数学人教版九年级上册一元二次方程的应用-几何动点问题
人教版2020九年级数学上册第1章1.4用一元二次方程解决问题第3课时动点几何问题同步练习
第1章一元二次方程1.4 第3课时动态几何问题知识点 1 三角形中的动点问题1．教材“问题6”变式如图1－4－7，在△ABC中，AC＝50 m，BC＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s的速度匀速移动，同时，另一点Q由点C开始以3 m/s 的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 m2时，运动时间为( ) A．5秒 B．20秒C．5秒或20秒 D．不确定图1－4－7图1－4－82．如图1－4－ 8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D的方向以 2 cm/s的速度向点D运动，四边形PDFE为矩形，其中点E在AC上，点F在BC上．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动的时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2.3．如图1－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向向点C，B移动，它们的速度都是1 cm/s，经过几秒，P，Q 两点相距210 cm？并求此时△PCQ的面积．图1－4－9知识点 2 矩形中的动点问题4．如图1－4－10，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，图1－4－10动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度向点B移动，到达点B后停止运动，点Q以1 cm/s的速度向点D移动，到达点D后停止运动，P，Q两点出发后，经过________s，线段PQ的长是10 cm.5．如图1－4－11，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点E从点A出发，沿AB方向以1 cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，当点F到达点C时，两点同时停止运动．经过几秒后△EBF的面积为5 cm2?图1－4－116. [2016·兴化校级期末] 如图1－4－12，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s 的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?图1－4－127．如图1－4－13，甲、乙两物体分别从正方形广场ABCD 的顶点B ，C 同时出发，甲由点C 向点D 运动，乙由点B 向点C 运动，图中点F ，E 分别对应甲、乙某时刻的位置，甲的速度为1 km /min ，乙的速度为2 km /min ，当乙到达点C 时，甲随之停止运动．若正方形广场的周长为40 km .(1)几分钟后两物体相距210 km?(2)△CEF 的面积能否等于7 km 2？请说明理由．图1－4－138．如图1－4－14所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 沿顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm )与时间t(s )满足关系：l ＝12t 2＋32t(t≥0)，乙以4 cm /s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是________ cm ；(2)求甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间．图1－4－149．如图1－4－15所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，OA＝3 cm，点C 的坐标为(3，6)，点P，Q分别从点O，A同时出发，若点P从点O沿OA向点A以1 cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2 cm/s的速度运动，当点P运动到点A时停止运动，点Q也随之停止运动．(1)经过多长时间，△PAQ的面积为2 cm2?(2)△PAQ的面积能否达到3 cm2?(3)经过多长时间，P，Q两点之间的距离为17 cm?图1－4－1510．如图1－4－16，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．(1)经过6秒后，BP＝________ cm，BQ＝________ cm；(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？(3)经过几秒后，△BPQ的面积为10 3 cm2?图1－4－16详解详析1．C [解析] 设运动时间为t s ．由题意知AP ＝2t ，CQ ＝3t ，∴PC ＝50－2t.∵12PC·CQ＝300，∴12(50－2t)·3t＝300，解得t ＝20或5，∴当运动时间为20 s 或5 s 时，△PCQ的面积为300 m 2.故选C .2．6 [解析] ∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm .又∵AP＝2t cm ，∴S 1＝12AP·BD ＝12×2t×8 2＝8t(cm 2)，PD ＝(82－2t )cm .易知∠PAE＝∠PEA＝45°，∴PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD·PE＝[(8 2－2t)·2t]cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(8 2－2t)·2t ，解得t ＝6或0(舍去)．故答案是6.3．解：设经过x s ，P ，Q 两点相距210 cm .由题意，得(8－x)2＋x 2＝(210)2， 解得x 1＝2，x 2＝6.当x ＝2时，S △PCQ ＝12×(8－2)×2＝6(cm 2)；当x ＝6时，S △PCQ ＝12×(8－6)×6＝6(cm 2)．答：经过2 s 或4 s ，P ，Q 两点相距2 10 cm ，此时△PCQ 的面积为6 cm 2.4．8或83 [解析] 连接PQ ，过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，设经过x s ，线段PQ 的长是10 cm .∵点P 以2 cm /s 的速度向点B 移动，点Q 以1 cm /s 的速度向点D 移动， ∴PM ＝|16－3x|cm ，QM ＝6 cm .根据勾股定理，得|16－3x|2＋62＝102， 解得x 1＝8，x 2＝83.5．解：设经过t s 后△EBF 的面积为5 cm 2， 则12×2t×(6－t)＝5， 整理，得t 2－6t ＋5＝0，解得t 1＝1，t 2＝5. ∵0＜t≤4，∴t ＝5舍去．答：经过1 s 后△EBF 的面积为5 cm 2.6．解：设x s 后△DPQ 的面积等于 28 cm 2，则△DAP，△PBQ ，△QCD 的面积分别为12×12x，12×2x(6－x)，12×6×(12－2x)． 根据题意，得6×12－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，即x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4.答：2 s 或4 s 后△DPQ 的面积等于28 cm 2. 7．解：(1)设x min 后两车相距2 10 km . ∵正方形广场的周长为40 km ， ∴正方形广场的边长为10 km .由甲运动到点F ，乙运动到点E ，可知FC ＝x ，EC ＝10－2x ， 在Rt △ECF 中，x 2＋(10－2x)2＝(210)2， 解得x 1＝2，x 2＝6.当x ＝2时，FC ＝2，EC ＝10－4＝6＜10，符合题意；当x ＝6时，FC ＝6，EC ＝10－12＝－2＜0，不符合题意，舍去． 答：2 min 后，两物体相距210 km .(2)△CEF 的面积不能等于7 km 2.理由如下：设t min 后△CEF 的面积等于7 km 2.∵甲的速度为1 km /min ，乙的速度为2 km /min ， ∴CF ＝t ，CE ＝10－2t ，∴12·t·(10－2t)＝7，整理，得t 2－5t ＋7＝0.∵(－5)2－4×7＜0，∴此方程无实数根，∴△CEF 的面积不能等于7 km 2. 8．解：(1)当t ＝4时， l ＝12t 2＋32t ＝8＋6＝14. 故答案为14.(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为一个半圆的长度， 故12t 2＋32t ＋4t ＝21， 解得t ＝3或t ＝－14(不符合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .9 解：(1)设经过x s ，△PAQ 的面积为2 cm 2. 