福建省高三上学期摸底数学试卷

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2022-2023学年福建省石狮市永宁中学高三上学期开学摸底考数学试卷含详解

石狮市永宁中学2023届高三摸底考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数32iz i-+=+的共轭复数是A ．2i+B ．2i-C ．1i-+D ．1i --2．已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B = （）A ．{}1x x ≥-B ．{}1x x ≥C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭3．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.84．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（）A ．210-B ．120-C ．120D ．2105．已知向量OA a,OB b,OC c === ，且=3AC BC，则（）A ．1322c a b=-+B ．3122c a b=- C ．1322c a b=- D ．1433c a b =-+ 6．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．13C ．512D ．167．已知函数π()sin(2)4f x x =+，为了得到cos 2y x =的图象，只需把()f x 的图象（）A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π8个单位长度A ．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B ．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．已知函数()e 1x f x =-，则（）A ．()f x 定义域为RB ．()f x 值域为C ．()f x 在(0(0)),f 的切线方程为y x=D ．()f x 与y 11．已知双曲线C 过点(221)，且渐近线为12y x =±，则下列结论正确的是（A ．C 的方程为2214x y -=B ．C 的离心率为C ．C 的焦点到渐近线的距离为1D ．直线2x -12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为周期函数()（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于2×2列联表补充完整，并判断是否有99%优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：2()()()(n ad bc K a b c d a -=+++（1）证明：1B C 平面1A BD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为的坐标为(0,2)-.(1)求E 的方程；(2)若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线BP 22．已知函数()(ln 1ln 2,f x x ax g =-+-(1)求函数()f x 的极值点；(2)当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点，求实数【详解】【点睛】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，注意定义在解题中的应用，属于中档题9．AD【分析】根据折线图，观察图象的变化情况，逐项分析即可得出答案【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，选项图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，选项财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，选项故选：AD 10．AC【分析】对A 、B ：根据指数函数的定义域和值域分析判断；对()()2g x f x x =-，求导，利用导数判断【详解】对A ：()f x 定义域为对B ：∵e 0x >，则()e f x =对C ：∵()e 1x f x =-，则f 可得()(0)0,01f f '==，即切点坐标为故切线方程为y x =，C 正确；对D ：构建()()2g x f x x =-令()0g x '>，则ln 2x >，【点睛】结论点睛：（1）球的任何截面均为圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外心的垂线上17．(1)π3A =(2)2【分析】（1）利用正弦定理，结合角（2）根据三角形面积公式得bc 【详解】（1）由正弦定理得，2sin 故3sin 2A =，又因为锐角ABC （2）由题意得11sin 22S bc A ==由余弦定理得2222cos a b c bc =+-即2222a b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当2b c ==时等号成立，故则()3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(1A ∴()()(13,0,13,1,,0,3,1,0AB AA AD =-=-=--设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z = ，则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴3030x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴3030x z x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则∴11cos ,777m n m n m n⋅<>===⨯⋅ ，。

福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析

厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。

福建省三明市(新版)2024高考数学统编版(五四制)摸底(培优卷)完整试卷

福建省三明市（新版）2024高考数学统编版（五四制）摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“”的否定是（）A．B．C．D．第(2)题如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．第(3)题若直线与圆相交所得的弦长为，则（）A．1B．2C．3D．4第(4)题中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（）A．尺B．尺C．尺D．尺第(5)题函数的值域为（）A．B．C．D．第(6)题若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知，则（）A．B．C．D．第(8)题已知向量，若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线x＝my－1经过椭圆C：的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（）A．椭圆C的短轴长为B．弦的最小值为3C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点D．若，则第(2)题已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（）A．2B．4C．6D．8第(3)题下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表．下列叙述中正确的是（）学生测试序号第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲同学138127131132128135乙同学130116128115126120丙同学108105113112115123班级平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1A．甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平B．乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动C．丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平D．通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____.第(2)题已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则的值为___________.第(3)题的内角的对边分别为，若，则 ________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．(1)求证：；(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．第(2)题已知函数）的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.第(3)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求角；(2)若，设P，Q分别是边AB、BC上的动点（含端点），且．当取得最小值时，求点到直线的距离．第(4)题如图1所示，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面；（2）点在棱上，且满足平面，求几何体的体积.第(5)题某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别频数926655347(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望；(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.。

福建省泉州市五校高三数学上学期摸底联考试题理

福建省泉州五校高三上学期摸底联考数学理试卷第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出分四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A B 为（）A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}2．若是复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（） A ．－2 B ．1 C ．2 D ．1或－23. 在ABC ∆中，假设322,60==︒=AC AB B ，,那么ABC ∆的面积( )A 、3B 、32C 、 332D 、3344．以下命题中，真命题是（）A ．0,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀ C ．12x x +≥ D ．222(),,2a b a b a b R ++≥∈5. 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是（）A B C Ｄ 6．在某种新型材料的研制中，实验人员取得了右边一组实验数据：现预备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）22y x =- B.21(1)2y x =-C.2log y x =D. 1()2x y =x3 4 y127．假设l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，那么以下结论正确的选项是（）A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥8. 如图过拋物线y2＝2px(p ＞0)的核心F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么拋物线的方程为( )A ．=2y x 23B=2y x 3 C ．=2y x 29D ．=2y x 99. 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数 ()200f x -= 1 ()100f x -=3 ()0f x =3 ()100f x += 1 ()200f x +=1关于f 的极小值α﹐试问以下哪个选项是正确的（）A.2010α-<<-B.100α-<<C.010α<<D.1020α<<﹒10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所组成的两个正三角形扣除内部六条线段后能够形成一正六角星﹐如下图的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 别离为原点O 到两个极点的向量﹒假设将原点O 到正六角星12个极点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题共100分）填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题

