52＋C 82C ．A 62A 52A 82 D ．C 192答案 B解析 依题意，高一比赛有C 62场，高二比赛有C 52场，高三比赛有C 82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C 62＋C 52＋C 82，选B.8．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A ．18 B ．24C ．30 D ．36答案 C解析 排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A 33＝6种，所以共有C 42A 33－A 33＝30种分法．故选C.9．(2018·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A ．80种 B ．90种C ．120种D ．150种答案 D解析 有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 53A 33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 51××A 33＝90(种)．∴共有150种．故选D.C42210．(2017·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( )A ．C 419 B ．C 389C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )A ．24 B ．36C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2017·湖南衡阳八中期末)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种(用数字作答)．答案 50解析 因为每项活动最多安排4人，所以可以有三种安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)．当安排4，2时，需要选出4个人参加第一个项目，共有C 64＝15种；当安排3，3时，共有C 63＝20种；当安排2，4时，共有C 62＝15种，所以共有15＋20＋15＝50种．13．(2017·山东聊城重点高中联考)三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有________种．答案 60解析 若每个村去一个人，则有A 43＝24种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有C 31A 42＝36种分配方法，所以共有60种不同的分配方法．14．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________．答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配C42C22A22一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.15．(2017·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案 84解析 方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84(种)抽调方法．16．(2017·安徽皖北协作区联考)3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能选聘上)，则不同的选聘方法种数为________．(用具体数字作答)答案 60解析 当4名大学毕业生全选时有·A 33，当选3名大学毕业生时有A 43，即不同的C41C31A22选聘方法种数为·A 33＋A 43＝60.C41C31A2217．(2017·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．1．(2017·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )A ．180种 B ．120种C ．90种 D ．60种答案 C解析 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少一名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1个，另两组都是2人，有＝15(种)方法．再将3组分到3C51·C42A22个班，共有15·A 33＝90(种)不同的分配方案．故选C.2．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有( )A ．60种 B ．42种C ．36种 D ．24种答案 A解析 若3个项目分别安排在3个不同的场馆，则安排方案共有A 43＝24(种)；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32·A 42＝36(种)．综上，在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24＋36＝60(种)．故选A.3．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A ．144 B ．72C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有种；C42C21C11A22第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有×A 33＝36(种)．C42C21C11A224．(2018·衡水中学调研卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种 B ．20种C ．36种 D ．52种答案 A解析 将4个小球分2组，①＝3种；②C 41C 33＝4种．①中的这3种分组方法任意C42C22A22放均满足条件，∴3×A 22＝6种放法．②中的4种分组方法各只对应1种放法．故总种数为6＋4＝10种．5．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法总数为( )A ．10 B ．20C ．30 D ．40答案 B解析 因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数为＝5×4＝20.A55A336．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在a ，b ，c 三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有( )A ．96种 B ．124种C ．130种 D ．150种答案 D解析 可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1，1，3分；另一种是按照1，2，2分．当按照1，1，3分时，共有C 53A 33＝60种方法；当按照1，2，2分时，共有＝90种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有60＋90＝150种．C52C32A33A22。
2019高考数学考点突破——计数原理：二项式定理
[ 答案 ] 40
[ 解析 ] 由二项式定理可得，展开式中含
＝
40x
3y
3
，则
x3 y3 的系数为
40.
x3y3 的项为 x·C35(2 x) 2( － y) 3＋y· C25(2 x) 3( －y) 2
考点二、二项式系数的和与各Байду номын сангаас的系数和
【例
4】 (1) 若二项式
3x2－ 1 x
n 的展开式中各项系数的和是
x) 3y2，又 ( x2＋ x) 3 的展开式的通项为
k
C3(
x 2)
· 3－ k
x
k
＝
x Ck 6－k 3
，令
6－ k＝5，则
k＝1，所以 ( x2 ＋x
＋ y) 5 的展开式中， x5y2 的系数为 C25C13＝ 30，故选 C.
