随机过程基本概念
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念
1、随机过程的两种定义
①随机过程是所有样本函数的集合，记为ξ(t)。
样本函数：实验过程中一个确定的时间函数x i(t)，即指某一次具体的实现。
②随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
随机变量：某一固定时刻t1，不同样本函数的取值即为一个随机变量ξ(t1)。
2．随机过程的分布函数
（1）n维分布函数的定义
（2）n维概率密度函数的定义
如果
存在，则称其为ξ(t)的n维概率密度函数。
3．随机过程的数字特征
（1）均值（数学期望）
①均值的定义
随机过程ξ(t)的均值或数学期望定义为
②均值的意义
E[ξ(t)]是时间的确定函数，记为a(t)，表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。
（2）方差
①方差的定义
随机过程ξ(t)的方差定义为
常记为σ2(t)。
②方差的意义
方差等于均方差与均值平方之差，表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)的偏离程度。
（3）相关函数
①协方差函数
协方差函数的定义为
②自相关函数
自相关函数的定义为
③R(t1，t2)与B(t1，t2)的关系
④R(t1，t2)与B(t1，t2)的意义
衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
⑤互相关函数
设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为。
随机过程基本概念及随机游走的应用
随机过程基本概念及随机游走的应用随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型。
随机过程可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
本文将介绍随机过程的基本概念和随机游走的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一个随时间变化而变化的随机变量序列。
具体而言，假设我们有一个时间轴{t1, t2, …, tn}，那么对于每个时刻ti，我们都会得到一个随机变量Xi，这就构成了一个随机过程。
一个随机过程可以用集合{Xt}表示，其中Xt表示在时刻t的随机变量。
对于一个随机过程，我们通常关心的是它的均值函数和相关函数。
均值函数E(Xt)表示在时刻t的随机变量的期望值，相关函数R(Xt, Xs)表示在时刻t和时刻s的随机变量的协方差，即E((Xt -E(Xt)) * (Xs - E(Xs)))。
在实际应用中，我们经常需要用到自协方差函数Cov(Xt, Xt+h)，表示在时刻t和时刻t+h的随机变量的协方差。
二、随机游走的应用随机游走是一种常见的随机过程，它可以用来描述一些随机漂移现象。
具体而言，假设我们有一个随机过程{Xt}，每次时刻t+1的随机变量都是时刻t的随机变量加上一个随机扰动，即Xt+1=Xt+Wt，其中Wt是一个独立同分布的随机变量，它的期望值为0，方差为σ^2。
随机游走可以用来描述许多自然现象，例如股票价格的波动、航空器的空气动力学特性等。
在股票价格的模型中，我们通常使用随机游走来描述价格的漂移现象，其中Wt表示股票价格的逐日波动。
在航空器模型中，我们使用随机游走来描述飞机的剧烈晃动现象，其中Wt表示飞机扰动的随机性。
除了股票价格和航空器的模型，随机游走还可以用来描述许多其他随机漂移现象，例如天气的变迁、金融市场的波动等。
三、结论本文介绍了随机过程的基本概念和随机游走的应用。
随机过程是一类随时间变化而变化的随机现象的数学模型，它可以用来描述许多自然科学、社会科学和工程技术中的随机现象。
第2讲 第二章随机过程的概念
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
第2章随机过程的基本概念
F ?? { F ?t1 , t2 ,? , tn ; x 1 , x 2 ,? , x n ?:
ti ? T , x i ? Ri , i ? 1,2, ? , n , n ? 0} 称F为XT 的有限维分布函数族. 定义3 过程 { X(t), t的? nT维} 特征函数定义为
φ?t1 , t2 ,? , tn;?1 ,θ 2 ,? ,θ n ?
? E{e i[θ 1 X (t1 )? ? } ?θ n X (tn )]
称 {φ(t1, t2 ,? , tn;θ 1 ,θ 2 ,? ,θ n ) : t1 , t2 ,? , tn ? T, n ? 1}
为XT 的有限维特征函数族. 特征函数和分布函数是相互唯一确定.
定义2 过程 { X(t),对t ?任T给} 的
t1 , t2 ,? , tn ? T ,
随机向量
?X (t1 ), X (t2 ),? , X (tn )?
的联合分布函数
F (t1 , t2 ,? , tn; x1 , x2 ,? , xn ) ?
