计算方法-95线性多步法资料
线性多步法
多步法应用于常微分方程的数值解。
从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
该过程的下一步是绘制解决方案。
一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法涉及前几个要点和导数。
在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。
简单的介绍多步法应用于常微分方程的数值解。
从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
该过程的下一步是绘制解决方案。
一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法涉及前几个要点和导数。
在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。
[1-3]具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值问题结果是离散时间的Ti的Y（T）的近似值其中h是时间步长，而I是整数。
Multistep使用上一步中的信息来计算下一个值。
特别地，多步法使用Yi和f（Ti，Yi）来计算所需当前步长的Y值。
因此，多步方法是以下形式的方法：确定系数AI和Bi。
该方法的设计者选择系数平衡了对实际解决方案的需求，以便获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化该方法。
显式和隐式方法可以区分。
如果Bi = 0，则该方法称为“显式”，因为它可以直接计算yn + s。
如果Bi≠0，则该方法称为“隐式”，因为YN + s的值取决于f（TN + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
【论文】线性三步法的性质及其应用
摘要本文主要研究线性三步法的性质及其应用问题，在已有线性多步法基本公式的及线性二步法的基础上，本文又推导出了一个线性三步法公式，并对其进行性质分析验证。
对构造出的线性三步法公式进行相容性、稳定性、收敛性的判断。
对于一些简单而典型的微分方程模型，是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可利用。
但在数学模型中遇到的常微分方程初值问题模型，通常很难直接求出结果，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。
因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。
对此，本文对常微分方程初值问题模型用线性三步法进行了计算机实现。
本文工作如下：首先，介绍线性多步法公式的基本概念、构造方法、误差分析。
然后，在已有的线性多步法公式特别是线性二步法的基础上，推导出线性三步法的公式，并对其性质进行分析判断。
最后，对构造的线性三步法公式进行应用，主要分析出口服药物在体内吸收变化的情况，用Matlab程序对饮食和非饮食两种情况进行作图比较。
关键词：线性三步法,常微分方程数值解,初值问题,口服药AbstractThis paper studies the nature of the linear three-step method and its application,the existing basic formula of linear multi-step and linear two-step method,the paper has derived a linear three-step formula,and verify the nature of their conduct.Of the constructed linear three-step formula for compatibility,stability,convergence of the judge.For some simple and typical differential equation model,is to derive its analytical solution,and the results are theoretically available.However,mathematical models encountered in the ODEs model,the results are usually difficult to acquire,or even impossible to derive its analytical solution,but can only seek its approximate solution. Therefore,to study the numerical method to quickly obtain the numerical solution to be of significance.In this regard,this paper model of Ordinary Differential Equation of linear three-step method using a computer to achieve.This works as follows:First,the introduction of linear multi-step formula the basic concepts,construction methods,error analysis.Then,in the existing formula,especially linear multi-step linear two-step method based on the derived formula of linear three-step method,and the nature of its judgments.Finally,structural formula of linear three-step application,the main export services of the in vivo absorption of changing