第十八章平行四边形总复习教案
人教版数学八年级下册教案：第十八章平行四边形小结复习(二)
人教版数学八年级下册教案：第十八章平行四边形小结复习（二）一. 教材分析本节课为人教版数学八年级下册第十八章“平行四边形”的小结复习（二），主要是对平行四边形的性质和判定进行总结和复习。
本节课内容在学生的认知结构中占有重要的地位，对于学生理解和掌握平行四边形的知识体系，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力都具有重要的作用。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平行四边形的基本性质和判定方法，但部分学生对于一些性质和判定方法的理解不够深入，容易混淆。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行四边形的性质和判定方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过复习和总结，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：平行四边形的性质和判定方法的运用。
2.难点：对于一些判定方法的深入理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括平行四边形的性质和判定方法的讲解。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出平行四边形的性质和判定方法，激发学生的学习兴趣。
例题：在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AO=4，CO=6，求矩形ABCD的面积。
2.呈现（10分钟）讲解平行四边形的性质和判定方法，包括：（1）平行四边形的定义和性质；（2）平行四边形的判定方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学的知识。
（1）判断一个四边形是否为平行四边形；（2）已知一个四边形是平行四边形，求证一组对边平行且相等。
人教版数学八年级下十八章《平行四边形》复习 教学设计 (2)
十八章《平行四边形》复习课教学设计北京师范大学大连普湾附属学校徐冰【教学目标】一、知识与技能：1.利用导图构建平行四边形知识体系，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，明确它们之间的相互联系；2.灵活应用平行四边形的性质和判定解决问题，了解四边形与三角形的密切联系。
二、过程与方法：1.通过小组活动，相互讨论交流构建知识体系，使知识系统化；2.明确“一般与特殊”的关系，感受几何的基本证明方法。
三、情感态度和价值观：经历解决问题的过程，培养学生思考能力和几何直观，感受几何变化的巧妙。
【教材分析】本节课内容选材为教材第十八章平行四边形复习，基于2011版课程标准的要求，需要对本章知识进行总理和复习。
十八章是整个八年级下册书的重点、难点，也是中考的高频考点。
本节课需要把学习时相对独立的知识系统化、结构化；进而更好的解决综合性问题。
【学情分析】授课对象是八年级的学生，经过初中快两年的学习，学生已经掌握了基本的几何知识：平行、垂直、相交、三角形等，并且掌握了进行几何研究的基本方法和思路，能够从合情推理上升到演绎推理。
通过对本章的学习，学生已经基本掌握了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及它们的判定，因为在学习平行四边形、菱形、矩形和正方形时，知识都相对比较独立，学生对这些特殊的平行四边形之间的关系掌握得还不是很好，比较陌生。
因此本节教学设计主要引导学生通过所学内容和方法进行平行四边形及特殊的平行四边形的知识梳理及综合应用。
【教学重点】1.平行四边形与各种特殊平行四边形的区别和联系；2.梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系。
【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学媒体】PPT，交互式电子白板【设计理念】本节课的设计理念严格按照2011版课程标准的要求，所有内容均建立在学生已有经验的基础上，通过启发式教学，在合作探究中分析问题、解决问题，让学生充分体验知识的发生发展过程，进一步增强几何直观以及推理能力。
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形《特殊平行四边形复习》教学设计
为了巩固学生对特殊平行四边形性质的理解，提高学生的几何素养，特布置以下作业：
1.必做题：
-请学生完成教材第十八章复习题中关于特殊平行四边形的题目，确保掌握基本性质和计算方法。
-从生活实际中选取一个特殊平行四边形的例子，描述其特点和应用，并画出图形，以加深对性质的理解。
-结合课堂学习，尝试编写一道应用特殊平行四边形性质解决实际问题的题目，并与同学互相交流、讨论。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用问题驱动的教学方法，通过设计具有挑战性的问题，激发学生的好奇心，引导他们主动探究特殊平行四边形的性质。
-运用比较、归纳、演绎等思维方法，帮助学生形成系统的知识结构，提高几何证明能力。
-利用现代信息技术，如几何画板、多媒体演示等，增强学生对几何图形的直观感受，提高空间想象力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的几何基础，对平行四边形的性质和判定方法有了一定的了解。在此基础上，他们对特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质和应用已有初步的认识，但在深入理解和灵活运用方面还存在一定的困难。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
1.学生在分析特殊平行四边形性质时，往往容易忽略性质之间的联系，需要引导他们通过比较、归纳，形成系的知识体系。
3.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、几何画板演示、实际操作等，增强学生对特殊平行四边形性质的理解，提高学生的几何直观和空间想象力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养学生积极、主动、合作的学习态度，让学生体验数学探究的乐趣。
2.培养学生严谨、细致、踏实的科学精神，使学生认识到数学的实用价值和美学价值，增强对数学的热爱。
-鼓励学生利用几何画板等工具，动态演示特殊平行四边形的性质，加深对几何图形的认识。
八年级下第十八章_平行四边形全章教案
第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形性质(一)一、教学目标1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．三、例题的意图分析例1是教材P84的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC ，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P84例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略．六、随堂练习1．填空：50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（1）在ABCD中，∠A=（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后反思18.1.1 平行四边形的性质(二)一、教学目标1． 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1． 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3． 难点的突破方法：三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2是教材P85的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是︒360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】： 请学生在纸上画两个全等的ABCD 和EFGH ，并连接对角线AC 、BD 和EG 、HF ，设它们分别交于点O ．把这两个平行四边形落在一起，在点O 处钉一个图钉，将ABCD 绕点O 旋转︒180，观察它还和EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充） 已知：如图， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．证明：在 ABCD 中，AB ∥CD ，∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA ＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴ △AOE ≌△COF （ASA ）．∴ OE ＝OF ，AE=CF （全等三角形对应边相等）．∵ ABCD ，∴ AB=CD （平行四边形对边相等）．∴ AB —AE=CD —CF ． 即 BE=FD ．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2（教材P85的例2）已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC ，CD ，AC ，OA 的长以及ABCD 的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC 、CD 的长，在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AC 的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA 的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD 的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，① 已知一边长12，求各边的长② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．七、课后反思：18.1.2 平行四边形的判定一、教学目标1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点4．重点：平行四边形的判定方法及应用．5．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P87的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形．五、例习题分析例1（教材P87例3）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其他的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2（补充）已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．证明：(1) ∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．∴AB＝B′C，AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．六、随堂练习1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．2．已知：如图，ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：①第4个图形中平行四边形的个数为___ __．（6个）②第8个图形中平行四边形的个数为___ __．（20个）七、课后反思：18.1.2 平行四边形的判定（二）一、教学目标1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．3．难点的突破方法：三、例题的意图分析本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力．四、课堂引入1．平行四边形的性质；2．平行四边形的判定方法；3．【探究】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．五、例习题分析例1（补充）已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ． ∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．∴ BE=DF ．