福建省福州第一中学2023届高三模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前．AC【分析】根据图中的信息可以知道：可同学更靠前，他的阅读表达成绩排名靠后，对确；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠后，故B 错误；根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，所以在甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后，故C 正确；由图可知甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠后，故D 错误.故选：AC.10．AC【分析】根据()()t x P Z x =<结合正态曲线的对称性，可判断A;由(||)()12()P Z x P x Z x P Z x <=-<<=-³可推得其结果为2()1t x -，判断B;根据正态分布的3s 准则可判断C,D.【详解】对于A ，根据正态曲线的对称性可得：()()()1()1()t x P Z x P Z x P Z x t x -=<-=³=-<=-，故A 正确；对于B, 当0x >时，(||)()1()()12()P Z x P x Z x P Z x P Z x P Z x <=-<<=-£--³=-³12[1(2()]2(11))P Z x P t Z x x =--<=<=-- ，故B 错误；对于C ，D ，根据正态分布的3s 准则，在正态分布中s 代表标准差，m 代表均值,x m =即为图象的对称轴，根据3s 原则可知X 数值分布在()m s m s -+，中的概率为0.6826，是常数，故由(||)()P X P X m s m s m s -<=-<<+可知，C 正确，D 错误，故选：AC 11．ACD【分析】利用三角形的面积公式，可先推出B 选项是正确的，对于AC 选项，结合抛物线n【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

《精编》福建高三数学四校联考摸底试卷理新人教A版.doc

—学年高三年第一次统一考试试卷〔理科数学〕考试时间：120分钟试卷总分：150分本试卷分第I 卷和第II 卷两局部第I 卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1、集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B xx x =≤∈，那么A B =A.()0,2B.[]0,2C.{}0,2D.{}0,1,22、设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 那么目标函数y x z +=4的最大值为〔〕A. 4 B .11 C . 12 D . 143、以下命题：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥； ④“21x ≠〞的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-〞. 中,其中正确命题的个数是〔〕A. 0 B.1 C. 2 D. 34、要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)32sin(π-=x y 的图象〔〕A 、向左平移B 、向右平移C 、向左平移D 、向右平移 5、函数2()(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，那么方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根〔〕A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)6、要完成以下两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购置力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。

宜采用的抽样方法依次为〔〕 A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法永春一中培元中学 π65π65π125π1257、α，β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，以下条件：①a //α、b β⊂；②a ⊥α、b β//；③a ⊥α、b β⊥；④a //α、b β//且a 与α的距离等于b 与β的距离，其中是a ⊥b 的充分条件的有〔〕 A ．①④ B ．① C ．③ D ．②③ 8、在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，222b c a bc +-=, 222sin sin sin A B C += . 那么角B 为〔〕A4π B 6π312CDππ９、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A ．()1,0 B ．()0,∞- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, D ．()1,∞-１０、一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是〔〕A ．321- B ．26 C ．4 D ．5第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

福建省德化一中、安溪一中2021届高三数学摸底考试试卷理(1)

福建省德化一中、安溪一中2021届高三数学摸底考试试卷理考试科目：理科数学总分值：150分，考试时刻：120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1．已知i 为虚数单位，那么 2(1)i -的值等于A. 22i -B.22i +C.2i -D.2i 2．“sin 1x =”是“cos 0x =”的 A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件3．1x e dx ⎰的值等于A.eB.1e -C. 1e -D. 1(1)2e - 4．已知,a b ∈+R 且1a b +=，那么ab 的最大值等于A ．1B ．14C ．12D ．225．等差数列{}n a 的前n 项和n S 知足2n S n =，那么其公差d 等于A ．2B ．4C ．±2D ．±46．某流程图如下图，现输入如下四个函数，那么能够输出的函数是A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()x f x x= D ．2()f x x =7．已知(),x y 知足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么1y k x =+的最大值等于A ．12B ．32C ．1D ．148．已知一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体中彼此垂直的棱共有A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对9．已知F 1，F 2别离是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右核心，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，假设双曲线的离心率为5，那么21cos PF F ∠等于A ．35B ．34C ．45D ．5610．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，那么角θ知足的条件是A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esin θ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分． 11．在6(1)x +的展开式中，含4x 的项的系数是___． 12．已知22222222221111123,12235,123347,1234666=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯+++14596=⨯⨯⨯，那么22212n +++=___（其中n ∈*N ）． 13. 某次测量发觉一组数据(,)i i x y 具有较强的相关性，并计算得1y x =+，其中数据0(1,)y 因书写不清，只记得0y 是[]0,3任意一个值，那么该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值） 14．已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边别离为a b c 、、．假设△ABC 的面积222S b c a =+-，那么tan A 的值是___．15．概念在R 上的函数()f x ，其图象是持续不断的，若是存在非零常数λ（λ∈R ），使得对任意的x ∈R ，都有()()f x f x λλ+=，那么称()y f x =为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，以下命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）． ①假设函数()y f x =是倍增系数2λ=-的倍增函数，那么()y f x =至少有1个零点； ②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数1λ=；③函数()xf x e -=是倍增函数，且倍增系数(0,1)λ∈.俯视图左视图主视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出必要文字说明、证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值13分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π。

福建省普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

福建省普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π2．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（）A 6B ．34C ．12D 33．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．643B ．64C ．323D ．325．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-6．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．37．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（）A ．9B ．8C ．7D ．68．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥9．已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()e ln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（） A ．163i B ．6i C ．203i D ．2012．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年福建省福州市高三上学期12月第一次调研模拟数学试题【含答案】

