震荡函数无极限
比狄利克雷函数更加诡异的函数
比狄利克雷函数更加诡异的函数在上一篇文章里，我们谈到了狄利克雷函数，并指出了它所具有的三个诡异的性质：处处不连续，处处不可导，在任意闭区间上不可积。
文章的链接如下：诡异的狄利克雷函数我们还指出，狄利克雷函数其实是一类最简单的病态函数，这就意味着存在比狄利克雷函数更加复杂，更加诡异的函数，本篇文章就带着读者开一开脑洞，自己来想办法构造出一些更诡异的函数来。
1.只在一点连续的函数只在一点不连续的函数非常好构造，只需要把一整个曲线在某一点掰开就可以了，而狄利克雷函数则是在所有点都不连续的。
那么如何来构造只在一点处连续的函数呢？我们可以把狄利克雷函数稍微改造一下，变成下面这个样子：为了让大家直观地理解，我们近似地把它的图像画出来千万要注意！这只是它近似的图像，而真正的图像我们是不可能画出来的，因为有理数和无理数都是密密麻麻地分布在实数轴上的。
这个函数只在x=0 处连续，在其它点均不连续，我们来说明这一点。
在x不等于0的地方，如果是有理点，则函数的取值也不为0，但是在它附近任意小的邻域内，都包含无数多个无理点，在那上面函数取值一定是0，函数趋近于这一点时是无穷震荡形式的，因而极限不存在，也就不可能连续。
同样如果x在无理点出，那么这一点的函数取值为0，但是在它的任意领域之内都包含无数多个有理点，那些点处函数取值不为0，因此它也是一个无穷震荡形式的，故而极限也不存在，亦不连续。
那么它为什么在x=0 处就连续了呢？我们还是根据连续性的定义，即它在这一点的函数值等于极限值来证明。
首先有f(0)=0，然后我们利用夹逼定理来求函数在这一点的极限值：所以我们得到了函数值等于极限值，于是函数在0这一点连续。
上面这个例子只是让大家初步领略了一下病态函数的威力，以此为基础，还可以构造出更多的病态函数，具有更加诡异的性质。
2.只在一点处可导的函数我们把上面的函数再稍加改造一下，得到如下函数：我们还是先来近似地画一下它的函数图像：这个函数的性质就是只在x=0 处可导。
间断点的分类及连续函数的性质
目 录
• 连续函数的基本性质 • 间断点的分类 • 连续函数的应用 • 连续函数与离散函数的关系 • 连续函数与极限的关系
01
CATALOGUE
连续函数的基本性质
定义与性质
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x'-x|<δ时，|f(x')-f(x)|<ε，则称函数f在点x处 连续。
连续函数的运算性质
线性性质
若函数f和g在某点连续，则f+g、f-g、fg和f/g（g≠0） 也在该点连续。
01
指数性质
若函数f在某点连续，则对于任意实数a ，函数f^a和e^f在在该点也连续。
02
03
幂性质
若函数f和g在某点连续，则f^g在在该 点也连续。
02
CATALOGUE
间断点的分类
第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）
VS
区别
离散函数和连续函数在定义域和值域上存 在本质的区别。离散函数的定义域和值域 都是离散的数集，而连续函数的定义域和 值域都是实数集。此外，离散函数和连续 函数的性质也存在较大的差异，如连续函 数具有可微性、可积性等性质，而离散函 数则没有这些性质。
离散函数在实际问题中的应用
• 离散函数在实际问题中有着广泛的应用， 如计算机科学、统计学、物理学等领域。 在计算机科学中，离散函数被广泛应用于 算法设计和数据结构中，如排序算法、图 算法等。在统计学中，离散函数被用来描 述概率分布和概率密度函数。在物理学中 ，离散函数被用来描述离散系统的状态和 行为，如量子力学中的波函数、分子动力 学中的粒子位置等。
可去间断点
在这一点，函数值存在，但导数不存 在。
考研高数知识总结
考研数学讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。
但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。
实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。
数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。
形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。
而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。
不过，《概率》不是第一层次基础课程。
学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。
更不会从概念出发分析解决问题。
基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。
这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。
教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。
这正好击中考生的软肋。
在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。
”原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。
而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。
你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。
文献浩如烟海，知识千锤百炼。
非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。
方法十分经典，概念非常重要。
学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。
当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
极限的概念汇总
lim f ( x) = A
•结论
x x0
lim f (x) = A lim - f (x) = A 且 lim f ( x) = A .
x x0 x x0
x x0
lim f (x) = A lim - f (x) = A 且 lim f ( x) = A .