此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．例2（补充）已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．分析：因为BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以BE ∥DF ．需再证明BE=DF ，这需要证明△ABE 与△CDF 全等，由角角边即可．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ，且AB ∥CD ．∴ ∠BAE=∠DCF ．∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°．∴△ABE≌△CDF （AAS）．∴BE=DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．六、课堂练习1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．七、课后反思：19.1.2 平行四边形的判定（三）教学目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．一、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．3．难点的突破方法：三、例题的意图分析例1是教材的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P88例4） 如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E ，F ，G ，H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连接AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）． 同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20 m ，那么A ，B 两点的距离是 m ，理由是 ．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，（1）若EF=5cm ，则AB= cm ；若BC=9cm ，则DE= cm ；（2）中线AF 与DE 中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后反思：18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形一、教学目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．3．难点的突破方法：三、例题的意图分析例1是教材P95的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．四、课堂引入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．五、例习题分析例1 （教材P95例1）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA=OB ．又 ∠AOB=60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．例3（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．分析：CE，EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．六、随堂练习1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．七、课后反思：18.2.2 菱形一、教学目标1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：菱形的两个判定方法．2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．三、例题的意图分析。
第十八章平行四边形平行四边形的性质和判定综合(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形的基本概念、性质和判定方法，以及它在生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平行四边形的理解。希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-实际问题的解决：将平行四边形的性质和判定方法应用于解决实际问题，如求解平行四边形的面积、周长等。
举例解释：
（1）通过动态几何软件或实物模型，演示平行四边形对角线互相平分的性质，使学生直观理解并加深印象。
（2）列举生活中的实际例子，如篮球场、梯子等，让学生明白平行四边形在实际生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
3.注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，引导他们从不同角度分析和解决问题。
4.加强课后辅导，关注学困生，帮助他们克服学习困难，提高学习兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是具有两组对边分别平行的四边形。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于生活中的各种实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析篮球场的形状，了解平行四边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
18章平行四边形复习教案
教学重点
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
教学难点
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合应用
教法学法
本节课主要以“教师主导—学生主体”的教学思想为指导，“361高效课堂”的教学要求为主线，以题代纲，梳理知识；学习方式采用自主学习、小组合作交流相结合的方式，进行“探究式学习”，提升学生学习能力。
教学准备
1、多媒体课件
2、三角板
教学过程
师生活动
设计意图
教学设计
科目
数学
课题பைடு நூலகம்
18章平行四边形复习课
授课教师
单位
教材版本
新人教版
课型
复习课
教材分析
本章是学生在掌握平行线，三角形，全等三角形等有关知识，且具备初步的观察，操作等活动经验的基础上出现的。通过本节的学习使学生清楚地理解各种平行四边形的关系并掌握它们的性质与判定，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。
学情分析
平行四边形这一章知识点多，各种平行四边形的定义、性质、判定及一些相关定理、性质，学生对一般的平行四边形的知识掌握较好，而特殊的平行四边形的性质、判定容易混淆，特别是学生在应用它们的性质与判定的时候常出现用错、多用、少用条件的错误。
教学目标
1、进一步理解平行四边形和各种特殊的平行四边形的关系
2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定并综合应用
华师大版八年级数学下册：第18章《平行四边形-复习》教案
2．判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；
3．先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质去解决某些问题．
【典例分析】
例1．如图1， ABCD中，∠A=125°，∠B= ．
例2．已知：如图2，在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= cm．
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课 后 反 思
板 书 设 计
难点
发展学生进一步的推理能力和解决问题的能力．
教 学 过 程
差 异 个 性 设 计
资源
一、基础归纳
1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．
平行四边形的性质
另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．
2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．
例3．已知：如图3，在平形四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：DE=BF．
例4．已知：如图4，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED = DF = EB，连接FC．求证：四边形AEFC是平行四边形．
例5．如图5，BD是 ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形）．
课题
第18章复习
课 型
复习课
设 计 人
总 节 时
教学
第18章 平行四边形(小结与复习)教案-八年级数学下册课件(人教版)
回顾与思考：本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理;探索并证明了三角形的中位线定理，介绍了平行线问距离的概念;通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系;根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理.在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法:利用图形的性质定理与判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图形的判定定理,这些方法在今后的学习中都是很有用的.请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1,你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?2.平行四边形有哪些性质?如何判定一个四边形是平行四边形?3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗?4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理,你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗?本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？（1）本章研究内容：各种平行四边形的边、角、对角线的特征；（2）研究步骤：下定义→探性质→研判定；（3）研究方法：观察、猜想、证明；建立当前图形（平行四边形）与三角形的联系；从性质定理的逆命题的讨论中研究判定定理；类比、一般到特殊．【课堂探究案】考点讲练考点一 平行四边形的性质与判定例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG.(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形；(2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，CD ＝10，求四边形AGCD 的面积.(1)证明：∵ AG ∥CD ，AD ∥BC∴ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD∵ E 、F 分别为AG 、CD 的中点∴ EG=21AG ，DF=21CD ∴ EG=DF 且EG ∥DF∴ 四边形DEGF 是平行四边形(2)解：∵ 点G 是BC 的中点，BC=12∴ BG=CG=21BC=6 ∵ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD=10在R t △ABG 中，根据勾股定理2222610-=-=BG AG AB =8∴ S 四边形AGCD =6×8=48例2如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF＝CE，EF与AB交于点G.