福州市2022-2023学年高三上学期12月第一次调研模拟数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合==+A x y x |lg 3}{)(，=≥B x x 2}{，则下列结论正确的是 A ．-∈A 3B ．∉B 3C ．I =A B BD ．⋃=A B B2．如果复数-+-+m m m m 356i 22)()(是纯虚数，则实数m 的值为A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．若函数f x )(同时满足：(1)对于定义域内的任意x ，有+-=f x f x 0)()(；(2)对于定义域内的任意x x ,12，当≠x x 12时，有-<-x x f x f x 01212)()(，则称函数f x )(为“理想函数”.给出下列四个函数：①=f x x 2)(；②=-f x x 3)(；③=-x f x x 1)(；④⎩<⎨=-≥⎧x x f x x x ,0,022)(. 其中是“理想函数”的序号是 A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④4．已知函数=-ωϕf x x ()cos()<<<<ωϕπ(04,0)的部分图象如图所示，=f (0)cos2，则下列判断正确的是A ．函数f x ()的最小正周期为4B ．函数f x ()的图象关于直线=-πx 61对称C ．函数f x ()的图象关于点+π4(1,0)对称D ．函数f x ()的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象 5．设､､a b c 都是正数，且==a b c 469，则下列结论错误的是（）A ．c b a <<B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-6．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面ABOD ，//AB OD ，OB OD ⊥，且212AB OD ==，AD =CD 与AB 所成角为30︒，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．21πB ．42πC ．48πD ．84π7．已知()sin 23sin αββ-=-，且ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，其中Z k ∈，则()ta n ta n αβα-=（） A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知,R a b ∈，则下列不等式成立的是（）A ．2a b+≥ B ．2a b +≤C ．22ab a ba b +≤+ D ．222a b ab +≤10．在锐角三角形ABC V 中，A 、B 、C 是其三内角，则下列一定成立的有（） A ．()sin sin sin A B A B +>+ B ．sin cos A B > C ．sin cos B A >D ．sin sin 2cos A B C +<11．在ABC V 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，能确定C 为锐角的有（） A ．0AC CB ⋅>u u u r u u u rB ．222a b c +>C ．A 、B 均为锐角，且sin cos A B >D ．tan tan tan 0A B C ++>A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，直三棱柱111ABC A B C -，60ABC ∠=︒，2AC =P 是侧面1ACCA 内一点．当AB BC +最大时，过B 、1B 、P 三点的截面面积的最小值为______．14．若函数y ＝12sin ωx 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是________.15．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为_________.16．已知函数21,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数[]()1y f f x =+的零点个数是______个.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在△ABC 中，根据下列条件，解三角形．（1）A ＝60°，ca（2）abB ＝45°. 18．已知函数()22sin cos f x x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位得到()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间．19．如图，要在一块矩形空地ABCD 上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，且点E ､F ､G ､H 都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知(2)AB a a =>，2BC =，且AE AH CF CG ===.设AE x =，绿地EFGH 的面积为y.（1）写出y 关于x 的函数关系式()y f x =，并写出这个函数的定义域；（2）记()y f x =的最大值为()g a ，求()g a 的表达式.20．在多面体111ABCC A B 中，四边形11ABB A 为菱形，160B BA ∠=o ，平面11ABB A ⊥平面ABC ，1112BC B C =u u u r u u u u r，AC BC ⊥，1AB B C ⊥.（1）若O 是线段AB 的中点，证明：平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）求二面角1C AC B --的正弦值.21．已知各项均为正数的两个数列{},{}n n a b 满足22112,n nn a a a +-=+2212log log 1,n n n a b b +=++且11 1.a b ==（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,,n n S T 求使得等式：236m m i S a T +-=成立的有序数对*(,)(,).m i m i N ∈22．已知函数()32f x ax bx =++在2x =-处取得极值-14.(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (3)求函数在[]3,3-上的最值.参考答案：1．C2．A3．C4．C5．B6．D7．B8．A9．BD10．BC11．BCD12．BCD13．314．[－4,0)15．116．417．（1）30,90,C B b=︒=︒=2）60,75,A C c=︒=︒=或120,15,A C c=︒=︒=【解析】利用正弦定理、余弦定理，即可求解三角形.（1）由正弦定理可得sin sina cA C=,所以sin1sin2c ACa===，c a<Q，C A∴<30C∴=︒, 90B=︒b∴（2）Q abB＝45°sin sin a bA B∴=，sin sin a BA b∴==0180A <<︒Q60A ∴=︒,75C =°或120,15A C =︒=︒,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即2232c =+-整理得：210c +=，解得cc =所以60,75,A C c =︒=︒=120,15,A C c =︒=︒=本题主要考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论的思想，属于中档题.18．（1）π；（2）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期；（2）利用三角函数图象变换规律得出()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得函数()y g x =的单调递增区间．（1）())22sin cos sin 2cos 21f x x x x x x =-=+Qsin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==；（2）将函数()y f x =的图象右移6π个单位，得到函数()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由()2222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈．函数()y g x =的单调递增区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．本题考查正弦型三角函数的最小正周期、单调区间的求解，同时也考查了利用三角恒等变换思想化简三角函数解析式以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19．（1）2()2(2)f x x a x =-++，其定义域为{|02}x x <≤；（2）2(2),26()824,6a a g a a a ⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩. （1）由题意可知212AEH CFG S S x ==△△，1()(2)2BEF DGH S S a x x ==--△△，而绿地EFGH 的面积等于矩形空地ABCD 的面积减去,,,AEH CFG BEF DGH V VV V 的面积，从而可得()y f x =的函数关系式；（2）由于2()2(2)f x x a x =-++的对称轴为24a x +=，所以分224a +<和224a +≥两种情况讨论求函数的最值（1）212AEH CFG S S x ==Q △△，1()(2)2BEF DGH S S a x x ==--△△. 22222()(2)2(2)ABCD AEH BEF y S S S a x a x x x a x ∴=--=----=-++△△.2()2(2)f x x a x ∴=-++，其定义域为{|02}x x <≤.（2）当224a +<即6a <时，则24a x +=时，y 取最大值2(2)8a +. 当224a +≥即6a ≥时，在(0,2]上是增函数，则2x =时，y 取最大值24a -.综上所述，2(2),26()824,6a a g a a a ⎧+<<⎪=⎨⎪-≥⎩ 20．（1）证明见解析；（2（1）连接1AB 、1OB 、OC ，可知1ABB V 为等边三角形，利用三线合一的性质可得1B O AB ⊥，利用面面垂直的性质定理可得出1B O ⊥平面ABC ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）证明出AB OC ⊥，然后设2AB =，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、1OB 所在直线分别为、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角1C AC B --的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得二面角1C AC B --的正弦值. （1）连接1AB 、1OB 、OC ，如图所示：Q 四边形11ABB A 为菱形，1AB BB ∴=，160B BA ∠=o Q ，则1ABB V 为等边三角形，O Q 为AB 的中点，1B O AB ∴⊥，Q 平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A I 平面ABC AB =，1B O ⊂平面11ABB A ，1B O ∴⊥平面ABC ，1B O ⊂Q 平面1B OC ，因此，平面ABC ⊥平面1B OC ；（2）由（1）可知，1B O AB ⊥，1AB B C ⊥Q ，111B O B C B =I ，AB ∴⊥平面1B OC ，OC ⊂Q 平面1B OC ，OC AB ∴⊥，O Q 为AB 的中点，则AC BC =，AC BC ⊥Q ，则ABC V 是等腰直角三角形，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、1OB 所在直线分别为、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A -、()1,0,0B 、()0,1,0C、(1B ， ()1,1,0BC =-uu u r，则()1122,2,0B C BC ==-u u u u r u u u r，(1AB =u u u r ，(1111AC AB B C =+=-u u u u r u u u r u u u u r ，()1,1,0AC =u u u r，设平面1ACC 的法向量为(),,m x y z =u r，由100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v，得020x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，可得1y =-，z = 所以，平面1ACC的一个法向量为(1,m =-u r，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =r，设二面角1C AC B --的平面角为θ，则θ为钝角，cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅u r ru r r u r r，所以，cos θ=，sin θ=因此，二面角1C AC B --本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（1）证明见解析（2）12n n b -=（3）(9,6)【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =．（1）由22112,n n n a a a +-=+即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=，故数列{}n a 是公差为1的等差数列．（2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=，所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n n b -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m i S a T +-=，得(1)236212i m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2i m m +-=．则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …．又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6i =．满足题意数对为(9,6).关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，24n nb b +=这种类型的递推关系，注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊化，特殊性，提供方向. 22．(1)1,12a b =-= (2)940x y -+= (3)函数在[3,3]-上的最小值为(2)14f -=-，最大值为(2)18f =.(1)求导，利用在2x =-处的导数值为0，并且(2)14f -=-，解之检验即可求解；(2)结合（1）的结果，求出函数在1x =处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解； (3) 结合（1）的结果，列出在[3,3]x ∈-时，随的变化，(),()f x f x '的变化情况，进而即可求解.（1）因为函数()32f x ax bx =++，所以2()3f x ax b '=+，又函数在2x =-处取得极值14-.则有(2)14(2)0f f -=-⎧⎨-='⎩，即82214120a b a b --+=-⎧⎨+=⎩，解得：112a b =-⎧⎨=⎩，经检验，1,12a b =-=时，符合题意，故1,12a b =-=.（2）由（1）知：函数3()122f x x x =-++，则2()312f x x '=-+，所以(1)9f '=，又因为(1)112213f =-++=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为139(1)y x -=-，也即940x y -+=.（3）由（1）知：函数3()122f x x x =-++，则2()312f x x '=-+，7页令()0f x '=，解得：122,2x x =-=，在[3,3]x ∈-时，随的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表所示：由表可知：当2x =-时，函数有极小值(2)14f -=-；当2x =时，函数有极大值(2)18f =；因为(2)14(3)11f f -=-<=，(2)18(3)7f f =>-=-，故函数在[3,3]-上的最小值为(2)14f -=-，最大值为(2)18f =.。

