分岔图做法[]
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
第二节 交岔点设计
4
3.交岔点按其结构不同分
可分为牛鼻子交岔点和穿尖交岔点，如图6-21 所示。牛鼻子交岔点受力较好，应用广泛；而穿尖 交岔点长度短、拱部低、工程量小、施工简单、通 风阻力也小，但承载能力低，故多用于岩层坚固稳 定、最大宽度小于5m，巷道转角大于45°的情况。 一般情况下多采用牛鼻子交岔点，锚喷支护交岔
6.警冲标
警冲标是表示道岔可以安全停车的最近标志点， 即只要机车或矿车停在另一条轨道的警冲标之
2014-3-27 2014-3-27 25 25
外，另一条轨道上的车辆就能安全通过道岔而不会 撞车。另外警冲标也常作为运输线路划分区间的标
志。在进行井底车场线路设计时，经常也需要知道 道岔终点至警冲标的距离。 (二)道岔的类型
（4）注意：单开道岔和渡线道岔有左向和右向
之别，道岔手册中所列均为右向道岔，表示道岔岔
2014-3-27 2014-3-27 27 27
DK615—4—12
右向道岔 曲线半径,m 辙岔号码(M) 轨型,(kg/m) 轨距,600mm 单开道岔
DC624—3—12
右向道岔 曲线半径,m 辙岔号码(M) 轨型,(kg/m) 轨距,600mm 对称道岔
DX918—5—2019
右向道岔 轨中心距,dm 曲线半径,m 辙岔号码(M) 轨型,(kg/m) 轨距,900mm 渡线道岔
DX618—4—1213(左) 左向道岔 轨中心距,dm
曲线半径,m 辙岔号码(M) 轨型,(kg/m) 轨距,600mm 渡线道岔
28
2014-3-27
图6-32 道岔符号意义
其中第一个数字6或9表示轨距为600㎜或900㎜；而 后两个数字表示轨型为15kg/m或18kg/m或24kg/m。
分岔图做法[1]
![分岔图做法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f8c583b4172ded630b1cb664.png)
>>混沌研究总结篇------一、分岔图（系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。
首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。
三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。
庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。
庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。
对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。
当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。
难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。
对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。
所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。
四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。
下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen系统入手。
系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。
第七节 分岔管
第七节分岔管一、分岔管压力管道的分岔方式有Y形[图8-22(a)]和y形[图8-22(b)]。
二者对水流的分配均匀，缺点是机组数较多时分岔段较长；后者的分岔管是一种由薄壳和刚度较大的加强梁组成的复杂的空间组合结构，受力状态比较复杂，在计算力学和计算机这种计算工具应用于工程之前，对这种结构只能简化成平面问题进行近似计算。
岔管的加强梁有时需要锻造，卷板和焊接后需作调整残余应力处理，因而制造工艺比较复杂。
图13-22 管道分岔方式岔管的另一特点是水头损失较大，在整个引水系统的水头损失重在重要地位。
例如我国某水电站，引水隧洞长1200m，根据模型试验，仅一处岔管的局部水头损失即超过引水隧洞和进水口水头损失的总和。
因此，如何降低水头损失是岔管设计的一个重要问题。
较好的岔管体型应具有较小的水头损失、较好的应力状态和较易于制造。
从水力学的角度看，岔管的体型设计应注意以下几点：（1）使水流通过岔管各断面的平均流速相等，或使水流处于缓慢的加速状态。
（2）采用较小的分岔角a，如图13-23所示。
但从结构上考虑，分岔角不宜太小，太小会增加分岔段的长度，需要较大尺寸的加强梁，并会给制造带来困难。
水电站岔管的分岔角一般在30°-75°范围内，最常采用的范围是45°-60°。
（3）分弃管采用锥管过渡，避免用柱管直接连接。
半锥和一般用5°-10°。
（4）采用较小的岔档角夕。
岔档有分流的作用，较小的岔档角有利于分流。
（5）支管上游侧采用较小的顺流转角γ。
图13-23 岔管体型示意图以上各点有时难于同时满足，例如，增加支管锥角有助于减小γ,但又不可避免地会加大β，但前者对水流的影响较大。
岔管的水力要求和结构要求也存在矛盾，例如，较小的分岔角对水流有利，但对结构不利，因为分岔角越小，管壁互相切割的破口越大，加强梁的尺寸也就越大，而且过小的夹角会使岔档部位的焊接困难，又例如，支管用锥管过渡对水流有明显的好处，但不可避免地会使主支间的破口加大；等等。
交岔点设计
交岔点设计
交岔点的种类是很多的，但由附表1可 知第一类、第四类和第五类是基本的，其 他类型可视为这三类的变换或组合。因此 下面讨论只第一类交岔点的计算，并在附 表中列出了六类交岔点的计算图和计算公 式。
交岔点设计
1、单轨巷道单侧分岔 点(右图)
首先，应根据前述已 知条件求曲线半径的曲 率中心O的位置，以便 以O为圆心、R为半径 定出弯道的位置。O点 的位置距离基本轨起点 的横轴长度为J，距基 本轨中心线的纵轴长度 为H，可如下求得：