P{ X (t1 ) ? x1 , X (t2 ) ? x2 ,? , X (tn ) ? xn }
X(t1,ω)
X(t2,ω)
t1
t2
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) tn
定义 对每一固定 ω?，Ω称 { X(t, ? ), t的? 一T}个样本函数.
X是t ?随ω?机过程
也称轨道, 路径,现实.
Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程，
X(t)
?
?cos? t, ?
?2t
出现正面； 出现反面. t ? R.
过程识别
第一章 随机过程 第二节 随机过程的基本概念
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
2 、二维概率分布 为了描述S.P在任意两个时刻t1和t2的状态间的 内在联系,可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分 布函数FX(x1,x2;t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1} 和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
称为随机过程X(t)的二维分布函数。 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在， 则 2 F ( x , x ;t ,t )
f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
X 1 2 1 2
x1x2
E[cos ] cos f ( )d cos
0 0
2
2
同理
1 d 0 2
E[sin ] 0
mx (t ) 0
2 2 x (t ) 2 (t ) mx (t ) 2 (t ) E[ x2 (t )] x x （2）
2 ＝ E[sin (0t )] E [1 cos(20t 2 )]
t 离散型随机过程：对随机过程任一时刻1 的取值X (t1 ) 都是离散型随机变量。
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化 。
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
简述随机过程的基本概念
简述随机过程的基本概念随机过程是概率论的一个重要分支，研究随时间变化的随机现象。
它描述的是随机变量随时间的变动规律，并通过概率论的方法研究其统计特性。
随机变量是随机过程的基本组成部分，表示在给定的实验空间中，某一随机事件所对应的数值。
随机变量可以是离散的（比如抛硬币的正反面），也可以是连续的（比如投掷骰子的点数）。
随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种类型。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上进行观测，比如某一事件在每个小时的发生概率。
离散时间随机过程通常用随机序列来描述，其中每个随机序列代表不同的事件。
连续时间随机过程是指在连续的时间段内进行观测，比如某一事件在每个时间段内的发生概率。
连续时间随机过程可以通过概率密度函数来描述。
随机过程有两个重要的性质：平稳性和马尔可夫性。
平稳性是指随机过程的统计特性在时间上保持不变。
强平稳性要求整个随机过程的概率分布在时间上保持不变，弱平稳性只要求随机过程的均值和自相关函数在时间上保持不变。
马尔可夫性是指在给定过去的条件下，未来的状态只与当前状态有关。
这意味着给定当前的状态，过去的状态对于预测未来的状态是无关的。
随机过程可以通过随机过程的定义、概率密度函数、特征函数等进行建模和描述。
常用的随机过程模型包括泊松过程、马尔可夫链、布朗运动等。
泊松过程是离散时间且符合强平稳性和马尔可夫性的随机过程。
泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，常用于描述到达某个服务中心或系统的流量。
马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程。
在马尔可夫链中，系统的状态在不同的时间段内转移，且转移的概率只与当前的状态有关。
这种随机过程常用于描述具有一定变化规律的系统，如天气系统、金融市场等。
布朗运动是连续时间且连续状态的随机过程，它具有良好的连续性和马尔可夫性质。
布朗运动常用于建模和描述股票价格、汇率波动等金融领域中的随机变动。
随机过程的研究可以用于预测和分析各种现实生活中的随机变化。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是概率论中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括金融、电信、工程等。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和应用随机过程。