2023-2024学年福建省厦门市高三上册期末教学质量数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年福建省厦门市高三上学期期末教学质量数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数，则（）2i1i z =+z z -=A. 2 B. C. D. 2i-2-2i【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，故，2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-1i z =-2i z z -=故选：D.2. 已知集合，，则（）{}2680A x x x =-+>{}30B x x =-<A B = A. B. C. D. (2,3)(3),-∞(,2)-∞(4,)+∞【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【详解】因为或，，所以.{4A x x =>}2x <{}3B x x =<{}2A B x x ⋂=<故选：C.3. 已知向量，，若，则（）(3,5)a = (1,21)b m m =-+ //a b m =A. 8 B. C. D. 8-213-87-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【详解】因为，所以，所以.//a b3(21)5(1)m m +=-8m =-4. 已知，，，则（）0.3log 2a =0.23b =0.30.2c =A. B. C. D. b c a >>b a c>>c b a>>c a b>>【答案】A 【解析】【分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.【详解】因为，，，所以.0.30.3log 2log 10a =<=0.20331b =>=0.30.2(0,1)=∈c b c a >>故选：A5. 已知函数，要得到函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，只需将的图象（）2()sin 22cos 1g x x x =-+()f x A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度π83π4C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度3π43π8【答案】D 【解析】【分析】先把，的解析式都化成或的形()f x ()g x ()sin y A x ωϕ=+()cos y A x ωϕ=+式，再用图象的平移解决问题.【详解】()πππππcos sin 2244442f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，()2π3πsin 22cos 1sin 2cos 22244g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故将的图象向右平移个单位长度可得，()fx 38π3π3π2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为的图象.()g x6. 抛物线的焦点为F ，M 是抛物线上的点，为坐标原点，若2:2(0)C y px p =>C O 的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（）OFM △C 36πp =A. 4 B. 8C. 6D. 10【答案】B 【解析】【分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案.【详解】因为的外接圆与抛物线的准线相切，OFM △C 所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.OFM △因为圆的面积为，所以圆的半径为6，36π又因为圆心在的垂直平分线上，，OF ||2p OF =所以的外接圆的圆心到准线的距离，可得.OFM △624p p +=8p =故选：B.7. 已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角ABC D AC BD BCD △为，则三棱锥外接球的表面积为（）A BD C --π3C ABD -A. B.C. D.52π52π3208π3103π3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得.【详解】在三棱锥中，平面C ABD -,,,,BD AD BD CD AD CD D AD CD ⊥⊥=⊂ ，ACD 由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，A BD C --π34AD CD ==ACD O '则外接球的球心为，球半径为，2πsin 33O D AD '==C ABD -O R 则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，令线段的OO '⊥ACD //OO BD 'O BD BD 中垂面交于，BD E 则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩OE BD ⊥O D BD '⊥//OE O D'OEDO '形，而，12==DE BD 222222523R OD OE DE ==+=+=所以三棱锥外接球的表面积.C ABD -22084ππ3S R ==故选：C8. 在数列中，，且，当时，{}n a 11a =1n n a a n +=2n ≥，则实数的取值范围为（）1231112n n na a a a a λ++++≤+- λA. B. C. D. (,1]-∞[1,)+∞(0,1](,4]-∞【答案】A【解析】【分析】先根据递推关系得到，把条件转化为，从而可得答案.111n n n a a a +-=-22λ≤【详解】因为，，所以，且当时，，1n n a a n +=11a =21a =2n ≥11n n a a n -=-所以，所以，111n n n n a a a a +--=111n n na a a +-=-所以3142531123111n n na a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= .12112n n n n a a a a a a ++--++=+-因为，1231112n n na a a a a λ++++≤+- 所以，所以，故.1122n n n n a a a a λ+++-≤+-22λ≤1λ≤故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（）A. 若，则0a b <<22a ab b>>B. 若，则的最小值为2x ∈R 22122x x +++C. 若，则的最大值为22a b +=22a b +D. 若，则(0,2)x ∈1122x x+≥-【答案】AD 【解析】【分析】利用作差法比较大小判断A ，利用基本（均值）不等式判断BCD ，要注意“一正二定三相等”.【详解】因为，所以，2()0a ab a a b -=->2a ab >因为，所以，所以，故A 正确；2()0=->-b a b ab b 2ab b >22a ab b >>因为的等号成立条件不成立，所以B 错误；221222x x ++≥+22122x x +=+因为，所以，故C 错误；222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭222a b +≥因为，11111121(2)2(22)2222222x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立，所以D 正确.112x x =-1x =故选：AD10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号12345678910早睡群体睡眠指数65687585858588929295晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小【答案】BD 【解析】【分析】由样本数据可判断A ；样本数据的集中程度可判断D ；由众数的概念可判断B ；由百分位数的概念可判断C.【详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为，所以C 错误；6668672+=由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确.故选：BD.11. 已知点，，动点在圆：上，则（）()0,5A ()5,0B -P C ()()22348x y ++-=A. 直线截圆AB C B. 的面积的最大值为15PAB C. 满足到直线的点位置共有3个AB P D. 的取值范围为PA PB ⋅22⎡---+⎣【答案】BCD 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【详解】对于A ，因为，，所以直线的方程为，圆心()0,5A ()5,0B -AB 50x y -+=到直线的距离为，又因为圆的半径()3,4C -ABd C r =所以直线截圆所得的弦长为A 错误．AB C2=对于B ，易知的面积最大，只需点到直线的距离最大，而点AB =PABP AB 到直线的距离的最大值为，P AB r d +==所以的面积的最大值为，B 正确．PAB1152⨯=对于C ，当点在直线上方时，点到直线的距离的范围是，即P AB PAB (0,r ，由对称性可知，此时满足到直线的点位置有2个．(AB P 当点在直线下方时，点到直线的距离的范围是，即，此时P AB P AB (0,r (满足到直线的点位置只有1个．