circumstances,using Matlab program on food and non food plot comparison of two situations.Key words：Linear three-step method,Numerical Solution of Ordinary Differential Equations,Initial Value Problem,Oral目录第一章绪论 (1)第二章线性多步法的基本理论 (3)2.1常微分方程的数值解法 (3)2.2线性三步法的构造 (4)第三章线性三步法相容性、稳定性、收敛性的研究 (7)3.1相容性 (7)3.2稳定性 (7)3.3收敛性 (8)第四章口服药物在体内的变化 (10)4.1问题的基本概述 (10)4.2建立口服药物的吸收模型 (11)4.2.1问题的提出 (11)4.2.2模型的假设 (11)4.2.3模型的符号及意义 (12)4.2.4应用线性三步法求解 (12)第五章结论与展望 (16)5.1结论 (16)5.2进一步展望 (16)参考文献 (17)致谢 (18)附录 (19)声明 (22)第一章绪论自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
线性多步法
线性多步法：线性多步法（linear multistep method）是1993年发布的数学名词。
线性：线性特性是卷积运算的性质之一，即设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。
同样有：f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。
定义：卷积(Convolution)既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。
其运算性质在线性系统理论、光学成像理论和傅里叶变换及其应用中经常用到。
卷积的运算性质有线性特性，复函数的卷积，可分离变量，卷积符合交换律，卷积符合结合律，坐标缩放性质，卷积位移不变性，函数f（x，y）与函数的卷积。
其中线性特性可描述为：设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。
同样有：f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y)。
多步法：多步法用于普通微分方程的数值解。
从概念上讲，一个数值方法从一个初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，找到下一个解点。
该过程以后的步骤来绘制解决方案。
单步方法（如欧拉方法）只指一个前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta的方法采取一些中间步骤（例如，半步）来获得更高阶的方法，但是在进行第二步之前丢弃所有先前的信息。
多步法尝试通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃它来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
数值计算方法 线性多步法 - 线性多步法
由四阶Adams隐示公式有
h yn1 yn 24 (9 fn1 19 fn 5 fn1 fn2 )
1
典
24 (0.9 yn1 22.1 yn 0.5 yn1 0.1 yn2 0.24n 0.12)
型
例
由上式可解出
题
1
yn1 24.9 (22.1 yn 0.5 yn1 0.1 yn2 0.24n 0.12)
式公式对预测值进行校正，求出 y( xn1)的近似值 yn1.
思 考 题
线性多步法的构造基于泰勒展开或数值积分， 从数值积分出发，如何推导出线性多步法？ 如何估计误差？
的数值解.
典
y x y 0 x 1
y(0)
0
取h 0.1
型 例
根据题意， xn nh 0.1n, fn xn yn,
题
由四阶Adams显示公式有
h yn1 yn 24 (55 fn 59 fn1 37 fn2 9 fn3 )
1 24 (18.5 yn 5.9 yn1 3.7 yn2 0.9 yn3 0.24n 0.12)
一 般 公
Rn k
L[
y(
xn
);
h]
k 1
k
y( xnk ) i y( xni ) h i y( xni )
式
i0
i0
若Rn+k=O(hp+1)，则称方法是 p阶的.
对Rn+k在xn处泰勒展开，由于
线
y( xn
ih)
y( xn ) ihy(xn )
(ih)2 2!
y(xn )
式
其中 c0 1 (0 1 k1 ),
c1 k [1 22 (k 1)k1] (0 1 k ),
科学计算2
注 对形式简单的方程，可以由差分方程解的表达式 取极限导出收敛性。 例如对初值问题：
y′ = ay用Euler法得近似解表达式
y n = y n −1 + hay n −1 = (1 + ha ) y n −1 = (1 + ha ) n
对 x = nh， 当 h → 0 时有
h2 h p ( p) ′ y ( xn +1 ) = y n + hy ′ + y n′ + ⋯ + y n + O ( h p +1 ) n 2 p! r ∑ α i = 1 i=0 ⇒≥ r r ( −i ) k α + k ( −i ) k −1 β = 1 ∑ i i ∑ i = −1 i =1
i=0 i = −1
r
r
其中 f n −i = f ( xn −i , yn −i ), α i , β i 为待定系数.
若 β−1 = 0 为显式公式 β−1 ≠ 0 为隐式公式 , .
3.1 线性多步公式的导出 利用Taylor展开
h2 hp ( ′ ′ yn−i = y(xn − ih) = yn + (−i)hyn + (−i)2 h2 yn +⋯+ (−i) p ynp) + O(hp+1) 2 p! hp−1 ( p) ′ ′ fn−i = y′(xn−i ) = yn + (−i)hyn +⋯+ yn + O(hp ) ( p −1)! hp−1 ( p) ′ ′ fn+1 = f (xn+1, yn+1) ≈ y′(xn+1) = yn + hyn +⋯+ yn + O(hp ) ( p −1)!
