随机过程复习题(含答案)
随机过程复习题
第一章 1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2证明:(1)因为()0kkk P s p s∞==∑，则()11k kk P s kp s∞-='=∑，令1s →，得()11kk E X P kp ∞='==∑ 。
（2）()11k kk P s kp s∞-='=∑，()()221k k k P s k k p s∞-=''=-∑()2222=k k k k k k p s kp s ∞--=-∑令1s →，得()()()222112P 1=1k k k kp kp EX p EX p EX p ∞='''-=--+=-∑()()2=P 1+1EX p '''∴()()()()222P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-⎡⎤⎣⎦ 证毕3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得 ()(),0n t ditEX i inp dtp q ge ==-=-=+()()()22"22220n t iti npq d i p q g pne EX dt===-=+-+()22DX =EX EX =npq -4．设()0,1XN ，求X 的特征函数()g t解 dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xixitx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xt xieeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为eCtt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为e tt g 22)(-=5． 设随机变量()2,YN μσ，求Y 的特征函数是()Y g t .解：设()0,1XN ,则由例1.3知X 的特征函数 ett g 22)(-=令Y X σμ=+,则()2,YN μσ，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6.()12,,,n X X X p ii 设是相互独立的随机变量，且X b n ，i=1,2,,n, ,b n p ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑nn ii i=1i=1证明Y=X()()()()()()()111,,ini ii n it n n n n it it i i p t pe q t t pe q pe q b n p ====+∑=∏=∏+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑ii i i X n i Y X i=1n n i i i=1i=1证因为X b n ，所以其特征函数为g i=1,2,,n,由特征函数的性质知，Y=X 的特征函数为g g 再由特征函数的唯一性定理知Y=X7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i iiX=λπ证明⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g itii,...2,1,1==⎪⎭⎫⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni iXY 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie e t X t ni n i Y∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ 再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及标准答案汇总
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀Λ210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程第三章复习题及其解答泊松过程
第3章测验题解答一、填空题1.设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，则均值函数为__t λ____；相关函数为__s st λλ+2______。
答案：均值函数为：t X t X E t X E t m X λ=-==)]0()([)]([)(相关函数为：)]}()()()[({)]()([),(s X s X t X s X E t X s X E t s R X +-== 2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=2)()(s s s t s λλλλ++-=)1(2+=+=t s s st λλλλ2. 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松过程，}1,{≥n T n 是对应的时间间隔序列，则随机变量,...)2,1(=n T n 独立同分布服从___________。
答案：均值为λ/1的指数分布3.设}0,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列，则n W 服从________，概率密度为______________。
答案：参数为n 与λ的Γ分布)!1(1)(0{)(---=n n t t en W t f λλλ<≥t t4.泊松过程的定义：称计数过程(){},0t ≥X t 为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件：()100;X =（）;()(2)X t 是独立、平稳增量过程； ()(3)X t 满足下列两式：)(}1)()({h t t X h t X P ολ+==-+)(}2)()({h t X h t X P ο=≥-+5 .设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，方差函数为______；协方差函数为__________。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
随机过程复习题二及其答案
随机过程复习题二及其答案一、选择题1. 随机过程的定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列确定变量的集合C. 一个随机变量D. 一个确定变量2. 什么是马尔可夫链？A. 一个具有时间序列的随机过程B. 一个具有空间序列的随机过程C. 一个具有独立同分布的随机过程D. 一个具有时间依赖性的随机过程3. 随机过程的期望值定义为：A. \( E[X(t)] \)B. \( E[X] \)C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t) \, dx \)D. \( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \)4. 以下哪个不是随机过程的属性？A. 期望B. 方差C. 协方差D. 导数5. 什么是平稳随机过程？A. 随机过程的期望随时间变化B. 随机过程的方差随时间变化C. 随机过程的统计特性不随时间变化D. 随机过程的协方差随时间变化答案：1. A2. A3. A4. D5. C二、简答题1. 解释什么是遍历定理，并给出其在随机过程分析中的应用。
2. 描述什么是泊松过程，并解释其主要特点。
3. 简述什么是布朗运动，并解释其在金融领域中的应用。
三、计算题1. 给定一个随机过程 \( X(t) \)，其期望 \( E[X(t)] = t \)，方差 \( Var[X(t)] = t^2 \)，计算 \( E[X^2(t)] \)。
2. 假设一个马尔可夫链 \( \{X_n\} \) 有状态空间 \( S = \{1, 2, 3\} \)，转移概率矩阵 \( P \) 为：\[P = \begin{bmatrix}0.1 & 0.8 & 0.1 \\0.5 & 0.3 & 0.2 \\0.2 & 0.6 & 0.2\end{bmatrix}\]计算状态 1 在第 3 步的概率。
四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用，并举例说明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。