6）连接AO，与10－11线交于T，T即为斜 墙（扩大断面）的终点； 7 7）以4－5线为准，以ｉ为斜率，过T点作 4 5 T 直线交于4－5线的Q点，Q点是断面扩大的起点， QT即为斜墙； 8）在图上量出其他所需的各参数尺寸和角 度，并标注在图上。 2、常见交岔点平面尺寸公式，见附表。
图2 作图法求交岔点平面尺寸
交岔点设计
3)双轨巷道单侧分岔分支点，在道岔 转辙中心前5ｍ一段，双轨中线距应加宽 300ｍｍ或以上，并在其左设置5ｍ过渡线 段，因而在此范围内，巷道外侧也要相应 加宽。 4)单轨巷道对称分岔点，两侧均应加宽。
5)双轨巷道分支点，从弯道曲率中心向右开 始加宽200ｍｍ或以上，并在其左也设置5ｍ过 渡线段，因而在此范围内，巷道外侧也要相应加 宽。 6)双轨巷道对称分支点，从弯道曲率中心向 左3米段，两轨中线均应分别向外移动200ｍｍ 或更多，即双轨中线加宽400ｍｍ或更多，并在 其左也设置5米过渡线段，巷道也就要相应加宽。
交岔点设计
道岔的每一种类型又按轨距和轨型不同 共有5个系列，即615、618、624、918和 924。其中第一个数字6或9表示轨距为600 mm或900 mm；而后两个数字表示轨型为 15kg/m或18kg/m或24kg/m。道岔的每一个 系列按辙岔号码M和道岔的曲线半径不同又 可分成55个型号。如DK615－4－12， DC618－3－12，DX924－4－1519(左)等。
[转载]分岔图绘制不同方法的总结、比较（转）
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[转载]分岔图绘制不同⽅法的总结、⽐较（转）原⽂地址：分岔图绘制不同⽅法的总结、⽐较（转）作者：海武⼠分岔图绘制不同⽅法的总结、⽐较2008-03-14 08:13经过近期的研究发现，⽬前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的⼏种⽅法：1）最⼤值法即对系统微分⽅程（组）进⾏求解，对求解的结果⽤getmax函数进⾏取点，并绘图。
2）Poincare截⾯法对系统参数的每⼀次取值，绘制其Poincare截⾯，进⽽得到其分岔图。
这种⽅法需要注意的是，⾃治系统的Poincare截⾯是选取⼀超平⾯，平⾯上点的分布即构成⼀Poincare截⾯，⾮⾃治系统的Po incare截⾯则是根据系统激励的频率进⾏取点并绘图。
本帖将以Lorenz系统为例，对这两种⽅法进⾏⽐较⾸先对第⼆种⽅法进⾏阐述。
编程如下（matlab）Lorenz系统：function dy = Lorenz(t,y)% Lorenz系统% 系统微分⽅程：% dx/dt = -a(x-y)% dy/dt = x(r-z)-y% dz/dt = xy-bz% a=y(4)% r=y(5)% b=y(6)dy=zeros(6,1);dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2));dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2);dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3);dy(4)=0;dy(5)=0;dy(6)=0;随r的分岔图求解程序：——按照x=y平⾯取截⾯function Lorenz_bifur_rZ=[];for r=linspace(1,500,1000);% 舍弃前⾯迭带的结果，⽤后⾯的结果画图[T,Y]=ode45('Lorenz',[0,1],[1;1;1;16;r;4]);[T,Y]=ode45('Lorenz',[0,50],Y(length(Y),:));Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1);% 对计算结果进⾏判断，如果点满⾜x=y，则取点for k=2:length(Y)f=k-1;if Y(k,1)<0if Y(f,1)>0y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z=[Z r+abs(y)*i];endelseif Y(f,1)<0y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z=[Z r+abs(y)*i];endendendendplot(Z,'.','markersize',1)title('Lorenz映射分岔图')xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y')结果如图1所⽰。
分岔ppt
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4 霍夫型分岔
数学模型
dx
dt dy
y x[ (x2 x y[ (x2
y 2 )] y 2 )]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
y
sin
求导
d
dt
(
2 )
d 1
dt
代入原方程
令正弦余弦系数 相等
dx ddyt
d
dt
d
cos cos
sin cos
2 转换键型分岔
相流
由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点： μ＜0时，x0=0 轴线是结点，x0= 是不稳定的； μ＞0时，x0=0 的轴线是不稳定的，x0= 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形 状如下图。
3 叉式分岔
数学模型
利用方程： dx x x3
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条
基于Matlab实现离散系统分岔图的绘制
基于Matlab实现离散系统分岔图的绘制⽬录1.⼀维离散分岔图2.⼆维离散分岔图3.封⾯图绘制1.⼀维离散分岔图⼀维那⾮常简单哈，就循环着画呗，以下举两个简单的例⼦：% x(n+1)=1-r*x(n)^2% (r∈(0,2),x∈[-1,1])的分⽀混沌图。