(1)求证：AC∥EF；(2)若点G是AB的中点，BE＝6，求边AD的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD∥BC∴ AF∥CE又∵ AF=CE∴四边形AFEC是平行四边形∴ AC∥EF(2)解：∵ AD∥BC，∴∠F=∠BEG，∠FAG=∠B∵点G是AB的中点，∴ AG=BG∴△AGF≌△BGE (AAS)∴ AF=BE=6∴ CE=AF=6∴ BC=BE+CE=12∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD=BC=12考点二三角形的中位线与R t△斜边上的中线例3如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点∴ DE、EF都是△ABC的中位线∴ DE∥AC，EF∥AB∴四边形ADEF是平行四边形(2)∵四边形ADEF是平行四边形∴∠DEF=∠BAC∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高∴ DH、FH分别是R t△ABH和R t△ACH斜边上的中线∴ DH=AD，FH=AF∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA∵∠DAH+∠FAH=∠BAC∠DHA+∠FHA=∠DHF∴∠DHF=∠BAC∴∠DHF=∠DEF考点三特殊平行四边形的性质与判定例4如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC，两线相交于点E.(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数.(1)证明：∵ AE ∥BD ，DE ∥AC∴ 四边形AODE 是平行四边形∵ 四边形ABCD 是矩形∴ AC=BD ，OA=21AC ，OD=21BD ∴ OA=OD∴ 四边形AODE 是菱形(2)解：连接OE.由(1)得，四边形AODE 是菱形，∴ AE=AO=BO∵ AE ∥BO ，∴ 四边形AEOB 是平行四边形∵ BE ⊥DE ，DE ∥AC ，∴ BE ⊥AO∴ 四边形AEOB 是菱形∴ AE=AB=BO∴ AB=BO=AO∴ △AOB 是等边三角形∴ ∠AOB=60°∴ ∠AOD=180°-60°=120°例5 如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE.(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论.解：(1)四边形BECF 是菱形.理由如下：∵ EF 垂直平分BC ，∴ BF=CF ，BE=CE∴ ∠3=∠1∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°∴ ∠2=∠A ，∴ CE=AE∴ BE=AE∵ CF=AE∴ BE=CE=CF=BF∴ 四边形BECF 是菱形(2)当∠A=45°时，四边形BECF 是正方形.证明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°∴ ∠CBA=45°∵ 四边形BECF 是菱形∴ ∠EBF=2∠CBA=90°∴ 菱形BECF 是正方形【课堂检测案】一、分类讨论思想例6 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm 和3cm 的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.解：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课教学设计
（二）过程与方法
1.通过复习课的教学，引导学生自主探究、合作交流，提高学生的几何逻辑思维能力。
2.利用实际问题，激发学生的兴趣，培养学生的几何直观和空间想象能力。
3.设计具有层次性的练习题，使学生在解决问题的过程中，逐步提高解题能力和技巧。
（2）从生活中寻找一个实例，运用平行四边形的性质和判定方法进行分析，并简要说明。
2.选做题：
（1）探究题目：矩形、菱形、正方形各自具有哪些独特的性质？它们之间的关系是什么？
（2）拓展题目：运用平行四边形的性质，解决以下问题：一个平行四边形的对角线互相垂直，求证该平行四边形是菱形。
3.小组合作任务：
以小组为单位，设计一道关于平行四边形的实际问题，要求包含平行四边形性质和判定方法的应用。小组成员共同讨论，解决问题，并在课堂上进行展示。
7.总结提炼，形成知识体系
在复习课结束时，引导学生总结平行四边形的知识点，形成完整的知识体系，提高学生的归纳、总结能力。
8.拓展延伸，激发兴趣
设计一些拓展性问题和实际应用题，激发学生的学习兴趣，提高学生的创新思维和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：利用多媒体展示一组生活中常见的平行四边形实物图片，如建筑物的立面、操场上的跑道等，引导学生观察并说出这些图形的共同特征。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握平行四边形的性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等，并能运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生运用平行四边形的判定方法，如两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分等，识别和构造平行四边形。
【人教版】初中数学八下数学第18章《平行四边形》全章教学案(含解析)
第十八章平行四边形1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明中位线定理.1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别,使学生进一步认识一般与特殊的关系.2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过程,以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上学习的,也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别,能够灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质,而忽略了共同性质.如有的学生不知道正方形既是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上附加一些条件(种差),通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念;同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系,即内涵越小,外延越大;反之外延越小,内涵越大.例如,正方形的性质中,包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小,而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了,它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章定理证明中,除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加,但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展.18.1 平行四边形18.1.1平行四边形的性质(2课时)5课时18.1.2平行四边形的判定(3课时)18.2 特殊的平行四边形18.2.1矩形(2课时)5课时18.2.2菱形(2课时)18.2.3正方形(1课时)单元概括整合1课时18.1平行四边形1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.3.掌握三角形的中位线的概念和定理.1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.18.1.1平行四边形的性质1.理解平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的概念和性质的探索.【难点】平行四边形性质的运用.第课时1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.3.了解平行线间距离的概念.1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.导入一:[过渡语]前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.[设计意图]通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.导入二:(出示本章农田鸟瞰图)观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象——平行四边形.[过渡语]下面我们来认识特殊的四边形——平行四边形.[设计意图]以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.1.平行四边形的定义思路一提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.追问:平行四边形如何好记好读呢?画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.[设计意图]给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.思路二请举出你身边存在的平行四边形的例子.学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……教师点评,画出图形,如右图所示.提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?(2)你能表示平行四边形吗?(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.(2)指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.[设计意图]学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.2.平行四边形边、角的性质思路一[过渡语]同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么?一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.追问:你能证明这些结论吗?学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠A=∠C.在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.[过渡语]我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.证明:连接AC.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.引导学生归纳平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).[设计意图]让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.[知识拓展](1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.(教材例1)如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.[设计意图]应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.思路二1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一致?AB=BC=CD=AD=猜想:∠A=∠B=∠C=∠D=猜想:小组合作完成,交流自己的猜想.教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.2.你能证明你发现的上述结论吗?已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:(1)AD=BC,AB=CD;(2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.证明:(1)连接AC,如图(2)所示.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.(2)∵△ABC≌△CDA(已证),∴∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠BAD=∠DCB.教师根据学生的证明情况进行评价、总结.证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).(补充)如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.教师根据学生回答,板书有关正确的结论.