线性多步法
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值的问题结果是离散时间ti处y（t）的近似值：其中h是时间步长，而i是整数。
多步方法使用上一个S步骤的信息来计算下一个值。
特别地，多步方法使用yi和f（ti，yi）来计算当前步骤所需的y值。
因此，多步方法是一种具有以下形式的方法：确定系数ai和bi的方法。
该方法的设计者选择系数来平衡对实际解决方案的需求，从而获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化方法。
可以区分显式和隐式方法。
如果bi = 0，则此方法称为“显式”，因为此公式可以直接计算yn + s。
如果bi≠0，则此方法称为“隐式”，因为yn + s的值取决于f（tn + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
线性多步法
y ( x i 1 ) y ( x i ) x
xi 1 i
f ( x, y ( x ))dx
为了近似计算式中的积分，以xi−k , xi−k+1, , xi−1, xi 为插值节点，作函数f (x, y (x)) 的k 次插值多项 式pk (x)，从而有 f (x, y (x) ) = pk (x) + R (x), 其中，R (x)为插值余项
i 2, , N 1
将 f (x, y) = 2x + y, h = 0.1, xi = 0.1i 代入，得
1 yi 1 (0.9 yi 1 25.9 yi 0.5 yi 1 0.2 yi 2 0.48i 0.24) 24
本例可以解出yi+1 使其成为显式
几个常用的Adams外插公式如下 ① 单步法(k=0)
y i 1 y i hy i
1 2 ei 1 h y( i ) 2
② 二步法(k=1)
i 0,1,, N 1
h yi 1 yi (3 y y ) i 0,1, , N 1 i i 1 2
§5 线性多步法 /*Linear multistep method*/
一、Adams外插法 二、Adams内插法 三、Taylor级数法
求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即 求 解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一 步一步地向前推进．所以，在计算yi+1 时，前面 的i + 1 个值y0, y1, , y i 都是已知的．如果在计算 yi+1 时能充分利用这些已有的信息，而不是像单 步法中那样，只用其前一步的值yi，则可望构造 出精度高，但计算量小的求解公式．线性多步法 k k 就是基于这一思想发展起来的，其计算公式可表 yi 1 r yi r h r y 示为 i r
95置信区间计算公式
95置信区间计算公式
1、样本数量少的话可以直接算：可信区间为阳性样本平均值±标准差(X±SD) 。
2、可信区间介绍：按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间来估计总体参数所在的范围，该范围通常称为参数的可信区间或者置信区间(confidenceinterval,CI),预先给定的概率(1-α)称为可信度或者置信度(confidencelevel),常取95%或99%。
3、总体参数的估计，是统计学一大重要的应用。
主要为均数和率的估计，本期做了一个简单的小结，实现该项功能，希望对大家有用。
SPSS对总体均数在探索里是默认实现的，然而对于率却不可以，本例采用比率方法实现。
扩展资料
例：估计该县成年人HBsAg阳性率的95%置信区间。
本例n＝100，p＝0.12，可采用正态近似法估计总体率的置信区间。
阳性率的95%的置信区间按式（p －Zα/2Sp，p＋Zα/2Sp）计算：
下限：p－1.96Sp＝0.12－1.96×0.0325＝0.0563
上限：p＋1.96Sp＝0.12＋1.96×0.0325＝0.1837
所以该县成年人HBsAg阳性率的95%置信区间为（5.63%，18.37%）。
数值分析(26) 线性多步法
fn
fn1 ]
yn1
Cn1
9 121
(Cn1
Pn1 )
预估 改进 校正 改进
数值分析
数值分析
算法
（1）输入 a, b, f ( x, y), N , y0
(2)
置h
ba N
,
x0
a,
n
1