由题意，得12(3－x)·2x＝2，解得x 1＝1，x 2＝2.所以经过1 s 或2 s ，△PAQ 的面积为2 cm 2.(2)设经过y s ，△PAQ 的面积为3 cm 2. 由题意，得12(3－y)·2y＝3，即y 2－3y ＋3＝0，在此方程中b 2－4ac ＝－3＜0， 所以此方程没有实数根，所以△PAQ 的面积不能达到3 cm 2.(3)设经过t s ，P ，Q 两点之间的距离为17 cm ， 则AP ＝(3－t)cm ，AQ ＝2t cm .由勾股定理，得(3－t)2＋(2t)2＝(17)2，解得t 1＝2，t 2＝－45(不符合题意，舍去)．所以经过2 s ，P ，Q 两点之间的距离为17 cm . 10． (1)6 12(2)设经过x 秒后，△BPQ 是直角三角形．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝12 cm ，∠A ＝∠B＝∠C＝60°. 由题意，知BP ＝(12－x)cm ，BQ ＝2x cm . ①当∠PQB＝90°时，∠BPQ ＝30°， ∴BP ＝2BQ ，即12－x ＝2×2x， ∴x ＝125.②当∠QPB＝90°时，∠PQB ＝30°， ∴BQ ＝2BP ，∴2x ＝2(12－x)，∴x ＝6. 即经过6秒或125秒后，△BPQ 是直角三角形．(3)设经过y 秒后，△BPQ 的面积为10 3 cm 2.如图，过点Q 作QD⊥AB 于点D ，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB ＝30°，∴DB ＝12BQ ＝y cm .在Rt △DBQ 中，由勾股定理，得DQ ＝3y cm ， ∴（12－y ）3y2＝10 3，解得y 1＝10，y 2＝2.∵当y ＝10时，2y ＞12，故舍去，∴y ＝2. 答：经过2秒后，△BPQ 的面积为10 3 cm 2.。
一元二次方程的应用-几何问题数学九年级上册同步教学课件(人教版)
D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12
数学人教版九年级上册二次函数动点问题专题
《动点问题》专题教学设计29中黄昌军《动点问题》专题地位概述：动点问题是最常见的综合题，而且纵观近年来的宜昌中考压轴题中，动点问题几乎是必考题。
函数的概念，一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，一次函数、二次函数、反比例函数与方程（组）、不等式、三角形、四边形和圆有紧密的联系，形成了函数常规综合题，主要涉及的数学思想有函数思想、方程思想（如：利用一元二次方程的根与系数的关系求已知一根的方程的另一根）、特殊到一般思想、建模思想、数形结合、转化思想（例如：解析式联立解方程组求图象交点坐标等）、分类与整合思想、配方法以及待定系数法等。
学情分析：学生在解答动点问题时主要体现出信心不够，总认为压轴题不是自己能解决的，这些学生往往把解压轴题和做选择题的效果等同起来，认为做不出最后的结果就是没做出来，不如不做，殊不知，综合题的解答是分步得分的，不像选择题那么主观；而且入手第一问的设计往往面向全体学生，非常简单，根据几何直观、数形结合直接得到答案，相当于一个选择题水平；第二问在前一问基础上进一步拓展；第三、四问往往是在在运动变化中去解决问题，几个问题的设计难度呈螺旋上升，由特殊到一般，第一二问的相对单一的过程阅读评价到第三、四问综合能力要求相结合。
因此动点问题不是什么令人望而生畏的问题，而是全体学生都能有所作为的，是用来贯彻体现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念的载体。
一、教学目标知识与能力目标：1.进一步理解一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象和性质，掌握根据具体条件判断函数类型，列出函数关系式的方法；2.能够从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。
过程与方法目标：通过对实际问题的分析，让学生体会解决问题的通性通法．情感态度与价值观目标：通过解答分步设问的综合题，让学生体会一些应考得分技巧，增强学生学好数学的愿望与信心．二、教学重难点从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，“以形析数，以数释形”，根据数与形的相互转化来建立方程或不等式，提高解决函数综合问题的能力。
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
专题《一元二次方程应用》人教版九年级数学上册
专题一元二次方程应用（7个考点七大题型）【题型1 变化率问题】【题型2 传播问题】【题型3 树枝分叉问题】【题型4 单循环和双循环问题】【题型4 销售利润与一次函数综合问题】【题型5 销售利润每每问题】【题型6 几何图形问题】【题型7 几何中动点问题】1．（2023•渝中区校级模拟）我校初三某班第一次体育模拟测试平均分为43.2分，经过专业的体育指导和训练后，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试平均分达到46.7分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为x，则可列方程为（）A．43.2（1+x）＝46.7B．46.7（1﹣x）＝43.2C．43.2（1+x）2＝46.7D．46.7（1﹣x）2＝43.2 2．（2023•重庆模拟）某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）2＝49B．25（1+x）+25（1+2x）＝49C．25（1+x）+25（1+x）2＝49D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝493．（2023春•萨尔图区校级期中）某校图书馆六月份借出图书100本，计划七、八月份一共借出图书480本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝480B．100（1+x）+100（1+x）2＝480C．100（1﹣x）2＝480D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝4804．（2023•渝中区校级二模）随这疫情消退我国经济强势崛起，2023年某外贸企业二月份的销售额为3亿元，四月份的销售额为6.75亿元．设该企业二月到四月销售额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程是（）A．3（1+x）＝6.75B．3（x+1）2＝6.75C．3+3（1+x）2＝6.75D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝6.755．（2023•长沙一模）长沙已成为国内游客最喜欢的旅游目的地城市之一，调查显示，长沙在2021年五一假期，共接待游客200万人次，在2023年五一假期，共接待游客288万人次．（1）求长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率；（2）茶颜悦色已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品，已知幽兰拿铁的单价比声声乌龙贵2元，某导游花费216元购买幽兰拿铁的杯数是96元购声声乌龙的两倍，求幽兰拿铁的单价．6．（2023•南海区一模）富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．（1）求富强村人均收入的年平均增长率；（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元7．（2023•澄城县一模）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．8．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81 9．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（）A．（1+x）2＝361B．x2＝361C．1+x+x2＝361D．x（1+x）＝361 10．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．2028 11．（2023春•诸暨市月考）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是人．12．（2023春•金安区校级月考）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？13．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？14．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？15．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？