完美的正方形分割
正方形 4等分 方法
正方形四等分的方法可以参考以下几种：
1. 利用勾股定理法：正方形四等分的一个好方法就是利用勾股定理，即通过找到正方形的三个直角来等分。
你可以先在纸上画一个正方形，再画出三条互相垂直的直线，将正方形分成四份。
这种方法充分利用了直角三角形的特性，是一个简单但有效的方法。
2. 利用折纸法：将正方形对角线折叠，然后再对折剩下的半正方形，此时，就可以将原来的正方形四等分。
这种方法可以直观地看到四等分的成果，有助于理解和验证。
3. 利用尺子和圆规法：使用尺子和圆规将正方形分割成四等份。
首先在正方形的四个顶点分别画一个圆，然后使用圆规将每个顶点分割成四份，就完成了四等分。
4. 使用模板法：可以制作一个模板，将其贴在正方形的四个角上，用剪刀或者刀子进行切割，就可以得到四个等份。
这种方法需要制作模板，可能需要一些技巧和经验。
这些方法都有各自的优点和适用性，可以根据实际情况选择合适的方法来进行四等分。
小学五年级心理健康教育《完美的正方形》教案
完美的正方形设计意图：《完美的正方形》描写了一个正方形一周七天的经历，生活带给它风雨和伤痛，它却用乐观的心态面对，积极调整自我，让这些阻碍和挫折成就了更好的自己。
佛语中“孔雀食毒而颜色愈加鲜艳，海蚌含沙而珍珠熠熠发光”，你所经历的一切终将成为你生命中的财富，大概就是这个意思。
五年级是小学生思维迅速发展的时期，他们开始能够对事物的本质进行理解与分析，能够联系到自己生活，理解与领悟到绘本故事所表达的内涵。
小学生在生活中也会遇到来自家庭、同伴、学习等方面的困难和挫折，不少孩子缺乏有效的应对方法和策略，实际上，有一些孩子也很难通过告诉他们方法来改变（尤其是那些内在资源和力量较弱的孩子），这时候艺术疗愈的方法能够很好的帮助到孩子们，帮助他们在潜意识开展工作和转化。
发展性艺术治疗以积极心理学为理念，以艺术为手段，通过艺术各种形式，调节、管理不良情绪，有效调节身心平衡，激发个体自身潜能来解决问题，提升生命质量，提高主观幸福感，让生活充满乐观和希望，使个体生命更加充实而有意义。
教学目标：1.通过活动认识到，生活中每个人都会遭遇各种困难与挫折；2.正确看待挫折，尝试用积极的方法来应对和转化挫折，发现生命的多种可能性；3.在创作过程中，整合和疗愈过去的经历，纾解学生的不良情绪。
教学重难点：1.引导学生根据绘本联系到自己现实生活中遇到的问题及困难；2.提供一个温暖而安全的环境，让学生能够走进自己内心。
课时：1课时年级：5年级教学准备：分组4人一组、正方形卡纸、A4纸、三首轻音乐戏，这个游戏叫做“一周生活”，我们一起来看游戏规则（PPT出示）：1.老师给大家30秒钟回忆最近一周发生的事情（可以是任何事情）比如：昨天娇娇老师第一次见到同学们就被大家的热情感动了，我这两天都特别开心！ 2.击鼓传花：鼓响时大家开始传，至鼓停止为止；3. 传的人可以下座位，其他人不能下座位（师提醒：只能用传的方式，不能扔、抛）；4.此时球在谁手中(或其座位前),谁就来分享；设计意图：通过游戏的方式激发孩子对课堂的兴趣，引出课题。
完美的正方形
《向正方形致敬》是一幅画。画中有
四个正方形，他们一个比一个小，其中 三个正方形比把自己小的正方形包在里 面。这幅画有价值的地方在于可以联想。 数学家说它是几何图形；孩子们说它是 积木；艺术家说它是通道。四个绝对标 准的正方形严密相套，丝毫没有调皮和 欺骗的姿态，然而，颜色却在近于刻板 的图形中悄悄变幻，从苍白的橙色到深 粉色，微妙的过程消失在人们漫不经心 的一瞥中。作品用一种深沉的语言表现 色彩本身的魅力，不惜牺牲绘画艺术的 趣味和美感，理性的画面使人感到一种 可爱的沉默。
由此可见，我们一个向外走，一个向
内走行，这正符合我们彼此的人生秩序。 成年人追求更小的“正方形”，意即放 下、消融自我。因为到了一定的年纪， 你就会明白；外在的追求无穷无尽，而 这正是我们焦虑、痛苦、烦恼的原因。 那一个大过一个的“正方形”，可 以看做不断成长的自我，那一个小于一 个的“正方形”，可以看做不断缩减的 自我。自我的“扩展”为了生存，为了 自我价值的实现，而自我的“缩减”是 为了更好地存在，为了充分认识自己真 实的身份从而活在当下。这一内一外， 有来有回，才是一个完美的人生。
形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀
速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的 面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函 数关系的是（ ）(2013年浙江省衢州市)
A
B
C
D
链接考纲，详见考纲P45第12题及
P51第12题
函数关系式
23．（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4， 对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边 上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形 关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1． （1）求证：∠APE=∠CFP； （2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x， ． ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求 出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y 的值．
青岛版小学数学六三制三年级下册知识拓展：完美正方形
青岛版小学数学六三制
三年级下册
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来一起学习知识吧
完美正方形
我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？答案是可以的。
这样的一个大正方形，叫做完美正方形（又称完全正方形）。
第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的。
