算法设计与分析回溯法
算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）
算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）之前讲过⼀个相似的问题流⽔作业调度问题，那⼀道题最开始⽤动态规划，推到最后得到了⼀个Johnson法则，变成了⼀个排序问题，有兴趣的可以看⼀下本篇博客主要参考⾃⼀、问题描述给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。
每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。
作业Ji需要机器j的处理时间为t ji。
对于⼀个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。
所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。
批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。
例：设n=3，考虑以下实例：看到这⾥可能会对这些完成时间和是怎么计算出来的会有疑问，这⾥我拿123和312的⽅案来说明⼀下。
对于调度⽅案（1,2,3）作业1在机器1上完成的时间是2，在机器2上完成的时间是3作业2在机器1上完成的时间是5，在机器2上完成的时间是6作业3在机器1上完成的时间是7，在机器2上完成的时间是10所以，作业调度的完成时间和= 3 + 6 + 10这⾥我们可以思考⼀下作业i在机器2上完成的时间应该怎么去求？作业i在机器1上完成的时间是连续的，所以是直接累加就可以。
但对于机器2就会产⽣两种情况，这两种情况其实就是上图的两种情况，对于（1,2,3）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，由于作业2在机器1上还没有完成，这就需要先等待机器1处理完；⽽对于（3,1,2）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，作业2在机器1早已完成，⽆需等待，直接在作业1被机器1处理之后就能接着被处理。
综上，我们可以得到如下表达式if(F2[i-1] > F1[i])F2[i] = F2[i-1] + t[2][i]elseF2[i] = F1[i] + t[2][i]⼆、算法设计类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，M输⼊作业时间，bestf记录当前最⼩完成时间和，数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。
算法设计与分析-第8章-回溯法PPT课件
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包， 当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
1
1
0
2
1
0
6
9
1
0
10
13
不可行解
1
0
1
0
1
0
8
11
12
14
15
不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
.
15
8.1.2 回溯法的设计思想
TSP问题搜索解空间的方法---应用目标函数剪枝
再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图所示，
∞3 6 7 C= 12 ∞ 2 8
.
21
8.1.3 回溯法的求解过程
简言之：
1) 逐级扩展解向量 x1 ，x2 ， … ， xi-1
xi
2) 动态测试部分解
用 Bi (x1 ， x2 ，… ，xi-1 ，xi) ---剪枝函数动态测试， 判定路径 x1 x2 … xi-1 xi 是否可行。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。
当搜索到第八行时，获取一组解并返回。
代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
算法设计与分析王红梅第二版第8章_回溯法详解
2018/10/15
Chapter 8 Back Track Method
10
概述 -问题的解空间
可行解：满足约束条件的解，解空间中的一个子集
最优解：
使目标函数取极值(极大或极小)的可行解，一个或少数几个 例：货郎担问题，有nn种可能解。n!种可行解，只有一个或 几个是最优解。 例：背包问题，有2n种可能解，有些是可行解，只有一个或 几个是最优解 有些问题，只要可行解，不需要最优解： 例：八皇后问题和图的着色问题
7
概述 -问题的解空间
例：0/1背包问题中，xi 有0/1 两种取值，则S={0，1}， 当n=3时，0/1背包问题的解空间是：
{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}
即：当输入规模为n 时，有2n 种可能的解。 例：货郎担问题，S={1,2,…,n}，当n=3时，S={1,2,3} 。 货郎担TSP问题的解空间中的可能解有27个，是：
0 3 0 15
对物品2的选择
对物品3的选择
2018/10/15
Chapter 8 Back Track Method
12
概述 -问题的解空间
例：对于n=4 的TSP 问题，图8.3是经压缩后的解空间树，树中的24 个叶子结 点分别代表该问题的24 个可能解，例如结点5 代表一个可能解，路径为 1→2→3→4→1，长度为各边代价之和。