hold onf=@(x,r)1-r.*x.^2;r=0:.01:2;x=0; % x初值for n=1:1000x=f(x,r);if n>100 % 稳定后开始绘图plot(r,x,'k.','MarkerSize',1);drawnowendend% Logistic系统% x(n+1)=r*x(n)-r*x(n)^2% (r∈(2.6,4),x∈(0,1])的分⽀混沌图。
hold onf=@(x,r)r.*x-r.*x.^2;r=2.6:.01:4;x=0.6; % x初值for n=1:1000x=f(x,r);if n>100 % 稳定后开始绘图plot(r,x,'k.','MarkerSize',1);drawnowendend横坐标代表参数的数值，纵坐标表⽰该参数数值下序列可能的取值，n>100再开始画图是为了让序列通过迭代稳定下来，事实上我么可以不设置n>100，同时将颜⾊设置为随着n变化的渐变⾊，可以发现⼏乎看不出渐变来，该序列稳定的很快(以下是绘图部分代码的微调)：c1=[0 0.4470 0.7410];c2=[0.6350 0.0780 0.1840];N=1000;for n=1:Nx=f(x,r);plot(r,x,'.','Color',(n.*c1+(N-n).*c2)./N,'MarkerSize',2);drawnowend当然我们可以设置n为奇数和偶数时绘制不同颜⾊，下图所⽰，对于该系统⽽⾔，其序列的数值是反复横跳的(以下是绘图部分代码的微调)：当然可以设置更多颜⾊：for n=1:1000x=f(x,r);switch mod(n,4)case 3,plot(r,x,'.','Color',[0.4660 0.6740 0.1880],'MarkerSize',2);case 2,plot(r,x,'.','Color',[0.8500 0.3250 0.0980],'MarkerSize',2);case 1,plot(r,x,'.','Color',[0 0.4470 0.7410],'MarkerSize',2);case 0,plot(r,x,'.','Color',[0.6350 0.0780 0.1840],'MarkerSize',2);enddrawnowend2.⼆维离散分岔图绘制Henon系统的分岔图：定住b值不变，改变a值，观察y序列，不同b值时绘制效果不同：% x(n+1)=1+y(n)-a*x(n)^2% y(n+1)=b*x(n)% Henon系统hold onfx=@(x,y,a)1+y-a.*x.^2;fy=@(x,b)b.*x;a=0:.002:1.4;b=0.2;x=0;y=0;for n=1:800lx=x;ly=y;x=fx(lx,ly,a);y=fy(lx,b);if n>100 % 稳定后开始绘图plot(a,y,'k.','MarkerSize',1);drawnowendendb=0.2时绘制效果b=0.3时绘制效果3.封⾯图绘制经典体现理科⽣⼯科⽣艺术情怀环节，我们怎么能够将分岔图的美忽视？感觉⼤家很多也是因为看封⾯图点进来的，虽然不短，但还是把代码放⼀下叭，原理很简单，构造⼀个矩阵统计各个位置点数量，然后依据点数量映射到颜⾊：图⼀% x(n+1)=1+y(n)-a*x(n)^2% y(n+1)=b*x(n)% Henon系统fx=@(x,y,a)1+y-a.*x.^2;fy=@(x,b)b.*x;a=0:.002:1.4;b=0.3;x=0;y=0;% 填充矩阵pntMat=zeros(451,701);for n=1:12000lx=x;ly=y;x=fx(lx,ly,a);y=fy(lx,b);disp(['进度:[',num2str(n),'/12000]']);ty=round((y+0.4)*500);ta=a*500;index=round((ta).*451+ty);pntMat(index)=pntMat(index)+1;end% 矩阵上下翻转(坐标y轴⽅向与图⽚序数相反)pntMat=flipud(pntMat);% 绘图imagesc(pntMat);caxis([0,50])ax=gca;hold on;ax.XTick=[];ax.YTick=[];% 颜⾊映射map=[0.1294 0.0549 0.1725;0.2196 0.1608 0.2902;0.3882 0.1804 0.4941;0.4392 0.1922 0.4706;0.5333 0.2235 0.4392;0.6471 0.2588 0.3686;0.7137 0.2745 0.3294;0.7725 0.3059 0.2902;0.8510 0.3725 0.2275;0.9137 0.4196 0.1804;0.9608 0.5020 0.2000;0.9765 0.5529 0.2078;0.9804 0.6431 0.2549;0.9843 0.6627 0.2706;0.9765 0.7176 0.3412;0.9765 0.7686 0.4000;0.9765 0.8118 0.4902;0.9725 0.8510 0.5961;0.9882 0.9020 0.6667;1.0000 0.9451 0.8431;1.0000 0.9961 0.9804;1.0000 1.0000 1.0000];Xi=1:size(map,1);Xq=linspace(1,size(map,1),800);map=[interp1(Xi,map(:,1),Xq,'linear')',...interp1(Xi,map(:,2),Xq,'linear')',...interp1(Xi,map(:,3),Xq,'linear')'];colormap(map)图⼆% x(n+1)=1-r*x(n)^2% (r∈(0,2),x∈[-1,1])的分⽀混沌图。
交岔点设计
H 500 b2 R b3
P J [ R ( B3 b3 )] sin J ( R b3 B3 ) sin
3）基本轨起点至变断面终点的 水平距离为P：
4）最大断面宽度TM
TM NM 2 TN 2
而 NM=B3sinθ
TN B 3 cos 500 B2
（a）单开道岔；（b）对称道岔；