解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.[设计意图]学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.3.平行线间的距离[过渡语]距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢?思路一提问:在教材的例1中,DE=BF吗?学生思考,都容易发现:由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.追问:如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC 相等吗?为什么?学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.学生结合图指出:a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.[设计意图]结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.思路二请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.老师边看边指导学生画图.追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.如右图所示,用符号语言表述为:∵l1∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,∴AB=CD.教师进一步强调:两平行线l1,l2之间的距离是指什么?指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1,l2间的距离.引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.[设计意图]借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.[知识拓展](1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.4.例题讲解(补充)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.〔解析〕本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.解:在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.设BC边上的高为AE.(1)若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,根据勾股定理,得:BE====3;在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,根据勾股定理,得:CE== ==2.∴BC=BE+CE=3+2=5.∴▱ABCD的周长为2×(5+5)=20.(2)若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,同理可得BE=3,CE=2,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴▱ABCD的周长为2×(5+1)=12.综上,▱ABCD的周长为20或12.[解题策略]本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.D.2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是.解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°.(2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(8+14)=44.第1课时1.平行四边形的定义2.平行四边形边、角的性质例1例23.平行线间的距离4.例题讲解例3一、教材作业【必做题】教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.【选做题】教材第50页习题18.1第8题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于()A.110°B.30°C.50°D.70°2.如图所示,l 1 ∥l 2,BE ∥CF ,BA ⊥l 1 于点A ,DC ⊥l 2于点C ,有下面的四个结论;(1)AB =DC ;(2)BE =CF ;(3)S △ABE =S △DCF ;(4)S 四边形ABCD =S 四边形BCFE .其中正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.如图所示,点E 是▱ABCD 的边CD 的中点,AD ,BE 的延长线相交于点F ,DF =3,DE =2,则▱ABCD 的周长为 ( )A.5B.7C.10D.144.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB =4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE ,垂足为G ,若DG =1,则AE 的长为 ( ) A.2 B.4 C.4 D.85.如图所示,▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等,且∠BAD =60°,∠F =110°,则∠DAE 的度数为 .【能力提升】6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点A ,B ,C 的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D 的坐标为 .7.如图所示,在▱ABCD 中,DE 平分∠ADC ,AD =6,BE =2,则▱ABCD 的周长是 .。
人教版初中数学八年级上册《第十八章平行四边形》复习教案
18章平行四边形总复习教案——数学大餐“大餐一二”“吃喝”和“加菜”二.“大餐一”三、“细琢回味”1、定义是在什么基础上的？2、从定义看包含关系（双黄蛋）？四、“大餐二”1、教师细讲定义学生完成题目并体会“双黄蛋”的包含关系教师出示例教师要求学生先尝试独立思考，再小组讨论、交流.2、教师巡视学生情况3、3、学生独立完成并完善此图4、展示学生所写所填并规范答案！5、学生根据老师讲解的完善并熟记性质图。
五、“体育锻炼”1.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．2. 已知：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FBA DEEB F C3、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF.A D FEB C六、“加菜”在“3”题的后面加上第二问（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？1、体育锻炼环节：学生自练自讲。
2、找三个人去讲台讲解，我是小老师。
3、老师说说每一小题考查了哪些知识E4、老师讲解拓展提高题“加菜”“总结回味”本节课我们复习了哪些知识点？师引导学生归纳总结.梳理知识，并建立知识体系.教师黑板板书题目及知识结构布置下节作业下次大餐。
《平行四边形》全章复习教学设计
《平行四边形》全章复习教学设计崇仁路中学张晶晶一、教学设计理念背景建构主义理论其核心只用一句话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。
建构主义认为，学习环境是学习者可以在其中进行自由探索和自主学习的场所。
在此环境中学生可以利用各种教具和信息资源(微课、书籍、多媒体课件等)来达到自己的学习目标。
翻转课堂设计符合建构主义理论，关注学生的自主学习、合作学习，采用“翻转课堂”教学模式提升学生的自主探究实践能力，采用分层分组教学法，提高课堂教学效果。
二、课标、教参目标要求分析根据《数学课程标准》指出：1、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系；2、探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理；3、探索并证明它们的判定定理。
4、探索并证明三角形中位线定理。
所以本节课学生通过同伴互助、小组合作、老师点拨，三、教材内容分析本节课是人教版八年级下册第十八章的一节复习课，是梳理本章特殊四边形的性质与判定的复习课。
通过学生课堂抢答、连线、分类、填空、转盘、归纳并演练等环节，掌握特殊四边形的性质和判定，以及平行四边形的几种常用辅助线的应用。
四、教学对象分析八年级学生经过前前面的学习和复习，已经掌握基本的证明方法和基本的作图技能,已经初步理解特殊四边形的性质和判定的基础知识,具有了一定的识图能力、观察能力,所以本节复习课要让学生来更好的区分各种不同特殊四边形的性质和判定，并运用所学知识解决问题。
五、教学目标分析（一）、知识与技能：1、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系；2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理；3、理解平行四边形的几种常用辅助线的画法。
（二）、过程与方法：通过培养学生的观察能力、处理科学信息的能力、交流与合作能力和分析解决问题的能力。
（三）、情感态度与价值观：1、积极参加数学活动，有学习数学的兴趣和自信心；2、与他人合作，与同伴和老师交流；六、本课教学目标确立1、理解各种特殊四边形的性质和判定。
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形单元复习》说课稿
课后作业布置如下：
1.完成课后练习题，巩固平行四边形的性质、判定方法等知识点。
2.结合生活实例，设计一道与平行四边形相关的实际问题，并运用所学知识解决。
3.预习下一节课内容，为新课的学习做好准备。
作业的目的是帮助学生巩固所学知识，提高应用能力，培养自主学习能力，为后续学习打下基础。同时，通过设计实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
2.生生互动：小组讨论，学生在小组内分享自己的思考和观点，共同探讨平行四边形的性质和判定方法；小组竞赛，鼓励学生在竞赛中展示自己的能力，提高学习积极性。
3.课堂展示：学生代表上台展示自己的解题过程和思考方法，其他学生给予评价和反馈，促进课堂氛围的活跃。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.课堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固平行四边形的性质和判定方法。
2.小组竞赛：组织小组间的几何图形竞赛，鼓励学生运用所学知识解决问题，提高学生的应用能力。
3.实践活动：布置学生课后收集生活中的平行四边形实例，并与同学分享，增强学生对几何知识的实际运用能力。
1.创设情境：通过展示生活中常见的平行四边形实物图片，如篮球场、停车场等，让学生直观地感受平行四边形在实际中的应用。
2.提出问题：在此基础上，提出一系列引导性问题，如“你们在生活中还见过哪些平行四边形？”“平行四边形具有哪些特征？”等，激发学生的好奇心和求知欲。
3.游戏互动：组织学生进行“找出平行四边形”的游戏，让学生在轻松愉快的氛围中回顾平行四边形的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
人教版数学八年级下册教学设计：第十八章平行四边形小结复习(一)
人教版数学八年级下册教学设计：第十八章平行四边形小结复习（一）一. 教材分析第十八章主要内容是平行四边形的性质和小结复习。
本章内容在几何学习中占据重要地位，是对之前学习内容的巩固和拓展。
通过本章的学习，学生能够深入理解平行四边形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析初二学生已经掌握了平行四边形的基本性质，具备一定的几何思维能力。
但在解决实际问题时，部分学生可能会对一些复杂图形的处理感到困难，对平行四边形性质的应用不够灵活。
三. 教学目标1.理解并掌握平行四边形的性质。
2.能够运用平行四边形性质解决实际问题。
3.提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平行四边形的性质。
2.平行四边形性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动探究，提高学生的问题解决能力。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