一、基本概念随机过程是指一簇随机变量的集合，其中每个随机变量代表某个时间点的取值。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t∈T}，其中X(t)表示时间t时刻的取值，T表示时间的取值范围。
在随机过程中，时间是一个重要的概念。
时间可以是离散的，也可以是连续的。
当时间是离散的时候，随机过程称为离散随机过程；当时间是连续的时候，随机过程称为连续随机过程。
离散随机过程常用于描述离散事件，如投掷硬币的结果；而连续随机过程常用于描述连续变化的现象，如股票价格的变动。
二、分类随机过程可以根据其状态空间和时间的特性进行分类。
下面将介绍常见的几种分类方式。
1. 马尔可夫过程(Markov Process)马尔可夫过程是一种具有"无记忆性"的随机过程，即在给定当前状态下，未来的发展仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以是离散的或连续的，常用于建模和分析具有动态特性的系统，如排队论、信道传输等。
2. 马尔可夫链(Markov Chain)马尔可夫链是马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间和离散的时间。
马尔可夫链是一种时间齐次的马尔可夫过程，即系统的转移概率在不同的时间点保持不变。
马尔可夫链常用于描述离散状态的随机系统，如天气的转变、赌博游戏的输赢等。
3. 马尔可夫跳过程(Markov Jump Process)马尔可夫跳过程是一种具有离散和连续混合特性的随机过程。
它在连续时间间隔内可能发生状态的跳跃，并且在一个状态下停留的时间是指数分布的。
马尔可夫跳过程广泛应用于电信系统、金融市场等领域。
4. 广义随机过程(Generalized Stochastic Process)广义随机过程是一种对传统随机过程进行扩展的概念。
随机过程的基本概念与应用
随机过程的基本概念与应用随机过程是概率论中研究一系列随机事件在时间上的演化规律的重要分支。
它在各个领域都有着广泛的应用，在通信、控制、金融、生物、物理等方面都发挥着重要作用。
一、随机过程的基本概念1.1 随机过程的定义随机过程是指一组随机变量${X_t}$，其中$t$表示时间，$X_t$表示在时间$t$时刻随机变量的取值。
随机过程是随机变量的函数族，常用记号为${X_t:t\in T}$。
其中$t$取遍$T$所表示的时间集合，$T$可以是实数集、整数集或其他有限或无限集合。
1.2 随机过程的分类随机过程根据其时间变化的连续性与离散性可以分为连续时间随机过程和离散时间随机过程两种。
连续时间随机过程是指随机变量在时间上是连续的，如布朗运动、泊松过程等。
离散时间随机过程是指随机变量在时间上是离散的，如马尔可夫过程、随机游走等。
1.3 随机过程的性质随机过程具有多种性质，包括平稳性、独立性、齐次性等。
其中比较重要的平稳性是指在时间平移下，随机过程的统计性质保持不变，即一个随机过程是平稳的，当且仅当对于任意$t_1,t_2$，其一阶矩和二阶矩不随时间变化而改变。
例如，设随机过程${X_t:t\geq 0}$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则其平稳性条件为：$$\mathbb{E}[X_t]=\mu, \ \forall t\geq 0$$$$\mathbb{E}[(X_s-\mu)(X_t-\mu)]=\sigma^2, \ \forall s,t\geq 0$$二、随机过程的应用随机过程在许多领域中都有着广泛的应用。
以下列举其中几个典型应用。
2.1 通信领域随机过程在通信领域中是必不可少的工具。
通信信号可以看作是一种随时间变化的随机过程，而信道则可看作是一种将输入信号映射成输出信号的随机过程。
因此，随机过程在信号调制、信噪比估计、编码等方面都有着广泛的应用。
2.2 控制领域在控制领域中，随机过程被广泛用于表示、建模和分析控制系统的动态特性。
什么是随机过程(一)
什么是随机过程（一）引言概述:随机过程是概率论和数学统计学中的重要概念，用于描述随机事件在时间和空间上的演化规律。
它在实际问题建模和分析中具有广泛的应用，涵盖了大量的领域，如通信系统、金融市场、生物学等。
本文将介绍随机过程的基本概念和特征，并探讨其在实际中的应用。
正文:1. 随机过程的定义1.1 随机过程的基本概念1.2 随机变量与随机过程的关系1.3 不同类型的随机过程（如离散随机过程、连续随机过程等）2. 随机过程的特征2.1 随机过程的时间域特征2.2 随机过程的统计特征2.3 随机过程的独立性和相关性2.4 随机过程的平稳性2.5 随机过程的马尔可夫性质3. 随机过程的应用3.1 通信系统中的随机过程3.2 金融市场中的随机过程3.3 生物学中的随机过程3.4 物理学中的随机过程3.5 工程控制中的随机过程4. 随机过程的建模和分析方法4.1 马尔可夫链模型4.2 随机演化方程模型4.3 随机微分方程模型4.4 随机过程的仿真方法4.5 随机过程的参数估计方法5. 随机过程的未来发展5.1 随机过程在人工智能中的应用5.2 随机过程在时空数据分析中的应用5.3 随机过程在大数据分析中的应用5.4 新兴领域中的随机过程研究5.5 随机过程理论与实际应用的结合总结:本文介绍了随机过程的定义、特征和应用，并讨论了随机过程的建模和分析方法。
