高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课时规范练文含解析北师大版

第五章 数列

第四节 数列求和 课时规范练 A 组——基础对点练

1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )

A ．100

B ．110

C ．120

D ．130

解析：{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C. 答案：C

2．(2020·长沙模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12

D ．－15

解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案：A

3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋1的前100项和为( )

A.100101

B.99101

C.99100

D.101100

解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，

∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1

，

∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.

答案：A

4．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1

，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )

A ．80

B ．81

C ．79

D ．82

解析：a n ＝1n ＋

n －1

＝n －

n －1，故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.

答案：B

5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1

a n }的前5项

和为( ) A.15

8或5 B.3116或5 C.3116

D.158

解析：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9（1－q 3）1－q ＝1－q 6

1－q ，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，

所以{1a n }是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－（1

2）5

1－12＝31

16

.

答案：C

6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝⎛⎭⎫

15n

，则其前20项和为( ) A ．380－3

5⎝⎛⎭⎫1－1519 B ．400－2

5⎝⎛⎭⎫1－1520 C ．420－3

4⎝

⎛⎭⎫1－1520 D ．440－4

5⎝⎛⎭

⎫1－1520 解析：令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝⎛⎭⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×（20＋1）2－3×15⎝⎛⎭⎫1－15201－15＝420－34⎝⎛⎭⎫1－1520. 答案：C

7．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

2n ＋12n 的前n 项和，若m ＞T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )

A ．1 026

B ．1 025

C ．1 024

D ．1 023

解析：∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝n ＋1－1

2

n ，

∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1

210，又m ＞T 10＋1 013，

∴整数m 的最小值为1 024. 答案：C

8．已知数列：112，214，318，…，(n ＋1

2n )，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．

解析：设所求的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋14＋…＋1

2n )＝n （n ＋1）2＋

12（1－1

2n ）1－12＝n （n ＋1）2－1

2n ＋1. 答案：n （n ＋1）2－12

n ＋1

9．若数列{a n }是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n ，…，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．

解析：a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2－2n ＋11－2

＝2n ＋1－2，

S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(2＋2＋2＋…＋2) ＝22－2n ＋21－2

－2n ＝2n ＋2－4－2n .

答案：2n ＋

2－4－2n

10．(2020·山西四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N ＋)，则S 2 020＝________． 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1 ②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 020＝1－21 010

1－2＋

2×（1－21 010）

1－2＝3×21 010－3.

答案：3×21 010－3

B 组——素养提升练

11．设函数f (x )＝12＋log 2x 1－x ，定义S n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ，其中n ∈N ＋，且n ≥2，则S n ＝________．