a—辙岔中心至道岔起点的距离；b—辙岔中心至道岔终点的距离；L—道岔长度
2013-8-1 16
a α
s1
b
b L
a b
a
s1
α
b Lx
a
（c）渡线道岔 DX924-4-1519（左）
2013-8-1 17
3．道岔的选择原则
1）与基本轨的轨距相适应。
2）与基本轨的轨型相适应。
5）自基本轨起点至柱墩的距离：
L2 P NM
2013-8-1 26
6）确定斜墙TQ的斜率i 求算斜率i0 i0 TN B1 P 根据i0值的大小，选取i为0.2或0.25 或0.3，个别情形可取0.15。 7）确定的斜墙起点Q到交岔点扩 大断面部分的长度：
TN B1 i 8)变断面的起点至基本轨起点的距 离Y： L0
2013-8-1 5
3.曲线的外轨抬高 当车辆在曲线轨道上运行时，如果内、外轨仍在同一平 面上，由于存在着离心力，作圆周运动的车辆通过车轮轮缘 就要向外轨挤压；增加了钢轨磨损和运行阻力，严重时车辆 就要向外翻或出轨。 图8-54为外轨抬高计算示意图。
S PV 2 h 100 R
外轨抬高的方法是垫厚外轨下 面的道渣。外轨抬高的渐变段距 离d2＝（100～300）Δh
【2019年整理】分岔图做法1
混沌研究总结篇
关于Lyapunov指数指数的计算，网上也有很多总结，比较总结好的一个是出自/viewthread.php?tid=797646（百思论坛），这上面总结的很详细，具体用法，应用场合都简绍到了，下面我主要以此为依据，把自己的想法写下。
参考书目：吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、邹国棠《混沌电机驱动及其应用》
title('chen映射分岔图')
xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')
这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。后面将陆续简绍其它混沌系统分岔图、吸引子、时间序列、功率普等的求取。
混沌研究总结篇
今天算是把混沌电机模型跑出一组分岔图，和理论预期基本一样。
dz/dt=x*y-b*z
就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统
(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图
结果如下图所示
CODE：function fenchatuchen
clc;clear
XA=35;XC=28;
Z=[];
for XB=linspace(2,5.5,100);
options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);
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混沌研究总结篇------一、分岔图结一下。
首先简绍几个基本概念：
一、自治系统
一个n阶自治的连续动态系统可以表示为
可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
分岔与混沌
3 典型实例
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
13
典型实例
3.1 叉型分岔
典型实例是
x x3 x( x2 ) x
（1）
上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 x =0，可知方程(1)的定态平衡 解是
x 0, x 0和 x ,
•中心流形法
•李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）
•幂级数法 •摄动法 •Shilnikov法 •数值法
机械系统与振动国家重点实验室
21
奇异性理论方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化 为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通 过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态， 随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分 叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应 用奇异性方法。 该方法参考：
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
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十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔， 而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它 们在分岔点均满足：
d [Re( ( )] 0 d
2016/4/3
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2.静态分岔和动态分岔 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和 稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等； 动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡 点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周 期分岔）等。 3. 局部分岔和全局分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构 如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的 拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔 ，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局 分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对 局部分岔的研究就显得尤为重要。 机械系统与振动国家重点实验室