【类题通法】
求形如
(
a＋ b＋ c)
n
展开式中特定项的步骤
【对点训练】 ( x＋ y)(2 x－ y) 5 的展开式中 x3y3 的系数为 ________.
B
． 243
512 ，则展开式中的常数项为
()
A．－ 27C39
B
． 27C39
C
．－ 9C49
D
． 9C49
(2)(1 － 3x) 5 ＝ a0 ＋ a1x＋ a2x2＋ a3x3＋ a4x4＋ a5x5，则 | a0| ＋ | a1| ＋ | a2| ＋ | a3| ＋ | a4| ＋ | a5| ＝
()
A． 1 024
[ 答案 ] 10
[ 解析 ]
由 (2 x＋ x ) 5 得 Tr ＋1＝ Cr5(2 x) 5－r (
第十九章§19.2 二项式定理
栏目索引
4.(2018课标全国Ⅲ理改编,5,5分)
x2
2 x
5
的展开式中x4的系数为
.
答案 40
解析 本题考查二项式定理.
x2
2 x
5
的展开式的通项Tr+1= C5r (x2)5-r·(2x-1)r=2rC 5r
·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×C 52
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
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C组 教师专用题组
1.(2014浙江改编,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,
2)+f(0,3)=
.
答案 120
解析 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 C6m ,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为 C4n ,故f(m,n)= C6m ·C 4n . 从而f(3,0)= C36 =20, f(2,1)= C62· C14 =60, f(1,2)= C16 ·C 24 =36, f(0,3)=C 34 =4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0, 3)=120.
栏目索引
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解析 本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.满
分10分.
(1)因为(1+x)n= C0n + C1n x+ C2n x2+…+ Cnn xn,n≥4,
所以a2= C2n
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理二项式定理是数学中非常重要的一条定理，它描述了一个二项式的幂函数展开后的系数。
首先，我们来看二项式的定义。
二项式是指两个数的和的n次方，通常记作(a+b)^n。
其中，a和b是实数或者复数，n是一个自然数。
二项式定理的完整表述是：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+...+C(n,n)*a^0*b^n其中，C(n,k)表示从n个数中选取k个数的组合数，也即是从n个数中取出k个数的方案数。
组合数C(n,k)的计算公式是：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)这个定理的重要性主要体现在以下几个方面：1.理论性：二项式定理是一个非常基础的数学理论，在高等数学、概率论、离散数学等学科中都有广泛的应用。
2.应用性：二项式定理可以用来计算二项式的各个项的系数，从而得到二项式展开后的具体表达式。
这在求解各种问题时非常有用，比如组合问题，排列问题等。
3.概率应用：二项式定理在概率论中起着重要的作用。
当将a、b分别理解为事件A、B的概率时，(a+b)^n的展开式的每一项都代表着在n 次试验中，A出现k次、B出现n-k次的概率。
而C(n,k)*a^k*b^(n-k)正是这种事件发生的概率。
4.逻辑引申：二项式定理的思想和推导过程可以用来对数学推理和证明的逻辑进行训练和引导。
通过对二项式定理的研究，可以培养学生的逻辑思维和数学思维能力。
综上所述，二项式定理在数学中具有广泛的应用性和理论意义。
它不仅是一个基础的数学理论，还可以在实际问题的求解中发挥重要的作用。
因此，在高考数学一轮复习中，理解和掌握二项式定理，并能熟练运用其求解问题是非常重要的。
高考数学一轮复习第10章第3讲二项式定理课件理
题型 二 二项式系数的性质或各项系数的和 1．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ________. 答案 －33
答案
解析 令 x＝1 得(－2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32. 令 x＝0 得，1＝a0； 所以 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－33.