例 例 33 . 证明 lim (2x -1) =1 .
x1
证明 因为 0, d= /2, 当0|x-1|d 时, 有 |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1| ,
所以 lim (2x -1) =1 .
x1
分析
|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|. >0, 要使|f(x)-A|<, 只要|x-1|< /2.
x x0
所以 lim x = x0 .
x x0
分析
|f(x)-A|=|x-x0|. >0, 要使|f(x)-A|, 只要|x-x0| .
x x0
, d( > ,当 0<|x-x0|<d, 有|f(x)-A|< . 或 f (>0 x) A x0 x0)。 lim f(x)=A
= 0.00001 , 取N = 100000，从100001项起，
1 后面所有各项都有 | - 0 | 0.00001 n
无论你事先指定的正数 从
aN 1 起,都有
1 | - 0 | n
多么小，总能找到
N = [ ] 1
1
就实例2进行辩论：是“竭”，还是“不竭”？
数列极限的精确定义
这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
高等数学连续性间断点
通过绘制函数草图，可以直观地展示函数在间断点处的变化趋势和取值情况。
利用计算机软件
利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制精确的函数图像，以便更准确地分析间断点处的 函数性质。
04 典型问题解析与思路拓展
求解含有参数方程间断点问题
确定参数范围
首先根据题目条件确定参数的取值范围。
高等数学连续性间断点
目录
• 连续性概念与性质 • 间断点类型及判定方法 • 函数在间断点处表现特征 • 典型问题解析与思路拓展 • 复习巩固与提高建议
01 连续性概念与性质
连续性定义及意义
连续性定义
如果函数在某一点的极限值等于该点 的函数值，则称函数在该点连续。
连续性意义
连续性是函数的一个重要性质，它保 证了函数在局部范围内的变化是平稳 的，没有出现突变或跳跃。
震荡间断点
函数在该点处无极限，且不是无穷间断点。如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（注意： 该函数在x=0处并无定义，但常在讨论间断点时作为例子）。
判定方法总结与实例分析
判定方法
首先判断函数在该点处是否有定义，再计算该点处的左右极限，根据极限的存在 性、相等性及是否为无穷大来判断间断点的类型。
实例分析
对于给定的函数，通过分析其在特定点处的行为，结合判定方法，可以准确地判断 出间断点的类型。例如，对于函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，通过分析其在x=1处的行为， 可以判断出这是一个可去间断点。
03 函数在间断点处表现特征
极限存在性与左右极限关系
极限存在性
在间断点处，函数可能不具有极限， 或者极限存在但不等于函数值。
构造辅助函数
根据题目要求，构造适当的辅助函数， 使其满足连续性条件。
振荡函数的研究
a b
次高行进须必�度精证保了为么那�式项多值插立建们它对要想若�面方一�多
� � xdxm nis )x ( f �
a b
分积列下如例 , �� � b � a � �� � �数函荡振高 m 的于赖依为 )m ,x ( K �数函荡振非为 ) x ( f�数参是
m 中其� xd) m ,x ( K ) x ( f
法方的用采拟及容内究研、二
。较比和证验行进验实值数过通并 �高提所有率效间空和率效间时的的法算且单简算计其使�式公分积值数度精高 维多及维一种几的数函荡振究研拟题课本�此于基。义意的要重有具究研的题问 类该�此因�低降所有率效间空和率效间时的法算得使就这�算计的杂复量大要 需的有 �数导阶高或阶一的量大算计要需法方的有�端弊些一在存少或多或都但 �等法换变 lesseB、法值插条样次三、法 niveL、法 noliF、法 ottaboL、法值插 etimreH 如�果结究研些一有已究研行进式公分积值数数函类该对�前目 。义意用应际实的强较着有题问分积的数函荡振些一 的到遇中用应程工在决解对 �式公积求的敛收的定稳的度精高更外另求寻数函荡 振类该对�此因�求要度精到达难很也�式公)nospmiS(森普辛化复如�式公积 求化复的单简用使�面方一另�远甚差相至甚求要度精到不达往往�定稳不算计 值数得使就样这 �数函到敛收定一不并式项多值插求所�时穷无于近趋数次当且 �象现 egnuR 在存即 �点缺重严在存值插次高为因 �的样这是不并实事而然 �值插 越就点交轴 x 的与们它即�重严越得荡振就 xm soc )x ( f � xm nis )x ( f �大越 m 若
排安度进作工、三
日 82
月
3
年 9002
求函数极限的方法与技巧6篇
求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。
通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。
在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。
那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。
我们来说一说函数极限的定义。
对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
要求函数的极限，就是要找到这个L。
1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。
如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。
2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。
根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。
3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。
夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。
4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。
通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。
除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。
2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。
3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。
4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。
数值分析-插值函数的震荡现象
数值分析课程设计多项式插值的振荡现象远露冬201030770134指导教师李娇娇讲师学院名称理学院专业名称数学与应用数学提交日期2012年6月一、 问题的提出考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。