随机过程作为概率论和数学统计学的重要分支，具有广泛的应用前景。
随着人工智能和大数据分析的发展，随机过程在各个领域中的应用将进一步扩展。
值得期待的是，未来随机过程理论和实际应用的结合将推动该领域的进一步发展。
随机过程的基本概念与分类
随机过程的基本概念与分类随机过程是概率论的一个重要分支，在不同领域如金融、通信、生物学等都有广泛的应用。
它描述的是一组随机变量的演化规律，具有许多重要的特性和分类方式。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类方法。
一、基本概念随机过程由一个或多个随机变量组成，这些随机变量的取值取决于一个或多个参数，如时间。
随机过程可以定义为函数的族，其中函数的输入参数是随机变量，输出是实数或向量。
常用的随机过程有离散时间和连续时间两种。
在离散时间随机过程中，随机变量类似于离散的时间点，通常用n表示。
每个时间点上都有一个随机变量X(n)与之相关。
连续时间随机过程则对应于时间变量连续变化的情况，通常用t表示。
每个时间点上都有一个随机变量X(t)与之相关。
随机过程的演化可以通过转移概率描述。
转移概率表示从一个时间点到另一个时间点的跳转概率，常用P(i,j)表示从状态i到状态j的概率。
二、分类方法1. 马尔可夫链马尔可夫链是一个简单的、具有重要应用的随机过程。
它具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与历史状态无关。
马尔可夫链有着平稳分布，并且可以通过转移概率矩阵进行描述。
2. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种时间连续的随机过程。
它的转移概率与时间无关，但与前一状态有关。
常见的马尔可夫过程有泊松过程、连续时间马尔可夫链等。
3. 马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程是一种在马尔可夫过程基础上引入决策的模型。
它包括状态空间、决策空间、转移概率、奖励函数等要素。
马尔可夫决策过程在决策分析、控制理论等领域有广泛应用。
4. 平稳随机过程平稳随机过程是指在统计特性上不随时间改变的过程。
平稳随机过程具有恒定的概率分布和自相关函数。
常见的平稳随机过程有白噪声、自回归过程等。
5. 随机游走随机游走是一种具有随机性的移动方式。
它可以用来模拟股市价格、随机漫步等现象。
随机游走中的步长和方向通常是随机变量，可以是离散的或连续的。
6. 马尔可夫随机场马尔可夫随机场是一种描述多变量间关系的图模型。
随机过程基本概念
注释：(1) 随机过程{X(t), ∈T}是定义在 ×T上的 ),t ( ),
二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的 两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际 测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
(2)通常将随机过程{X(t), ∈T }解释为一个物理系统， ( ), ),t X(t)表示系统在时刻t所处的状态,X(t)的所有可能状 () () 态所构成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的 t0 ∈T，及x ∈I,X(t0)= 说成是在时刻t0，系统处于状态 ( )=x x. (3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的 推广.
它在任一确定时刻的值是随机变量.
二、随机过程的分类
1．按状态空间I和时间是可列集还是连续集分类： 按状态空间I和时间是可列集还是连续集分类：
(1). 连续型随机过程:T是连续集,且∀t∈T,X(t)是连续型 () 随机变量,则称过程{X(t),t∈T}为连续型随机过程. () (2).离散型随机过程:T是连续集，且∀t∈T,X(t)是离散型 () 随机变量，则称过程{X(t),t∈T}为离散型随机过程。 () (3).连续型随机序列: T是可列集,且∀t∈T,X(t)是连续型 () 随机变量，则称过程{X(t),t∈T}为连续型随机序列. ()
例4:(热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电 压，在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内 的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为要消除这种 干扰（假设没有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电 压随时间变化的过程，现以电阻的热噪声电压为例说明 这种变化过程的描述方法，我们通过某种装置对电阻两 端的热噪声电压进行长时间的测量，并把结果记录下来， 作为一次试验结果，便得到一个电压-时间函数（即电压 关于时间t的函数）V1(t),如图.