AB P 综上所述，满足到直线的点位置共有3个，C 正确．AB P 对于D ，由题意知．()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 又因为，，，所以，，()0,5A ()5,0B -()3,4C -()3,1CA =()2,4CB =--故，．()()321410CA CB ⋅=⨯-+⨯-=-()1,3CA CB +=-设点满足，()00,D x y CA CB CD += 则，故解得即，．()03,4CD x y =+-0031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩002,1,x y =-⎧⎨=⎩()2,1D -CD = 所以()28cos ,10PA PBPC PC CA CB CA CBPC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-．2,2,PC CD PC CD =-+=-+又因为，,PC CD ⎡∈-⎣所以，即的取值范围为，2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣PA PB ⋅ [2--，D 正确．2-+故选：BCD12. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数.R ()f x (2)()(2026)f x f x f ++=(1)1f x +-则（）A. B. (1)(3)2f f +=(2023)(2025)(2024)f f f +=C. 是与的等差中项D.(2023)f (2022)f (2024)f 20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由，可推出的周期为4，由是奇函数(2)()(2026)f x f x f ++=()f x (1)1f x +-可推出，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项.(1)1f =【详解】因为，(2)()(2026)f x f x f ++=所以，(4)(2)(2026)f x f x f +++=两式相减得，(4)()f x f x +=所以的周期为4.()f x 因为是奇函数，(1)1f x +-所以，所以，(1)1(1)1f x f x -+-=-++(1)(1)2f x f x -+++=即，()(2)2f x f x -++=令，得.=1x -(1)1f =因为，(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==令，得，2x =(4)(2)(2)f f f +=所以，即.(4)0f =(0)0f =因为，()(2)2f x f x -++=令，得，0x =(0)(2)2f f +=所以，(2)2f =所以，(2)()2f x f x ++=所以，故A 正确.(3)(1)2f f +=因为，()(2)2f x f x -++=所以，即，所以.(1)(3)2f f -+=(3)(3)2f f +=(3)1f =因为，，所以B 错误.(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=(2024)(0)0f f ==因为，，(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=(2023)(3)1f f ==所以，(2022)(2024)2(2023)f f f +=所以是与的等差中项，故C 正确.(2023)f (2022)f (2024)f 因为，(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=所以，故D 正确.20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑故选：ACD【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析选项即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则21()2e 2x f x x x a =--(0,(0))f x _________.=a 【答案】2-【解析】【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】由题意得，()2e x f x x a '=--由函数的图象在点处的切线平行于轴，21()2e 2x f x x x a =--(0,(0))f x 可得，得，(0)20f a '=--=2a =-故答案为：-214. 如图，在长方体中，，，异面直线与所成角1111ABCD A B C D -8AB =6AD =BD 1AC，则_________.1CC =【答案】【解析】【分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角.【详解】连接，交于点，取的中点，连接，.AC DB O 1CC E OE BE 因为，所以与所成的角为（或其补角）.1//AC OE BD 1AC ∠BOE 令，在中，由，，得.EC x =BEO △8AB =6AD =5OB =又，，，OE =BE =cos BOE ∠=由余弦定理得，解得2222222OE OB BE OE OB +-==⋅x =.1CC =故答案为：15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.【答案】60【解析】【分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.【详解】由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，24C 6=2144C C 10+=因此该套餐的供餐方案共有种.61060⨯=故答案为：6016. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为_________.2222:1(0)x y C a b a b +=>>22273x y b +=C 【答案】##0.512【解析】【分析】根据蒙日圆的定义得出点一定在其蒙日圆上，从而可得离心率.(,)a b 【详解】由题意可知点一定在其蒙日圆上，所以，(,)a b 22273a b b +=所以，故椭圆的离心率为.234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭C 12c e a ===故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前项和满足.{}n a n n S 210n n S a +-=（1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.27log nn b a =11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）91n n T n =+【解析】【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，从而得出数列为等n a n S 13n n a a -={}n a 比数列，即可求出结果；（2）由（1）得出，从而得出，再利用裂项相消法即可求出3n n b =-111191n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭结果.【小问1详解】因为，所以当时，，210n n S a +-=1n =113a =当时，，两式相减得，又，2n ≥11210n n S a --+-=13n n a a -=1103=≠a 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，{}n a 1313则.1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】因为，27271log log (33n n n nb a ===-所以，119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以.1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g ）服从正M 态分布，且.()2250,N σ(248)0.1P M <=（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；248g （2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的K K 248g ~252g 包数为，且，求的最小值.X ()320D X >K 【答案】（1） 0.243（2）2001【解析】【分析】（1）根据正态分布的性质求出的值，再结合二项分布的概率计算，即(248)P M ≥可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出的值，确定，结合正态(248252)P M <<~(,0.8)X B K 分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.【小问1详解】由题意知每包牛肉干的质量（单位：g ）服从正态分布，且M ()2250,N σ，(248)0.1P M <=所以，(248)10.10.9P M ≥=-=则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为.223C 0.90.10.243⨯⨯=【小问2详解】因为，所以，(248)0.1P M <=(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=依题意可得，所以，~(,0.8)X B K ()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=因为，所以，()320D X >0.16320,2000K K >>又为正整数，所以的最小值为2001.K K 19. