江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检试题(数学)

江苏省南京师大附中2012届高三阶段性检测数 学 试 卷2011-12-13 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应．．．．．．位置上．．．． 1． 若a ,b ∈R ，i 为虚数单位，且(a +i)i=b +i ，则a +b = ▲ ．2． 过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ▲ ．3． 已知四棱椎P －ABCD 的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 ▲ ．4． 已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边，若a =1,b 3A +C =2B ,则sin C =▲ ．5． 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②垂直于同一直线的两条直线相互平行； ③平行于同一直线的两个平面相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行上面命题中，真命题．．．的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）． 6． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1≠0，S k +3＝0，则k = ▲ ． 7． 已知函数y =sin(ωx +ϕ)（ω>0, －π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ= ▲ ．8． 已知x 、y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则24z x y =+的最小值为 ▲ ．9． 在ABC △中，BD 2DC = ，AD mAB nAC =+ ，则mn = ▲ ．10．已知实数x ，y 满足3221423x x ,y y≤≤≤≤，则xy 的取值范围是 ▲ ． 11．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足2π34π-11第7题图xy O1122::PF F F PF =6:5:4，则曲线C 的离心率等于 ▲ ．12．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P }1)(|{-<=x f x Q ，若“Q x ∈”是“P x ∈”的必要不充分条件,则实数t 的取值范围是 ▲ ．13． 数列{a n }满足a 1＝1，a i ＋1＝⎩⎨⎧2a i，a i ≤m －12，2(m －a i)＋1，a i＞m －12．其中m 是给定的奇数．若a6＝6，则m = ▲ ．14．已知ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且存在实数a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)设函数f (x )=a b ⋅，其中向量=(2cos x ,1),=(cos x ,3sin2x ),x ∈R .(1) 若f (x )=0且x ∈(－π2,0), 求tan2x ；(2) 设△ABC 的三边a ,b ,c 依次成等比数列，试求f (B )的取值范围．16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面.17．（本小题满分14分）（第16题）ABDEFP某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5）的税收.设每件产品的日售价为x 元（35≤x ≤41），根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x )元与每件产品的日售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x )最大，并求出L(x )的最大值.18．(本小题满分16分)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x >0)在x = 1处取得极值c --3，其中a ,b ,c 为常数。

（1）试确定a ,b 的值； （2）求函数f (x )的单调增区间；（3）若对任意x >0，不等式f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c +9恒成立，求c 的取值范围.19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，A (2a ，0)，B(a ，0)，a 为非零常数，动点P 满足PA ＝2PB ，记点P 的轨迹曲线为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上不同两点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)满足→AR ＝λ→AQ ，点S 为R 关于x 轴的对称点．①试用λ表示x 1，x 2，并求λ的取值范围；②当λ变化时，x 轴上是否存在定点T ，使S ，T ，Q 三点共线，证明你的结论．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，S n = ta n+1 (n ∈N +,t ∈R)． （1）求数列{S n }的通项公式； 2）求数列{na n }的前n 项和为T n .PF C AO BD E江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检试题数学试卷附加题2011-12-13班级____________姓名________________ 学号________得分_________21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点且CD ⊥AB 于C ，E ，F 分别为圆上的点满足∠ACF =∠BCE ，直线FE 、AB 交于P ，求证：PD 为⊙O 的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1103． (1)求矩阵A 的特征值和特征向量；(2)求A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x =t ，y =1+2t ．（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=． （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若平面直角坐标系横轴的非负半轴与极坐标系的极轴重合，试判断直线l 和圆C 的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲已知a,b,c 为正数，证明：abc cb a ac c b b a ≥++++222222． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．若二项式(1+2x )n 展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．23．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75． （1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； （2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检数学答卷纸2011-12-13班级____________姓名________________ 学号________得分_________一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 把答案填在横线上1．____________________ 2． ____________________ 3．____________________4．____________________ 5． ____________________ 6．____________________7．____________________ 8． ____________________ 9．____________________，10．__________________ 11． ___________________ 12．____________________，13．__________________ 14． ___________________二．