显然，Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上的函数：二、 实验内容考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为则拉格朗日插值多项式为其中的a i(x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。
1）选择不断增大的分点数n=2,3,4,5,6,7,8,9,101.画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像；2.给出每一次逼近的最大误差；2）选择定义在区间[-5,5]上的函数重复上述实验看其结果如何。
3）区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为以x1,x2,…,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式，比较其结果。
以下均用Matlab 软件绘制图象 (实线：f(x) 虚线：Ln(x))。
在这里为方便作比较，对于每个函数的不同的n 的取值都有上下两个函数图像比较，一组采用平均插值点，一组采用切比雪夫插值点， 并分别给出了两函数的误差最大值。
21()125f x x=+21,0,1,2,,i ix i nn=-+= 201()()125nn ii iL x a x x ==+∑(21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭对于函数： x ∈[-1,1]当n=2时平均插值点图像如下，此时max|f(x)- L2(x)|=0.6462-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L2(x)|=0.6006.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.50.5121()125f x x =+当n=3时平均插值点图像如下，此时max|f(x)- L3(x)|=0.7070.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L3(x)|=0.7503.-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91当n=4时平均插值点图像如下：此时max|f(x)- L4(x)|= 0.4384-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L4(x)|=0.4020.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2当n=5时平均插值点图像如下：此时max|f(x)- L5(x)|= 0.4327-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L5(x)|=0.5559-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=6时平均插值点图像如下：此时max|f(x)-L6(x)|=0.6169-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L6(x)|=0.2642-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L7(x)|=0.3917-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L8(x)|=0.1708-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.4-0.20.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L9(x)|=0.2692-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91当n=10时平均插值点图像如下：此时max|f(x)- L10(x)|= 1.9157-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L10(x)|=0.1092-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2对于函数：()41h x xx +=x ∈[-5,5]当n=2时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5687-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5677.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L3(x)|= 0.5092.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L4(x)|= 0.5549.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L5(x)|=0.6584.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L5(x)|= 0.3514.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L6(x)|=0.4545.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L6(x)|= 0.5179.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L7(x)|=1.4420.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L7(x)|= 0.3476.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6当n=8时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L8(x)|=0.3247.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L8(x)|= 0.4463.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L9(x)|=2.7365.-5-4-3-2-1012345-3-2-1123切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L9(x)|= 0.3013.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- 10(x)|=0.8547.-5-4-3-2-112345-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L10(x)|= 0.3431.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6对于函数：g(x)=arctanx , x ∈[-5,5]当n=2时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5728-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5173.