分岔图做法[]
![分岔图做法[]](https://img.taocdn.com/s3/m/23d6bf17ba68a98271fe910ef12d2af90242a819.png)
分岔图做法[]>>混沌研究总结篇------一、分岔图（1.Chen系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。
首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。
三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。
庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。
庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。
对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。
当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。
难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。
对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。
所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。
四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。
下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统1.Chen系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen 系统入手。
系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,5.5,100);options = odeset('RelT ol',1e-6,'AbsT ol',[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。
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>>混沌研究总结篇------一、分岔图（1.Chen系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。
首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。
三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。
庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。
庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。
对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。
当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。
难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。
对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。
所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。
四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。
下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统1.Chen系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen 系统入手。
系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,5.5,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。
后面将陆续简绍其它混沌系统分岔图、吸引子、时间序列、功率普等的求取。
混沌研究总结篇------一、分岔图（2.PMSM混沌电机系统）今天算是把混沌电机模型跑出一组分岔图，和理论预期基本一样。
2.混沌电机模型系统模型如下：dx/dt = z*y - xdy/dt = -z*x - y+gama*zdz/dt= dita*(y - z)仿真结果如下：通过波形我们可以看出，当gama=1.5左右出现分岔，当gama=7左右时，出现二周期；当gama=14.5左右，系统工作在混沌状态下。
由此，通过调整gama参数，可以得到系统工作在周期或是混沌状态下。
当gama=20时，得到系统的吸引子如下，可以看出，系统工作在混沌状态下。
混沌研究总结篇------一、分岔图（3.其于的一些自治系统）3.Lorenz系统系统形式如下：dx/dt = a*(y - x)dy/dt = R*x - y -x*zdz/dt= x*y - b*z仿真结果：4.Rossler系统系统形式如下：dx/dt = -y - zdy/dt = x + a*ydz/dt= b + z*(x - c) 仿真结果：5.Henon系统x(n+1)=1+a*x(n)^2+y(n) y(n+1)=b*x(n)仿真结果：6.Logistic系统x(n+1)=a*(1-x(n))*x(n) 仿真结果：混沌研究总结篇------一、分岔图（4.一些非自治系统）下面简绍一个非自系统分岔图的画法：（不断完善）对于非自治系统的Poincare截面一般选为其周期激振的整周期倍，poincare截面取点就是每个周期里取一个相空间里的点作图采用的方法叫频闪法。