2018/10/15 Chapter 8 Back Track Method 2
学习目标
教学重点 教学难点 回溯法的设计思想，各种经典问题的回溯思想 批处理作业调度问题的回溯算法
算法设计技巧与分析：第十讲 回溯法
2. 3. 节点是用深度优先搜索的方法生成的; 不需要存储整棵搜索树，我们只需要存储根到当前活 动节点的路径。事实上，根本没有生成有形的物理节 点，整棵树是隐含的。在上面的例子中，我们只需要 保存颜色指派的踪迹就可以了。
Algorithms Design Techniques and Analysis
怎么样开发出系统化的搜索技术？ 怎样能够将搜索空间减少到尽可能的小？
Algorithms Design Techniques and Analysis
回溯法的基本思想
（1）解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ，xi的取值范围为 有穷集Si 。把xi的所有可能取值组合，称为问题的解 空间。每一个组合是问题的一个可能解。
深度优先策略
• 确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始顶点（ 解空间树的根顶点）出发，以深度优先的方式搜索整 个解空间。这个开始顶点就成为一个活顶点，同时也 成为当前的扩展顶点。在当前的扩展顶点处，搜索向 纵深方向移至一个新顶点。这个新顶点就成为一个新 的活顶点，并且成为当前的扩展顶点。
Algorithms Design Techniques and Analysis
Algorithms Design Techniques and Analysis
搜索树
Algorithms Design Techniques and Analysis
Backtracking: Partial Coloring Scheme
• 如果没有两个邻接的着色顶点有同样的颜色，图的一 个不完全着色称为部分解。 • Idea:回溯法通过每次一个节点地生成基底树来工作。
算法设计与分析-回溯法
算法设计与分析-回溯法【待求解问题描述】有n个人和m项课题任务（n≥m），其中第i个人承担了第j项课题任务的经费消耗记作COST(i,j)，总体经费消耗情况有m×n的COST矩阵给定。
应用回溯法策略求解此问题，安排每项课题任务只能由一个人来承担，且使完成这m项课题任务的总经费消耗为最小。
可以借助问题的解空间树并以深度优先搜索的方式遍历此树，从而获得问题的解。
【要求完成】⑴算法描述⑵写出程序代码⑶完成调试⑷过程与结果分析。
*/#include#include#include#include#includeconst int ROL=10; //人数const int ROW=7; //任务数float M[ROW][ROL]; //矩阵存储信息int x[ROW];float icost=1000; //保存最小经费消耗class huisu //构造一个huisu类{public:huisu(); //构造函数~huisu(); //析构函数void init(); //初始化函数void finish(); //结束化函数protected:void nhuisu(int k); //回溯法求解函数bool place(int k,int i); //条件判断函数bool read(); //读文件函数float cost; //总经费消耗int count; //设置计数器};huisu::huisu(){count=0; //计数器初始化cost=0;huisu::~huisu(){}void huisu::init() //初始化函数{read(); //读文件操作nhuisu(0);}void huisu::finish() //结束提示函数{cout<<" 一共测试"<<count<<"步!"<<endl;< p="">cout<<endl<<" p="" 最小消耗总和为："<<icost<<endl;<=""> }bool huisu::place(int k,int i) //条件判断函数{for(int j=0;j<k;j++)< p="">if((x[j]==i) || M[j][x[j]]==0 || M[k][i]==0) //同列、可用return false;return true;void huisu::nhuisu(int k){for(int i=0;i<rol;i++)< p="">{if(place(k,i)){x[k]=i;if(k==ROW-1) //约束条件{for(int i=0;i<row;i++)< p="">cost+=M[i][x[i]];if(cost<=icost) //写文件条件{count++; //计数器}icost=icostcost=0; //cost归零}elsenhuisu(k+1);}}}bool huisu::read() //读入文件函数{ifstream in("最佳任务分配方案_回溯法.in.txt"); if(!in)return false;elsefor(int i=0;i<row;i++)< p="">for(int j=0;j<rol;j++)< p="">in>>M[i][j];}in.close();return true;}//==========主函数============== void main(){huisu myhuisu; //创建一个myhuisu对象myhuisu.init(); //调用类成员函数myhuisu.finish(); //调用类成员函数}</rol;j++)<></row;i++)<></row;i++)<></rol;i++)<></k;j++)<></endl<<"></count<<"步!"<<endl;<>。