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52当n=3，平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L3(x)|= 0.3593.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L3(x)|= 0.2325.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L4(x)|= 0.2887.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L5(x)|= 0.1378.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L6(x)|= 0.1700.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L7(x)|= 0.0822.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5当n=8时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L8(x)|=0.1492.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L8(x)|=0.1022-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5.当n=9时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L9(x)|=0.5599.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L9(x)|= 0.0488.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5当n=10时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- 10(x)|=0.2026.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下，此时max|f(x)- L10(x)|= 0.0622.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5三、 实验结果及分析为清晰明朗的观察随着n 的增加，每一次逼近的最大误差的变化，即max|f(x)- Ln(x)|的变化，这里以n 为代表横轴，max|f(x)- Ln(x)|代表纵轴，将其值在坐标上并用折线连接，实线表示平均插值点最大误差，虚线表示切比雪夫插值点最大误差，表示如下： 对于函数 x ∈[-1,1]234567891000.20.40.60.811.21.41.61.82对于函数()41h x xx +=x ∈[-5,5]0.511.522.5321()125f x x =+对于函数： g(x)=arctanx x ∈[-5,5]234567891000.10.20.30.40.50.60.7由以上实验内容，和所得的图像和数据可以得出以下结论：1.随着插值点n 的增大，采用平均插值点所得的拉格朗日逼近函数，在x 的中点位置附近（该三个例子中即x=0），与原函数越来越接近；在x 的两个端点位置，误差呈波动性逐渐增大；而采用切比雪夫插值点所得的拉格朗日逼近函数随着n 的增大，与原函数在x 的任何位置都越来越接近。
正弦波震荡条件
正弦波震荡条件引言：正弦波震荡是一种常见的周期性现象，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
了解正弦波震荡的条件和特性对于理解这些领域中的许多现象和问题至关重要。
本文将介绍正弦波震荡的条件以及与之相关的概念和特性。
一、什么是正弦波震荡正弦波震荡是指在一定时间内，某个物理量按照正弦函数的规律周期性地上下波动。
正弦波震荡具有周期性、有界性和连续性等特点。
正弦波震荡可以用数学模型来描述，常用的表示方法是正弦函数公式。
二、正弦波震荡的条件正弦波震荡有一些基本的条件，主要包括以下几点：1. 存在一个恢复力：正弦波震荡是由于物体受到一个恢复力的作用而发生的。
这个恢复力可以是弹簧的弹性力、重力的作用力等。
2. 存在一个惯性：正弦波震荡需要物体有一定的惯性，即物体具有一定的质量和惯性力。
这个惯性力使得物体在受到恢复力作用下发生振动。
3. 存在一个周期性的外界激励：正弦波震荡需要有一个周期性的外界激励，这个激励可以是周期性的力或者周期性的变化环境条件。
4. 存在一个平衡位置：正弦波震荡需要存在一个平衡位置，即物体在没有外界激励的情况下处于平衡状态。
5. 存在一个振幅：正弦波震荡的振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大位移。
振幅大小与外界激励的大小有关。
三、正弦波震荡的特性正弦波震荡具有一些特性，这些特性对于理解和应用正弦波震荡非常重要。
1. 频率：正弦波震荡的频率是指在单位时间内波动的周期数，单位是赫兹（Hz）。
频率与波长密切相关，频率越高，波长越短。
2. 周期：正弦波震荡的周期是指一个完整的波动过程所需要的时间，单位是秒（s）。
周期与频率的关系是倒数关系，即周期等于1除以频率。
3. 相位：正弦波震荡的相位是指波动过程中的时间位置。
相位可以用角度或弧度来表示。
相位的变化与时间的变化呈线性关系。
4. 波速：正弦波震荡的波速是指波动传播的速度，单位是米每秒（m/s）。
波速与频率和波长有关，波速等于频率乘以波长。
结论：正弦波震荡是一种周期性的物理现象，具有恢复力、惯性、外界激励、平衡位置和振幅等条件。
正弦函数、余弦函数的性质
结论： 结论： y = A sin( ω x + ϕ ) 的周期是
1.求下列函数的周期
y = A sin( ω x + ϕ )的周期的一半。 的周期的一半。
(1) y = sin 2 x ; ( 2) y = sin 3 x + sin x ⋅ cos 2 x
π 2. y = cos ωx + (ω > 0)最小正周期为1，求ω 4 nπ 3.若函数 f ( n) = sin ( n ∈ Z ), 求f (1) + f ( 2) + L + f (102) 6 4.为了使函数 y = sin ωx(ω > 0)在区间[0，上至少出现 50次 1]
正弦函数、余弦函数的性质
定义域与值域
定义域与值域
由三角函数定义及三角函数线， 由三角函数定义及三角函数线，我们知道正弦函 余弦函数的定义域为R，值域为[-1,1]. 数、余弦函数的定义域为 ，值域为 从正弦函数、余弦函数的图象， 从正弦函数、余弦函数的图象，也可以得到定义 域与值域. 域与值域
思考： 思考：
单调递减区间
3π π 2 + 2kπ , 2 + 2kπ
单调性 与最值
[2kπ − π ,2kπ ]
π
[2kπ ,2kπ + π ]
y = sin x当 x = 2 kπ +
2 π 3π ( 2 kπ − )时，取得最小值 − 1. 当 x = 2 kπ + 2 2 y = cos x当 x = 2 kπ时，取得最大值 1； 当 x = 2 kπ + π时，取得最小值 − 1.