随机过程的基本概念
证明：
随机过程的平稳性
严平稳随机过程
定义，
设有随机过程 ，对任意正整数n及选定时间 ，任意时间间隔τ和 ，有n维分布函数 则称该过程为严平稳随机过程。
严平稳随机过程的性质，
严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，二维分布函数仅与时间间隔有关而与时间本身无关。
K级平稳随机过程，
设有随机过程 ，对任意正整数n<K及选定时间 ，任意时间间隔τ和 ，有n维分布函数 则称该过程为K级严平稳随机过程。
定义1，马尔可夫过程（使用条件概率密度函数，或条件概率分布函数来表示）
设有一个随机过程 ， ，若在这些时刻观察到随机过程的值是 ，若它的条件概率密度和条件分布函数满足条件，
或
则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。
性质，马尔可夫过程的有限维概率密度
定义2，马尔可夫链（使用转移概率、条件概率）
宽平稳随机过程
定义，
设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值是常数，相关函数仅是 的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
正态平稳随机过程，
既是广义平稳的随机过程，又是严平稳的随机过程。
性质1，
或 ， 。对于实宽平稳随机过程 ，而实自相关函数是偶函数。证明（略）
性质2，
， 是随机过程的均值。
证明，
证明，（略）
考虑到
因此有
性质3，
，
证明，
以上证明中、第一个不等式成立是：随机变量平均的模小于等于随机变量模的平均；第二个不等式成立是：Schwartz不等式，随机变量乘积取模统计平均的平方，小于等于随机变量取模平方统计平均的乘积。
因此有
同理有， 。
性质4，
随机过程的基本概念
( t )],
称为随机过程{X(t)}的均方值函数 称为随机过程{X(t)}的均方值函数. {X(t)} 定义R.2.6 我们把随机变量X(t) X(t)的方差 定义R.2.6 我们把随机变量X(t)的方差
2 σ X (t ) = Var [ X (t )] = E { X (t ) − µ X (t )] 2 }, [
定义R.1.3 给定随机过程X(t),t∈T,当时间t取
t1 , t 2 ,⋯, t n ∈ T ,n维随机变量 ( X (t1 ), X (t 2 ),⋯, X (t n ))
的分布函数记为
Ft1 ,t2 ,⋯,tn ( x1 , x2 , ⋯ , xn ) = P ( X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 , ⋯ , X (t n ) ≤ xn ),
Review 随机过程的基本概念
R.1.随机过程的分布函数 定义R.1.1给定随机过程X(t),t∈T,对于每一个固定的 t∈T,X(t)是一个随机变量它的分布函数一般与t有关, 记为
Ft ( x) = P ( X (t ) ≤ x),
称为随机过程的一维分布函数。
若存在非负函数ft(x),使
Ft ( x) = ∫
称为随机过程{X(t)}的方差函数(Varance)
是随机过程在任意二个时刻t 设X(t1)和X(t2)是随机过程在任意二个时刻t1和t2 时的状态. 时的状态. 定义R.2.7 称X(t1)和X(t2)的二阶混合原点矩
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )]
为随机过程{X(t)}的自相关函数(correlation),简称相关函数 定义R.2.8 称X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩
随机过程的基本概念
（3） 对随机过程的理解 随机过程 { X t , ω } 可看成是关于时间 t 和样本
点 的二元函数，
（1) 当固定 t T , X t X (t , ) 就是一个随机 变量。 （2）当固定 0 , { X t 0 X (t , 0 )}就是一
称
RXY ( s, t ) E[ X ( s )Y (t )]
为随机过程 XT X (t ), t T 和 YT Y (t ), t T
的互相关函数。
例 设随机过程
X ( t ) Acos( t )
其中β是正常数, 随机变量 A 与Θ相互独立, A～N(0,1),
{F t1 , t2 ,, tn ; x1 , x2 ,, xn : t1 ,, t n T , n 1}
恰好是随机过程 X T X ( t ), t T 的有限维分布
函数族。
说明：柯尔莫哥罗夫定理表明，一个随机过程 完全由其有限维分布函数族所确定。但是，在实际
2
E ( A ) E[cos( t )cos( s )]
1 2π cos ( t θ ) cos ( s θ ) d θ 2π 0
1 2π [ cos ( t s ) cos ( ( t s ) 2 θ ) d θ 4π 0
（假定其步长相同），以 X(t) 记他 t 时刻在路上
的位置，则 X(t) 是直线上的随机游动。此时 X(t)
是一个随机过程。
例2 （排队系统）顾客到火车站买票，当购票
窗口有其他顾客买票时，来到的顾客就需要排队等
候，用 X(t) 表示 t 时刻的排队长度， Y(t) 表示 t
时刻来到的顾客所需等待的时间，由于顾客的到来
第二章随机过程基本概念.