(3)设第 r＋1 项的系数为 ar＋1 最大，则 ar＋1＝2－rCr8，
则ar＋1＝ ar
2－2r－－1rCCr8r8－1＝92－r r≥1，
aarr＋ ＋12＝2－2r＋－1rCCr8r8＋1＝28r－＋r1≥1，
答案
解得 2≤r≤3. 当 r＝2 时，a3＝2－2C28＝7，当 r＝3 时，a4＝2－3C38＝7， 因此，第 3 项和第 4 项的系数最大， 故系数最大的项为
(2)
x＋ 1 4
8
的展开式的通项
Tr＋1＝Cr8(
1 x)8－r· 4
4－34r
r＝2－rCr8x
(r
2 x
2 x
＝0,1，…，8)，
答案
要求有理项，则 4－34r必为整数，即 r＝0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1
＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
解析
2．(2018·九江模拟)已知
x＋
1 4
n
的展开式中，前三项的系数成等差
2 x
数列．
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，
由已知得 2×12C1n＝C0n＋14C2n，解得 n＝8(n＝1 舍去)．
高考数学复习考点知识与题型专题讲解73---二项式定理
高考数学复习考点知识与题型专题讲解10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 二项展开式的通项 T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项 二项式系数C k n (k ∈{0,1,2,3，…，n })2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值当n 是偶数时，中间一项2C n n取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C -n n与12C+n n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n . 微思考1．总结(a ＋b )n 的展开式的特点． 提示(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？提示不一定．(a＋b)n的展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)题组二教材改编2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项为T m＝C m－1n(－y)m－1x n－m＋1，所以系数为C m－1n(－1)m－1.3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是() A．60B．80C．84D．120答案D解析(利用公式C m n＋C m＋1n ＝C m＋1n＋1)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 29＝C 33＋C 23＋…＋C 29＝C 310＝120.4．C 111＋C 311＋C 511＋…＋C 1111＝________.答案210 题组三易错自纠5．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为() A ．1B ．±1C ．2D ．±2 答案C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，则二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x )5－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x k ＝a k C k 51556kx -，令15－5k6＝0，得k ＝3，则其常数项为C 35a 3，根据题意，有C 35a 3＝80，可得a ＝2.6．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____． 答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n ＝32，解得n ＝5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5中，令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.题型一多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2020·北京)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为() A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析T k ＋1＝C k 5(x )5－k (－2)k ＝C k 552kx -·(－2)k ，令5－k2＝2，解得k ＝1.所以x 2的系数为C 15(－2)1＝－10.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案1625解析该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2020·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A ．5B ．10C ．15D ．20 答案C解析方法一∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)， ∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.方法二当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为() A ．12B ．16C ．20D ．24解析展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.命题点3三项展开式问题例3 (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为() A ．10B ．20C ．30D ．60 答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用排列组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个因式取y ，剩余的三个因式中两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15的展开式中的常数项为() A ．1B ．11C ．－19D ．51 答案B解析⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫x －1x 5－k当k ＝5时，常数项为C 55＝1，当k ＝3时，常数项为－C 12C 35＝－20，当k ＝1时，常数项为C 45C 24＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟踪训练1 (1)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.(2)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为() A ．－3B ．－2C ．1D ．4 答案B解析(x －1)4的通项为T k ＋1＝C k 4x 4－k (－1)k ，(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为C 34(－1)3＋C 24(－1)2＋C 14(－1)＝－2，故选B.(3)(1＋2x －3x 2)5的展开式中x 5的系数为________．答案92解析方法一(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.方法二(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.题型二二项式系数与各项的系数问题命题点1二项式系数和与各项系数和例4(1)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为() A ．－1B ．1C ．27D ．－27 答案A解析 依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1. (2)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为() A ．1B ．2C ．129D ．2188 答案C解析令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128， 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1. 故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 命题点2二项式系数的最值问题例5二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为()A ．3B ．5C ．6D ．7 答案D解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式的通项为T k ＋1＝C k 20·(3x )20－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k ＝(3)20－k ·C k 20·4203kx －，要使x 的指数是整数，需k 是3的倍数，∴k ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项． 思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”． (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A ．－126B ．－70C ．－56D ．－28 答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n ＝8，⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 8382k x-(k ＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C 38＝－56.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是() A ．63x B.4x C ．4x 6x D.4x或4x 6x 答案A解析令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n <32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (3)已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________. 