(3) 计算 fn1 f ( xn1, yn1)
K1 hfn1
K2
hf
( xn1
h, 2
yn1
K1 ) 2
0满足方程组前三个
方程，故公式
h yn1 yn 2 ( fn1 fn )
此为二阶公式。
又如：解上面方程组得0
0,1
1, 1
1
1 3
,0
4 3
相应的线性二步四阶公式（Simpson公式)为
h yn1 yn1 3 ( fn1 4 fn fn1 )
数值分析
数值分析
二、常用的线性多步公式
（1）阿达姆斯(Adams)公式
yn1) 2 fn
fn1 )]
说明：
(1)以上两种预估—校正系统均为四阶公式，其起步值 通常用四阶R-K公式计算。
(2)有时为提高精度，校正公式可迭代进行多次，但迭
代次数一般不超过3次。
数值分析
数值分析
用局部截断误差进一步修正预测－校正公式
由Adams公式的局部截断误差公式
y( xn1 )
yn1
yn
h 24 [9 f ( xn1 , yn1 ) 19 fn
5 fn1
fn2 ]
预估 校正
数值分析
数值分析
Mi li ne Ham min g预估—校正系统
算法大全第15章_常微分方程的解法
-1-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22dyy x dx=+，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是(,)()dyf x y a x bdxy a y ⎧=≤≤⎪⎨⎪=⎩ (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数(,)f x y 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y (x )在若干点012N a x x x x b =<<<<=处的近似值(1,2,,)n y n N =的方法，(1,2,,)n y n N = 称为问题（1）的数值解，1n n n h x x +-=称为由n x 到1n x +的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商()()1n n y x y x h+-代替()n y x '代入（1）中的微分方程，则得()()()()1,(0,1,)n n n n y x y x f x y x n h+-≈=化简得()()()()1,n n n n y x y x hf x y x +≈+如果用()n y x 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为()1n y x +的近似值，记为1n y +， 则有()1,(0,1,)n n n n y y hf x y n +=+=(2)这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题()10,(0,1,)()n n n n y y hf x y n y y a +⎧=+=⎨=⎩ (3) 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出1y ,2y ,…。
线性多步法
(6)计算 f3 f ( x3 , y3 ) x x3 h 4 112 p y0 (2 f3 f 2 2 f1 ) m p (c0 p0 ) 3 121 1 3 c (9 y3 y1 ) h[ f ( x, m) 2 f 3 f 2 ] 8 8 9 y c (c p ) 输出(x, y ) 121 (7)若n N，置n 1 n, x j 1 x j , y j 1 y j , f j 1 f j ( j 0,1, 2), x x3 , y y3 , p p0 , c c0 , 转6； 否则停机。
算法 ba （1）输入 a, b, f ( x, y ), N , y0 (2)置h , x0 a, n 1 N (3)计算 f n 1 f ( xn 1 , yn 1 ) K1 hf n 1 h K1 K 2 hf ( xn 1 , yn 1 ) 2 2
(i 1, 2, , N ) (i 1, 2, , N )
若对 y 和 f 采用向量的记号 y ' f ( x, y); y( x0 ) y 0 ;
f ( f1 , f 2 , f N ) ;
T