算法设计与分析 第2版 第5章-回溯法
5.1.2 什么是回溯法
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略， 从根结点（开始结点）出发搜索解空间树。
当从状态si搜索到状态si+1后，如果si+1变为死结点，则从状态si+1 回退到si，再从si找其他可能的路径，所以回溯法体现出走不通就退回 再走的思路。
10
LM
G
10
NO
{a,b,c} {a,b} {a, c} {a} {b,c} {b} {c} { }
排列树：当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应
的解空间树称为排列树。
注意：问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵
真正的树结构，然后再在该解空间树中搜索问题的解，而是只存储从根结 点到当前结点的路径。
输出结果;
else
{ for (j=下界;j<=上界;j++) //用j枚举i所有可能的路径
{ x[i]=j;
//产生一个可能的解分量
…
//其他操作
if (constraint(i) && bound(i))
backtrack(i+1);
//满足约束条件和限界函数,继续下一层
}
}
}
【例5.3】有一个含n个整数的数组a，所有元素均不相同，设
输出x;
else i++;
//进入下一层次
}
}
}
else i--;
//回溯：不存在子结点，返回上一层
}
}
2. 递归的算法框架
（1）解空间为子集树
int x[n];
算法分析实验报告--回溯法
《算法设计与分析》实验报告回溯法姓名：XXX专业班级：XXX学号：XXX指导教师：XXX完成日期：XXX一、试验名称：回溯法（1）写出源程序，并编译运行（2）详细记录程序调试及运行结果二、实验目的(1)掌握回溯算法思想(2)掌握回溯递归原理(3)了解回溯法典型问题三、实验内容(1)编写一个简单的程序，解决8皇后问题(2)批处理作业调度(3)数字全排列问题四、算法思想分析（1）编写一个简单的程序，解决8皇后问题（2）批处理作业调度[问题描述]给定n个作业的集合J=(J1, J2, … , Jn)。
每一个作业Ji都有两项任务需要分别在2台机器上完成。
每一个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理。
作业Ji需要机器i的处理时间为tji，i=1,2, … ,n; j=1,2。
对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器i上完成处理的时间。
则所有作业在机器2上完成处理的时间和成为该作业调度的完成时间和。
批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定一个最佳的作业调度方案，使其完成时间和达到最小。
要求输入：1、作业数2、每个作业完成时间表：要求输出：1、最佳完成时间2、最佳调度方案提示提示：算法复杂度为O(n!),建议在测试的时候n值不要太大，可以考虑不要超过12。
（3）数字全排列问题：任意给出从1到N的N个连续的自然数，求出这N个自然数的各种全排列。
如N=3时，共有以下6种排列方式：123，132，213，231，312，321。
注意：数字不能重复，N由键盘输入（N<=9）。
五、算法源代码及用户程序(1)编写一个简单的程序，解决8皇后问题N皇后问题代码1：#include<stdio.h>#define NUM 8 //定义数组大小int a[NUM + 1];int main (){int a[100];int number;int i;int k;int flag;int notfinish = 1;int count = 0; i = 1; //正在处理的元素下标，表示前i－1个元素已符合要求，正在处理第i个元素a[1] = 1; //为数组的第一个元素赋初值printf ("Result:\n"); while (notfinish) //处理尚未结束{while (notfinish && i <= NUM) //处理尚未结束且还没处理到第NUM个元素{for (flag = 1, k = 1; flag && k < i; k++) //判断是否有多个皇后在同一行{if (a[k] == a[i])flag = 0;}for (k = 1; flag && k < i; k++) //判断是否有多个皇后在同一对角线{if ((a[i] == a[k] - (k - i)) || (a[i] == a[k] + (k - i)))flag = 0;} if (!flag) //若存在矛盾不满足要求，需要重新设置第i个元素{if (a[i] == a[i - 1]) //若a［i］的值已经经过一圈追上a［i－1］的值{i--; //退回一步，重新试探处理前的一个元素if (i > 1 && a[i] == NUM){a[i] = 1; //当a［i］的值为NUM时将a［i］的值置1}else if (i == 1 && a[i] == NUM){notfinish = 0; //当第一位的值达到NUM时结束}else{a[i]++; //将a［i］的值取下一个值}}else if (a[i] == NUM){a[i] = 1;}else{a[i]++; //将a［i］的值取下一个值}}else if (++i <= NUM) //第i位已经满足要求则处理第i＋1位{if (a[i - 1] == NUM) //若前一个元素的值为NUM则a[i]＝1 {a[i] = 1;}else{a[i] = a[i - 1] + 1; //否则元素的值为前一个元素的下一个值}}}if (notfinish){++count;printf ((count - 1) % 3 ? "[%2d]:" : "\n[%2d]:", count);for (k = 1; k <= NUM; k++) //输出结果{printf (" %d", a[k]);} if (a[NUM - 1] < NUM) //修改倒数第二位的值{a[NUM - 1]++;}else{a[NUM - 1] = 1;} i = NUM - 1; //开始寻找下一个满足条件的解}}//whileprintf ("\n");return 0;}(2)批处理作业调度import java.util.