16．（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6B．4C．3D．5 17．（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）A．8个B．7个C．6个D．5个18．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7 19．（2022秋•武昌区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出个小分支．20．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？21．（2022秋•滨海新区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的枝干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．22．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．10 23．（2023•闽清县校级模拟）某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（）A．x2＝28B．x2＝28×2C．D．x（x﹣1）＝28×224．（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．925．（2023•博罗县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支26．（2022秋•集贤县期末）在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）A．x（x+1）＝21B．x（x+1）＝21C．x（x﹣1）＝21D．x（x﹣1）＝2127．（2023春•拱墅区校级期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（）A．x（x+1）＝182B．x（x﹣1）＝182C．D．28．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（）A．B．x（x﹣1）＝4C．x（x+1）＝28D．29．（2023•四川模拟）命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（）A．B．x（x﹣1）＝40C．D．x（x+1）＝40 30．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．31．（2022秋•公安县月考）在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了380份礼物，则参加聚会的同学的人数是．32．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？33．（2023•中山市校级模拟）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？34．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如表：每件售价x（元）91113每天的销售量y（件）1059585（1）求y与x的函数解析式；（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？35．（2022秋•云梦县期中）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y…908070…（件）（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请直接写出销售单价x的所有可能取值．36．（2022秋•铁西区期中）某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系y＝kx+b，且x＝60时，y＝5；x＝80，y＝4．（1）求出y与x的解析式；（2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．37．（2023•南海区校级模拟）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．…20.52426.526…售价x（元/千克）销售量y（千克）…39322728…（1）某天这种水果的售价为25元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？38．（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？39．（2023春•嵊州市校级期中）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？40．（2023春•庐阳区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？41．（2023春•宁波期中）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？42．（2022秋•代县期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．43．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？44．（2023春•瓯海区期中）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？45．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或646．（2023春•襄州区校级月考）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？47．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．48．（2021秋•集贤县期末）如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？49．（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．50．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．51．（2022秋•石狮市期末）为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落（墙足够长），用总长为28米的篱笆围成一个长方形苗圃OABC．设AB＝x米，BC＝y米．（1）求苗圃OABC的面积；（用含x的代数式表示）（2）若苗圃OABC的面积为192平方米，现要在苗圃OABC的对角线上修一条小道AC，求小道AC的长．52．（2023•播州区一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．（1）道路①的面积为20x平方米；道路②的面积为20x平方米（都用含x的代数式表示）；（2）如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．53．（2022秋•昆都仑区期末）如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，已知墙长为12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？54．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．55．（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B 点时点Q随之停止运动．（1）AP＝，BP＝，CQ＝，DQ＝（用含t的代数式表示）；（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．57．（2022秋•江门校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC 向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停＝28cm2？若存在，请求出t的值；止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ若不存在，请说明理由．58．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？59．（2022春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？。
人教部初三九年级数学上册 一元二次方程与实际问题-几何图形问题 名师教学PPT课件
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885.