这个完美正方形可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。
此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。
于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。
利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。
1978年，荷兰数学家杜伊杰斯廷发现了21阶的完美正方形，边长为112，如图（图中数字为小正方形边长）。
更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。
杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。
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加油！。
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
第16讲 完美的正方形
第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC 于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
完美正方形
完美正方形完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形.而我们的研究,则放宽条件,允许同样大小的正方形不超过三个.我们先估算出正方形中可切割的最大正方形边长范围,再以方格纸手画的方式找出边长1至25的解,在过程中,我们发现可用放大的方式解决边长为合数的正方形.因此我们将重点放在边长为质数的正方形,我们将正方形分割成两个连续整数边长的正方形,则剩下少一单位的缺角正方形区域.我们探讨缺角正方形区域的解,再讨论分析回原来的正方形.最后解出了边长1至100中全部有解的正方形.对於更大边长的正方形,我们的方法也可行.所以我们以流程图来表示解决问题的过程,并用电脑试算边长1至1000的完美正方形.研究动机在暑假专书研读:名人趣题妙解书中,我们看到了塔尔塔利亚的巧分格纸,觉得很感兴趣,所以我们将完美正方形与巧分格纸两个融合,当作我们科展的题目.研究目的「完美正方形」是指,在一正方形内切割成不同大小,边长为整数的正方形,且这些切割出的正方形,均不能全等,这个主题在文献上有不错的研究成果.而我们的研究,则放宽条件,允许每一种同样大小的正方形不超过三个,希望可以探讨边长1～100中哪些正方形有解,哪些正方形无解如果有解如何切割文献探讨1926年,苏联数学家鲁金对"完美正方形"的存在提出了猜想.到1938年,他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形,人们称它为63阶的完美正方形.次年有人给出了一个39阶的完美正方形.1964年,塔特的学生,滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形.1948年,威尔科克斯提出了一个24阶的完美正方形,在往后的30年中,人们一度以为24就是完美正方形的最小阶.1978年,荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤,用大型电子电脑算出了一个21阶的完美正方形.这是完美正方形的最终目标了.因为鲁金曾证明,小於21阶的完美正方形是不存在的.。
2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形
2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．2．（4分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．3．（4分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为．4．（4分）如图，∠POQ=90°，边长为2的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，则A到OP的距离分别为．5．（4分）如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，则∠ANM的度数是．6．（4分）已知：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF 分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=度．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=，则BC边的长为．8．（4分）如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．9．（4分）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为．二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）10．（5分）将一个正方形分割成n个小正方形（n＞1），则n不可能取（）A．4 B．5 C．8 D．911．（5分）如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若S EFGH=，则|b﹣a|等于（）A．B．C．D．12．（5分）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°13．（5分）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．14．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2 B．3 C．D．15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC到F，使CF=CE，连接DF，BE的延长线与DF相交于G，则下列结论错误的是（）A．