*;public class FlowShop{static int n; //作业数static int f1; //机器1完成处理时间static int f; //完成时间和static int bestf; //当前最优值static int[][] m; //各作业所需要的处理时间static int[] x; //当前作业调度static int[] bestx; //当前最优作业调度static int[] f2; //机器2完成处理时间public static void trackback(int i) {if (i == n) {for (int j = 0; j < n; j++) {bestx[j] = x[j];}bestf = f;} else {for (int j = i; j < n; j++) {f1 += m[x[j]][0];if (i > 0) {f2[i] = ((f2[i - 1] > f1) ? f2[i - 1] : f1) + m[x[j]][1]; } else {f2[i] = f1 + m[x[j]][1];}f += f2[i];if (f < bestf) {swap(x, i, j);trackback(i + 1);swap(x, i, j);}f1 -= m[x[j]][0];f -= f2[i];}}}private static void swap(int[] x, int i, int j) {int temp = x[i];x[i] = x[j];x[j] = temp;}private static void test() {n = 3;int[][] testm = {{2, 1}, {3, 1}, {2, 3}};m = testm;int[] testx = {0, 1, 2};x = testx;bestx = new int[n];f2 = new int[n];f1 = 0;f = 0;bestf = Integer.MAX_V ALUE;trackback(0);System.out.println(Arrays.toString(bestx)); System.out.println(bestf);}public static void main(String[] args){test();System.out.println("Hello World!");}}(3)数字全排列问题#include "stdio.h"#include "conio.h"int num,cont=0;main(){ int i,n,a[30];printf("enter N :");scanf("%d",&num);for(i=1;i<=num;i++)a[i]=i;perm(a,1);printf("\n%d",cont);getch();}int perm(int b[], int i){int k,j,temp;if(i==num){for(k=1;k<=num;k++)printf("%d ",b[k]);printf("\t");cont++;}elsefor(j=i;j<=num;j++){temp=b[i];b[i]=b[j],b[j]=temp;perm(b,i+1);temp=b[i];b[i]=b[j],b[j]=temp;}return(0);}六、实验结果与思想这次的实验是回溯法，我也对回溯法有了一个基本印象，所谓回溯法，就是把所有的可行解都遍历一遍，遇到不可行的就回溯到上一步，然后通过添加约束条件和限界条件就可以得到最优解。
算法分析与设计回溯法
组织解空间（3）
子集和数问题
解空间由根结点到叶结点旳全部途径拟定
状态空间树
– 对于任何一种问题，一旦设想出一种状态空间 树，那么就能够先系统地生成问题状态，接着 拟定这些问题状态中旳哪些是解状态，最终拟 定哪些解状态是答案状态从而将问题解出
– 生成问题状态旳两种措施 便于问题旳描述，给出下列概念：
索过程中用剪枝函数防止无效搜索；
回溯算法旳形式描述
假设回溯算法要找出全部旳答案结点而不是仅 仅只找出一种。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一种 结点(问题状态)旳途径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述全部结点旳xi旳集合， 它使得对于每一种xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi旳途径 ③ 存在某些限界函数Bi(能够表达成某些谓词)， 假如途径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一种答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，不然取真值。
end BACKTRACK
