数学建模之灰色预测模型修订稿
数学建模中的灰色预测
的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分 为直接经济影响和间接影响，直接经济影响涉及商品 零售业、旅游业、综合服务业等。很多方面(fāngmiàn)难以进
行 定量地评估，现仅就SARS疫情较严重的某市商品零 售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分 析。
• 灰色预测是应用灰色模型GM对灰色系统进行分析、建模、求解、 预测的过程。由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的 随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为 明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机 分布，也能得到较高的预测精度。因此，灰色预测在社会经济(jīngjì)、 管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的 应用
有白色数的全体。如代购一件价格为100元左右的衣服，100
可作为预购衣服价格的白化值。
灰数有离散灰数（ 属于离散集）和连续灰数（ 属于某
一区间）。
~
~
第五页，共27页。
2.灰色代数方程—含有灰色系数的代数方程
如： x30
x2 2x 3 0
灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分的 方程，如 dx(t) a bx(t)
称所得到的新数列
i 1
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
为数列 x (0的) 1次累加生成数列。类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i), k 1,2,, n, r 1 i 1
称为 x (0)的r次累加生成数列。
第八页，共27页。
（2）累减生成
x (1) (t)
dt （2）
dx(1) (t) ax(1) (t) b,
【数学建模】灰色预测模型（预测）
【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。
2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。
目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。
二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。
目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。
大学生数学建模竞赛模板--sars模型灰色预测
SARS对经济指标的影响王海燕徐昊天吴德春摘要本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及其程度。
为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。
（1）SARS对零售业的影响为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。
利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。
利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。
从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。
（2）SARS对海外旅游业的影响以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。
利用MATLAB软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。
（3）SARS对综合服务业总额的影响以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。
利用方程先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月的预测值。
利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。
因此，我们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。
另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。
虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。
关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差§1问题的提出背景知识与要解决的问题2003年SARS疫情席卷全球，对世界各国各地区各行业都造成一定的影响。
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模之灰色预测模型
简介
特点:模型使用的不就是原始数据列,而就是生成的数据列。
优点:不需要很多数据,一般只用4个数据就能解决历史数据少,序列的完整性与可靠性低的问题。
缺点:只适用于中短期的预测与指数增长的预测。
1
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程,且只含有一个变量的灰色模型。
1、1模型的应用
①销售额预测
②交通事故次数的预测
3
波形预测,就是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时,可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化,以便进行决策。从本质上来瞧,波形预测就是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
3、1模型的应用
①区域降水量预测(下载文档)
②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)
光滑比为
若序列满足
则序列为准光滑序列。
否则,选取常数c对序列 做如下平移变换
序列 的级比
②对原始数据 作一次累加得
建立模型:
(1)
③构造数据矩阵B及数据向量Y
其中:
④由
求得估计值 = =
⑤由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥精度检验与预测
残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若 <0、2则可认为达到一般要求;若 <0、1,则可认为达到较高要求。
③某地区火灾发生次数的预测
④灾变与异常值预测,如对旱灾,洪灾广州市人口预测与分析(下载的文档)
⑥网络舆情危机预警(下载的文档)
1、2步骤
①级比检验与判断
由原始数据列 计算得序列的级比为
若序列的级比 ∈ ,则可用 作令人满意的GM(1,1)建模。
灰色预测模型1
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。
1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
x(1) 的拟合值，用后减运算还原，当k 1, 2, , N 1时，
就可得原始序列 x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
可得原始序列 x (0) 预报值.
3.精度检验
(1)残差检验：分别计算
7.2 灰色系统的模型
7.2 灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减 x(1) (i) x(1) (i) x(1) (i 1) x(0) (i)
x (0)(3) ax (1)(3) u, ..............................
x (0)(N ) ax (1)(N ) u.
