灰色预测模型讲义
Matlab教程课件-灰色预测模型
2
i3 =1
k = 4, x (1) (4) = ∑ x (0) (i ) = x (1) (3) + x (0) (4) = 9.9 + 3.6 = 13.5
i =1 5
k = 5, x (5) =
(1)
(0) (1) (0) = + x i x x ( ) (4) (5) = 13.5 + 3.8 = 17.3 ∑ i =1
对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运 算过程称为累减生成过程IAGO。如果原始数据列为
x (1) = ( x (1) (1), x (1) ( 2), , x (1) ( n))
令 x ( 0 ) ( k ) = x (1) ( k ) − x (1) ( k − 1), k = 2,3, , n,
为均值生成数，也称等权邻值生成数
9
累加生成计算示例
例：x (0)=(x (0) (k) ︱k=1，2，3，4，5) =x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，x(0)(5) =(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8) 求 x(1)(k) 解： (1) (0) k = 1, x = (1) x= (1) 3.2
8
3. 加权邻值生成
设原始数列为x ( 0 ) = ( x ( 0 ) (1), x ( 0 ) (2), , x ( 0 ) (n))
称为数列的邻值。 x (k − 1), x (k )
(0) (0)
x
(0)
x (0) (k − 1)为后邻值，为前邻值 x (0) (k )
对于常数，令 α ∈ [0,1]
10
累加生成的特点 一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负 数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的
《灰色预测》PPT课件
2 灰色模块预 测思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
图7.3 灰色预测模型的基本思想
12
•1 灰色预测模型的提出
• 来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）
信息
信息
•黑
• 信息未 知
• 黑色系 统
补充 信息
补充
灰色系统理论着重
• 灰 研究系统内部(结构 、参数、总体信特息征
②通过数据的序列生成弱化原始数据序列的 随机性(尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化)；
③ 提出模块预测和累加生成的思想。
14
灰色预测基本模型——GM(1,1) 模型
• 定义7.1 设X (0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
•称
X (1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
X1表示;固定资产投资为资本投入,用变量X2表示,则有网络关系;
X2
W1
X1
•固定资产的投资对GDP的产出有一定的拉动效应;
29
•用适当的固定资产投资率作为国民经济系统扩大再生产的投资.此 时,GDP是前因,固定资产投资为结果,即可以将再生产的投资作为正 反馈项加入网络,综合可得系统的网络模型如下图
,因W此1(s网) 络s图0为0.4.0186995,2可
X2
0.4169/(s+0.08952)
X1
31
•第五步: 优化模型 •系统的发展变化过程是否令人满意,主要反映在闭环系统传递函数的结构 和参数上.根据以上网络图有
W1(s)(x11(s) x12 (s)) x11(s)
•所以整个闭环传递函数为
关于“灰色预测模型”讲解
7.8205 11.184
1
14.7185
1
1
1 1
y = [x (0)(2), x (0)(3), x (0)(4), x (0)(5)]T
= [3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
谢谢观赏！
有不足之处，请老师和同 学指正。若有疑问之处 ，请课后交流！
由于
涉及到累加列
(1) 的两个时刻的值，因此，
(1)
t
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
1 [x(i) (i) x(i) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
xxx(((000))M)(((N23)))xxx(((000))M)(((N12231212 [[[))x)xx(((111)))
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人
概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。
灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
灰色预测模型ppt课件
.
灰色建模实例
北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号
1 2 3 4
年份
1986 1987 1988 1989
Leq 序号
年份
Leq
71.1 5
1990
71.4
72.4 6
1991
72.0
72.4 7
1992
71.6
72.1
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
.
第一步：级比检验，建模可行性分析
.
4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
(k2,3,L,7)，故可以用X ( 0 ) 作满意的GM(1, 1)
建模。
.
第二步： 用GM(1,1)建模
1. 对原始数据 X ( 0 )作一次累加：
k
x(1)(k) x(0)(m) (k1,2,L,7) m1
得：
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )7
.