奇偶性
正弦函 余弦函数关于 轴对称，偶函数
极限函数的定义
极限函数的定义
函数极限的定义是某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”，其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
第一类baire函数的特征
第一类baire函数的特征
第一类Baire函数是一种特殊的连续函数，它的概念性发展是由
奥地利数学家 Gian Francesco Baire 提出的。
通常在高等数学中引
入它，它是一种重要的数学概念，可以被用来证明一些结果，例如有
关极限的定理。
第一类Baire函数的特征主要有以下几个方面：
1. 第一类Baire函数是连续函数，也就是说随着它的参数的变化，它的值以某种连续的方式变化。
2. 第一类Baire函数是非零数函数，也就是说，对于任何有限的
自变量，它的值必须大于零。
3. 第一类Baire函数是易于求导的函数。
因此，可以根据函数的
定义和一些基本定理来计算函数的导数。
4. 第一类Baire函数具有极限类型的行为，即当自变量接近某个
值时，函数值就有一个极限，即在自变量变化时函数值变化不大。
5. 第一类Baire函数是单调函数，也就是说，它的值是单调递增
或者单调递减的。
6. 第一类Baire函数的图像是一个连续的曲线，因此可以根据图
像来判断函数的性质。
7. 第一类Baire函数可以用来解决各种有限变量和无限变量的数
学问题，因为它具有连续性，可以把问题转换成非常简单的数学形式。
综上所述，第一类Baire函数是一类特殊的连续函数，它具有易
于求导、非零数、单调性和极限性等特征，可以根据它来解决各种有
限变量和无限变量的数学问题。
震荡函数积分方法论述
震荡函数积分震荡函数作为一大类函数，在工程领域都有重要的应用，但由于这些函数的震荡性，使得对这类函数在某一区间上的数值积分积分变得异常困难。
其主要是积分的误差的控制问题，或是收敛性的讨论，例如对于一简单的震荡函数)1sin()(xx f =，在任一包含原点0附近的区间上的积分，经典的数值积分公式，例如梯形公式，辛普森法则，牛顿—科茨公式等，对它的收敛性难以保证，或是误差难以控制。
这类函数的特点是函数值在积分区间上急剧震荡，无法找到一个确且的点使得这类函数的函数值在这个值附近的波动都比较小，或是这个这个点太难找了，或是即就是找到了，最终的误差也难以把握，可能我的会得到一个不收敛的函数值。
因此，我们有必要对这类函数另行讨论，针对其中的一部分找到较好的方法。
在此我们仅限于对连续的震荡函数的进行讨论其数值积分。
直观上，函数f(x)在某一区间上震荡，就是说，函数没有断点，在这个区间上，函数多次回到y=b 这条直线上，又多次远离y=b 这条直线，但不一定函数回到这条直线上与y=b 任意相邻的两交点距离相同，同时也不一定每次函数远离y=b 的这条直线的最远点的纵坐标都相同，即我们可以看到所谓的震荡函数只是函数值在急剧波动，对函数本身的要求较广，如)sin(1)(x x x f =，这一函数；或是类似于这类)sin()(2xkx f =，k 不等于0。
如此看来，任一连续的周期函数也是震荡函数，且任一震荡函数可以视为振幅和周期不断随位置变化的周期函数，又由魏尔斯特拉斯第二逼近定理，我们知道任一区间上的周期函数可以由一个三角多项式函数进行逼近，由此我们在此只讨论三角性或是由其经过有限次的运算构成的函数，便可以解决一大类问题了。
由上述的讨论我们很自然地给出了震荡函数的定义如下； 1.1.1 定义：震荡函数是如下形式的一大类函数]},[,,/)()))((sin({)(b a C h m g x h x m g x f ∈≡其中我们称函数)(t g 为调频函数，)(x m 称为调频函数)(t g 的内含函数，)(x h 为f(x)伸缩系数，其中)(t g ，)(x h 均为连续函数，)('x g 是一致有界函数，称此类震荡函数为基本的震荡函数,且以上的函数)(x h ，)(x m 都是在积分区间上除去至多有限个点n+1阶可导。
无穷大乘以震荡有界函数
无穷大乘以震荡有界函数无穷大乘以震荡有界函数是一个比较特殊的数学问题。
在解决这个问题之前，我们需要先了解一下无穷大和震荡有界函数的概念。
无穷大是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无限大的情况。
例如，当x趋近于0时，1/x的值趋近于正无穷或负无穷。