7.2 灰色系统的模型
把ax(1) (i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
x(0) (2)
[
x(1)
灰色预测模型的优化及其应用
偏残差灰色预测模型的优化
1 2 3
偏残差灰色预测模型的基本原理
通过对原始数据序列的偏残差进行修正，提高灰 色预测模型的精度。
优化方法一
考虑非等间距序列：在偏残差灰色预测模型中考 虑非等间距序列的影响，可以更准确地反映原始 数据的变化规律。
优化方法二
引入非线性函数：在偏残差灰色预测模型中引入 非线性函数，可以更准确地描述原始数据序列的 变化规律。
05
结论
研究成果总结
灰色预测模型在处理具有不完整、不确定信息的问题上具有优势，能够克服数据量 小、信息不完全等限制。
通过引入优化方法，灰色预测模型在预测精度、稳定性和泛化性能等方面都得到了 显著提升。
灰色预测模型在多个领域具有广泛的应用价值，如经济、环境、医学等，为相关领 域的科学研究提供了新的思路和方法。
灰色神经网络预测模型的优化
01
灰色神经网络预测模型的基本原理
利用神经网络的自学习能力，对灰色预测模型进行优化。
02
优化方法一
选择合适的网络结构：根据历史数据选择合适的网络结构，可以提高灰
色神经网络预测模型的泛化能力。
03
优化方法二
采用集成学习算法：将多个灰色神经网络模型的预测结果进行集成，可
以提高预测精度。
灰色预测模型与其他模型的组合研究
01
02
03
集成学习
将灰色预测模型与其他预 测模型进行集成，通过集 结多个模型的优点，提高 预测精度。
混合模型
将灰色预测模型与其他模 型进行混合，以充分利用 各种模型的优势，提高预 测性能。
多模型融合
将多个灰色预测模型进行 融合，通过综合多个模型 的预测结果，提高预测精 度。
基于大数据和人工智能的灰色预测模型研究
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数学建模之灰色预测模型WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-一、灰色预测模型简介（P372）特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。
优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。
缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。
1、GM(1,1)预测模型GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。
模型的应用 ①销售额预测②交通事故次数的预测③某地区火灾发生次数的预测④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。
（百度文库）⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 步骤①级比检验与判断由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为(0)(0)(1)(),2,3,,.()x k k k n x k λ-==若序列的级比()k λ∈ 2212(,)n n e e-++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。
光滑比为(0)1(0)1()()()k i x k p k xi -==∑若序列满足[](1)1,2,3,,1;()()0,,3,4,,;0.5.p k k n p k p k k n ϕϕ+<=-∈=<则序列为准光滑序列。
否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换(0)(0)()(),1,2,,,y k x k c k n =+=序列(0)y 的级比0(0)(1)(),2,3,,.()y y k k k n y k λ-=∈Θ=②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（）建立模型:(1)(1),dx ax b dt+= （1）③构造数据矩阵B 及数据向量Y(1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ⎡⎤- ⎢⎥- ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- 1⎣⎦(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦（） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=）④由1ˆˆ()ˆT T auB B B Y b -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦求得估计值ˆa= ˆb = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)(1)k 0,1,,1,,ˆˆak b b xk x e n a a -⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则模型还原值为(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=-⑥精度检验和预测残差(0)(0)ˆ()()(),1,2,,,k x k xk k n ε=-=相对误差(0)|()|()k x k ε∆=相对误差精度等级表级比偏差10.5()1(),10.5a k k a ρλ-⎛⎫=-⎪+⎝⎭若()k ρ<则可认为达到一般要求；若()k ρ<，则可认为达到较高要求。
利用matlab 求出模型的各种检验指标值的结果如表经过验证，给出相应预测预报。
2、新陈代谢模型灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。
与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度获得更进一步的提高。
局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。
模型的应用①深圳货运量预测；（下载文档）②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）； ③网络舆情危机预警（下载文档）。
步骤①建立新陈代谢数据序列 原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =，用最新信息(0)(1)x n +替换最初数据(0)(1)x ，即得到新陈代谢数据序列(0)(0)(0)(0)((2),,(),(1))y x x n x n =+。