3.几何模型。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入平行四边形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解平行四边形的性质，引导学生通过观察、思考，总结出平行四边形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，运用平行四边形的性质解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对平行四边形性质的理解。
教师批改作业，及时反馈学生的学习情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平行四边形性质在实际问题中的应用，提高学生的问题解决能力。
6.小结（5分钟）对本节课的学习内容进行小结，强调平行四边形性质的重要性。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）总结本节课的主要内容，方便学生回顾和复习。
教学过程每个环节所用时间为：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
总计60分钟。
在本节课的教学过程中，我深刻认识到教学设计的合理性与否对课堂效果的影响。
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形《特殊平行四边形复习》优秀教学案例
1.生活实例导入，激发学生兴趣：通过利用生活实例或图片，如房间的矩形布局、运动员的跑道等，引发学生对特殊平行四边形的兴趣和好奇心。这种以生活实例导入的方法，能够激发学生的学习兴趣，使他们更愿意参与到课堂学习中。
2.问题导向，培养学生的思考和探索能力：设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生深入思考和探究。通过问题解决的过程，学生能够发现和总结特殊平行四边形的性质。这种问题导向的教学策略，培养了学生的思考和探索能力，提高了他们的数学思维能力。
在课堂氛围上，我努力营造轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与讨论和提问，培养他们的自主学习能力和批判性思维。通过对学生的鼓励和表扬，激发他们的自信心，使他们在学习过程中保持积极的心态。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.复习和掌握特殊平行四边形的性质和判定方法，包括矩形、菱形和正方形的性质。
2.能够运用特殊平行四边形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实际情境，引发学生对特殊平行四边形性质的兴趣和好奇心。
2.通过设计有趣的数学游戏和操作活动，激发学生的学习动力。
3.创设问题情境，引导学生主动探究和发现特殊平行四边形的性质。
在情景创设方面，我将利用生活实际情境来引发学生对特殊平行四边形性质的兴趣和好奇心。例如，可以展示一些实际生活中的图形，如房间的布局、运动员的跑道等，引导学生注意到这些图形的特殊性质。此外，我还会设计一些有趣的数学游戏和操作活动，如拼图游戏、折叠纸游戏等，激发学生的学习动力。通过这些情境创设，学生能够更加主动地参与到学习过程中，提高他们的学习兴趣。
在教学设计上，我遵循了由浅入深、循序渐进的原则，先从简单的特殊平行四边形开始复习，再逐步引导students深入探讨更复杂的特殊平行四边形的性质和判定方法。在教学过程中，我注重引导学生发现规律、总结方法，从而提高他们的数学思维能力。
人教版八年级数学下册第18章 平行四边形复习教案
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习教案【思维导图】【教学目标】知识与技能目标1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.过程与方法目标1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.情感、态度与价值观目标引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.【教学重点】理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【教学难点】平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.【知识梳理夯实知识基础】专题一平行四边形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.例1已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);(3)如图(2),当点D是△ABC内一点时,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).〔解析〕(1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D 在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明∠FDB=∠FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF－BF=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠CDE=∠DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE －CE=DF－DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠EGC=∠C,由等角对等边得到EG=DE＋DG=CE,从而可得AB=AC=EC＋AE=DE ＋DG＋DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF.∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠FDB=∠B,∴DF=FB,∴DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,AB=DE－DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE＋DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,AB=DF－DE.(3)AB=DE＋DG＋DF.[解题策略]本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.【跟踪练习1】△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证EF=CD.(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.〔解析〕(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,可证明△ABD≌△CAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)根据ED∥FC及题意得出∠ACF=∠BAD,从而可证明△ABD≌△CAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE=ED,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD=30°,又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=CF,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.解:(2)△AEF和△ABC的面积比为1∶4.(3)成立.证明如下:∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE,∴∠AFC=∠BDA.又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,∴△ABD≌△CAF,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.专题二矩形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例2如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD 的面积.〔解析〕(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,∴四边形EFGH是矩形.解:(2)∵G是OC的中点,∴GO=GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,∴DC=4 cm,DB=8 cm,∴CB==4(cm)∴矩形ABCD的面积=4×4=16(cm2).[解题策略]本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.【跟踪练习2】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证AE=CE.〔解析〕作BF⊥CE于F,证明Rt△BCF≌Rt△CDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.证明:作BF⊥CE于F,∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D,又BC=CD,∠BFC=∠CED=90°,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE,又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.[规律方法]在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.专题三菱形的判定、性质及其应用【专题分析】考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.例3 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,求证四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.〔解析〕(1)利用已知条件和公共边,证得△ABC≌△ADC,即可证明∠BAC=∠DAC;再证明△ABF≌△ADF,得到∠AFB=∠AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知∠DAC=∠ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BE⊥CD时,由(2)可知BC=CD,∠BCF=∠DCF,利用△BCF≌△DCF,证得∠CBF=∠CDF,再利用等角的余角相等即可证明∠EFD=∠BCD.证明:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC=∠DAC,∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD,又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.解:(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.理由如下:∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.又∵CF为公共边,∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,从而可知∠EFD=∠BCD.[规律方法](1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.【跟踪练习3】如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC 于F.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果∠BAD=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.〔解析〕(1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴DF∥AE,∵EF∥AD,∴四边形DAEF是平行四边形,∵DE是∠ADC的平分线,∴∠1=∠2,∵DF∥AE,∴∠2=∠AED,∴∠AED=∠1.∴AD=AE.∴四边形AEFD是菱形.解:(2)∵∠BAD=60°,∴△AED为等边三角形.∴DE=AD=AE=5,连接AF,与DE相交于O,则EO=,∴OA==,∴AF=5.=DE·AF=×5×5=.∴S菱形AEFD[解题策略]此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.