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，ABCa =.πsin sin 3a Bb A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）作角A 的平分线与交于点，且，求.BCD AD =b c +【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得，再运用余弦定理b c cb +=解方程即得.【小问1详解】因，由正弦定理可得：πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1sin sin sin sin 02B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭即.1sin sin 02B A A ⎫-=⎪⎪⎭因，故，即，(0,π)B ∈sin 0B≠1sin 2A A=tan A =因，故.(0,π)A ∈π3A =【小问2详解】因为为角平分线，所以，AD DAB DAC ABC S S S += 所以.111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC⋅∠+⋅∠=⋅∠因，，，π3BAC ∠=6πDAB DAC ∠=∠=AD =AB AC AB AC +=⋅即，所以.AB AC AB AC +=⋅b c cb +=又由余弦定理可得：，2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-把，分别代入化简得：，a =b c cb +=2()3()180b c b c +-+-=解得：或（舍去），所以.6b c +=3b c +=-6b c +=20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，P ABCD -ABCD PO ⊥ABCD O 为的中点，平面．E PC //OE PAD（1）证明：；PC PD =（2）若，，与平面所成的角为60°，求平面与24==AD AB OC OD ⊥PC ABCD PBC 平面夹角的余弦值．PCD 【答案】（1）证明见解析（2）．17【解析】【分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得，线线//OF AD 垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，，，因为为的中点，所以．CD F EF PF OF E PC //EF PD 又平面，平面，所以平面．EF ⊄PAD PD ⊂PAD //EF APD 因为平面，，平面，//OE PAD OE EF E = ,OE EF ⊂OEF 所以平面平面．//OEF PAD 因为平面平面，平面平面，所以．ABCD ⋂OEF OF =ABCD ⋂PAD AD =//OF AD 因为，所以．AD CD ⊥OF CD ⊥由平面，平面，可得．PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD PO CD ⊥又，平面,所以平面，平面,PO OF O ⋂=,PO OF ⊂POF CD ⊥POF PF ⊂POF 从而．PF CD ⊥因为是的中垂线，所以．PF CD PC PD =【小问2详解】因为平面，所以与平面所成的角为，PO ⊥ABCD PC ABCD 60PCO ∠=︒又，,，所以．OC OD ⊥OC OD =2AB CD ==OC OD PO ====作，垂足为，分别以，，的方向为，，轴的正方向，OG BC ⊥GOGOF OP x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，()1,1,0D -()1,3,0B -()1,1,0C (P ，，．()0,4,0BC =(1,1,PC =()2,0,0DC =u u u r设平面的法向量为，PBC ()111,,m x y z =则令，得．111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩11z=)m = 设平面的法向量为，PCD ()222,,x n y z =则令．222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩2y =()n = 所以，即平面与平面夹角的余弦值为．1cos ,7m n mn nm ⋅===PBC PCD 1721. 已知双曲线，且其焦点到渐近线的距离为1.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>（1）求的方程；C （2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标l C C ,PQ O 原点，证明：的面积为定值.OPQ △【答案】（1）2216x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解.（2）当直线的斜率存在时，不妨设，且.动直线与相切可得l :l y kx m =+k ≠l C 即，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合Δ0=2261k m =+即可得解.2261k m =+【小问1详解】设右焦点为，一条渐近线方程为，(),0F c 0bx ay -=.1b ==因为，所以.222c e c a b a===+a c ==故的方程为.C 2216x y -=【小问2详解】当直线的斜率不存在时，的方程为，此时.ll x=12,22OPQ PQ S ==⨯= 当直线的斜率存在时，不妨设，且.l :l y kx m =+k ≠联立方程组得.22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2221612660k x mkx m ----=由，得.()()2222Δ144416660m k k m=+-+=2261k m =+联立方程组，得.y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩x=不妨设与的交点分别为，则l ,y x yx ==,P QPx =同理可求，所以Q x =Q PQ x=-=因为原点到的距离，所以O l d =12OPQS PQ d =⋅因为，所以.2261k m =+OPQS =故.OPQ △22.已知函数，.ln ()x af x x +=[1,)x ∈+∞（1）讨论的单调性.()f x （2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求1x 2x 12x x >()12121212x x x x x x x x -=出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.1x 2x 【答案】（1）答案见解析（2），14x =22x =【解析】【分析】（1）求得，分，讨论的单调性.()f x '1a ≥1a <()f x （2）将问题转化为，根据的值域确定，()121212ln ln ln x x x x x x -=+ln ()x f x x =122x x -=分别就分析是否满足题意.13,4,x =⋅⋅⋅【小问1详解】，21ln ()a xf x x '--=当时，，在上单调递减.1a ≥()0f x '≤()f x [1,)+∞当时，令，得.1a <()0f x '=1e a x -=，，则在上单调递增，)11,e ax -⎡∈⎣()0f x '>()f x )11,e a-⎡⎣，，则在上单调递减.()1e ,a x ∞-∈+()0f x '<()f x ()1e,a∞-+【小问2详解】由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则0a =ln ()xf x x =[1,e)(e,)+∞.11()(e)e 2f x f ≤=<因为，所以，即，121x x >≥()12211212x x x x x x x x -=()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+即，()121212ln ln ln x x x x x x -=+因为，为正整数，所以.1x 2x 121x x -≥当时，，121x x -=21121x x x x =因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.21x ≥12x ≥21121x x x x >21121x x x x =当时，因为，，所以，121x x ->11ln 12x x <22ln 12x x <()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<所以，得，即.12e x x -<122x x -=1212ln ln ln 2x x x x =+经检验，当，时，不符合题意，21x =13x =当，时，符合题意，22x =14x =当，时，因为，所以，23x =15=x 53153037532763528<==⨯ln3ln5ln 235+<当时，，，24x ≥11ln ln 6ln565x x ≤<22ln ln 4ln343x x ≤<所以.1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<综上，仅存在，满足条件.14x =22x =【点睛】关键点睛：本题关键点在于根据的值域确定的范围，再根据ln ()xf x x =12x x -为正整数得，从而就的取值讨论即可.12,x x 122x x -=12,x x。