或表达为 h yi ,n 1 yin ( K i1 2 K i 2 2 K i 3 K i 4 ) 6 (i 1, 2, , N ), 其中 K i1 fi ( xn , y1n , y2n , , yNn ); h h h h K i 2 fi ( xn , y1n K11 , y2 n K 21 , , y Nn K N 1 ); 2 2 2 2 h h h h K i 3 fi ( xn , y1n K12 , y2 n K 22 , , yNn K N 2 ); 2 2 2 2 K i 4 fi ( xn h, y1n hK13 , y2 n hK 23 , , y Nn hK N 3 );
回归95%置信区间的计算公式
回归95%置信区间的计算公式
回归95%置信区间的计算公式是：
置信区间=预测值±临界值*标准差
其中，预测值是模型对给定输入的预测结果，临界值是根据样本
数量和置信水平来确定的，标准差是模型的残差的标准差。
对于简单线性回归模型，临界值可以通过查找t分布表来确定，
该表给出了根据自由度（样本数量减去模型参数的个数减1）和置信水平得出的t值。
对于多元回归模型，临界值可以通过查找F分布表和t 分布表来确定。
拓展：
除了使用临界值乘以标准差的方法计算置信区间外，还有一种常
见的方法是使用Bootstrap方法。
Bootstrap通过从已有数据集中用有放回抽样的方法生成多个重复样本，然后对每个样本进行建模和预测，最后对这些预测结果进行统计，得到置信区间。
这种方法更加灵活，
可以用于更复杂的回归模型和数据集，但是计算量更大。
线性多步法
1.待求解问题描述
⎧ y ' = f (t , y ) ⎨ ⎩ y (t0 ) = y0
（1）
2、线性多步法表达式建立
Lk ( y (t ), h) = ∑ [α j y (t + jh) − hβ j y ' (t + jh)]
j =0
k
（2）
将
y (t + jh )
和
y ' ( t + jh )
公式性质： 1. 公式左边j=k项为我们需要求取得项，j<k的项为已 得项； 2. 公式右边可以使用f(t,y)直接带入求取； 3. 当右边 β k ≠ 0 时，公式所得到的算法为隐式算法；否
则为显式算法。 4. (4) 式中，我们可以要求α k =1，因为如果α <>1，只需 公式两边同时除以 α k 即可使得 =1 k
⎧ ⎪c = α + α + α + ... + α = 0 k 0 1 2 ⎪0 ⎪c1 = α1 + 2α2 + ... + kαk − (β0 + β1 + β2 + ... + βk ) = 0 ⎪ ⎨... ⎪ 1 1 ⎪c p = (α1 + 2 p α2 + ... + k pαk ) − (β1 + 2 p−1 β2 + ... + k p−1βk ) = 0, p ≥ 2 p! ( p −1)! ⎪ ⎪ p = 2,3,... ⎩
⎪c = α + 2 − (β + β + β ) = 0 0 2 2 ⎪1 1 ⎪ 1 ⎨c2 α=0α1 + 4) − (β1 + 2β2 ) = 0 1、 = ( 2 ⎪ h yn+2 = yn+1 + [5fn+2 +8fn+1 − fn ] ⎪ 1 12 ⎪c3 = (α1 + 8) − 12(β1 + 4β2 ) = 0 6 ⎩
95%可信限的计算
根据稳定性试验检测的含量数据，以标示量（％）对时间进行直线回归，得回归方程，求出各时间点标示量得计算值（Y）,然后计算标示量（Y）95％单侧可信限的置信区间，Y±ZZ ＝tN-2*S*√1/N+(X- X)2/∑(Xi- X )2 式中tN-2 为概率0.05，自由度N-2 的t 单侧分布值，可以从统计学书中查到，N 为数组；S＝√Q/N-2 ;Q=LYY-bLxy；b 为直线斜率；LYY 为Y 的离差平方和；Lxy 为xy 离差乘积和。
LYY＝∑y2-（∑y）2/NLxy=∑xy-（∑x）（∑y）/N 式中X 为给定自变量；X 为自变量X 的平均值。
将有关点连接可得出分布于回归线两侧得曲线。
取质量标准中规定的含量低限（根据各品种实际规定限度确定）与置信区间下界线相交点对应的时间，即为药物的有效期。
根据情况也可拟何为二次方程或三次方程或对数函数方程维持化学药品稳定性的建议药品的有效期是指市售包装药品在规定的贮存条件下放置，药品的质量仍符合注册质量标准的时间段。
药品的有效期要综合加速试验和长期试验的结果，进行适当的统计分析，最终一般以长期试验的结果来确定。
基于商业需要，生产企业通常希望将化学药品的有效期订得更长久，但却往往忽略一些可能影响药品质量和安全性的因素，如较少考虑所销售区域的高温、高湿、强光等特殊气候环境对药物稳定性影响等。