2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23)(242++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值=2121- 22222211221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+=ωωωωωS τττ---=e eR X 2121)(2)(t X 的均方值2121)0()(2-==ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ϖττcos 2)()(2a t X t X >=+<9．设马尔可夫链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32(0(=p ，则2X 的分布律为)300118,300182(2(=P ，0354.0)0,1,1(432====X X X P⎥⎦⎤⎢⎣⎡==82.018.018.082.0)2(2P P)300118,300182(82.018.018.082.0)31,32()2(0(2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==P p p 0354.01.09.0300118)1|0()1|1()1()1,1|0()1|1()1()0,1,1(34232324232432=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P10.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则nn nn D C 21131-==13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式____)|(|≥<-σμ3X P ；14．随机变量序列ΛΛn X X X ,,21独立同分布,且2σμ==)(,)(i i X D X E >0Λ2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞→x n n X P ni i n σμ1二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）。
（1） 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵；（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？； 解：}1,0{=I，(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31312121)1(P(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1811187127125)2(P , 125)2()0|0(0013====p X X P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=648389648259432259432173)4(P , 432259)4()0|0(0115====p X X P 2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3/23/103/203/103/23/1P ，证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。
解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==9/69/29/19/49/49/19/49/29/3)1()2(2P P由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。
解方程组P ππ=和1=∑iπ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1323231323131321323312211ππππππππππππ 解得74,72,71321===πππ，故平稳分布为)74,72,71(=π。
3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数，则}0),({≥n n X 是一齐次马尔可夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明}0),({≥n n X 是遍历链。
解：(1) }2,1,0{=I51)0(36340===C C X P ,53)1(3612240===C C C X P ,51)2(3622140===C C C X P , 故初始分布)51,53,51(0(=p 。
(2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3/13/209/29/59/203/23/1)1(P(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==27727162748116814981162742716277)1()2(2P P , 由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。
4．设t B t A t X 00sin cos )(ω+ω=，0ω是常数，A 与B 为相互独立的随机变量，且)1,0(~N A ，)1,0(~N B（1）证明)(t X 是平稳过程； （2）证明)(t X 均值具有各态历经性； （3） 求)(t X 的平均功率。
解：(1) 10==DA EA 10==DB EB1)(1)(2222=+==+=EB DB EB EA DA EAA 与B 相互独立，0))(()(==EB EA AB E)(0sin cos )sin ()cos ()(0000常数=+=+=tEB tEA t B E t A E t EX ϖϖϖϖ有关）（只与ττϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖτϖϖϖτ00000200200000020020000000020020000cos )(sin sin )(cos cos )(sin sin )(cos cos )()](cos sin )(sin [cos )(sin sin )(cos cos )](cos sin [)](sin cos [)](sin sin [)](cos cos [)]}(sin )(cos ][sin cos {[)]()([=+++=+++=+++++++=+++++++=++++=+t t t t EB t t EA t t AB E t t t t EB t t EA t t t t AB E t t AB E t t B E t t A E t B t A t B t A E t X t X E故)(t X 是平稳过程(2))(0sin cos 21lim )(00t EX tdt B t A Tt X TTT ==+>=<⎰-+∞→ϖϖ故)(t X 均值具有各态历经性(3)1)0(2==ψX X R5.随机过程t Y t X t Z cos sin )(+=，其中Y X ,为独立同分布的随机变量，它们的分布律为：（1） 证明)(t Z 为平稳过程；（2）证明)(t Z 的均值具有各态历经性.解：(1) 20==DX EX20==DY EYX 与Y 相互独立，0))(()(==EY EX XY E)(0cos sin )cos ()sin ()(常数=+=+=tEY tEX t Y E t X E t EZ有关）（只与τττττcos 2)]}cos()sin(][cos sin {[)]()([=++++=+t Y t X t Y t X E t Z t Z E 故)(t Z 是平稳过程(2) )(02sin 2lim cos sin 21lim )(t EZ TTY tdt Y t X T t Z T TT T ===+>=<+∞→-+∞→⎰ 故)(t Z 均值具有各态历经性6．设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ππ+=，其中A 与B 独立且都是均值为零，方差为2σ的正态随机变量，求（1）)1(X 和)41(X 的概率密度；（2）问)(t X 是否是平稳过程？解：(1) ),0(~cos )1(2σπN A A X -== 22221)(σσπx e x f -=),0(~2)(4sin 4cos )41(2σππN B A B A X +=+=22221)(σσπx ex f -=(2))(0)(常数=t EX)(cos )()(2有关只与τπτστ=+t X t EX故)(t X 是平稳过程7．设)cos()(Θπ+=t A t X ，A 为随机变量，具有瑞利分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000482x x e x x f x )(，Θ是),(π20上服从均匀分布与A 相互独立的随机变量，问)(t X 是否是平稳过程？ 解： )2,0(~πU Θ其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它)2,0(21)(ππx x f)(021)cos()cos()(20常数=+⋅=Θ+⋅=⎰θπθπππd t EA t E EA t EX有关）（只与τπτπτπππτππτcos 4))cos(()cos()])cos(()cos([)]()([2=Θ++Θ+⋅=Θ++⋅Θ+=+t t E EA t A t A E t X t X E808)8(804828828282222222=∞+-=--∞+-=-==--∞+--∞+-∞+⎰⎰⎰x x x x x ex d ee x dex dx e x x EA 其中πτππτπθπτθπτππθπθπτπθππτππππcos 212cos 41)]cos()22[cos(212121)cos()cos())cos(()cos(2020=⋅=-+++=⋅+++=Θ++Θ+⎰⎰d t d t t t t E8．设)(t X 是平稳过程，令)()()(a t X a t X t Y --+=，a 为常数，试证：（1）)()()()(a R a R R R X X X Y 222--+-=ττττ； （2）)(sin )()(ωωωa S S X Y 24=。