BE=DF B．BG⊥DFC．∠F+∠CEB=90°D．∠FDC+∠ABG=90°16．（5分）如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的长为（）A．10 B．11 C．12 D．1517．（5分）在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．三、解答题（共11小题，满分0分）18．如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AE+FC，DG⊥EF 于G，求证：DG=DA．19．（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB边上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．20．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P（如在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图（1）、（2））探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．21．如图，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BE．22．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP=EF．23．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．24．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．25．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．26．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．（1）判定四边形PQEF的形状；（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？27．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB=2，则△OAB的面积为．28．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形参考答案一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．75°；2．；3．15°；4．；5．55°；6．100；7．5；8．；9．7cm；二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）10．B；11．D；12．B；13．A；14．C；15．C；16．C；17．；三、解答题（共11小题，满分0分）18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．1；28．；。
初三数学完美正方巧妙构造
完美正方巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段．一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁．例1 （2002年某某省竞赛试题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB 为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGBH，过C作CK⊥AB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）（A）S1=S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AF∥EB，AG∥CK，则有S正方形AFCE=2S△FAB，S矩形AGKD=2S△ACG，而△ACG可由△FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，S△ACG=S△FAB，所以可得S1=S2，故选（A）。
例2 （2003年市竞赛题）如图2，以△ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积等于△ABC的面积的3倍。
分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI ≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S△DIK=3S△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G ′在一条直线上，且C 为AG ′的中点。
完美的正方形分割
在学习中,我们会遇到这样的问题,将一个大的正方形分割成若干个小的正方形.对于这样的问题,许多同学不知所措,现在我们来讨论如何将一个大正方形分割小正方形.首先,我们容易知道,一个正方形不能分割成2个、3个或5个小正方形.下面,假设一个正方形可以分割成n个小正方形(n≠2,3,5),究竟如何分法.当n=4时,情形比较简单,分割方法如图1,即将正方形的每边2等分即可.进一步推广便知,当正方形n=k2(k≥2)时分法如图1~3,即将正方形每边k等分,一共可得n=k2个小正方形,它们的大小是一样的.现将图1中的1个小正方形分割成4个,即可增加3个,一共可得7个,依此方法继续,又可得10个、13个……(如图4~6)可见,一个大正方形总可以分割成n=3k+1(k≥2)个小正方形;当n=3k+2(k≥2)时,根据上面的思路,最简单的情形是8个小正方形,就是说,只要能分成8个小正方形,那么8+3个,8+3×2个……都可以得到.怎样才能分成8个呢?刚才的思路是由4个小正方形进一步分割成7个、10个、13个或者更多的.现在我们倒回来想,将较多个数的正方形进行适当拼合,减少数量,......完美的正方形分割正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。