答案3解析当x ＝0时，(－1)5＝－1＝a 0.当x ＝1时，(m －1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33－1＝32，则m －1＝2，m ＝3.课时精练1．(2020·邯郸调研)(1－2x )6的展开式的第三项为() A ．60B ．－120C ．60x 2D ．－120x 2 答案C解析T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2.2.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中含x 3的项的系数为() A ．80B ．－80C ．－40D ．48 答案B解析⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k ，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80.3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．29B ．210C ．211D ．212 答案A解析由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于() A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案A解析(1－ax )(1＋x )5＝(1－ax )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其展开式中x 2的系数为10－5a ＝5，解得a ＝1.5．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是() A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案D解析⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫1x 25－k (－1)k ＝C k 5x 2k －10(－1)k ，由2k －10＝0得k ＝5，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中常数项为C 55(－1)5＝－1.由2k －10＝－2得k ＝4，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中x －2的系数为C 45(－1)4＝5，所以(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3. 6．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 50x 50，则a 3的值是()A ．C 450B ．2C 350C ．C 351D ．C 451答案D解析由题意可得a 3的值是x 3的系数，而x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 451.7．(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，下列判断正确的有()A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有一次项答案AD解析二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n ，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则()A ．a 0＝－32B ．a 2＝－80C ．a 3＋4a 4＝0D ．a 0＋a 1＋…＋a 5＝1答案ABC解析令x ＝－1得(－1－1)5＝a 0，即a 0＝－32，故A 正确．令x ＝0得(－1)5＝a 0＋a 1＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1，故D 不正确．令x ＋1＝y ，则(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5就变为(y －2)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，根据二项式定理知，a 2即二项式(y －2)5展开式中y 2项的系数，T k ＋1＝C k 5y 5－k (－2)k ，故a 2＝C 35·(－2)3＝－80，B 正确．a 4＝C 15(－2)1＝－10，a 3＝C 25(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.9．(2020·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答) 答案240解析⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫2x k ＝C k 62k x12－3k ， 令12－3k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为C 4624＝240.10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为________．答案240解析⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n ·(2x )n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C 1n ∶C 2n ＝2∶5，解得n ＝6.所以T k ＋1＝(－1)k C k 626－k ·362k x -，令6－32k ＝3，解得k ＝2，所以x 3的系数为C 2626－2(－1)2＝240. 11．已知⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝________，展开式中常数项为________．答案 －2310 解析在⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中， 令x ＝1，得(a ＋1)·35＝81，解得a ＝－23， 所以⎝⎛⎭⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x ＝10. 12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝________，a 1＋a 3＋a 5＝________.答案80122解析由题意，得a4＝C45×24＝5×16＝80.当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，所以a1＋a3＋a5＝122.13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为()A．55B．89C．120D．144答案A解析由题意，可知a1＝1，a2＝1，a3＝1＋1＝2，a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2020a2020＝2020a(a≠0)，则实数a＝________.答案2解析已知(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，两边同时对x 求导，得2020(1－ax )2019(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2020a 2020x 2019，令x ＝1得，－2020a (1－a )2019＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a ，又a ≠0，所以(1－a )2019＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.15．若多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－4n －4的展开式中x 2的系数为()A ．－304B ．304C ．－208D ．208答案A解析多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，所以n ＝8，多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－44＝⎣⎡⎦⎤－4＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4(－4)4－r ·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r (0≤r ≤4，且r ∈N ).⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r (x 2)r －k ·⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝C k r x 2r －4k (0≤k ≤r ，且k ∈N ，r ∈N )．令2r －4k ＝2，即r ＝2k ＋1，所以k ＝0，r ＝1；k ＝1，r ＝3，所以展开式中x 2的系数为C 14·(－4)3＋C 34·C 13·(－4)＝－256－48＝－304.16．设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ≡b (mod10)，则b 的值可以是() A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021答案D解析a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a ≡b (mod10)，所以b 的值可以是2021.。