福建省数学高三上学期理数摸底考试试卷

福建省数学高三上学期理数摸底考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题. (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·浙江期末) 已知集合，，则 =（）A .B .C .D .2. （2分）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A . 6B . -6C . 5D . -43. （2分） (2019高一下·柳江期中) 如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·莆田模拟) 已知双曲线 + =1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A .B . 5C . 7D .5. （2分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 在区间[-3，9]上任取一个数x ，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m的值为（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）(2019·唐山模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）函数的最小正周期是（）A .B .C . 2πD . 4π8. （2分）已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·上饶模拟) 执行如图所示的程序框图，如果输出T=6，那么判断框内应填入的条件是（）A . k＜32B . k＜33C . k＜64D . k＜6510. （2分）已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（）A .B .C . 1D . 211. （2分）(2019·长春模拟) 定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·上高模拟) 已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=±3x二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·蚌埠期中) 在中，若，，，则________．14. （1分） (2016高一上·宜昌期中) 若xlog23=1，则3x+9x的值为________15. （1分） (2016高二下·新洲期末) （x+ ）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．16. （1分） (2020高三上·湛江月考) 三棱锥的底面是一个边长为的等边三角形，若，则三棱锥外接球的表面积为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2019高二上·浙江期末) 已知数列满足：， .（Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设数列的前项和为，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.18. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E 是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19. （10分） (2019高二上·铜陵月考) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）24536（单位：）2.54 4.536附：问归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .参考数据：， .（1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与x，y的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.20. （15分） (2016高二上·湖州期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（，）在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2 ，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△AOB的面积为S．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求△AOB面积S的取值范围．21. （10分） (2017高三上·珠海期末) 知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．（1）判断函数 f （x）的单调性；（2）若函数 f （x）有两个极值点x1 ， x2 ，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．22. （5分） (2017高二下·潍坊期中) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2 距离的最小值．23. （10分） (2015高三上·厦门期中) 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．参考答案一、选择题. (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

2023届福建省厦门市高三上学期12月第一次质量检测模拟考数学试题(含答案)

厦门市2023届高中毕业班第一次质量检测模拟考数学试卷满分150分考试时间120分钟考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1A x x =≥，{}260B x x x =--<，则()RA B 等于（）A.{}21x x -<<B.{}22x x -<<C.{}23x x ≤<D.{}2x x <2.已知函数()12log ,03,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则()4f f ⎡⎤⎣⎦的值为（） A.19- B.9- C.19D.93.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的（） A.样本中的女生数量多于男生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科4.如图，ABCD是边长为点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将ABE △，ECF △，FDA △分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A.6πB.12πC.18πD.5.已知()2cos 221xxf x ax x =+++，若23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（） A.2-B.1-C.0D.16.数列{}n a满足18a =，233a =，()0n a >，()22221122112n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则2017a =（）A.64B.64C.132 D.33327.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点()2,3-，则圆C 的方程为（）A.()()22122x y ++-= B.()()22115x y ++-= C.()()221117x y +++=D.()()221226x y +++=8.已知函数()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（） A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.设1z ，2z 为复数，且12z z ≠，下列命题中正确的是（） A.若12z z =，则12z z =B.若12i z z =，则1z 的实部与2z 的虚部互为相反数 C.若12z z +为纯虚数，则12z z -为实数D.若12z z R ∈，则1z ，2z 在复平面内对应的点不可能在同一象限10.四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（）A.四人中间概率与抽取顺序无关B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为23C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥D.事件甲中奖与事件乙中奖互相独立11.已知函数()22sin cos f x x x x =-，则下列结论中正确的是（） A.()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭B.()f x 的图象是由2sin 2y x =的图象向右移6π个单位得到的 C.()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.函数()()g x f x =[]0,10内共有7个零点12.在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则下列结论中正确的是（）A.存在某个位置，使得DE BF ⊥B.不存在某个位置，使得4FDB π∠=C.存在某个位置，使得平面DEF⊥平面DAC D.存在某个位置，使得6πα=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布()21000,100N ，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为______. 附：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=.14.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++等于______.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则AOB △的面积为______.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足()1122*n n n n a b b a n +++=+∈N ，若19a =，()3*n n b n =∈N 且()33633n n a n λλ≥+-+对一切*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）如图，在ABC △中，点D 在边 BC 上，4CAD π∠=，72AC =，cos 10ADB ∠=-.（Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若ABD △的面积为7，求AB 的长.18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，AE BP ∥.（Ⅰ）设点M为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（Ⅱ）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，37S =，且13a +，23a ，34a +成等差数列.数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∀∈满足1112n n T T n n +-=+，且11b =. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，记数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ，求2n Q .20.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. （Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.（()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）21.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，过点2F 的直线1l 交椭圆E 于C ，D两点，且AB CD ⊥，当CD x ⊥轴时，3CD =. （Ⅰ）求E 的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1x f x e x =-，()xx g x e =. （Ⅰ）若()g x a =在()0,2上有两个不等实根，求a 的范围；（Ⅱ）证明：()()20f x eg x +>.参考答案一、单选题13.0.9987 14.25315.16.13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭四、解答题17.（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=，…（2分）又因为4ACD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-，所以：4sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠-∠=+=⎪⎝⎭，…（6分）（2）在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC ADC=∠∠，故()74sin sin sinsin sin sin10AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π⨯⋅∠⋅∠⋅∠=====∠-∠∠…（8分）11sin 722ABD S AD AB ADB BD =⋅⋅⋅∠=⋅=△，解得5BD =，…（10分）在ADB △中，由余弦定理得：2222cos 8252537AB AD BD AD BD ADB ⎛=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯= ⎝⎭，所以，AB =（12分）18. （Ⅰ）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD平面ABEP AB =，BP AB ⊥，∴BP ⊥平面ABCD ，又AB BC ⊥，∴直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则()0,2,0P ，()0,0,0B ，()2,0,1D ，()2,1,0E ，()0,0,1C ，∴11,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴11,0,2EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,0BP =.∵BP ⊥平面ABCD ，∴BP 为平面ABCD 的一个法向量， ∵11002002EM BP ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴EM BP ⊥.又EM ⊄平面ABCD ，∴EM ∥平面ABCD .（Ⅱ）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25. 理由如下：∵()2,2,1PD =-，()2,0,0CD =，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则20220x x y z =⎧⎨-+=⎩.令1y =，得()0,1,2n =.假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25. 设()()2,2,01PN PD λλλλλ==-≤≤，∴()2,22,BN BP PN λλλ=+=-.∴2cos ,5BN n ==. ∴29810λλ--=，解得1λ=或19（舍去）。

