曲线拟合实验报告

精品文档
数值分析
课程设计报告
学生姓名
学生学号
所在班级
指导教师
一、课程设计名称
函数逼近与曲线拟合
二、课程设计目的及要求
实验目的：
⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。

⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。

实验要求：
⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函
数和拟合函数的图形；
⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系
数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）结果进行比较。

三、课程设计中的算法描述
用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。

思路分析：从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点
）（i i y x ,误差i i i y x p r -=)(的大小，常用的方法有三种：一是误差i i i y x p r -=)(绝对值的最大
值i m
i
r ≤≤0max ，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和∑=m
i i r 0
，即误差向量的1
范数；三是误差平方和∑=m
i i r 0
2的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。

前两
种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。

算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为：
2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：
3.为了求得到符合条件的a 的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了：
4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式
5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i n
i k i
n
i k i n i k i n
i i
n i i
n
i k i
n
i i
y y y a a x x
x x x
x
x x 11i 1
10121
11
1112111
a n M M
Λ
M O M
M ΛΛ 6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k n n k k y y y a a a x x x x x x M M Λ
M
O
M M ΛΛ211022111
11
7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。

四、课程设计内容
⑴实验环境：MATLAB2010
⑵实验内容：给定的数据点 0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1
1.75
1.96
2.19
2.44
2.71
3.00
1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 2) 用MATLAB 内部函数polyfit 函数进行拟合。

⑶实验步骤
1)首先根据表格中给定的数据，用MATLAB 软件画出数据的散点图（图1）。

2)观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。

则用二次多项式进行拟合，取一组基函数
,并令
，其中是待定系数。

3)用MATLAB 程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。

算法实现代码如下：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; R=[(x.^2)' x' ones(7,1)]; A=R\y'
4) 用MATLAB 程序计算平均误差。

算法实现代码如下：
y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=x.^2+x+1; z=(y-y1).^2; sum(z)
5) 作出拟合曲线和数据图形（图2）。

6)用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。

算法实现代码如下：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];
A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合%
z=polyval(A,x);
A
d=sum((z-y).^2)
7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。

（图3）
五、程序流程图
图5-1 用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图
输入初始数据点
调用polyfit函数，确定多形式的系数
调用polyval函数，进行多项式求值
调用plot函数进行绘图
图5-2 用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图六、实验结果
图6-1 表中数据的散点图
图6-2. 最小二乘法实现的拟合曲线第1问
系数为
A = 1.0000 1.0000 1.0000
则多项式的方程为
平方误差和为
ans =1.9722e-031
图6-3. polyfit函数实现的拟合函数
第2问
系数为
A = 1.0000 1.0000 1.0000
则多项式的方程为
平方误差和为
ans = 1.9722e-031
七、实验结果分析
编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较光滑。

而用MATLAB的内部函数求polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的内部函数做出的图形由明显的尖点，不够光滑。

此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。

但是在应用实际问题中，数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。

例如在进行数
据采集时，由于数据采集器（各种传感器）或机器自身的原因及其外部各种因素的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一些偏差极大的数据，不能真实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选或修正。

而此时就可应用曲线拟合的最小二乘法的进行处理。

八、实验心得体会
在日常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题，并不是所有的数据都是有用，必须对数据进行适当的处理，然后找出数据之间的关系，然后进行分析得出结果。

此次实验结果基本没有大的区别，可是MATLAB提供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实现相同的结果。

虽然很方便，但是对于初学者来说，我觉得打好基础才是关键，对于一个知识点，应该掌握其最基本的原理，然后在将它应用于实际。

通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想，从中受益匪浅。

附录：源代码
散点图：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];
plot(x,y,'r*')
title('实验数据点的散点图');
legend('数据点（xi,yi）');
xlable('x');
ylable('y');
最小二乘拟合：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];
R=[(x.^2)' x' ones(7,1)];
A=R\y'
x1=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=x.^2+x+1;
plot(x1,y1,'k+',x,y,'r')
title('实验数据点的散点图及拟合曲线'); z=(y-y1).^2;
sum(z)
Polyfit函数拟合：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];
A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合%
z=polyval(A,x);
A
d=sum((z-y).^2)
plot(x,y,'k+')
title('实验数据点的散点图及拟合曲线'); hold on
plot(x,z,'r')。