例2 令原始序列X ( 0 )为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
灰色预测模型讲解
6.2
序列算子与灰色序列生成
公理 6-1（不动点公理） D 为序列算子，则 D 满足
设 X 为系统行为数据系列，
x(n)d=x(n)
公理 6-2（信息充分利用公理） 系统行为数据序列 X 中的每一个数据 x(k),k=1,2,…,n 都应充分的参与算子 作用的全过程。 公 理 6-3 （ 解 析 化 、 规 范 化 公 理 ） 任意的 x(k)d,(k=1,2,…,n), 皆 可 由 一 个 统 一 的 x(1), x(2) ,…,x(n)的初等解析式表达。
1 x ( k ) n0
x ( k 1) x ( k 1)
x (n ) x(n )
T
T
x(k )
新弱化算子
x ( k )d
1 [kx ( k ) ( k 1) x ( k 1) nx ( n )] ( n k )( n k 1) 2 k 1, 2, , n
6.2
序列算子与灰色序列生成
定义 6-5 设 X 为系统行为数据系列，D 为作用于 X 的算子，X 经过算子 D 作用后所 得序列记为
XD x1d , x2d , , xnd
称 D 为序列算子，称 XD 为一阶算子作用序列。 序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 D1,D2,D3 皆为序列算子，我们称 D1D2 为二 阶算子，并称
第6章 灰色系统预测
定义 2 设 X
(0)
ˆ 为原始序列， X
( 0)
为相应的模拟序列，
(0)
为残差序列，则
1 n ( 0) 1 n (0) 2 2 x x (k ) ， S1 ( x (k ) x ) n k 1 n k 1
关于“灰色预测模型”讲解
集成学习可以通过组合多个基模型的预测结果来提高整体 预测性能。可以将灰色预测模型作为基模型之一，与其他 预测方法一起构建集成学习模型。
与模糊逻辑融合
模糊逻辑能够处理不确定性和模糊性问题，可以与灰色预 测模型相结合，提高模型在处理不确定信息时的预测性能 。
THANKS
感谢观看
灰色差分方程
灰色预测模型的核心是建立灰色差分方程，通过对原始数据序列进行累加或累减 生成，构造出具有指数规律的数据序列，进而建立相应的微分方程进行求解。
适用范围及优势
适用范围
小样本建模
适应性强
预测精度高
灰色预测模型适用于数据量较 少、信息不完全、具有不确定 性和动态性的系统。它可以在 数据序列较短、波动较大、趋 势不明显的情况下，进行有效 的预测和分析。
04
灰色预测模型检验与评 估
残差检验法
01
02
03
残差计算
通过比较实际值与预测值 之间的差异，计算残差序 列。
残差分析
对残差序列进行统计分析 ，包括计算均值、方差等 指标，以评估模型的预测 精度。
残差图
绘制实际值与预测值的散 点图，以及残差序列的折 线图，直观展示模型的拟 合效果。
后验差检验法
金融市场分析
灰色预测模型可以用于分析金融市场的波动性和 趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
3
物价水平预测
利用灰色预测模型可以对物价水平进行短期和长 期预测，为政府制定物价调控政策提供依据。
社会领域应用案例
人口数量预测
通过收集历史人口数据，利用灰色预测模型可以对未来人 口数量进行预测，为政府制定人口政策提供参考。
关于“灰色预测模型 ”讲解
灰色预测模型GM
灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。
设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。
J 是关于a , b的二元函数。
由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。
第三讲 灰色预测
(B B)
T
(1 )
1
B YN
T
其中
X X
(1 )
(1 )
(1 ) X (2) X
(2) (3)
(1 )
(1 )
X
( n 1) X
(1 )
(n)
1 1 1
YN X
(0)
( 2 ), X
(0)
( 3 ), , X
14 1 1
14 2 0.634
14 3 0.4963 14 4 0.352
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第五步：求关联度
12
1 4
k 0.551
12 k 1
4
13
1 4
k 0.717
13 k 1
4
因素间 相互关系 的评价
生成列为：
X
1
X
1
1, X 1 2, X 1 3,... X 1 n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X
m
k X m1 i , m 1,......,
i 1
k
数据预处理
对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加 次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非 随机序列。
ˆ X k 1 X
ˆ X k 1 X
0
u u 1 u 1 a1 k m 1 a k 1 q m e e 1 a a a1
(k m )
0
14
X2
1
k 0.621 4
灰色预测讲座
(k) min{ (k)} P max{ (k)} (k 1,..., 6, P 0.5)
(k) P max{ (k)}
求得(k) ={1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67}
(3) 计算关联度
r
1 6
6
(k )
k 1
=0.67
r=0.67 是满足 P=0.5 时的检验准则 r 0.6 的。
绝对残差序列： (0) =｛0，0.02，0，0.04，0.02，0.01｝
相对残差序列： =｛0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%｝
相对残差不超过 1.19%（平均误差为 0.44％），模型精确度高。
关联度检验
(1) 计算序列 x(0) 与 xˆ (0) 的绝对残差序列 (0) (k)
，
k 1, 2,3 , n 1
2.模型的检验
残差检验 (1)根据预测公式 Xˆ (0) (k 1) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k ) 2.9767e0.043879k ，计算 Xˆ (0) (k ) ，得模型值（ k =1,2, … ,6）
Xˆ (0) (k ) ={2.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71｝ 原始序列： X (0) (k ) ={2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72｝ (2)计算绝对残差和相对残差序列
2000 3.13
2001 3.25
2002 3.36
2003 3.56
2004 3.72
分析：
这是一个确定人口增长模型的问题，为使问题简化，应作如 下假设
（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；
（2）该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；
(完整版)灰色预测模型
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
这表明
IAGO X (1) IAGO(பைடு நூலகம்AGO X (0) ) X (0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)
预测方法——灰色预测模型
预测⽅法——灰⾊预测模型灰⾊预测模型主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。
优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。
缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。
GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。
1. 模型预测⽅法2. 模型预测步骤1. 数据检验与处理为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。
设原始数据列为x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))，计算数列的级⽐λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3,...,n如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间X=(e−2n+1,e2n+1)内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。
否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。
2. 建⽴模型根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+ba,k=1,2,...,n−13. 检验预测值1. 残差检验ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)x(0)(k),k=1,2,...,n如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。
2. 级⽐偏差值检验ρ(k)=1−1−0.5a1+0.5aλ(k)如果对所有的|ρ(k)|<0.1，则认为达到较⾼的要求；否则，若对于所有的|ρ(k)|<0.2,则认为达到⼀般要求。
4. 预测预报根据问题需要给出预测预报。