解得 x1=105(舍去）， x2=1.
注意：结果 应符合实际 意义
答：水渠应挖1米
引言中的问题也可以用平移的方法去解决
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小 不会改变”的性质，把纵、横两条路移动 一下，使列方程容易些（目的是求出水渠 的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置 修路）.
解得
x
51 4
3239
, 所以x1
1.5,
x2
27.（0 舍去）
答：相框边的宽度应是1.5cm.
拓展提升
1. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠
墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
问题：养鸡场的面积能达到180m2吗?如果能,请给出设计
方案;如果不能,请说明理由.
25m
新课讲解
解：∵这本书的长宽之比9:7，正中央的矩形长
宽之比9:7，∴可设中央矩形的长为9xcm,宽为
7xcm;根据题意得：
9x 7x 3 27 21 4
解得
3 x1 2
3(舍去），x2
3 2
3
27cm
∴上下边衬 27-9 3 3 2 1.8cm 2
∴左右边衬 21-7 3 3 2 1.4cm
21cm
答：上下边衬的宽度为1.8cm,2 左右边衬的宽度为1.4cm.
新课讲解
如图,在一块长为 92 m ,宽为 60 m 的矩形耕地上挖三条水渠, 水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩 形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为x m,我们利用面积不变把竖直的和 水平的水渠分别平移，这样将所 有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，新矩 形的长为 (92 – 2x ) m, 宽(60 - x) m.
九年级数学导学案一元二次方程的应用--几何问题
一元二次方程的应用--几何问题（三）题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题例1如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？变式1-1如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．变式1-2如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？变式1-3已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．变式2-1如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．变式2-2如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？变式2-3如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N 同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；设W＝MN2，求W关于t的函数关系式；（3）当t为何值时，△MON的面积为cm2．。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
人教版九年级上册数学 第21章 用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法
用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次方程应用题常见的类型及解题方法，归纳提供给大家参考。
1、利润问题此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=进价利润。
例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。
解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）=1200解得x1=10，x2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴每件应降价20元。
答：略2、利息问题此类问题的等量关系是：利率=本金利息，利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率）。
例：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）分析：假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1＋x）元，支取1000元后，还剩[2000（1＋x）－1000]元，将所剩[2000（1＋x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出方程。
解：设这种存款方式的年利率为x。
根据题意得，[2000（1＋x）－1000]（1＋x）=1320∴)1(2x－0.5(x＋1)－0.06=0∴（x＋1＋0.6）（x＋1－1.1）=0∴x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10%答：略3、与几何图形的面积问题①几何图形的面积问题面积公式是此类问题的等量关系。
【初中数学】人教版九年级上册思维特训（三） 与一元二次方程有关的几何动态问题(练习题)
人教版九年级上册思维特训（三）与一元二次方程有关的几何动态问题(353)1.如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB=2，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度做直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．当AP的长为何值时，△PCQ与△ABC的面积相等？2.如图，在等腰梯形ABCD中,AB//DC，∠A=45∘，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由三角形变化为(2)设等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)．①当x=6s时，y=cm2；(直接写出答案，不必写出过程)．②求x为何值时，y=4cm2；(要求写出过程)③当x=s时，y=15cm2.(直接写出答案，不必写出过程)3.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到点O以北50m处时，甲恰好到点O处.若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置.4.如图所示，已知甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点C，B两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动(当其中一人先到达拐点时，两人同时停止运动)，甲的速度为1千米／分，乙的速度为2千米／分，若正方形广场的周长为40千米，则几分钟后，甲、乙两人相距2√10千米？5.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90∘，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果Q,P分别从A,B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？(2)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由6.