震荡有界函数是指函数值在某个区间内不断地在正值和负值之间震荡，并且函数值的振幅是有限的。
例如，sin(x)就是一个典型的震荡有界函数。
现在我们来考虑无穷大乘以震荡有界函数的情况。
假设f(x)是一个震荡有界函数，且g(x)是一个无穷大函数，那么我们可以将g(x)表示为g(x)=h(x)/k(x)，其中h(x)和k(x)都是无穷大函数，并且h(x)和k(x)的极限值都为无穷大。
因此，我们可以将无穷大乘以震荡有界函数的式子表示为：g(x)f(x) = h(x)/k(x) * f(x)接下来，我们需要证明g(x)f(x)的极限值是存在的。
由于f(x)是一个震荡有界函数，因此它的振幅是有限的，即|f(x)|<=M，其中M是一个正常数。
另外，由于h(x)和k(x)都是无穷大函数，因此它们的极限值都为无穷大。
因此，我们可以将g(x)f(x)表示为：g(x)f(x) = h(x)/k(x) * f(x) <= M * h(x)/k(x)由于h(x)和k(x)的极限值都为无穷大，因此当x趋近于某个值时，h(x)/k(x)的值会趋近于0或无穷大。
因此，我们可以得出结论：当x 趋近于某个值时，g(x)f(x)的极限值是存在的，并且它的值为0或无穷大。
综上所述，无穷大乘以震荡有界函数的极限值是存在的，并且它的值为0或无穷大。
这个结论在数学中有着广泛的应用，例如在微积分、微分方程、概率论等领域都有着重要的作用。
震荡间断点和无穷间断点的区别
震荡间断点和无穷间断点的区别
无穷间断点与振荡间断点的区别如下：
1、两个的定义不同
振荡间断点处的极限振荡不存在的间断点，属于第二类间断点。
无穷间断点当趋向于0时，f（）趋向于无穷大，故=0为无穷间断点。
2、两个的表示方法不同
振荡间断点函数在点=0处没有定义，且当趋于0时，函数值在-1，1这两个数之间交替振荡取值，极限不存在。
无穷间断点当趋向于0时，趋向于无穷大（无论是趋向于0+,还是趋向于0-，至少有一个都可以）。
3、无穷间断点与振荡间断点的答案不同
左右极限为无穷的间断点，叫做无穷间断点，其中无穷是个可以解出的答案，但一般视为极限不存在。
间断点的种类：
1、可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
2、跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
3、无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为无穷。
4、振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。
其它间断点称为第二类间断点。
以上内容参考。
振荡函数 单调性
振荡函数单调性
1、还有是这个“振荡”么？这个“震荡”没有概念；那想了，既然振荡，那么就是有上升和下降的趋势，所以怎么会在整个定义域单调呢？所以不能的，震荡函数一定不存在极限? 错。
2、比如：f(x)=e^(-x) sinx, x-->∞时，振荡，但极限为0。
当然在某个范围内是可以单调的。
3、如果你说的是这个“震荡”那么是能够的；即使在整个定义域都单调，它也可以震荡；如：分段函数，震荡可以通过求二阶导数反映；（就是求两次导）。
4、xsinx是震荡的吧，x趋向无穷大时，xsinx不是无界函数，极限为什么不是无穷大？
xsinx当然也是振荡的，x趋向无穷大时，xsinx是无界函数，没有极限。
(完整word版)震荡函数积分方法论述(word文档良心出品)
震荡函数积分震荡函数作为一大类函数，在工程领域都有重要的应用，但由于这些函数的震荡性，使得对这类函数在某一区间上的数值积分积分变得异常困难。
其主要是积分的误差的控制问题，或是收敛性的讨论，例如对于一简单的震荡函数)1sin()(xx f =，在任一包含原点0附近的区间上的积分，经典的数值积分公式，例如梯形公式，辛普森法则，牛顿—科茨公式等，对它的收敛性难以保证，或是误差难以控制。
这类函数的特点是函数值在积分区间上急剧震荡，无法找到一个确且的点使得这类函数的函数值在这个值附近的波动都比较小，或是这个这个点太难找了，或是即就是找到了，最终的误差也难以把握，可能我的会得到一个不收敛的函数值。
因此，我们有必要对这类函数另行讨论，针对其中的一部分找到较好的方法。
在此我们仅限于对连续的震荡函数的进行讨论其数值积分。