3. py实现import numpy as npimport pandas as pddata=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6] # 数据来源len=len(data) # 数据量# 数据检验lambdas=[]for i in range(1,len):lambdas.append(data[i-1]/data[i])X_Min=np.e**(-2/(len+1))X_Max=np.e**(2/(len+1))l_min,l_max=min(lambdas),max(lambdas)if l_min<X_Min or l_max> X_Max:print("该组数据为通过数据检验，不能建⽴GM模型！")else:print("改组数据通过检验")# 建⽴GM(1,1)模型data_1=[] # 累加数列z_1=[]data_1.append(data[0])for i in range(1,len):data_1.append(data[i]+data_1[i-1])z_1.append(-0.5*(data_1[i]+data_1[i-1]))B=np.array(z_1).reshape(len-1,1)one=np.ones(len-1)B=np.c_[B,one]Y=np.array(data[1:]).reshape(len-1,1)a,b=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y)print('a='+str(a))print('b='+str(b))## 数据预测data_1_prd=[]data_1_prd.append(data[0])data_prd=[] # 预测datadata_prd.append(data[0])for i in range(1,len):data_1_prd.append((data[0]-b/a)*np.e**(-a*i)+b/a)data_prd.append(data_1_prd[i]-data_1_prd[i-1])# 模型检验## 残差检验e=[]for i in range(len):e.append((data[i]-data_prd[i])/data[i])e_max=max(e)if e_max<0.1:print("数据预测达到较⾼要求！")elif e_max<0.2:print("数据预测达到⼀般要求！")# 输出预测数据for i in range(len):print(data_prd[i])灰⾊Verhulst预测模型主要⽤于描述具有饱和状体的过程，即S型过程，常⽤于⼈⼝预测，⽣物⽣长，繁殖预测及产品经济寿命预测等。
数学建模-灰色预测模型(讲解
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
一、灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统； 称信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是 否具有确定的关系。
1灰色系统的定义和特点
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法.
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
灰色预测模型原理分解
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3） 均值生成 均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种，这里介绍邻均值生成。
设原始数列x (0) [x (0) (1), x (0) (2), ,x (0) ( k 1), x (0) ( k ), ,x (0) ( n )]
则称 x (0) ( k -1)与x (0) ( k )为数列x (0) ( k )的邻值，前者为后邻值，后者为前邻值。
模型的精度级别= Max p的级别, C的级别
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3）关联度检验法 关联度分析法是根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素之间 关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。 关联系数的定义
设X 0 X 0 (1), X 0 (2), X i X i (1), X i (2), 则X 0与X 1的关联系数为 :
灰色规划方法、灰色决策方法等。
三、灰色预测
1、 类型 常用的灰色预测有以下五种 1）数列预测：用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模 型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 2）灾变与异常值预测：通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。 3）季节灾变与异常值预测：通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特 定的时区或季节的灾变预测。 4）拓扑预测：将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有 时点，并以该定值为框架构成时点序列，然后建立模型预测该定值所发生 的时点。 5）系统预测：通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型 ，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
计算残差
ˆ (0) (n)] ,x
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可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐 递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成 数列 x (1) .
7.2 灰色系统的模型
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
灰色预测模型讲义
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过 少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出 预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想 方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进 行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学 的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的 发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展 趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假 设和判断.
2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
7.1灰色系统的定义和特点
常用的灰色预测有五种：
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来 构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征 量的时间。
6 3+8+10+7 34.
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
7.2 灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为
i
x(（ 1) i） { x(0) ( j) i 1, 2 , N} j 1
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1) (1) x(0) (1).
• 灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色 系统所做的预测.目前常用的一些预测方法 （如回归分析等），需要较大的样本.若样本 较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰 色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模 精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用， 是处理小样本预测问题的有效工具.
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
ห้องสมุดไป่ตู้
a
(t
t0
)
u a
.
(7.3)’
设 x(1) 满足一阶常微分方程
dx (1)
ax (1)
u
dt
（7.1） （7.2）
（7.3）
7.2 灰色系统的模型
其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对 系统的常定输入.此方程满足初始条件
的解为
当t t0时x(1) x(1) (t0 )
x(1) (t)
x (1)
(t0
)
u a
e
x(1) (i) x(1) (i) x(1) (i 1) x(0) (i)
其中
i 1, 2,..., N，x(0) (0) 0.
7.2 灰色系统的模型
2. 建模原理
给定观测数据列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) }
• 经一次累加得
x(1) {x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (N ) }
7.1 灰色系统的定义和特点
7.1灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法。
7.1灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要 标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
7.1灰色系统的定义和特点
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
7.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
7.2 灰色系统的模型
7.2 灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例7.1】 设原始数据序列