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB向点B移动．通过点P引平行于BC，AC的直线与AC，BC分别交于点R，Q．当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？参考答案1.【答案】:解：设AP=x．①当点P在线段AB上时(如图①)，∵AP=CQ=x,PB=2−x, ∴S△PCQ=12CQ·PB=12x(2−x)．∵S△PCQ=S△ABC=12×2×2=2,∴12x(2−x)=2.即x2−2x+4=0，此方程无解．②当点P在线段AB的延长线上时(如图②)，∵AP=CQ=x,PB=x−2, ∴S△PCQ=12CQ·PB=12x(x−2)，∴12x(x−2)=2.解得x=1±√5(负值舍去)，∴AP=1+√5．∴当AP=1+√5时，△PCQ与△ABC的面积相等2(1)【答案】等腰直角；等腰梯形(2)【答案】解：等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况:①9②当0<x≤6时,重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN(如图①)．此时AN=x(cm), 过点E作EH⊥AB于点H,则EH平分AN,∴EH=12AN=12x．则y=S△ANE=12AN·EH=12x·12x=14x2．∴14x2=4.解得x1=4,x2=−4(不合题意，舍去)．∴x=4.∴当x=4(s)时,等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.③83.【答案】:设再过xs后两人相距85m，依题意列方程，得(3x+50)2+(4x)2=852，解得x1=9，x2=−21（不合题意，舍去），当x=9时，3x+50=77，4x=36.答：当两人相距85m时，甲的位置在点O以东36m处，乙的位置在点O以北77m处. 【解析】:本题中两人所走的路线恰好是一个直角三角形的两直角边，所以可以用勾股定理来建立方程.5(1)【答案】解：设x s后，△PBQ的面积等于4cm2.此时，AQ=x cm，QB=(5−x)cm，BP=2x cm．由12BP•BQ=4，得12(5−x)•2x=4.即x2−5x+4=0，解得x1=1，x2=4(不合题意，舍去)．所以1s后，△PBQ的面积等于4cm2(2)【答案】不能．理由：根据题意，得12(5−x)•2x=7. 整理，得x2−5x+7=0，因为b2−4ac=25−28<0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm26.【答案】:解：设AP=x cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2，则PB=(8−x)cm．∵等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm,∴∠A=45∘.∵PR//BC,∴∠APR=∠B=90∘，∴PR=AP=x,∴(8−x)·x=16，即x2−8x+16=0，∴x1=x2=4，∴AP=4cm．即当AP等于4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2。
九年级数学上册知识点----应用一元二次方程行程问题及几何问题
变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知 两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到 0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
(1 x)2= 1 2
解这个方程，得
x1=1+
2 2
,
x2
=1
2 2
x =1+ 2 ＞1(舍去),x =1 2 29.3%.
0
10×少 1 10×卖 2
十
10×3
斤
10×4
10x
100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4
100-10x
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+2)× (100-10×2）
w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4)
列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的 年平均下降率约为22.5％.
解后反思
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率 （百分数）就大呢？
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降 额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的 年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然， 乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的 大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降 率大呢?
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的 年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很 多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
一元二次方程的应用(动点问题)
P53
练习 T2
牛刀小试 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移 动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边 向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发， 几秒后△ PQD的面积等于28cm2？
D C
Q
A P
B
牛刀小试
2、在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以 2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过 点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点 E.F分别在AC,BC上,问：点D出发 几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
拓展提升：
P54 T7
（4）当x为何值时，四边形PQMN 为直角梯形？
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动把动的点进行转换, 变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常找的数量关系——面积，勾股定理等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
习题速练：
动点问题
合作交流
例1 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动；同时点 Q沿 CB 边从点 C 向 终点 B 以 2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达 终点时，另一点也随之停止移动. 问：(1)点 P，Q 出发几秒后， △PCQ 为等腰三角形？ （2）点P，Q出发几秒后， 可使△PCQ 的面积为9 cm2 ? △PCQ的面积能为10cm2? （3）当点P、Q出发几秒后， PQ的长度为 4 2 cm？
Ｅ Ａ
Ｄ
Ｃ F
人教版九年级上册第二十一章 《一元二次方程》实际应用：几何图形问题