福建高三数学一模试卷

福建高三数学一模试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x + 1D. y = sin(x)2. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. 5B. -5C. 10D. -103. 若方程x^2 - 6x + 8 = 0有实根，则实根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上是（）A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数5. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B =（）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {2, 4}D. {1, 4}6. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5 =（）A. 14B. 17C. 20D. 237. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0，圆心坐标为（）A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)8. 函数y = ln(x)的导数为（）A. 1/xB. xC. ln(x)D. e^x二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(2) = ____。

10. 已知直线方程为y = 2x + 1，求该直线与x轴的交点坐标为 ____。

11. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求该三角形的面积为 ____。

12. 已知数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + 1，求a2 = ____。

三、解答题（本题共3小题，共40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）13.（本小题满分10分）已知函数f(x) = x^3 - 3x，求函数的单调区间。

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福建省高三上学期摸底数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共16分)
1. （1分）已知A={x|x＞3}，则∁RA=________．
2. （1分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数，，且，则 ________．
3. （1分） (2019高三上·广东月考) 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若△ 为等边三角形，则＝________.
4. （1分）在行列式中，元素a的代数余子式值为________ ．
5. （1分） (2017高一下·泰州期末) 若实数x，y满足，则z=3x+y的取值范围是________．
6. （1分） (2019高二下·盐城期末) 5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有________种．（结果用数值表示）
7. （1分） (2017高三上·泰安期中) 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S8=4S4 ，则a9=________．
8. （1分） (2018高三上·重庆期末) 二项式的展开式中常数项为________。

9. （1分）(2012·辽宁理) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
10. （1分） (2017高二上·潮阳期末) 定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是________．
11. （2分）(2017·东城模拟) 已知函数
①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是________．
②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是________．
12. （2分） (2020高二上·福州期中) 如图，已知抛物线C的顶点为，焦点为，则抛物线C的方程为________；过点F作直线交抛物线C于两点，若直线，分别交直线于M，N两点，则的最小值为________．
13. （1分） (2017高一上·蓟县期末) 给出下列五个命题：
①函数的一条对称轴是x= ；
②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若，则x1﹣x2=kπ，其中k∈Z；
⑤函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．
以上五个命题中正确的有________（填写所有正确命题的序号）
14. （1分） (2016高一上·浦城期中) 给出下列结论：
①y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；
②幂函数图象一定不过第四象限；
③函数f（x）=loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；
④若loga ＞1，则a的取值范围是（，1）；
⑤函数f（x）= + 是既奇又偶的函数；
其中正确的序号是________．
二、选择题 (共4题；共8分)
15. （2分） (2018高二上·北京期中) 数列{ }中，“ （n∈N*）”是“数列{ }为等比数列”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
16. （2分） (2016高二上·吉安期中) 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b 的是（）
A . a⊥α，b∥β，α⊥β
B . a⊥α，b⊥β，α∥β
C . a⊂α，b⊥β，α∥β
D . a⊂α，b∥β，α⊥β
17. （2分）(2017·焦作模拟) 将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若P'位于函数y=cos2x的图象上，则（）
A . ，m的最小值为
B . ，m的最小值为
C . ，m的最小值为
D . ，m的最小值为
18. （2分） (2016高二下·南城期中) 已知函数f（x）=x2﹣x﹣（x＜0），g（x）=x2+bx﹣2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范围为（）
A . （﹣4 ﹣5，+∞）
B . （4 ﹣5，+∞）
C . （﹣4 ﹣5，1）
D . （4 ﹣5，1）
三、解答题 (共5题；共45分)
19. （10分） (2018高一下·雅安期中) 向量 , ,已知，且有函数 .
（1）求函数的解析式及周期；
（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边 , ，求的长及的面积.
20. （10分）如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF= ，BC⊥DF，△AED为等边三角形，
AD= ，DC= ，如图2，将△AED，△BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点．
（1）证明：DG∥平面BCF；
（2）若GC= ，求的值．
21. （5分） (2016高一上·湖州期中) 已知f（x）=max{x2﹣ax+a，ax﹣a+1}，其中max{x，y}= ．
（Ⅰ）若对任意x∈R，恒有f（x）=x2﹣ax+a，求实数a的值；
（Ⅱ）若a＞1，求f（x）的最小值m（a）．
22. （10分） (2016高三上·浙江期中) 数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn=2n﹣an ，
（1）求a1 ， an；
（2）若数列{bn}中，bn=n（2﹣n）（an﹣2），且对任意正整数n，都有，求t的取值范围．
23. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线 .
（1）求曲线的方程；
（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.
参考答案一、填空题 (共14题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、选择题 (共4题；共8分)
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。