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2019年高考数学一轮复习：二项式定理二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝_____________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝C n n，C1n＝C n－1n，C2n＝C n－2n，…，____________，…，C n n＝C0n.(2)增减性与最大值二项式系数C k n，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝________.自查自纠1．C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b nn＋1C k n C k n a n－k b k T k＋1＝C k n a n－k b k k＋12．(1)C k n＝C n－kn(2)k＜n＋12k＞n＋12Cn2n Cn－12n Cn＋12n(3)2n2n2n－1(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4解：由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.故选A.(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A．15 B．20 C．30 D．35解：(1＋x)6展开式的通项T r＋1＝C r6x r，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C.(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 解：原题即求(2x －y )5中x 2y 3与x 3y 2系数的和，即为C 35·22·(－1)3＋C 25·23·(－1)2＝40.故选C.(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项为T r ＋1＝25－r C r 5x5－r2，令5－r2＝3，得r ＝4，故所求系数为2C 45＝10.故填10.(2016·天津)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解：二项式展开式通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 8x16－3r ，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.故填－56.类型一 求特定项(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解：令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中1x项的系数为C 3522(－1)3，x 项的系数为C 2523，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1x )5的展开式中常数项为C 3522(－1)＋C 2523＝40.故选D.【点拨】①令x ＝1可得所有项的系数和；②在求出a 的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项．(2)(2015·安徽)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)解：由题意，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7展开的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，则x 5的系数是C 47＝35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a2x 3＋a3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解：a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理，a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.故填16；4.【点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数．(1)已知在⎝⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项，则含x 2项的系数为________．解：通项T r ＋1＝C r n xn －r3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x －r3＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r xn －2r3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r3＝2，得r ＝2，所以含x 2项的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454.故填454.(2)(2016·北京)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项T r＋1＝C r6·16－r·(－2x)r＝C r6(－2x)r.令r＝2得T3＝C26·4x2＝60x2，即x2的系数为60.故填60.(3)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20 C．30 D．60解：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为C25C13C22＝30，故选C.类型二展开式的系数和问题在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， 所以奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， 所以偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.【点拨】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.(1)(2017浙江温州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解：由题意4n2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x r ＝3r C r 6x6－3r2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C.(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为____________．解：令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.故填－1或－5.(3)设⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋x 2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2nx 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________________.解：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋x 2n，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－12n ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14n. 类型三 系数最大项问题已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992.(1)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的二项式系数最大的项；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项．解：由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32(负值舍去)，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252.所以T 6＝C 510(2x )51x 5＝C 51025＝8 064.(2)设第r ＋1项的系数最大，因为T r ＋1＝C r10(2x )10－r1x r＝C r 10210－r x 10－2r ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r10210－r ≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ，解得83≤r ≤113，因为r ∈N ，所以r ＝3.故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15 360x 4.【点拨】(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r ，即得展开式系数最大的项．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25⎝⎛⎭⎫x 233·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫x 232·(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5·(x 23)5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x10＋4r3，故有⎩⎪⎨⎪⎧C r5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ，所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23·(3x 2)4＝405x 263.类型四 整除问题与求近似值问题(1)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) 解：(1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n)＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.【点拨】(1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”结合整除的有关知识来处理．注意：0≤余数<除数．(2)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝( )A．0 B．1 C．11 D．12解：512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝522 016＋C12 016×522 015×(－1)＋…＋C2 0152 016×52×(－1)2 015＋(－1)2 016＋a能被13整除，只需(－1)2 016＋a＝1＋a能被13整除即可．因为0≤a<13，所以a＝12.故选D.(2)设n∈N*，n≠1，求证33n－26n－1能被676整除．证明：33n－26n－1＝27n－26n－1＝(26＋1)n －26n－1＝26n＋C1n26n－1＋C2n26n－2＋…＋C n－2n262＋C n－1n26＋C n n－26n－1＝262() 26n－2＋C1n26n－3＋C2n26n－4＋…＋C n－2n ＝676()26n－2＋C1n26n－3＋C2n26n－4＋…＋C n－2n而26n－2＋C1n26n－3＋C2n26n－4＋…＋C n－2n为整数．故33n－26n－1能被676整除．