它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些长方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”。
对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果。
二十世纪三十年代，一个长方形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实。
到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的长方形的正方分割，如图2。
它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的。
图1 图2现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。
完美正方形
完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形．最早由莫伦提出．数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形．莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形），便可构造出一个完美正方形，而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成果．1939年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形，其边长为4205．几个月后，阶数更小（28阶）、边长更短（1015）的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来．1948年，威尔科克斯构造出24阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形（此类正方形称为混完美正方形，完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形），一直到1978年，这个纪录才被打破．1967年，威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形．1962年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在20阶以下的完美正方形．1978年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个21阶的完美正方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也有许多优美的特点，比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等．杜伊维斯廷同时还证明了：低于21阶的完美正方形不存在．1982年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于24阶的混完美正方形．1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21～25阶全部207个纯完美正方形：阶数21 22 23 24 25个数 1 8 12 26 160至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号．但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱茵瓶上，也取得了许多有趣的成果．但是立方体填充被证明是没有的．。
完美正方形与莫比乌斯环的关系
完美正方形与莫比乌斯环的关系英文版The relationship between a perfect square and a Möbius strip is a fascinating concept that explores the interconnectedness of geometry and topology. A perfect square is a shape with four equal sides and four right angles, while a Möbius strip is a surface with only one side and one edge. At first glance, these two shapes may seem unrelated, but upon closer inspection, their relationship becomes clear.To understand the connection between a perfect square and a Möbius strip, we must first examine their properties. A perfect square is a two-dimensional shape that lies flat on a plane, with all four sides meeting at right angles. It has four corners, or vertices, and four sides of equal length. In contrast, a Möbius strip is a three-dimensional shape that twists and turns in a way that creates the illusion of having only one side. It has a single edge that loops around the surface and connects back