回溯算法旳递归表达
procedure RBACKTRACK(k)
global n, X(1:n) for 满足下式旳每个X(k)
X(k) ∈T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))=true do
if(X(1),…,X(k)) 是一条已到达一答案结点旳途 径
m=1+m1+m1m2+m1m2m3+…
Monte Carlo效率估计算法
procedure ESTIMATE m1; r 1; k 1 loop Tk{X(k):X(k)∈ T(X(1),…X(k-1)) and B(X(1),…X(k))} if SIZE(Tk)=0 then exit endif rr*SIZE(Tk) mm+r X(k)CHOOSE(Tk) KK+1 repeat return(m)
算法设计与分析 第七章回溯法
第七章 回 溯 法§1. 回溯法的基本思想回溯法有“通用的解题法”之称。
应用回溯法解问题时，首先应该明确问题的解空间。
一个复杂问题的解决往往由多部分构成，即，一个大的解决方案可以看作是由若干个小的决策组成。
很多时候它们构成一个决策序列。
解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。
解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。
一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条件下使目标达优的可行解称为该问题的最优解。
在解空间中，前k 项决策已经确定的所有决策序列之集称为k 定子解空间。
0定子解空间即是该问题的解空间。
例1．旅行商问题: 某售货员要到若干个城市去推销商品。
已知各个城市之间的路程（或旅费）。
他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使得总的路程（或总旅费）最小。
我们用一个带权图G(V, E)来表示，顶点代表城市，边表示城市之间的道路。
图中各边所带的权即是城市间的路程（或城市间的旅费）。
则旅行商问题即是：在带权图G 中找到一条路程最短的周游路线，即权值之和最小的Hamilton 圈。
如果假定城市A 是驻地。
则推销员从A 地出发，第一站有3种选择：城市B 、C 或城市D ；第一站选定后，第二站有两种选择：如第一站选定B ，则第二站只能选C 、D 两者之一。
当第一、第二两站都选定时，第三站只有一种选择：比如，当第一、第二两站先后选择了B 和C 时，第三站只能选择D 。
最后推销员由城市D 返回驻地A 。
推销员所有可能的周游路线可由下面的图反映出来。
例2．定和子集问题： 已知一个正实数的集合 },,,{21n w w w A 和正实数M ．试求A 的所有子集S ，使得S 中的数之和等于M 。
这个问题的解可以表示成0/1数组),,,(21n x x x ，依据1w 是否属于S ，1x 分别取值1或0。
故解空间中共有2n 个元素。
它的树结构是一棵完全二叉树。
例3． 4皇后问题: 在4×4棋盘上放置4个皇后，要使得每两个之间都不求赋权图G 的 具有最小权的 Hamilton 圈能互相攻击，即任意两个皇后都不能放在同一行、同一列及同一对角线上。
算法设计与分析课件--回溯法-作业调度问题
❖ 计算机处理器是机器1，打印机是机器2。
5
5.4 作业调度问题
tmi 作业J1 作业J2 作业J3
机器m1 2 3 2
机器m2 1 1 3
调度一：1, 2, 3
F11=2 F21=3 F12=5 F22=5+1=6 F13=7 F23=7+3=10 f = F21+F22+F23 = 19
cf<bestf，限界条件满 K L
足，扩展生成的结点
J成为活结点。
24
5.4 作业调度问题
tmi 机器m1 机器m2
作业J1
2
1
作业J2
3
作业J3
2
1
A
3
x1=1 x1=2
B
C
x1=3 D
◼ 沿着结点 J 的x3=1 x2=2 x2=3 x2=1 x2=3 x2=1 x2=2
的分支扩展：
E
FG
H
//更新完成时间之和
if (f < bestf)
//判断与当前最优解之间的关系
Swap(x[i], x[j]);
//将j位置上的任务序号与i位置上的互换
backtrack(i+1);
//递归进行下一层的调度
Swap(x[i], x[j]);
//回溯，还原，执行第i层的下一个任务
f1 f1 - M[x[j]][1]; //出栈要回溯到父亲节点，先恢复数据；
K
L
❖此 时 ， 找 到 比 先 前 更 优 的 一 种 调 度 方 案 (1,3,2) ， 修 改 bestf=18 。
14
算法设计与分析 回溯算法2
解空间树第j层的成员由 的值进行分割
24
解空间
子集树： n=4
1
1
0
0
1
0
25
0-1背包问题
约束函数
用cw(i)到达第i层时扩展节点的重量，即
=
=
那么，约束函数为：
= − +
剪枝
如果C(i)>W，那么停止搜索第i层及该节点以下的层搜索，否则继续搜索。
—许多着色问题可以用回溯法来解决
2
着色问题
●四色定理
表述任何一个平面地图可以用不超过四种颜色进行着色，使得
拥有同一边界线的国家有着不同的颜色。
●对大多数地图，要找到合法的着色方案很容易
●对某些地图，要找到合法的着色方案却是很困难的
●更一般的问题
你可以把地图着色问题转化为m-着色问题
3
四色原理
●世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。
解空间
假设解可以有向量（ , ,…, ）表示， ∈{0,1}， =1表示物品i被放进