专题四正方形的判定、性质及其应用【专题分析】涉及正方形的题目,一般综合性较强,可以与矩形、菱形结合起来,也可以与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知识结合起来考查,还可以与坐标系等知识结合起来考查,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例4如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.〔解析〕本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【跟踪练习4】在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图(1);(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图(2),若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.〔解析〕对于(1),按照要求作出图形即可;对于(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形△ABE和△ADE,进而使问题获解;对于(3),可以在(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得∠BFD是直角,最后根据勾股定理求解.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接AE,∵点E是点B关于直线PA的对称点,∴∠PAB=∠PAE,AE=AB.∵∠PAB=20°,∴∠PAE=20°,∠BAE=40°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°,∴∠ADF=∠AED=(180°-∠EAD)=25°.(3)如图,连接AE,BF,BD,设BF与AD的交点为点G.由轴对称知FE=FB,AE=AB,又∵AF=AF,∴△AEF≌△ABF,∴∠ABF=∠AEF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴AE=AD,∴∠AEF=∠ADF,∴∠ABF=∠ADF,∵∠AGB=∠DGF,∴∠DFG=∠BAG=90°.在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,∴2AB2=BD2.在Rt△BFD中,BF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=BD2,∴EF2+FD2=2AB2.专题五三角形的中位线定理【专题分析】单独考查三角形中位线知识的题目多以选择题和填空题的形式出现,与平行四边形、三角形等知识综合的题目多以解答题的形式出现.例5如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?〔解析〕(1)由三角形中位线定理,得DE∥BC.又EF∥AB,故得结论.(2)四边形DBFE是平行四边形,则只要有一组邻边相等即可,故可选择条件AB=BC.证明:(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形.解:(2)本题答案不唯一.当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.理由如下:∵D是AB的中点,∴BD=AB.由(1)知DE是△ABC的中位线,∴DE=BC.∵AB=BC,∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形.【跟踪练习5】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证BN=DN;(2)求△ABC的周长.〔解析〕(1)证明△ABN≌△ADN,即可得出结论.(2)先判定MN是△BDC的中位线,从而得出CD的长,由(1)可得AD=AB=10,从而计算周长.证明:(1)在△ABN和△ADN中,∴△ABN≌△ADN(ASA),∴BN=DN.解:(2)∵△ABN≌△ADN,∴AD=AB=10,又∵点M是BC中点,BN=DN,∴MN是△BDC的中位线,∴CD=2MN=6,故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.[解题策略]本题考查了三角形的中位线定理,一般出现高与角平分线重合的情况,都可以找到等腰三角形.专题六直角三角形斜边上的中线的性质【专题分析】这个知识点运用较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与其他知识综合考查.例6如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC 的中点,连接EF交CD于点M,连接CE,AM.(1)求证EF=AC.(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.〔解析〕(1)根据等腰三角形的“三线合一”及CD=CB,点E为BD的中点,可得△AEC是直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由点F为AC的中点,可得结论;(2)当∠BAC=45°时,可得△AEC为等腰直角三角形,由线段垂直平分线的性质可得AM=CM,再由CD=CB,得AM+DM=BC.证明:(1)∵CD=CB,E为BD的中点,∴CE⊥BD,∴∠AEC=90°.又∵F为AC的中点,∴EF=AC.解:(2)∵∠BAC=45°,∠AEC=90°,∴∠ACE=∠BAC=45°,∴AE=CE.又∵F为AC的中点,∴EF⊥AC,∴EF为AC的垂直平分线,∴AM=CM,∴AM+DM=CM+DM=CD.又∵CD=CB,∴AM+DM=BC.【跟踪练习6】如图所示,一根长为2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.〔解析〕(1)木棍滑动的过程中,点P到点O的距离不会变化.根据是在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP 时,△AOB的面积最大,再求解.解:(1)不变.理由如下:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,∵斜边AB不变,∴斜边上的中线OP不变.(2)当△AOB的斜边上的高等于中线OP时,即△AOB为等腰直角三角形时,面积最大,理由如下:如图,设高为h,若h与OP不相等,则总有h<OP,∵AB长度不变,∴根据三角形的面积公式,有h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时,S△AOB= AB·h=×2a·a=a2.∴△AOB的最大面积为a2.[解题策略]此题利用了在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,理解△AOB的面积在什么情况下最大是解决本题的关键.专题七折叠问题【专题分析】折叠问题,由于四边形中的每一个知识点都可以涉及,且经常与三角形全等,等腰三角形,等边三角形,直角三角形等知识综合,因此可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例7 对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',如图(1);第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图(2).(1)求证∠ABE=30°;(2)求证四边形BFB'E为菱形.〔解析〕(1)根据点M是AB的中点判断出A'是EF的中点,然后判断出BA'垂直平分EF,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=BF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A'BE=∠A'BF,根据翻折的性质可得∠ABE=∠A'BE,然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证;(2)根据翻折变换的性质可得BE=B'E,BF=B'F,然后得出BE=B'E=B'F=BF,再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.证明:(1)∵对折后AD与BC重合,折痕是MN,∴点M是AB的中点,从而可知A'是EF的中点,∵∠BA'E=∠A=90°,∴BA'垂直平分EF,∴BE=BF,∴∠A'BE=∠A'BF,由翻折的性质,得∠ABE=∠A'BE,∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF,∴∠ABE=×90°=30°.(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F,∵BE=BF,∴BE=B'E=B'F=BF,∴四边形BFB'E为菱形.[思维模式]解答折叠问题的一般思路:分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴,利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角,再进行相关的计算或证明.【跟踪练习7】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B 沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,求BE的长.解:(1)点B'落在AD上时,∠B'EC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°,AD∥BC,由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB',可知四边形ABEB'为正方形,∴BE=AB=3.(2)点B'落在AC上时,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°﹒由折叠可知∠AB'E=∠B=90°,AB=AB'=3,BE=B'E,∴∠EB'C=90°﹒在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC==5,∴CB'=AC-AB'=5-3=2.设B'E=BE=x,则CE=4-x,在Rt△B'CE中,由勾股定理得x2+22=(4-x)2,解得x=,即BE=﹒[归纳总结]探索动态与存在性问题的综合题,首先利用存在性的不同情况进行分类讨论;再确定位置,画出相应的图形;利用几何图形的性质、勾股定理等解决问题,求出存在性的条件.专题八四边形中的动点问题以及图形变换问题【专题分析】动点问题,一般难度较大,综合性强,常常以选择题、填空题的形式出现,分值为3分,大都将四边形的问题转化成三角形的问题解决.例8如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?〔解析〕(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证得△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,故EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.证明:(1)在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠CDF,∵BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.解:(2)GE=BE+GD成立.理由如下:由(1)得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF,∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.[归纳总结]本题(2)问属于证明线段和差的问题,实质上是证明两条线段相等,注意运用平行四边形和特殊平行四边形的性质.在需要时,添加适当辅助线构造三角形,利用全等三角形的性质解决问题.【跟踪练习8】如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B停止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s,△DEF为等边三角形,则t的值为.〔解析〕连接BD,如图.由已知条件得到△ADB是等边三角形,再由经过t s,△DEF为等边三角形,可推导出△ADE与△BDF全等,根据全等三角形的对应边相等,可得AE=BF,列出方程即可求解.在菱形ABCD中,∠ADC=120°,AB=AD,∠DAB=180°-∠ADC=60°,∴△ADB是等边三角形,∴AD=DB,∠ADB=60°,∵△DEF为等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=60°,∴∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB,即∠ADE=∠BDF.