只有对上述问题进行综合考虑，细致分析，才能合理确立化学药品的有效期。
重视稳定性试验基础稳定性试验基础是指加速试验和长期试验的设计应合理，样品的批次和规模应符合要求，考察项目应全面且具有灵敏性，各项目的分析方法应经过充分验证，测试数据应准确等。
没有以上这些试验基础，是无法准确确定药品有效期的，也无法保证上市后产品在一定时期内的质量和安全。
例如，某延长药品有效期(由24 个月延长至36 个月)的补充申请，使用的样品批次仍为该药申请注册上市的中试规模产品，这种做法欠妥。
线性多步法
显式方法
显式方法定义 显式方法特点 显式方法实现步骤 显式方法优缺点
隐式方法
定义：需要解非线性方程组的数值方法 优点：精度高，稳定性好 缺点：计算量大，需要求解非线性方程组 应用：适用于非线性较强的系统
线性多步法的稳定性条件
稳定性定义：线性多步法在数值求解过程中保持解的稳定性和精度
添加标题
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精度：线性多步法具有较高的计 算精度，能够得到较为精确的数 值结果。
易于实现：线性多步法易于实现， 可以通过简单的编程语言实现算 法。
线性多步法的基本结构
线性多步法的定义 线性多步法的特点 线性多步法的分类 线性多步法的应用场景
02
线性多步法的分类
基于位置的分类
06
线性多步法的未来发展
理论研究
线性多步法的理论分析 线性多步法的收敛性和稳定性 线性多步法的数值实现和算法优化 线性多步法在其他领域的应用前景
应用研究
线性多步法在科学计算中的应用
线性多步法在偏微分方程求解中 的应用
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线性多步法在控制系统中的应用
线性多步法在优化问题中的应用
应用：适用于解决初值问题，被广泛应用于科学计算和工程领域
与隐式方法的比较：隐式方法需要求解非线性方程组，而线性多步法可以直接使用线性方程组进 行计算
线性多步法的特点
稳定性：线性多步法具有较好的 数值稳定性和收敛性，能够避免 数值误差的积累。
适用范围广：线性多步法适用于 解决各种初值问题和边值问题， 具有较广的适用范围。
零阶方法：不使用历史信息
一阶方法：使用一个历史信息
《线性多步法》课件
线性多步法PPT课件
本PPT课件全面介绍线性多步法，包括其原理、常见算法、优缺点，以及在科 学计算中的应用。通过案例研究展示其解决实际问题的能力，并对其进行总 结和展望。
线性多步法的简介
线性多步法是一种常用的数值解常微分方程的方法之一，通过一系列历史解 来逼近未知的解。它的优点是高效和精确。
线性多步法的原理
一种隐式的线性多步法，通过历史解的插 值和导数来逼近未知的解。
Adams-Moulton方法
一种隐式的线性多步法，使用历史解和未 知解的插值来逼近未知的解。
Crank-Nicolson方法
一种半隐式的线性多步法，使用历史解和 未知解的加权平均值来逼近未知的解。
线性多步法的优缺点
1 优点
2
高效：使用历史解逼近未知解，节省计 算量。
线性多步法基于差分近似和插值，将未知的解表示为已知的历史解的线性组合。它使用多个历史 解来逼近未知的解，从而提高精度。
常见的线性多步法算法
Adams-Bashforth方法
一种显式的线性多步法，通过利用历史解 的插值来逼近未知的解。
Backward D ifferentiation Formula (BD F)
精确：多个历史解的线性组合提高数值 解的精度。
3 缺点
4
初始条件敏感：对初始条件要求较高， 初始条件的误差会传播到后续步骤。
稳定性限制：某些算法在稳定性方面具 有限制，对方程的性质和步长有一定要 求。
线性多步法在科学计算中的应 用
线性多步法广泛应用于科学计算领域，特别是求解常微分方程和偏微分方程 的数值解。它在物理学、工程学、生物学等领域有着重要的应用。
案例研究：使用线性多步法解决实际 问题
95%ci计算方法
95%ci计算方法
95%置信区间（Confidence Interval, CI）是用来表示统计数
据的不确定性范围的一种方法。
计算95%置信区间的方法取决于所
使用的统计模型和数据类型。
以下是一些常用的计算方法：
1. 对于均值的95%置信区间，可以使用 t 分布或者正态分布
进行计算。
如果样本量较小（一般小于30），则使用 t 分布；如
果样本量较大，则可以使用正态分布。
