期末随机过程试题及标准答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《随机过程期末考试卷》
1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为 的同一指数分布。 4.设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列,则n W 服从 分布。 5.袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回, 对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X , , 3)(,则 这个随机过 程的状态空间 。 6.设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p ),n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=,二者之间的关系为 。 7.设{}n X ,n 0≥为马氏链,状态空间I ,初始概率i 0p P(X =i)=,绝对概率 {}j n p (n)P X j ==,n 步转移概率(n)ij p ,三者之间的关系为 。 8.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设A,B,C 为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 i,j I ∈,n 步转移概率(n)()(n-) ij ik kj k I p p p l l ∈=∑ ,称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程,证明并说明其意义。 4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程,{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量,且与{}N(t),t 0≥独立,令N(t) k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑,证明:若21E(Y <)∞,则 []{}1E X(t)tE Y λ=。 三、计算题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=3/23/103/203/103/23/1P ,求其平稳分布。 2.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α,而今天无雨明天有雨的概率为β;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设0.7,0.4αβ==,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 4.设有四个状态{}I=0123,,,的马氏链,它的一步转移概率矩阵 110022110022 P=111144 4 40 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (1)画出状态转移图; (2)对状态进行分类; (3)对状态空间I 进行分解。 四、简答题(本题6分) 一.填空题 1.为it (e -1) e λ。2. 1 (sin(t+1)-sin t)2 ωω。3. 1λ 4. Γ 5. 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭L L 。 6.(n)n P P =。 7.(n) j i ij i I p (n)p p ∈=⋅∑。 8.618e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-⎰ 10. a μ 二.证明题 1. 证明:左边=P(ABC)P(ABC)P(AB) P(C AB)P(B A )P(A)P(AB)P(A) ===右边 2. 证明:当12n 0t t t t <<<< 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L = n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L = n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为 n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3. 证明: {}(n) ij k I P P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U = {}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k I P X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l) ik kj P P ∑,其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4. 证明:由条件期望的性质[]{} E X(t)E E X(t)N(t)=⎡⎤⎣⎦,而 N(t)i i=1E X(t)N(t)n E Y N(t)n ⎡⎤ ===⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ∑ =n i i=1E Y N(t)n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑=n i i=1E Y ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ∑=1nE(Y ),所以[]{}1E X(t)tE Y λ=。 三.计算题(每题10分,共50分) 1. 解: 解方程组P ππ =和1=∑i π,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨ ⎧=+++=+=+=1 323231323131321 3 233 12 2 11ππππππππππππ 解得74,72,71321===πππ,故平稳分布为)7 4 ,72,71(=π 2.解:设{}N(t),t 0≥是顾客到达数的泊松过程,2λ=,故{}k -4 (4)P N(2)=k e k! =,则{}{}{}{}{}-4-4-4-4-4 3271P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1+P N(2)=2+P N(2)=3e 4e 8e e e 33 ≤==+++ =