在△ADE和△BDF中, ∴△ADE≌△BDF(SAS),∴AE=BF,∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,解得t=.故填.[解题策略]本题是动点问题.以菱形为背景,菱形中有一个内角为120度,连接较短的一条对角线,就有2个等边三角形.两个动点经过运动,在菱形内部与菱形的一个顶点构成等边三角形,可以从全等三角形的探寻着手,构造出正确的方程再求解.专题九数形结合思想【专题分析】在四边形这一章中,数形结合思想应用广泛.一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,有时需要自己结合题意画图,使问题的解决更加直观,解题效率事半功倍.例9菱形ABCD中,若对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,则边长AB=cm.〔解析〕根据菱形的对角线互相垂直平分,求出对角线长的一半,然后利用勾股定理列式计算即可得解.如图,设AC,BD交于点O,∵菱形ABCD中,对角线长AC=8 cm,BD=6 cm,∴AO=AC=4 cm,BO=BD=3 cm.∵菱形的对角线互相垂直,∴在Rt△AOB中,AB===5(cm).故填5.[归纳总结]本题考查了菱形的性质和勾股定理,需要自己画图,让问题迎刃而解.【跟踪练习9】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=8,AD=17,将此矩形纸片折叠,使顶点A落在BC边的A'处,折痕所在直线同时经过边AB,AD(包括端点),设BA'=x,则x的取值范围是.〔解析〕本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,难点在于判断出BA'的最小值与最大值时的情况,作出图形更形象直观.作出图形,根据矩形的对边相等可得BC=AD,CD=AB,当折痕经过点D时,根据翻折的性质可得A'D=AD,利用勾股定理列式求出A'C,再求出BA';当折痕经过点B时,根据翻折的性质可得BA'=AB,此两种情况为BA'的最小值与最大值的情况,然后写出x的取值范围即可.∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=17,∴BC=AD=17,CD=AB=8.①当折痕经过点D时,如图(1).由翻折的性质得A'D=AD=17,在Rt△A'CD中,A'C===15.∴BA'=BC-A'C=17-15=2.②当折痕经过点B时,如图(2).由翻折的性质得BA'=AB=8.∴x的取值范围是2≤x≤8.故填2≤x≤8.[归纳总结]一般是先根据折叠得出对应的图形全等,对应的线段相等,对应的角相等,再根据勾股定理及直角三角形的相关知识计算线段的长度,问题便迎刃而解.专题十方程思想【专题分析】在本章中,方程思想应用广泛.一般以选择题、填空题的形式出现,每个小题3分,一般是四边形的知识与勾股定理结合起来考查.例10如图,矩形ABCD 中,AB =8,点E 是AD 上的一点,AE =4,BE 的垂直平分线HF 交BC 的延长线于点F ,连接EF 交CD 于点G ,若G 是CD 的中点,则BC 的长是 . 〔解析〕 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质,解题的关键是通过勾股定理列出方程再求解.∵G 是CD 的中点,∴DG =CG =4.在△DGE 与△CGF 中, ∴△DGE ≌△CGF.∴CF =DE ,FG =EG.令BC =AD =x ,则CF =DE =x -4,∴BF =2x -4.在Rt △DGE 中,根据勾股定理可得EG ==.∵HF 垂直平分BE ,∴EF =BF ,∴(2x -4)2=4[(x -4)2+42],解得x =7.故填7.【跟踪练习10】如图，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重为334cm 2，则这个旋转角度为_________叠部分的面积度．〔解析〕设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ；由于A′B=BC ，易证得△A′BE ≌△CBE ，因此两者的面积相等，即可根据△CBE 的面积求得CE 的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE 、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．解：设A′D′与CD 的交点为E ，连接BE ．∵A′B=BC ，BE=BE ，∴Rt △A′BE ≌Rt △CBE ．（HL ）∴∠A′BE=∠EBC ，且S △BA′E =S △BCE =332． 在Rt △BCE 中，BC=2，则：S △BCE =21×2×CE=332，∴CE=332． ∴tan ∠EBC=BC EC =33，即∠EBC=30°． ∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°－∠A′BC=30°．故旋转的角度为30°．[点评]此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．【跟踪练习11】 如图,在矩形ABCD 中,AD =3AB ,点G ,H 分别在AD ,BC 上,连接BG ,DH ,且BG ∥DH ,当AG= AB 时,四边形BHDG 为菱形.〔解析〕 根据四边形BHDG 为菱形可以得到四条边都相等,设其边长为x ,利用勾股定理列方程求解即可得到答案.在矩形ABCD 中,AD =3AB ,不妨设AB =1,则AD =3,∵四边形BHDG 为菱形,∴BG =GD ,不妨设BG =GD =x ,则AG =3-x ,在Rt △ABG 中,12+(3-x )2＝x 2,解得x =35,∴AG ＝AD －GD ＝3AB －35AB ＝34AB .专题十一 分类讨论思想【专题分析】分类讨论思想的应用广泛,应用时,常常运用数形结合法,先画出所有几何图形,再分类讨论,解决问题.可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.例11如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A ,C 的坐标分别为A (10,0),C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 为线段BC 上的点.小明同学写出了一个以OD 为腰的等腰三角形ODP 的顶点P 的坐标(3,4),请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标: .〔解析〕 根据点A ,C 的坐标求出OA ,OC 的长,再根据线段中点的定义求出OD =5,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,由已知点P (3,4)判断出OP =OD ,再根据PD =OD 利用勾股定理求得DE 的长,然后分点E 在点D 的左边与右边两种情况求出OE ,然后写出点P 的坐标即可.∵A (10,0),C (0,4),∴OA =10,OC =4.∵点D 是OA 的中点,∴OD =OA =×10=5.过点P 作PE ⊥x 轴于E ,如图,则PE =OC =4,∵P (3,4),∴OP ==5,∴此时OP =OD.当PD =OD 时,由勾股定理得DE =3,若点E 在点D 的左边,则OE =5-3=2,此时,点P 的坐标为(2,4).若点E 在点D 的右边,则OE =5+3=8,此时,点P 的坐标为(8,4).综上所述,其余的点P 的坐标为(2,4)或(8,4).故填(2,4)或(8,4).[归纳总结] 本题是代数与几何的综合题,用到的数学思想方法较多,如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等.做题时要灵活运用数学思想来解决问题,结合图形会由点的坐标转化为线段的长度,根据分类讨论思想以OD 为腰的等腰三角形分OP =OD ,DP =OD 两种情况,同时DP =OD 时,点P 的坐标又分两种情况.要想正确地解答此题,必须综合利用矩形、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识解决问题.【跟踪练习12】在校园文化建设活动中,需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1,a (a >1)的纸片,先减去一个菱形,余下一个四边形,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,…,依此类推,请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图,并求出a 的值.〔解析〕 本题重点考查了学生的操作能力和数学中分类讨论思想的应用,解题的关键是掌握裁剪时的横竖组合.裁剪方向有横向和竖向两种,根据裁剪次数和a >1,可分为3竖;2竖一横;1竖两横;1竖1横1竖共四种情况,画出图形后利用菱形的性质求解.如图(1),此时a =4.如图(2),此时a =2+21=25.如图(3),此时a =1+31=34.如图(4),此时a =1+32=35.(1) (2) (3) (4)[归纳总结] 对于图形分割类问题,一般要抓住分割时的要求,通过分类讨论的方法找到分割的所有可能的结果.。
第十八章《平行四边形》复习教案
第18章平行四边形复习导学案【学习目标】1、学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；【重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及应用方法。
【难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【复习过程】一、归纳整理，形成体系（一）、性质判定，列表归纳（二）诊断练习1.菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为，面积为 .2.若正方形ABCD 的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。
3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A.对角线相等B. 对角线平分一组对角C.对角线互相平分D. 对角线互相垂直 4.正方形具有，矩形也具有的性质是（ ）A.对角线相等且互相平分B. 对角线相等且互相垂直C.对角线互相垂直且互相平分D.对角线互相垂直平分且相等 5.矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对边平行且相等D. 内角和为36006.正方形具有而矩形不具有的特征是（ ）A. 内角为3600B. 四个角都是直角C. 两组对边分别相等D. 对角线平分对角 二、查漏补缺，讲练结合例题1：已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ．求证：OE=OF ．变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？变式2．在图1AB 、CDF ，这时仍有OE=OF 吗？变式3．在图1中，若改为过A 作AH⊥BC，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结GC ，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？B CBBCB F变式4．在图1中，若GH⊥BD，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？为什么？例题2:已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点，F 是CD．求证：AF 平分∠DAE．证法一：（延长法）延长EF ，交AD 的延长线于G ,证法二：（延长法）延长BC ，交AF 的延长线于点G,思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G ，使AG=AD ，再连结GF 、EF （如图2-3），这样能证明吗？三、思维拓展，总结规律顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是____________ 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_____ 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是______请你说说把具有什么特点的四边形的各边中点连接起来能得到正方形呢？四、课堂小结，领悟思想方法EF。
八年级平行四边形复习教案
教案内容备课记录第十八章《平行四边形》复习课教案【教学目标】1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