直观上，函数f(x)在某一区间上震荡，就是说，函数没有断点，在这个区间上，函数多次回到y=b 这条直线上，又多次远离y=b 这条直线，但不一定函数回到这条直线上与y=b 任意相邻的两交点距离相同，同时也不一定每次函数远离y=b 的这条直线的最远点的纵坐标都相同，即我们可以看到所谓的震荡函数只是函数值在急剧波动，对函数本身的要求较广，如)sin(1)(x x x f =，这一函数；或是类似于这类)sin()(2xkx f =，k 不等于0。
如此看来，任一连续的周期函数也是震荡函数，且任一震荡函数可以视为振幅和周期不断随位置变化的周期函数，又由魏尔斯特拉斯第二逼近定理，我们知道任一区间上的周期函数可以由一个三角多项式函数进行逼近，由此我们在此只讨论三角性或是由其经过有限次的运算构成的函数，便可以解决一大类问题了。
由上述的讨论我们很自然地给出了震荡函数的定义如下； 1.1.1 定义：震荡函数是如下形式的一大类函数]},[,,/)()))((sin({)(b a C h m g x h x m g x f ∈≡其中我们称函数)(t g 为调频函数，)(x m 称为调频函数)(t g 的内含函数，)(x h 为f(x)伸缩系数，其中)(t g ，)(x h 均为连续函数，)('x g 是一致有界函数，称此类震荡函数为基本的震荡函数,且以上的函数)(x h ，)(x m 都是在积分区间上除去至多有限个点n+1阶可导。
无穷大乘以震荡有界函数
无穷大乘以震荡有界函数在数学领域中，我们经常会遇到一些有趣而又神秘的现象。
其中一个经典的问题是：当我们将一个无穷大的数与一个震荡有界函数相乘时，会得到什么结果呢？让我们回顾一下无穷大的概念。
无穷大表示的是一个数比任何有限数都大，它超出了我们能够想象的范围。
而震荡有界函数则是指一个函数在某个区间内的取值在一定范围内波动，不会无限制地增长或减小。
假设我们有一个无穷大的数x和一个震荡有界函数f(x)，它在区间[a, b]内的取值保持在一个有限的范围内。
那么x乘以f(x)会得到什么呢？由于x是一个无穷大的数，它比任意有限数都要大。
因此，当我们将x与f(x)相乘时，f(x)相对于x来说是微不足道的。
换句话说，无穷大乘以有界函数的结果仍然是无穷大。
这个结论可以用数学符号来表示：lim(x→∞) x * f(x) = ∞。
换句话说，当x趋向于无穷大时，无穷大乘以任何有界函数的结果仍然是无穷大。
这是因为无穷大的增长速度远远超过了任何有界函数。
这个结论在实际应用中也有一些重要的意义。
例如，在物理学中，我们经常会遇到一些包含无穷大的公式。
这些公式通常描述了一些极端情况下的行为，如黑洞的质量或宇宙的膨胀速度。
在这些公式中，无穷大的存在可以帮助我们更好地理解和预测各种物理现象。
然而，需要注意的是，虽然无穷大乘以有界函数的结果仍然是无穷大，但这并不意味着无穷大与有界函数的乘积没有任何意义。
例如，当我们考虑一个无穷大数列与一个有界函数的乘积时，我们可以得到一些有趣的结果。
在这种情况下，乘积的结果可能会受到数列的收敛性质以及有界函数的特性的影响。
总结一下，当我们将一个无穷大的数与一个震荡有界函数相乘时，结果仍然是无穷大。
这个结论在数学和物理学中都有重要的意义，帮助我们更好地理解和解释一些复杂的现象。
尽管结果是明确的，但我们仍然可以通过研究无穷大与有界函数乘积的特殊情况来发现一些有趣的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
震荡函数无极限
震荡函数在数学中的定义是指一类具有无限振荡的函数。
它们的函数值在某些点上取
得正无穷或负无穷，但在其他点上则有有限的值。
与其他一些函数如指数函数或正弦函数
不同，震荡函数的振幅可以随着自变量趋近于无穷大而不断增加。
震荡函数通常在一定范
围内具有周期性，但这个周期的长度可以是非常复杂的。
在实际应用中，震荡函数被广泛用于描述一些具有固有频率的物理现象。
弹簧振子、
电路中的振荡器、以及天体物理学中的恒星震荡都可以用震荡函数来描述。
震荡函数还被
广泛用于控制工程和信号处理领域。
震荡函数的特殊性质也给其带来了一些挑战和问题。
其中最重要的问题是：它们是否
存在极限？
震荡函数无极限并不是一个简单的问题。
在一些情况下，我们可以证明震荡函数确实
不存在极限。
下面这个函数：
f(x) = sin(1/x)
它在x趋近于0时振荡得十分剧烈，且在0附近不断震荡。
它在0点处没有定义极限。
f(x) = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + ...