背包， =0表示物品i不被放进背包。
23
0-1背包问题
σ
●0-1背包问题可以被形式地描述为如下形式： =
使得σ= <
●解空间树
有 个叶子节点的子集树
2
If w[i,j]=1 and x[j]=x[i] then return False
3
return True
10
时间复杂度分析
算法的计算时间上界可由状态空间树内部节点的个数得到，n个节点的
算法分析与设计之回溯法
2、形式化描述 类型说明: TYPE MAN=1..N ； WOMAN=1..N ； RANK=1..N； 这个问题的输入信息是两个n阶方矩阵MR和WR。 VAR MR: ARRAY[MAN,RANK] OF WOMAN; WR: ARRAY[WOMAN,RANK] OF MAN: 以n=8为例,有如下两个8阶方阵
13 2
8 19
一、算法思想
1、基本思想 为解决某个问题，逐次尝试解的各个部分, 并加以 记录, 组成部分解。当发现某部分导致失败, 则将 之从部分解中删除, 回溯再作新的尝试, 直至成功 或穷尽所有的可能而报告失败。 试探----纠错 回溯---尝试
2、求解过程
a)回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式， 每进行一步，都试图在当前部分解的基础上扩大部分解。 b)扩大时，首先检查扩大后是否违反了约束条件，若不违反， 则扩大之，然后在此基础上，按类似方法，直至成为完全解。 若违反，则放弃该步以及它所生成的部分解，然后按类似方 法尝试其他可能的扩大方式，若都违反，则回溯到上一层， 然后按类似方法尝试其他可能的扩大方式，此时，若发现已 尝试过所有方式，则结束，表示该解的生成失效。
实例2 求解稳定婚姻序对问题
定义 假定两个不相交的集合A和B含有的元素个数 都是n, 要确定n个有序对<a, b>, a∈A, b∈B, 这n 个有序对要满足某种限制。限制可以是多种多样的, 其中有一种就是所谓的“稳定婚姻条件”。满足 “稳定婚姻条件” 的序对为稳定婚姻序对。
?如何组成稳定的n对夫妇呢？
四个矩阵MR，WR， MW和WM中只有两个是独立的。现 在可以将不稳定婚姻情况形式化如下：存在a∈A, b∈B, 输出 中有这样两个有序对<a, b’>和<a’, b>(即a’和b’不是夫妇), 如果下述两个不等式都成立 , 则包含有序对<a, b’>和<a’, b> 的输出为不稳定婚姻, MW[a’, b’]<MW[a’, b] (1) WM[b’, a’]<WM[b’, a] (2) 如不存在这样的a’和b’ ，则输出的n个有序对就是稳定的婚姻。
算法设计与分析--回溯法
算法设计与分析--回溯法回溯算法的应⽤课程名称：算法设计与分析院系：学⽣姓名：学号：专业班级：指导教师：2013年12⽉27⽇回溯算法的应⽤摘要：回溯法是⼀个既带有系统性⼜带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的⼦树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先的策略进⾏搜索。
回溯法在⽤来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
⽽回溯法在⽤来求问题的任⼀解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。
这种以深度优先的⽅式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适⽤于解⼀些组合数较⼤的问题。
回溯法在⽤来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可⾏的⼦树都已被搜索遍才结束。
⽽回溯法在⽤来求问题的任⼀解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。
这就是以深度优先的⽅式系统地搜索问题解的回溯算法，它适⽤于解决⼀些类似n 皇后问题等求解⽅案问题，也可以解决⼀些最优化问题。
在做题时，有时会遇到这样⼀类题⽬，它的问题可以分解，但是⼜不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑⽤回溯法解决此类问题。
回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，⽽且通过对问题的分析可以⼤⼤提⾼运⾏效率。
关键词：回溯法深度优先搜索递归⽬录第1章绪论 (1)1.1 回溯算法的背景知识 (1)1.2 回溯法的前景意义 (1)第2章回溯算法的理论知识 (2)2.1 回溯算法设计过程 (2)2.2 回溯算法框架 (2)2.3 回溯算法的⼀般性描述 (4)第3章找n个数中r个数的组合问题 (5)3.1 问题描述 (5)3.2 问题分析 (5)3.3 算法设计 (5)3.4 测试结果与分析 (6)第4章流⽔作业车间调度问题 (8)4.1 问题描述 (8)4.2 问题分析 (8)4.3 算法设计 (8)4.4 测试结果与分析 (10)第5章结论 (11)参考⽂献 (12)第1章绪论1.1 回溯算法的背景知识回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的算法，在递归算法中，其存在的意义是在递归知道可解的最⼩问题后，逐步返回原问题的过程。
算法设计与分析6回溯法PPT课件
m a x w i x i i1
n
s . t . S i x i C i1
1.解空间 x1,x2, ,xn，xi x i0,1{0 , 1 } , 1 i n
2.解空间结构树：高度为n+1的完全二叉树，结点总数为 2n1 1，左孩子为1，
右孩子为0.