【教学重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率考点呈现考点一求度数例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）A.550B.350C.300D.250解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B.点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求．考点二平行四边形的性质例2 如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm解析：本题要求△ABE 的周长，就是求AB+BE+EA 的值，而题目所给的条件是□ABCD 的AC ，BD 相交于点O ，可得AC 、BD 互相平分，即O 是BD 的中点，又OE ⊥BD 交AD 于E ，可知OE 是BD 的垂直平分线，则有BE=DE ，所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+ DA=21×20=10（cm ）.故选D ． 点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决.考点三 正方形的性质例3 （1）如图3，在正方形ABCD 中,点E ，F 分别在边BC 、CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF.(2) 如图4，在正方形ABCD 中，点E ，H ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E ，H ，F ，G 分别在矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图5，矩形ABCD 由2个全等的正方形组成，求GH 的长；②如图6，矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，求GH 的长(用n 的代数式表示).图5图6解析：（1）要证BE=CF ，发现它们分别在△ABE 和△BCF 中，由已知条件可以证出△ABE ≌△BCF ；第（2）可以借助（1）的解法，作出辅ABCDOE图3 图4助线，构造成（1）的形式；而（3）则是在前两问的基础对规律的总结，发现在正方形内互相垂直的两条线段相等.(1) 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以 ∠EAB+∠AEB=90°. 因为∠EOB=∠AOF ＝90°， 所以∠FBC+∠AEB=90°， 所以∠EAB=∠FBC ，所以△ABE ≌△BCF ，所以BE=CF ．(2)如图7,过点A 作AM//GH 交BC 于M ，过点B 作BN//EF 交CD 于N,AM 与BN 交于点R ，则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形，所以 EF=BN,GH=AM ，因为∠FOH ＝90°, AM//GH ，EF//BN ，所以∠NRA=90°,故由(1)得, △ABM ≌△BCN ，所以AM=BN.所以GH=EF=4．(3) ① 8．② 4n ．点评：这是一道猜想题，由特殊的图形得到结论，进一步推广到在其它情况下也成立，这是今后中考常见的一个题型，需要我们认真观察、计算、猜想、推广应用.考点四 四边形的折叠例4 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB =3，则BC 的长为（ ）A.1B.2C.2D.3解析：由对矩形的折叠过程可知，矩形ABCD 是一个特殊的矩形，否则折叠后难以得到菱形，据此，矩形的对角线等于边BC 的2倍，于是，在Rt △ABC 中利用勾股定理即可求解.由题意知AC =2BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2=AB 2+BC 2，即4BC 2=AB 2+BC 2，而AB =3，所以BC =3.故应选D .点评：有关特殊四边形的折叠问题历来是中考命题的一个热点，求解时只要依据折叠的前后的图形是全等形，再结合特殊四边形的有关知识就可以解决问题.误区点拨 ABCDFEOABCD图7RNM一、平行四边形的性质用错例1如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式：①012180∠+∠=；②023180∠+∠=； ③034180∠+∠=；④024180∠+∠=.其中一定正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④ 错解：选B 、C 、D.剖析：平行四边形的两组对边分别平行，对角相等的性质，同时考查了平行线的，因为∠1与∠2互补，所以012180∠+∠=，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，AD ∥BC ，∠2 =∠4，所以034180∠+∠=，23180∠+∠=.正解：选A.例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边长AB 取值范围为（ ）A ．1＜AB ＜7 B ．2＜AB ＜14C ．6＜AB ＜8D ．3＜AB ＜14 错解：选B.剖析：本题错误原因在于没有搞清这三条边是否在同一个三角形中就用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判定.在平行四边形ABCD 中，两条对角线一半与平行四边形一边组成一个三角形然后再求取值范围.正解：选A.二、运用判定方法不准确例3已知，如图3，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点. 求证：（1）△AFD ≌△CEB ； （2）四边形AECF 是平行四边形. 错解：（1）在□ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ，∠D=∠B. 因为E ，F 分别是AB 、CD 的中点，所以11,22DF CD BE AB ==，即DF=BE.在△AFD 和△CEB 中，AD=CB ，∠D=∠B ，DF=BE ，所以 △AFD ≌△CEB.（2）由（1）知，△AFD ≌△CEB ，所以∠DFA=∠BEC ，所以AF ∥CE ，即四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.BACDO剖析：本例第（1）问是正确的，错在第（2）问选择证平行四边形的方法上，我们利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个方法时，证明出现了错误.正解：（1）同上.（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四边形AECF是平行四边形.例4 如图4，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F 在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.试说明：O是BD的中点.错解：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AF=CE，所以O是BD的中点.剖析：本例主要错在误认为O是平行四边形ABCD对角线的交点上，但我们观察图形可以发现EF与BD为四边形FBED的对角线，只要得到四边形FBED 是平行四边形，就能根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD 的中点.正解：连接FB，DE，因为AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以FD∥BE．又因为AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四边形FBED是平行四边形．所以BO＝OD，即O是BD的中点．。
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第十八章平行四边形总复习教案
学习目标：
1．进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及其相互联系；
2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，并能运用这些知识灵活解决问题。
学习重点：
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，并能运用这些知识灵活解决问题。
学习难点：
梳理平行四边形的知识结构体系，根据具体问题情境，选择适当的知识进行推理计算，并解决问题．
学习过程：
一、自主复习，并回答下列问题
1、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD
相交于点O,你能得到哪些结论？
2、问：△AOD、△AOB、△BOC、△COD有什么关系？
3、如果四边形ABCD是矩形，前面得到的那些
结论还成立吗？你还能得到什么结论？
4、如果四边形ABCD是菱形，前面得到的那些
结论还成立吗？你还能得到什么结论？
5、如果四边形ABCD是正方形，你又能得到哪些结论？
6、已知：四边形ABCD，添加适当的条件
（1）使它成为平行四边形.条件：＿＿＿＿＿＿.
（2）使它成为菱形.条件：＿＿＿＿＿＿.
（3）使它成为矩形.条件：＿＿＿＿＿＿.
（4）使它成为正方形.条件：＿＿＿＿＿.
7、如图，点E是AC的中点，点F是AB的中点，则EF叫做
△ABC的＿＿＿＿＿＿，EF和BC的关系＿＿＿＿＿＿，
二、简单分类检测
平行四边形检测
1、在 ABCD中，已知AB=8，AO=3，∠B=50°
则CD=________，AC=________
∠A=________，∠D=___________
2、在 ABCD中，∠A+∠C= 150°那么
∠A=__________，∠D=_________
3、在 ABCD中，∠A:∠B= 4:5，那么∠B=__________，∠C=_________
矩形检测
1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，
∠AOB= 60°，AB=6，则AC=_______
2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，
那么这个矩形的面积是__________
3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边
长为_________
菱形检测
1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6，
则菱形的周长是_________，面积是___________
2、如图，在菱形ABCD中，∠B= 120°，则
∠DAC=___________
3、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10，
那么菱形的周长是_____________
正方形、中位线检测
1. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，
则∠AEB=_______．
2．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的
中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长
是．
三、当堂检测
1、检查一个门框是矩形的方法是（）
A、测量两条对角线是否相等.
B、测量有三个角是直角.
C、测量两条对角线是否互相平分.
D、测量两条对角线是否互相垂直.
2、菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角等于（）
A、60°
B、90°
C、120°
D、150°
3、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，
AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
交CD于点E、F，AE、BF相交于点M
（1）请说明：AE⊥BF
（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明
5、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，
并说明理由
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
五、布置作业
1、课本P67：T5，P68：T7。
2、创新练习P48-51。
六、拓展延伸
如图，在矩形ABCD中，AB=8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上
的点B'处，若AB'=4，则折痕EF的长度为多少？。