《一元二次方程》实际应用：几何图形问题1．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．2．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？3．学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．4．用一块边长为60cm的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．若做成的盒子的底面积为900cm2时，求截去的小正方形的边长．5．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．6．合肥长江180艺术街区进行绿化改造，用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为150m2时，求x的值；（2）如图2，如果矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，当花园面积是150m2时，求BF的长．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？8．公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）．（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度．（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？9．如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？10．如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．11．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？12．如图所示，利用一面墙的部分长度作为矩形较长的一边，另三边用24米长的篱笆围成一个面积为54平方米的矩形场地，求矩形场地较短边的长．13．学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．（1）用x表示绿化区短边的长为米，x的取值范围为．（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．14．如图，用99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN 为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米．（1）用含x的代数式表示AB的长．（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．15．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．（1）求道路宽多少米；（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？16．在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．17．九龙坡区政府为改善民生，自2019年起启动了43个“需由所应”专项项目，该区某社区的居民活动广场是多年前修建而成，而辖区人口近年来又不断增加，已经远不能满足居民活动需要．为此，政府决定对该矩形广场进行扩建改造，并提档升级（改建施工示意图如图所示）．（1）若原广场长的3倍比宽的2倍多70米，而宽的3倍比长的2倍多20米，则原广场的长和宽分别是多少米？（2）如果扩建改造后的矩形广场长比宽的1.25倍多15米，扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元，若扩建和铺设地砖总费用为642000元，则扩建改造后的广场长和宽应分别是多少米？18．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．19．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．20．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？参考答案1．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×2）÷2＝18（cm ）， 纸盒底面长方形的宽为20﹣2×2＝16（cm ）． 答：纸盒底面长方形的长为18cm ，宽为16cm ．（2）设当纸盒的高为xcm 时，纸盒的底面积是150cm 2， 依题意，得：×（20﹣2x ）＝150，化简，得：x 2﹣30x +125＝0， 解得：x 1＝5，x 2＝25．当x ＝5时，20﹣2x ＝10＞0，符合题意；当x ＝25时，20﹣2x ＝﹣30＜0，不符合题意，舍去． 答：若纸盒的底面积是150cm 2，纸盒的高为5cm ． 2．解：（1）设BC ＝xm ，则AB ＝（33﹣3x ）m ， 依题意，得：x （33﹣3x ）＝90， 解得：x 1＝6，x 2＝5．当x ＝6时，33﹣3x ＝15，符合题意，当x ＝5时，33﹣3x ＝18，18＞18，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB ）为15m ，宽（BC ）为6m ． （2）不能，理由如下：设BC ＝ym ，则AB ＝（33﹣3y ）m ， 依题意，得：y （33﹣3y ）＝100， 整理，得：3y 2﹣33y +100＝0．∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m 2的矩形养鸡场．3．解：（1）设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x ）米， 依题意，得：x （16﹣2x ）＝30， 整理，得：x 2﹣8x +15＝0， 解得：x 1＝3，x 2＝5．当x ＝3时，16﹣2x ＝10＞8，不合题意，舍去；当x ＝5时，16﹣2x ＝6．答：生物园的长为6米，宽为5米． （2）不能，理由如下：设垂直于墙的一边长为y 米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y ）米， 依题意，得：y （16﹣2y ）＝35， 整理，得：2y 2﹣16y +35＝0．∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0， ∴原方程无解，∴不能围成面积为35平方米的生物园．4．解：设截去的小正方形长为xcm ，依题意列方程（60﹣2x ）2＝900 解得：x 1＝15，x 2＝45（舍去） 答：截去的小正方形长为15cm ．5．解：设垂直于墙的一边AB 长为xm ，那么另一边长为（20﹣2x ）m ， 由题意得x （20﹣2x ）＝50， 解得：x 1＝x 2＝5， （20﹣2×5）＝10（m ）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m ，10m ，5m 的矩形． 答：不能围成面积52m 2的矩形ABCD 场地．理由：若能围成，则可列方程x （20﹣2x ）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m 2的矩形ABCD 场地．6．解：（1）由题意得：（40﹣x ）x ＝150； 解得：x 1＝10，x 2＝30， ∵30＞15 ∴x ＝30舍去， ∴x ＝10m ； 答：x 的值为10m ；（2）设BF ＝y ；则（25﹣2y ）（y +15）＝150； 解得y 1＝﹣（舍去），y 2＝5，答：BF 的长为5m ．7．