计算方法通常涉及样本均值、标准差、样本量和置信水平，利用相应的分布函数得出置信区间的
上限和下限。
2. 对于比例的95%置信区间，可以使用正态分布的方法进行计算。
计算方法涉及样本比例、样本量和置信水平，利用正态分布的
分布函数得出置信区间的上限和下限。
3. 对于回归系数的95%置信区间，可以使用线性回归模型的置
信区间计算方法。
这通常涉及到回归系数的估计值、标准误差、自
由度和置信水平，利用 t 分布或者正态分布得出置信区间的上限和
下限。
总的来说，计算95%置信区间的方法需要根据具体的统计模型和数据类型进行选择，并且需要考虑到置信水平、样本量、参数估计等因素。
在实际应用中，可以使用统计软件（如R、Python、SPSS等）来进行置信区间的计算，以确保计算的准确性和可靠性。
95计算规则
95计算规则【实用版】目录1.95 计算规则的概述2.95 计算规则的具体内容3.95 计算规则的应用实例4.95 计算规则的优缺点分析5.95 计算规则的实际应用建议正文一、95 计算规则的概述95 计算规则，是一种广泛应用于数据分析、项目管理和风险评估等领域的计算方法。
它的核心理念是，将所有不确定性因素转化为一个可量化的数值，以便更好地进行决策。
该规则起源于 20 世纪 90 年代，经过多年的发展和完善，现已成为一种重要的数据处理工具。
二、95 计算规则的具体内容95 计算规则主要包括以下几个方面：1.数据收集：收集与问题相关的所有数据，包括历史数据、专家意见和现场考察等。
2.数据整理：将收集到的数据进行清洗、筛选和归一化处理，以便后续计算。
3.概率分布：对整理后的数据进行概率分布分析，常用的分布有正态分布、三角分布和贝叶斯分布等。
4.计算得分：根据概率分布和预先设定的权重，计算每个因素的得分。
5.综合评估：将得分相加，得到最终的评估结果。
三、95 计算规则的应用实例以项目管理为例，假设有一个新项目，其成功率受技术难度、团队合作和市场环境等因素影响。
通过 95 计算规则，可以得出该项目成功的概率，从而为项目决策提供依据。
具体操作如下：1.收集与项目成功相关的数据，如历史项目成功率、团队成员能力评分和市场调查报告等。
2.对数据进行整理，得到有效的概率分布。
3.根据概率分布和权重，计算每个因素的得分。
例如，技术难度得分为 0.6，团队合作得分为 0.3，市场环境得分为 0.1。
4.将得分相加，得到项目成功的概率，如 0.6+0.3+0.1=0.95。
四、95 计算规则的优缺点分析95 计算规则的优点在于，可以将复杂的不确定性因素简化为一个可量化的数值，便于决策者理解和操作。
同时，该规则具有较强的适应性，可以应用于多种领域。
然而，95 计算规则也存在一定的局限性。
首先，它依赖于历史数据和专家意见，如果这些数据存在偏差，计算结果也将受到影响。
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a
k 0
r
k
yn k h
k 1
r
k f nk
其中, f nk f ( xnk , ynk )(k 1,0,1,..., r ).
当 10 时，为隐式公式；1=0 则为显式公式。
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构造线性多步法的主要方法：数值积分法和泰 勒展开法。 基于数值积分的构造法 将 y f ( x, y ) 在 [ xn r , xn 1 ] 上积分，得到
2019/1/30
5
若积分
xn1
xn1
xnr
y' ( x)dx 用节点
xn , xn1,, xnq
作为积分点，则有
xnr
y' ( x)dx h[a0 y' ( xn ) a1 y' ( xn1) aq y' ( xnq )] hRn1
局部截断误差
q
y' ( xn ) f ( xn , y( xn ))
y( xn1) y( xnr )
xn1
xnr
f ( x, y( x))dx
f ( x, y( x))dx ， 只要近似地算出右边的积分 I r xnr 则可通过 yn 1 yn r I r 近似y(xn+1) 。而选用不同近 似式 Ir，可得到不同的计算公式。
2019/1/30 3
xn1
3 9 y( xn1 ) y( xn2 ) hy( xn1 ) hy( xn1 ) 4 4
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(n 0,1,2,...)