to itself.The key to understanding the relationship between these two shapes lies in their surfaces. A perfect square has a flat, continuous surface that can be easily visualized and measured. On the other hand, a Möbius strip has a twisted surface that is continuous but non-orientable, meaning it cannot be divided into two distinct sides. This unique property of the Möbius strip allows it to be transformed into a perfect square through a process known as cutting and reattaching.By cutting a Möbius strip along its center line and twisting one of the resulting halves, we can create a perfect square. The twist in the Möbius strip introduces an additional dimension to the shape, transforming it from a two-dimensional surface into a three-dimensional object. This transformation highlights the interconnectedness of geometry and topology, showing how seemingly unrelated shapes can be manipulated and transformed into one another.In conclusion, the relationship between a perfect square and a Möbius strip demonstrates the intricate connections between geometry and topology. By exploring theproperties and transformations of these shapes, we gain a deeper understanding of the fundamental principles that govern the world of mathematics.完美正方形与莫比乌斯环的关系完美正方形和莫比乌斯环之间的关系是一个引人入胜的概念，探讨了几何和拓扑之间的相互关系。
将正方形分成四等分的所有方法
将正方形分成四等分的所有方法大家好，今天我们来聊聊一个看似简单却非常有趣的几何问题——怎么把一个正方形分成四等分。
说到这个话题，不禁让我想起了小时候玩拼图的情景。
大家一定都有过这样的经历，面对一个拼图，想方设法把它拆分成几个部分，再小心翼翼地拼回去。
这种感觉就像是要在正方形里找出隐藏的秘密一样。
好啦，不卖关子了，我们一起来看看怎么把一个正方形分成四等分吧！1. 切割方式好，先从最简单的开始说起。
要把正方形分成四等分，我们可以用两刀就搞定了。
你可以把正方形想象成一块比萨饼，然后用刀子在正方形的中间横着切一刀，再竖着切一刀。
哇，一下子就把这个正方形切成了四块等大小的“小比萨”。
这种方法简单直观，谁都能看得懂。
这里就像我们做事要简单明了，一步到位。
不过，切法不止这一个哦！你还可以用斜着切的方式。
比如，把正方形的对角线当成切割线。
这种方式就像是把正方形拆成了两个大的三角形，再把每个三角形对半切开。
这样，你就得到四个小三角形啦！这个方法可能在你眼里稍微复杂一点，但其实操作起来也不难，像做蛋糕那样分层切割一样简单。
1.1. 交叉切割说到这里，不得不提一种非常有趣的方法，那就是交叉切割。
怎么理解交叉切割呢？就是先像之前说的那样，竖着和横着各切一刀，然后在每个小矩形里再做一次切割。
这样，你得到的结果就会是更多的等分，像是把正方形变成了一堆小小的方块。
用这种方法，你的正方形就像是变成了一个个小积木。
是不是有点像拼乐高的感觉呢？1.2. 弯曲切割再聊聊更奇特的方式——弯曲切割。
哈哈，这听起来像是要用弯弯的刀子来切了，其实不然。
你可以在正方形里画两个弯曲的线段，这样会把正方形分成四个不规则的区域。
这种方法就像是艺术创作，结果可能不会那么规整，但却有别样的美感和趣味。
如果你是个喜欢挑战的朋友，试试这种方法，保证能带来不一样的惊喜！2. 对角线分割接下来，我们来说说对角线分割的方法。
前面提到过对角线切割，但这儿再稍微深入一点。
完美正方 巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法
函数 图 象 和 二 次 方 程 的 实 根 ， 题 的 求 解 过 程 ， 是 本 正
根据三 者之 间的 内在联 系．
例６ 电 何 电 值时， 于ｚ 不等式 为 关 的 譬 ； ＜
１的 解 集 是 一 切 实 数 ．
比较 繁 杂 ， 细 心 观 察 不 等 式 的 特 点 ， 想 到 不 等 式 若 联
ｌ — ｂ ＜ Ｉ ＋ ｌ ｌ 时 不 能 取 等 号 ， 发 现 原 不 等 ａ ｌ ｎ１ 何 ｂ 就
式很 容 易求 解 ． 解 因 为 ＞ ｏ且 ｝ ｂｆ ｛ ＋ ｆ 不 能 取 等 号 ａ— ＜ ｎｆ ６ｆ
去 母如解 等 鲁 分 ． ，不 式
＜就 好 接 １不 直 去
分母 求解 ， 要用 先移项 、 通 分 的方法求 解 ． 而 后
。
例 ７ 解 不 等 式 ｆ ～ ｌｇ３ｆ ２ ＋ ｆ ｇｘｆ 立 ． ２ ｏ ２－＜ ｚ ｌ ２ 成 ｏ 分析 解 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 的 一 般 方 法 是 如 何 讨 论 去绝 对 值 ， 后 再 求 解 ． 题 若 这 样 处 理 ， 然 此 则