2021/3/12
8
0-1背包问题的具体求解过程
1
W=(30,12,44,46,50)
1
1.令Wup=0,将物体的序号按价值体积比
2 1
排序结果是（2，1，3，4，5）
3
2.生成部分解(1,1,1,0)，估计当前部分解 1
的价值为Weva=94.3，Weva>Wup
4 0
3.继续向下搜索生成结点6，得到可行解 (1,1,1,0,0),得到价值为86，更新
5 0
Wup=86
6
2021/3/12
12
实例1：0-1背包问题
4.回溯：沿右孩子回溯到左孩子4，生成 相应右孩子7，得到部分解(1,1,0,1)，此时 Weva=93 5.因为Weva>Wup，继续生成结点8，9， 得到可行解(1,1,0,1,0),价值为88，更新 Wup=88
2021/3/12
0-1背包问题
问题描述：3个物W=[16,15,15] ,S=[45,25,25] ,C=30 1.定义解空间： (0,0,0),(0,0,1)…(1,1,1)，含有2 n 个解。 2.确定解空间的结构(二叉树)如图 3.进行深度优先搜索
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
2021/3/12
求解过程：
1.初始化：目标函数置为0，将物品按价值体积比的非增顺序排 序
《算法设计与分析》-第五章 回溯法
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
算法设计与分析课件--回溯法-算法框架
32
5.2 回溯法算法框架
解空间： • 对于待求解问题，满足约束的所有解构成了 该问题的一个解空间 (Solution Space)。 • 通常情况下，解空间越小，算法的搜索效率 越高。 • 为了方便搜索，一般用树或图的形式将问题 的解空间有效地组织起来。
• 解空间树： • 三种解空间树：子集树、排列树、满m叉树。
5.1 搜索概述
搜索法： • 假设问题的初始状态、目标状态和算法定义都已确定， 那么问题的解空间就是确定的。问题的求解就是指如 何有效地搜索这个确定的解空间，从中找出问题的真 正解。 • 包括穷举搜索、深度优先搜索、广度优先搜索等。
5
5.1 搜索概述-穷举法
穷举搜索思想：
• 针对问题的可能解是有限种的情况，逐一检查所有可 能的情况，从中找到问题真正的解。
19
5.2 回溯法算法框架
回溯法的搜索思想： • 搜索过程直到找到问题的解或根结点变成死结
点为止。 • 递归式搜索 或 迭代式搜索。
20
5.2 回溯法算法框架
• 举例：0-1背包问题: 1.A是活节点
• w = (16, 15, 15)，v = (45, 25, 25)，W = 30 2.选择B扩展后，B 变为当前扩展结点。 A和B都是活结点
34
5.2 回溯法算法框架
子集树：
• 初始状态（根）、中间状态（中间）、结束状态（叶子）。
• 树中从根到叶子的路径描述了一个n元0-1向量，该n元 0-1向量表示集合S的一个子集，这个子集由对应分量 为1的元素组成。如(1,0,1,1,0) 表示子集{x1,x3,x4}
35
5.2 回溯法算法框架
17
5.2 回溯法算法框架
深度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成 死结点之前，它一直是扩展结点。