解答题：本大题共6小题，共90分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)16．（本题满分14分）（第16题）ABDEFP17．（本题满分14分）18．（本题满分16分）19．(本题满分16分)20．(本题满分16分)参考答案： 1. 1,1a b ==-2.1或1773. 964.sin sin 901C ==5. ④6. 107.910π 8. -69.1210. [13,2]11. 12或5212. 3t ≤-13. m ＝9．14．]2,(ππ15. 解：f (x )=a b ⋅ =(2cos x ,1) (cos x , 3si n 2x )=2cos 2x +3si n 2x =3si n 2x +cos2x +1=2si n (2x +6π)+1(1) ∵f (x )= 0,∴si n (2x +6π)=-12,x ∈(－π2,0) ∴2x +6π∈(-5π6,π6) ∴2x +6π=-π6,∴x =-π6,tan2x=- 3(2)∵a,b,c成等比数列,∴b 2=ac由余弦定理得∴cosB=ac b c a 2222-+=acac c a 222-+≥ac ac ac 22-=21∴0<B ≤3π ∴6π<2B +6π≤65π ∴21≤si n (2B +6π)≤1，∴2≤f (B )≤316.证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连结FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD ． 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD ． 所以FM ∥EA ，且FM ＝EA ． 所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM ． ……………………… 5分又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ……… 2分 方法二：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE ．ABCDEFPMABCDEFPNABCDEFQ P又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．…………5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．……………2分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．………………………………2分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．………………………2分因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，……………………………………3分又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．…………………………2分说明：第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；第二问，不用平几证明DE⊥AC，扣2分；17.18．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得()34341ln 4'bx xax x ax x f +⋅+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '>，解得1x >．因此()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立，即－3－c （≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立，解得c ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).19.解 （1）设点P 坐标为(x ，y )．由PA ＝2PB ，得(x －2a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，平方整理，得x 2＋y 2＝2a 2． 所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝2a 2．（2）①→AQ ＝(x 1－2a ，y 1)，→AR ＝(x 2－2a ，y 2)，因为→AQ ＝λ→AR ，且⎩⎨⎧x 2－2a ＝λ(x 1－2a ) y 2＝λy 1．，即⎩⎨⎧x 2－λx 1＝2a (1－λ)…① y 2＝λy 1．…②因为Q ，R 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧x 12＋y 12＝2a 2，…③x 22＋y 22＝2a 2．…④消去y 1，y 2，得x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，…⑤由①，⑤得x 1＝3－λ2a ，x 2＝3λ－12λa ． 因为－2a ≤x 1，x 2≤2a ，所以－2a ≤3－λ2a ≤2a ，－2a ≤3λ－12λa ≤2a ，且λ＞0解得3－22≤λ≤3＋22．又Q ，R 不重合，所以λ≠1．故λ的取值范围为[3－22，1）∪（1，3＋22]．②存在符合题意的点T （a ，0），证明如下：→TS ＝(x 2－a ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－a ，y 1)，要证明S ，T ，Q 三点共线，只要证明→TQ ∥→TS ，即(x 2－a ) y 1－(x 1－a )(－y 2)＝0因为y 2＝λy 1．又只要(x 2－a ) y 1＋λ(x 1－a )y 1＝0，若y 1＝0，则y 2＝0，成立，若y 1≠0，只要x 2＋λx 1－a (1＋λ)＝0，由⑤知，此式成立．所以存在点T （a ，0），使S ，T ，Q 三点共线．探究方法：假设存在符合题意的点T （m ，0）．则→TS ＝(x 2－m ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－m ，y 1)，由S ，T ，Q 三点共线，得→TQ ∥→TS ， 从而(x 2－m ) y 1＝－y 2(x 1－m )，即(x 2－m ) y 1＋λy 1(x 1－m )＝0，若y 1＝0，则y 2＝0，成立，若y 1≠0，则(x 2－m )＋λ(x 1－m )＝0，即x 2＋λx 1－m (1＋λ)＝0，又x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，所以(a －m )(1＋λ)＝0，因为A 在圆C 之外，所以λ＞0，所以m ＝a ．20．(1)∵S n = ta n+1，∴S 1= a 1 =ta 2＝1，∴t ≠0.∴S n = t (S n+1－S n ) ，∴S n+1=t+1t S n ，∴当t=－1时，S n+1＝0，S 1= a 1＝1，当t ≠－1时，{S n }为等比数列，S n =(t+1t )n-1，综上 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，(t+1t)n-1 n ≥2． (2)∵T n ＝a 1+ 2a 2+3a 3+……+na n . (1)∴T 1=1n ≥2时，又由(1)知a n+1＝t+1t a n ，a 2＝1t∴t+1t T n ＝t+1t a 1+ 2a 3+3a 4+……+(n-1)a n +na n +1 (2)(1)-(2)得－ 1t T n ＝－1t +2a 2+a 3+……+a n － na n +1＝－1t －a 1+a 2+(a 1+a 2+a 3+……+a n )－na n +1＝－1+S n － n (S n+1－S n )=－1+S n － n t S n ＝t －n t S n －1＝t －n t (t+1t )n-1－1∴T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t当t ≠－1时，T 1=1也适合上式，故T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t (n ∈N +).当t=－1时，T 1=1，T n+1＝－1. 解毕.也可综合为：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，(n －t )(t+1t )n-1+t n ≥2．另解：先求出a n 再求S n分t=－1和t ≠－1情形，再综合a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，1t n ≥2，1t (t+1t )n-2n ≥3．再回到S n 和T n。