(2) 对右端定积分采用梯形 公式, 略去误差项有 h yn 1 yn （f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )) 2 这就是熟知的梯形公式 。 有望提高精度。 (n 0,1,2,...)
（3）如果对右端用高次插 值多项式代替被积函数 ,则
xn1
( x xn1 )(x xn1 ) ha1 dx 0 x n 2 ( x x n n 1 )(xn xn 1 )
xn1
2019/Байду номын сангаас/30 9
( x xn1)(x xn ) 9 ha2 dx h 4 xn2 ( xn 1 xn 1)(xn 1 xn )
xn1
对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到
欧拉公式和改进欧拉公式，截断误差分别为O(h2) 和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次 的插值多项式来代替f(x,y)，则所得公式的精度会更 高。这就是基于数值积分方法构造线性多步法的起
源思想。
(1) 对右端定积分采用左矩 形公式, 略去误差项有 y ( xn 1 ) y ( xn ) hf ( xn , y ( xn )) 由于每一步得到的y ( xn 1 )只能是近似值, 故有 y n 1 y n hf ( xn , y n ) 这就是著名的Euler 公式。
xn1
7 2 1 y( xn1 ) y( xn1 ) hy( xn ) hy( xn1 ) hy( xn2 ) 3 3 3
Rn 1
xn1
xn1
y ( 4) ( ) 1 4 ( 4) ( x xn )(x xn 1 )(x xn 2 )dx h y ( ) (3)! 3
y( xn1) y( xnr ) h
a f ( x
j j 0
n j , y( xn j )) hRn 1
积分系数 ha j
xn1
xn r
l j ( x)dx
xn1 y ( q 2) ( )
xnr
(q 1)!
q 1 ( x)dx
这是显式格式，q+1阶r+1步格式。
xn1
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( x xn )(x xn2 ) 2 ha1 dx h xn1 ( x 3 n 1 xn )(xn 1 xn 2 )
xn1
( x xn )(x xn1 ) 1 ha2 dx h xn1 ( x 3 n 2 xn )(xn 2 xn 1 )
§ 9.5 线性多步法
单步法计算时只用到前一步的结果，因此只要 给定初值，计算就可以进行下去。但是Euler等单步 法的精度都较低，龙格-库塔方法虽然可以得到较高 的精度，但这类算法为了提高精度，需要增加一些 非节点处的函数值的计算，在每一步都需要先预报 这些非节点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计 算yi+1之前已得出一系列节点上的斜率值，能否利用 这些已知值来减少计算量呢？这就是线性多步法的 设计思想，可以在计算量增加不多的情况下获得较 高的精度。
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例：建立r=2，q=2的隐格式
r=2，积分区间为
xn1
xn2
y' ( x)dx
q=2，隐式格式，积分节点为
xn 1 , xn , xn 1
所以
( x xn )(x xn1 ) 3 ha0 dx h xn2 ( x 4 n 1 xn )(xn 1 xn 1 )
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同样，若以 xn1, xn ,, xnq1 为积分节点，可以 构造r+1步q+1阶隐格式
例：建立r=1，q=2的显式格式
r=1，积分区间为
xn1
xn1
y' ( x)dx
q=2，显式格式，积分节点为 xn , xn 1 , xn 2 所以
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( x xn1 )(x xn 2 ) 7 ha0 dx h xn1 ( x x 3 n n 1 )(xn xn 2 )
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用已知的若干节点处的 y 及 y‘ 值的线性组合来近似 y(xn+1)。线性多步法通式可写为：
yn 1 a0 yn a1 yn 1 ... ar 1 yn r 1 ar yn r
h( 1 f n 1 0 f n 1 f n 1 ... r f n r )