类型五 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式求⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项．解法一：原式＝（|x |2－2|x |＋1）3|x |3＝（|x |－1）6|x |3，所以 (1－|x |)6的展开式中|x |3的系数C 36(－1)3＝－20就是原式展开式中的常数项．解法二：将原式化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|x |－1|x |6，利用二项式定理求解．解法三：将原式看成三个|x |＋1|x |－2相乘，常数项只可能由|x |·1|x |·(－2)和(－2)3构成，可利用计数原理分成两类再求和．故所求为C 13·C 12·(－2)＋C 33·(－2)3＝－20.【点拨】三项式的展开式问题，通常可用解法二化为二项式问题，或者用解法三化为计数问题．(2015·江西模拟)若(x 2＋ax ＋1)6(a >0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎜⎛0a sin xdx 的值为____________．解：由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2，故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)．故⎠⎜⎛0a sin xdx ＝(－cos x )|20＝1－cos2.故填1－cos2.1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C k n a n－k b k是第k＋1项，而不是第k项．(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．3．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．4．二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．1．在⎝⎛⎭⎪⎫x －23x 4的展开式中，常数项为()A ．－32B ．32C ．－24D ．24解：通项T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r ·x －r3＝C r 4(－2)r x 4－4r 3，令4－4r3＝0⇒r ＝3.故所求为－32.故选A. 2．(2015·南昌质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 解：由题意可知n ＝8，T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫128－r(－1)r C r 8·x 8－4r 3. 令8－43r ＝0，得r ＝6，⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－1)6C 68＝7.故选B.3．(2017·广西联考)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎜⎛1m (x 2－2x )dx ＝( )A.13 B ．－13 C ．－23 D.23 解：因为二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫556－rC r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，得r ＝4，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552C 46＝3，所以⎠⎜⎛1m(x 2－2x )dx ＝⎠⎜⎛13(x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝23，故选D. 4．(2016·贵州模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( )A ．－25B ．－5C ．5D ．25 解：因为(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，所以原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.故选B.5．从⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )A.521B.27C.310D.37解：⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋1x 20的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k20(4x )20－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x k＝C k 20x 5－34k ，其中k＝0，1，2，…，20.而当k ＝0，4，8，12，16，20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项，所以从⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，取到有理项的概率为P ＝621＝27.故选B.6．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)等于( )A ．27B ．28C ．7D ．8 解：令x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28，①；令x ＝－3得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 12＝0，②.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝28，所以a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，所以log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.故选C.7．(2016·上海)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －2x n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解：因为所有项的二项式系数之和为2n ， 所以2n ＝256，所以n ＝8，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 8x 83－43r ，令83－43r ＝0，得r ＝2，所以T 3＝112.故填112.8．(2016·山东)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解：因为T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－52r ，所以由10－52r ＝5r ＝2，因此C 25a 5－2＝－80a ＝－2.故填－2.9．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)． 证明：因为32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9 ＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n·1)－8n －9 ＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋64n ＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n)＋n ]． 所以32n ＋2－8n －9能被64整除．10．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n 2＋n －156＝0， 所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第k ＋1项的系数最大，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.所以9.4≤k ≤10.4，所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为第11项，且T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 11. (1)已知(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值．(2)已知(x ＋1)2(x ＋2)2 014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2 016(x ＋2)2 016，求a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016的值．解：(1)设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4. 令x 分别取1，－1，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1；f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27. a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f （1）－f （－1）2＝1－272＝－13. (2)依题意令x ＝－32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋22 014＝a 0＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋22＋…＋a 2016⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋22 016，令x ＝－2得a 0＝0，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122 016.已知()1＋x ＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________.解：因为(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n的展开式中没有常数项，且没有x －1，x －2项.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n的展开式的通项为T r ＋1＝C r n xn －4r ，当n ＝2，3，4时，取r ＝1可知均不符合要求；当n ＝6，7，8时，取r ＝2可知均不符合要求；当n ＝5时，r 取0，1，2，3，4，5均不会产生x －1，x －2及常数项．故填5.。