解：（1）设经过x 秒后，△PBQ 的面积等于8cm 2，则BP ＝（6﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm ， 依题意，得：（6﹣x ）×2x ＝8， 化简，得：x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ 的面积等于8cm 2． （2）设经过y 秒后，P ，Q 两点间距离是cm ，则BP ＝（6﹣y ）cm ，BQ ＝2ycm ，依题意，得：（6﹣y ）2+（2y ）2＝（）2，化简，得：5y 2﹣12y ﹣17＝0， 解得：y 1＝，y 2＝﹣1（不合题意，舍去）． 答：经过秒后，P ，Q 两点间距离是cm ．8．解：（1）设小花园四周的宽度为xm ，由于小花园四周小路的宽度相等， 则根据题意，可得（120﹣2x ）（80﹣2x ）＝3200， 即x 2﹣100x +1600＝0， 解之得x ＝20或x ＝80．由于四周宽度最多不超过30米，故舍去x ＝80． ∴x ＝20m ．答：小花园四周宽度为20m ．（2）当矩形四周的宽度最大的面时，小花园积最小，从而投入的建造资金最少， 此时最少资金为100（120﹣2x ）（80﹣2x ）＝100×（120﹣2×30）×（80﹣2×30）＝120000（元）．答：为了建造此小花园，管理处最少要准备120000元，此时小花园四周的宽度是30m ． 9．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm ， 依题意，得：（8﹣2x ）（5﹣2x ）＝18， 整理，得：2x 2﹣13x +11＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝．又∵5﹣2x ＞0， ∴x ＜， ∴x ＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m ．10．解：设B 地块的边长为xm ，根据题意得：x 2﹣x （16﹣x ）＝40，解得：x 1＝10，x 2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26m ，答：矩形荒地的长为26m ．11．解：设垂直于墙的边长为x 米，则平行于墙的边长为（28﹣2x ）米，依题意，得：x （28﹣2x ）＝80，整理，得：x 1＝4，x 2＝10．当x ＝4时，28﹣2x ＝20＞12，不符合题意，舍去；当x ＝10时，28﹣2x ＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．12．解：设矩形场地较短边的长为x 米，则邻边长为（24﹣2x ）米，依题意得 x （24﹣2x ）＝54，整理得x 2﹣12x +27＝0，解得x 1＝3，x 2＝9（舍去）．答：矩形场地较短边的长为3米．13．解：（1）路面宽为（14﹣2x ）米，则绿化区短边的长为[10﹣（14﹣2x ）]÷2＝（x ﹣2）米，依题意得2≤14﹣2x ≤5， 解得≤x ≤6；（2）设绿化区的长边长为x 米．由题意列方程得150×4x （x ﹣2）+200[14×10﹣4x （x ﹣2）]＝25000，整理得x 2﹣2x ﹣15＝0，解得x 1＝5，x 2＝﹣3（不合题意，舍去）．答：绿化区的长边长为5米．故答案为：（x ﹣2），≤x ≤6．14．解：（1）AB ＝＝（米）；（2）依题意有 x •＝450，解得x 1＝10，x 2＝90．∵10＜20，90＞20，∴x ＝10．故所利用旧墙AD 的长为10米．15．解：（1）设道路宽x 米，根据题意得：（50﹣2x ）（30﹣x ）＝1392，整理得：x 2﹣55x +54＝0，解得：x ＝1或x ＝54（不合题意，舍去），故道路宽1米．（2）设选A 种类型步道砖y 平方米，根据题意得：300×0.8y +200×[50×1+（30﹣1）×1×2﹣y ]≤23600，解得：y ≤50．故最多选A 种类型步道砖50平方米．16．解：设广场中间小路的宽为x 米，依题意，得：（18﹣2x ）（10﹣x ）＝18×10×80%，整理，得：x 2﹣19x +18＝0，解得：x 1＝1，x 2＝18．又∵18﹣2x ＞0，∴x ＜9，∴x ＝1．答：广场中间小路的宽为1米．17．解：（1）设原广场的长是x 米，宽是y 米， 依题意，得：， 解得：． 答：原广场的长是50米，宽是40米．（2）设扩建改造后广场的宽是m 米，则长是（1.25m +15）米，依题意，得：30×[m （1.25m +15）﹣50×40]+100m （1.25m +15）＝642000， 整理，得：m 2+12m ﹣4320＝0，解得：m 1＝60，m 2＝﹣72（不合题意，舍去），∴1.25m +15＝90．答：扩建改造后广场的长是90米，宽是60米．18．解：根据题意，得（1000﹣4x ﹣200）（40﹣2x ）＝15200． 解这个方程，得：x 1＝210（不合题意，舍去），x 2＝10．所以x 的值为10．19．解：（1）存在．假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x ，y ，则，由①得：y ＝4﹣x ，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形．20．解：（1）设通道的宽为x 米，根据题意得：（52﹣2x ）（28﹣2x ）＝640解得：x ＝34（舍去）或x ＝6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a 元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意得：（200+a ）（64﹣）＝14400整理，得a 2﹣440a +16000＝0解得：a 1＝400，a 2＝40由于是惠民工程，所以a ＝40符合题意．答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．。
部编数学九年级上册专题09《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类(解析版)含答案
专题09 《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《一元二次方程的应用综合》中“与一元二次方程有关的动点问题”、“一元二次方程与一次函数的综合”、“与一元二次方程有关的阅读探究问题”等重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：与一元二次方程有关的动点问题方法点拨：一元二次方程在几何动点问题中运用的关键是找到合适的直角三角形，用设定的字母把三边表示出来，再根据勾股定理列出方程进行求解，最后必须根据题意判定结果的合理性。
只要认真审题，牢固掌握并灵活运用各个特殊几何图形的性质定理，并根据边角间的数量关系列出等式，就能轻松应对这类题型。
1．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在Rt ABC V 中，6cm AB =，8cm BC =．点P 从点A 出发，沿AB 边以1cm/s 的速度向点B 移动；点Q 从点B 同时出发，沿BC 边以2cm/s 的速度向点C 移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P ，Q 两点的距离是？2．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．此时，BP ＝x ﹣2，则PC ＝BC ﹣BP ＝3﹣（x ﹣2）＝5﹣x ，则AP 2＝AB 2+BP 2＝4+（x ﹣2）2，DP 2＝PC 2+CD 2＝1+（x ﹣5）2，当AP ＝PD 时，即4+（x ﹣2）2＝1+（x ﹣5）2，解得x ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．3．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度运动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)点P 运动开始后第几秒时，PBQ △的面积等于28cm ；(2)设点P 运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为2Scm ，写出S 与t 的函数关系式，并指出t 的取值范围．