１的 解 集 为 Ｒ．
以 ＡＣ、 ＡＢ 为 边 ， △ ＡＢＣ 外 作 正 方 形 ＡＣ 在 ＥＦ 和 正
妻
簧 釜
麦
方 形 Ａ ＢＨ Ｇ ， Ｃ 作 Ｃ 上 ＡＢ， 别 交 ＡＢ 和 ＧＨ 于 过 Ｋ 分 面积 ＇ Ｓ 的 大 小 关 系 为 （ ） ．
Ｄ 、 ， 正 方 形 ＡＣ Ｋ 则 ＥＦ 的 面 积 Ｓ 与 矩 形 ＡＧＫ Ｄ 的
性 、 程 思想 、 形 结 合 等 思 想 方 法 ， 理 地 架设 “ 方 数 合 桥
有趣的正方形分割 导学案
〖学案〗数学世界的探究之旅——有趣的正方形分割数学的世界就是这么奇妙，让我们一起开启今天的探究之旅！了解完美的长方形的正方分割旅程三：无处不在的黄金矩形旅程一：学霸微课堂 旅程三：探究的奥秘活动一：初探【问题】如何将一个正方形分割成若干个大小可以不完全相同的小正方形？1、想一想：大家是如何理解“不完全相同”的？2、议一议：n 可以是几？或者说n 不可以是几？3、说一说：请分享一下你的分割方法。
4、画一画：请有序地把一个正方形尝试着分割成6、7、8、…、…个正方形旅程二：美妙的幻方正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。
它有许多引人入胜的问题，例如：人教版七年级（上册）第一章《有理数》的“实验与探究”部分提到的幻方，给了我们将一个正方形分割成若干个完全相同的小正方形的体验。
n=4 n= n= 结论：一个大正方形可以分割成 个小正方形。
n=4 n=7 n=10分割方法之二：n=4 n=6 n=8阶 型 阶 型 阶 型分割方法之一：……结 语：同学们，45分钟的探究之旅即将结束，欣赏一路美景的同时，我们深深地体验到：在遇到新问题时，只有通过不断地尝试、细致地分析、反复地构思，孜孜以求，锲而不舍，才能达到成功。
学习如此，生活亦如此，愿大家带着孜孜以求、锲而不舍的精神去开启美妙地专属人生之旅！加油旅程四：思维“自由行”1、练一练：把一个正方形分割成n 个无缝隙、不重叠的小正方形 （1）n=2018 （2） n=20192、议一议：你是如何分割的？请各小组成员相互交流。
【梳理与反思】 【学习的延续】活动二：深究【问题】将一个正方形分割成n 个大小不完全相同的小正方形，n ＝？怎么分割的？分割的方法： 分割的结果：把一个正方形分割成n 个小正方形,n 可以取n=4和n ≥6的任意正整数。
1、学了什么？2、悟到什么？3、质疑发现？我们来做分割正三角形的探究1、把一个正三角形分别分割成1个、2个、3个、4个、5个小正三角形。
完美正方形补遗
完美正方形补遗
吴振奎
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1999(000)001
【摘要】笔者在文[1]中曾介绍过完美正方形——用规格完全不同的小正方块拼成的无缝隙、无重叠的大正方形(或者说可裁成规格完全不同的小正方块且无剩余的
大正方形).这个问题是1930年前后英国剑桥大学的四位学子提出的,问题于1978
年获圆满解决:荷
【总页数】4页(P26-29)
【作者】吴振奎
【作者单位】天津商学院 300122
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.小学生命教育绘本课怎么上——《完美的正方形》绘本教学课例分析 [J], 吕佳;刘慧;
2.当完美正方形"邂逅"特殊45°角r——一节初三中考专题复习课的分析与思考 [J], 楚秉晶
3.从一道中考题到完美正方形分割 [J], 李庆社;
4.完美正方形 [J],
5.完美矩形与完美正方形 [J], 吴振奎
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完美的正方形分割
正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。
它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些长方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”。
对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果。
二十世纪三十年代，一个长方形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实。
到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的长方形的正方分割，如图2。
它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的。
图1 图2
现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。
因而图1、图2是两个最完美的长方形的正方分割。
数学家们在当时是怎样想出上面这些分割的方法呢？他们也与我们遇到一个新问题时一样，总是通过不断地尝试，细致地分析，反复地构思，孜孜以求，锲而不舍，才达到成功的。
比如，在初中的基础上，拟出一个图形，如图3，设它是一个长方形的正方分割。
为便于分析，我们引进三个未知数，设其中的三个
小正方形的边长分别为x、y、z。
由此顺次推出其他正方形的边长为x+y,2x+y, y-z,y-2z,y-3z,2y-5z。
图3 图4
因为图3是一个长方形，那么它的对边就应该相等，此时，x,y,z应满足下面的关系：
将这个方程组整理得
也就是
若取Z=1，就有x=4,y=10。
将它代入图3就得到图1的长为33、宽为32，且阶数为九的长方形的正方分割。
那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，众说纷纭，莫衷一是。
直到本世纪三十年代末，德国的一位数学家发现了正方形的一种正方分割后，才算有了定论。
后来，人们的目光又投向了一个新的目标，寻求正方形的一种阶数最低的正方分割。
在这一征途上的攀登是艰难的。
到了七十年代，数学家才在计算机的帮助下，圆满地解决了这一问题。
现已证明，4给出的21阶的正方分割是阶数最低的一种分割，因而，图4是最完美的正方形的正方分割。