7.Duffing系统系统方程如下：dx/dt=ydy/dt=-x-x^3-det*y-gama*cos(wt)仿真结果：混沌研究总结篇------二、Lyapunov指数（1.连续系统）关于Lyapunov指数指数的计算，网上也有很多总结，比较总结好的一个是出自/viewthread.php?tid=797646（百思论坛），这上面总结的很详细，具体用法，应用场合都简绍到了，下面我主要以此为依据，把自己的想法写下。
参考书目：吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、邹国棠《混沌电机驱动及其应用》参考文献：《李雅普诺夫指数谱的研究与仿真》等一、基本概念混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，lyapunov指数就是定量的描述这一现象的量。
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。
如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。
如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m 个Lyapunov 指数是零,其余的Lyapunov指数为负。
不管系统是不是耗散的,只要λ 1 > 0就会出现混沌。
微分动力系统L yapunov指数的性质对于一维(单变量) 情形,吸引子只可能是不动点(稳定定态) 。
此时λ是负的。
对于二维情形, 吸引子或者是不动点或者是极限环。
对于不动点,任意方向的δxi , 都要收缩, 故这时两个Lyapunov指数都应该是负的, 即对于不动点, (λ1 ,λ 2 ) = ( - , - ) 。
至于极限环,如果取δxi 始终是垂直于环线的方向,它一定要收缩,此时λ< 0;当取δxi沿轨道切线方向,它既不增大也不缩小,可以想像,这时λ = 0。
事实上,所有不终止于定点而又有界的轨道(或吸引子) 都至少有一个Lyapunov指数等于零,它表示沿轨线的切线方向既无扩展又无收缩的趋势。
所以极限环的Lyapunov指数是(λ 1 ,λ 2 ) = (0, - ) 。
在三维情形下有(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) = ( - , - , - ) :稳定不动点;(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) = (0, - , - ) :极限环;(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) = (0, 0, - ) :二维环面;(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) = ( +, +, 0) :不稳极限环;(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) = ( +, 0, 0) :不稳二维环面;(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ) = ( +, 0, - ) :奇怪吸引子。
李雅谱诺夫指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动;若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。
指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高。
二、lyapunov指数的求取（主要参考网上给出的那篇总结）1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
最常用的主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
这两种方法的计算方法在这里不做简绍，很容易查到，下面说下其具体应用场合：一般地，如果已知系统方程（当然系统不能太过复杂）时，则计算Lyapunov指数采用定义法、Jacobian方法要精确、简单些！Jacobian方法我们可以使用LET工具箱，基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。
对于我们觉的连续系统，如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数都可以用定义法或是Jacobian方法求取。
（1）下面是那篇总结中给出的计算Rossler吸引子的Lyapunov指数结果：（2）关于LET工具箱下载地址：使用手册：这个软件可以计算自己编写的程序，点击Run Let Main program，然后选择setting，输入自己编辑的函数文件（按照软件要求的格式），同时进行各种参数设置即可进行计算。
下面说明一下该工具箱：（参考oct）（1）LET工具箱适用于连续系统，如Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen，但对时间序列的LE求解不适用（2）在进行LET求解之前，需要注意应将非自治系统写成自治系统的形式，然后参考工具箱给出的Lorenz、Rossler系统的例子，将微分方程定义函数写成标准形式（3）用let求解Lyapunov指数，在设置窗口中设置相关参数即可！具体设置界面如下：点击Run Let Main program后得到如下：选择setting后后得到如下：（1）在ODE Function处填写自己编的函数文件名，m文件格式一定要与给的Demo 相同，参考Henon或是Lorenz系统这m文件，很容易写出自己的函数文件。