2019年高考数学一轮复习：二项式定理

2019年高考数学一轮复习：二项式定理

二项式定理

1．二项式定理

(a＋b)n＝_____________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．

2．二项式系数的性质

(1)对称性

在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个

二项式系数相等，即C0n＝C n n，C1n＝C n－1

n，C2n＝

C n－2

n，…，____________，…，C n n＝C0n.

(2)增减性与最大值

二项式系数C k n，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．

当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝________.

自查自纠

1．C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n

n＋1

C k n C k n a n－k b k T k＋1＝C k n a n－k b k k＋1

2．(1)C k n＝C n－k

n(2)k＜

n＋1

2

k＞

n＋1

2

C

n

2n C

n－1

2n C

n＋1

2n(3)2n2n2n－1

(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )

A．－15x4B．15x4

C．－20ix4D．20ix4

解：由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.故选A.(2017·全国卷Ⅰ)

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1＋

1

x2(1＋x)6展开式中x2的系数为( )

A．15 B．20 C．30 D．35

解：(1＋x)6展开式的通项T r＋1＝C r6x r，所以⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1＋

1

x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C.

(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )

A ．－80

B ．－40

C ．40

D ．80 解：原题即求(2x －y )5中x 2y 3与x 3y 2系数的和，

即为C 35·22·(－1)3＋C 25

·23·(－1)2＝40.故选C.

(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋

x )5的展开式中，x 3的系数是

____________．(用数字填写答案)

解：展开式的通项为T r ＋1＝25－r C r 5x

5－r

2

，令5－

r

2

＝3，得r ＝4，故所求系数为2C 45＝10.故填10.

(2016·天津)⎝

⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8

的展开式中x 7的系数为

________．(用数字作答)

解：二项式展开式通项为T r ＋1＝C r 8

(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1x r

＝(－1)r C r 8x

16－3r ，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.故填－56.

类型一 求特定项

(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －1x 5

的展开式中各项系数的和为2，则

该展开式中的常数项为( )

A ．－40

B ．－20

C ．20

D ．40 解：令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝

⎛⎭⎪⎫2x －1x 5

的

展开式中1

x

项的系数为C 3522(－1)3，x 项的系数为C 25

23，所以

⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x (2x －1

x )5的展开式中常数项为C 3522(－

1)＋C 2523＝40.故选D.

【点拨】①令x ＝1可得所有项的系数和；②在求出a 的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项．

(2)(2015·安徽)⎝

⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)

解：由题意，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3

＋1x 7

展开的通项为T r ＋1

＝C r 7(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x r

＝C r 7

x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，则x 5的系数是C 47＝35.故填35.

(3)(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋

a 1x 4＋a

2

x 3＋a

3

x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝

________．

解：a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理，a 4

＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.故填16；4.

【点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第

r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展

开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数．

(1)已知在⎝

⎛⎭⎪⎫3

x －

123x n

的展开式中，第6项为常数

项，则含x 2项的系数为________．

解：通项

T r ＋1＝C r n x

n －r

3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x －r

3＝C r n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12r x

n －2r

3

，

因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有

n －2r

3

＝

0，得n ＝10.令10－2r

3＝2，得r ＝2，所以含x 2项的

系数为

C 210

⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454

.故填454.