这个函数中包含有无数个正弦函数的和。
我们可以证明，它在某些点上是有界的。
实
际上，这个函数的值可以通过选择一个足够大的常数K来限制其函数值为|f(x)| ≤ K。
如果我们试图证明f(x)存在极限，我们会发现这是一件非常困难的任务。
事实上，有一些震荡函数的极限问题至今仍未被解决。
这些函数中包括Riemann Zeta 函数，以及一些与质数分布有关的函数等等。
震荡函数无极限这个问题对于不同的震荡函数而言情况各异。
对于一些函数而言，我
们可以证明其不存在极限；而对于另一些函数，它们的极限问题则相对复杂。
无论如何，
这个问题都是一个非常重要的数学难题，并且对于数学研究和实际应用都有着重要的意义。
对于那些无法确定是否存在极限的函数，数学家们通常会采用各种技巧和方法进行研究。
其中一种常见的方法是利用序列的概念来探讨函数的极限问题。
具体来说，我们可以构造一个序列{s_n}，其中s_n = f(x_n)，其中x_n是一个逐渐趋近于某个极限值a的数列。
然后，我们可以利用序列的极限来研究函数的极限问题。
如果
该函数在x趋近于a时存在极限L，则序列{s_n}也会趋近于L。
反之，如果序列{s_n}没有极限，那么该函数在a点处也就不存在极限了。
对于下面这个震荡函数：
f(x) = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + ...
除了上述方法外，数学家们还会利用函数的性质和一些常用的极限判别法来研究震荡
函数的极限问题。
其中最常见的方法包括柯西收敛准则、阿贝尔定理、拉格朗日中值定理
等等。
不仅在数学理论研究中，震荡函数的极限问题也在许多实际应用中具有重要的意义。
在控制工程中，我们需要对信号进行采样和处理，而采样定理就是基于函数的极限性质得
到的。
震荡函数的极限问题也与图像和信号处理相关的领域中具有重要的应用价值。
对于震荡函数无极限这个问题，数学家们一直在不断探索和研究。
这个问题的解决不
仅能够推动数学理论的发展，也将深刻影响许多实际应用的领域。
尽管震荡函数的极限问
题在数学理论和应用中都具有重要意义，但至今仍未全部解决。
对于一些复杂的震荡函数
而言，它们的极限问题依然具有艰难的难度。
数学家们通过不断的探索和创新，已经提出
了许多新的研究方法和技术，以帮助我们更好地理解和探索震荡函数的极限问题。
在近代数学中，复解析函数（Analytic Function）的概念被广泛运用于研究震荡函数的极限问题。
复解析函数是指一类可以在某个复平面上拥有无穷阶导数的函数。
利用复解
析函数的一些性质，数学家们可以将一些复杂的震荡函数转换成更简单的形式，并进一步
探讨它们的极限问题。
随着计算机技术的快速发展，数值计算在研究震荡函数的极限问题中也变得越来越重要。
在计算机的帮助下，数学家们可以快速地计算序列的极限值，或者利用各种数值模拟
方法来探究函数的性质和行为。
这些计算方法不仅加速了震荡函数极限问题的研究，还为
后续研究提供了更加宝贵的数据和信息。
随着越来越多的领域需要应用震荡函数，例如在金融衍生品定价、音乐合成、图像处
理等领域，震荡函数的研究也将变得越来越重要。
我们有理由相信，未来数学家们将会通
过不断地努力，逐步解决更多的震荡函数极限问题，并开拓出更广阔的数学研究领域。
最
新的研究表明，震荡函数的极限问题与数学分析、复杂性理论、动力系统等领域密切相关。
这些领域的研究成果不仅推动了震荡函数极限问题的深入探究，也为其他相关数学问题的
研究提供了重要的参考。
在动力系统中，震荡函数被广泛用于描述一些具有复杂动态行为的系统。
通过对不同
的震荡函数进行研究分析，我们可以更好地理解这些系统的行为，并从而设计出更加高效
和稳定的控制策略。
在复杂性理论中，震荡函数也被用来研究一些基本的计算问题，例如计算机科学中的
图灵机理论。
通过研究震荡函数的极限问题，我们可以探索复杂性理论的深层结构，并改
进计算机科学中一些重要的算法和数据结构。
随着人工智能、深度学习等领域的飞速发展，震荡函数的研究也为人工智能领域的动
态建模和控制提供了新的工具和技术。
在深度学习中，震荡函数被用于训练循环神经网络
（Recurrent Neural Networks），并在语音识别、机器翻译等领域中表现出了强大的能力。
震荡函数无极限是一个非常重要的数学难题，在数学理论、应用研究中都有着重要的意义。
尽管这个问题存在艰难的挑战，但数学家们通过不断地探索和创新，已经提出了各种方法和技术来解决这个问题。
随着数学研究和应用领域的不断发展，对震荡函数极限问题的研究也将变得越来越重要，为更好地理解复杂现象和解决实际问题提供支持和帮助。