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
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定义
随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}的任意有限维分布都是正态分布
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立的充要条件是不相关
复值二阶矩过程
数字特征
独立增量过程
实值随机过程{X(t), tÎT}，对任意的 相互独立
,随机变量
二阶矩过程{X(t), tÎT}是独立增量过程，其中T=[a,¥)，且X(a)=c,c为实常数
性质
非负性 对称性 非负定性
换算
二维随机过程和复值随机过程
二维随机过程 复值随机过程
两个随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}，{(X(t),Y(T)), tÎT}为二维随机过程，可 简记为{(X(t),Y(T))}或(X(t),Y(T))
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}为m+n维分布函数:
有限维分布族
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}的所有1+1维分布函数、1+2维分布函数、2+1 维分布函数···构成的分布函数族为二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}有限维分布函 数组
独立
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立
数字特征
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}，随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}的互相关函 数
有限维分布函数族：一维，二维···分布函数族的全体
有限维分布函数的性质
对称性 相容性
对(1,2,···,n)的任一排列(j1,j2,···,jn)有 对m<n,有
密度函数
一维密度函数:对每一个tÎT,X(t)有密度函数 一维密度函数族: n维密度函数: n维密度函数族：
有限维密度函数族：一维，二维···密度函数族的全体
正态过程(高斯过程)
随机过程{X(t), tÎT}的任意有限维分布都是正态分布，即对任意正整数n和任意 服从n维正态分布
数字特征
二阶矩过程
定义
对任意的tÎT,都有
均值函数（最基本）
均方值函数
方差函数
,随机过程{X(t), tÎT}为二阶矩过程
均方差函数（标准差函数）
数字特征
(自)相关函数（最基本）
协方差函数
独立过程
前n次的成功次数，Nn~B(n,p),补充N0=0,{Nn,n ³0}是平稳独立增量过程
参数p的伯努利过程
Wn表示第n次成功出现时的总实验次数，Wn服从参数为n，p的帕斯卡分布
如果f(1),f(2),···绝对收敛，即
引理
则
Tn表示第1次成功出现时的总实验次数，Tn服从几何分布
正交过程
复值二阶矩过程{Zn，n ³1}满足
分类
状态空间{X(t), tÎT}
离散状态随机过程 连续状态随机过程
离散状态离散参数的随机过程
分类
连续状态离散参数的随机过程 离散状态连续参数的随机过程
连续状态连续参数的随机过程
样本函数x(t)(tÎT)
分布函数
一维分布 二维分布 n维分布
一维分布函数:对每一个tÎT,X(t)是一个随机变量，其分布函数为 一维分布函数族: 二维分布函数: 二维分布函数族: n维分布函数: n维分布函数族：
常用随机过程
平稳增量过程/齐次增量过程
对任意的
,
与
服从相同分布
பைடு நூலகம்平稳独立增量过程
泊松过程 布朗运动
独立过程
如果X1,X2,···，Xn,···是相互独立的随机变量序列，则称{Xn，n ³1}为独立过程(独立 随机序列)
如果X1,X2,···，Xn,···是相互独立且服从相同分布的随机变量序列，Xi服从0-1分布 B(1,p)，则称{Xn，n ³1}为参数p的伯努利过程
正交增量过程
复值随机过程{Z(t), tÎT}，对任意的t1<t2£t3<t4,有
定理
随机过程{Z(t), tÎT}为具有零均值的复值二阶矩过程
如果{Z(t), tÎT}是独立增量过程，那么{Z(t), tÎT}为正交增量过程 {Z(t), tÎT}为正交增量过程，T=[a,¥)，且Z(a)=0，
随机过程基本概念
定义 分布
如果对一个tÎT,X(t)是一个随机变量，则称随机变量族{X(t), tÎT}为随机过程 (随机函数)，其中T称为指标集或参数集。随机过程{X(t), tÎT}也可以记为 {X(t)}或X(t)
时间集T
离散时间(离散参数)随机过程/随机序列(时间序列) 连续时间(连续参数)随机过程
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}的互协方差函数
随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}不相关
不相关
二维随机过程{(X(t),Y(T)), tÎT}满足：对任意的tÎT， ,那么随机过程{X(t), tÎT}和{Y(t), tÎT}相互独立可以
推出不相关
二维正态过程