【答案】(1)2秒或4秒(2)()267206S t t t =-+<<【分析】（1）根据t 秒时，P 、Q 两点的运动路程，分别表示PB 、BQ 的长度，可得PBQ △的面积，后令其为28cm ，求出t 的值即可；（2）用PBQ ABCD S S S =-△矩形求面积即可．（1）解：第t 秒钟时，AP t =，2BQ t =，4．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，16BC =，12DC =，21AD =．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CB 的方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动．设运动的时间为t （秒），当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？由图可知，CM =PD =2t ，CQ =t ，若以①若PQ =BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=由PQ 2=BQ 2得t 2+122=（16﹣t ）2，解得考点2：一元二次方程与一次函数的综合方法点拨：利用一次函数与韦达定理进行求解最值问题。
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基本信息
课题《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》学科数学班级初二134B1 授课教师卫霞授课时间2017-6-2 【教学任务分析】
教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.
1）. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程；
2）. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系；
3）. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程；
4）. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程；
5）. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根.
2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.
3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。
教学重点用一元二次方程解决动点问题；
动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题
教学难点
分析动点的运动，列出一元二次方程.
进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
教学方法自主探究、自主讲解、合作学习
媒体资源学生导学卡和多媒体课件
【教学过程设计】
教学流程教学活动师生活动设计意图
【板块一】复习回顾复习引入
1、列方程解应用题的步骤：
（1）、（2）、（3）、（4）、
（5）、（6）、
回顾思考回顾前几节课刚刚
学过的利用一元二
次方程可以解决的
几类实际问题，引
出新课——用一元
二次方程解决几何动点问题.
【板块二】新知探究例1、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，
现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，
其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；
点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中
一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求
动点运动时间为多少秒时△PBQ的面积为4 cm2．
变式1：当x为何值
时，PQ长为13
变式2：当Q的运动
方向相反时，（从C
向B移动）当x为何值时，△PBQ的面积为4 cm2
读题，
边读边
推、动手
画图，尝
试设未知
数、列方
程、
讲解自己
思路
带领学生学会审题
和分析（A、线段长：
变量：常量：
B、有几个动点？动
点的起点、终点、
运动方向、速度分
别是什么？时间范
围
C、图中有哪些线段
可以用t表示，试
着在导学卡中写出
来. ）
设计动点表格（在
学生的导学卡中）
【板块三】课堂练习1、在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点
A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点
Q从点B开始以2cm/s的速度沿
BC边向点C移动,如果P、Q分
别从A、B同时出发，几秒后△
学以致
用、举一
反三.
本环节重在考察生
应用所学知识解决
类似问题的能力，
同时检测学生当堂
C
B
A
B
A
C
D
Q
P
PBQ的面积等于2
8cm？
变式1：几秒钟后，若△PQD的面积等于2
8cm呢？
变式2：（备选）当点Q运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，试求△PQD的面积S与P、Q两个点运动的时间t之间的函数关系式。
学生板演
并讲解
的学习效果.该环节
中的试题在原来例
题的基础上作了适
当的变化，数据的
变化、起点及运动
方向的变化，旨在
考察学生认真审题
的能力.
【板块四】课堂检测1、如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，
点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
点Q从B开始沿边BC向点C
以2cm/s的速度移动，若一动
点运动到终点，则另一个也随
之停止。
(1)如果P,Q分别从A,B同时
出发，那么几秒后，△BPQ的
面积等于4cm2？
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ
的长度等于5cm？
学生课堂
小测、教
师巡视指
导、
检验课堂落实效果
及时发现学生存在
的问题并给与指导
【板块五】课堂小结本环节通
过提问学
生的课堂
学习收
获，再补
充老师给
的课堂小
结.
方法提炼、提升语
言精练度、使学生
明白关键、和突破
方法
【板块六】课堂作业1.等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,
沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与
AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四
边形PQCR的面积等于16cm
²
2、矩形ABCD中，AB＝
6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B
以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边
BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△
PBQ的面积等于8cm2；
课后作业
课后练习
学以致用
3、有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t；
（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t；
【板块七】教学反思
C
B Q R
A D
l
P。