②后续步骤同GM(1,1)模型。
③用②计算出的最新结果再次替换最初信息(0)(2)x 得到新序列重复步骤②，以此类推，将计算结果制表并分析。
3、波形预测波形预测, 是对一段时间内行为特征数据波形的预测。
当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化, 以便进行决策。
从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
模型的应用①区域降水量预测（下载文档）②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 步骤①求出序列折线由原始数据列((1),(2),,())x x x x n =得出序列X 的k 段折线图形为[]()()(1)()k x x k x k x k x k '=+-+-序列X 的折线为[]{}()()(1)()|1,2,,1kxx k x k x k x k k n '=+-+-=-②选取等高线令{}{}max min 11(),()max min k nk nx k x k σσ≤≤≤≤==则有0min 1max min min 1max min min min max min max 1,(),,(),,1(),(0,1,2,,)s s is ss i s sγσγσσσγσσσγσσσγσ==-+=-+-=++==如果k x 的i 段折线上有γ等高点，则坐标为()(,)(1)()x i i x i x i γγ-++-。
③等高点的计算解方程k x =γ得到折线k x 与γ的交点(0)()x i =(,())(1,2,)i i x x x i ''=，即γ等高点。
④(0)()x i 构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的GM(1,1)预测。
⑤得出波形预测画出波形图，并分析。
4、Verhulst 模型Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S 型过程。
常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。
（例如B 题艾滋病疗法的评价及治疗预测） 步骤①模型的建立对原始数据(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =作一次累加得(1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（）令(1)(1)(1)()0.5()0.5(1),2,3,,,z k x k x k k n =+-=得(1)x 的均值生成序列为(1)(1)(1)(1)((2),(3),,()).z z z z n =则得到灰色Verhulst 模型为(0)(1)(1)2()x az b z +=灰色Verhulst 模型的白化方程为(1)(1)(1)2()dx ax b x dt+= （2） ②参数求解构造数据矩阵B 及数据向量Y(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)2(2)(2)(3)(3)),()())z z z z B z n z n ⎡⎤- ( )⎢⎥- (⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- (⎣⎦(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦（） 由1ˆˆ()ˆT T auB B B Y b -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦求得估计值ˆa= ˆb = ③解微分方程（2）得灰色Verhulst 模型的时间序列响应为(0)(1)ˆ(0)(0)ˆ(1)(1),ˆˆˆ(1)(1)ak axx k bx abx e +=⎡⎤+-⎣⎦通过累减还原得(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)().xk x k x k +=+-④精度检验和预测 同GM(1,1)模型。
例题：某地区年平均降雨量数据如表1。
规定ξ= 320，并认为(0)()x i ξ≤为旱灾。
预测下一次发生的时间。
表1 某地区年平均降雨量数据解：模型的建立：①列出原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =，确定在(0)320x s ≤的条件下的下限灾变数列0x ξ与其相对应的时刻数列(0)t 。
计算光滑比(0)1(0)1()()()k i t k p k ti -==∑判断序列(0)t 是否满足满足[](1)1,2,3,,5;()()0,,3,4,5;0.5.p k k p k p k k ϕϕ+<=∈=<②对数列(0)t 做1次累加，得(1)t 。
③建立GM(1，1)模型。
(1)(1),dt at b dt+= （1） ④构造数据矩阵B 及数据向量Y(1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ⎡⎤- ⎢⎥- ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- 1⎣⎦(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦（） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,5.z k t k t k k =+-=）⑤由1ˆˆ()ˆT T auB B B Y b -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦求得估计值ˆa，ˆb 。
⑥由微分方程（1）得生成序列预测值为ˆ(1)(0)ˆˆˆ(1)(1)k 0,1,,1,,ˆˆak b b xk x e n a a -⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则模型还原值为(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1),1,2,,1,.xk x k x k n +=+-=-预测到第6个和第7个数据。
模型的求解（1）根据题得：原始数据列(0)x =,412,320,,,,553,310, 561,300,632,540,,,576,,因为当(0)320x s ≤时的(0)()x i 为异常值，可得下限灾变数列为0x ξ=(320,310,300,,与其相对应的时刻数列为： (0)t = (3,8,10,14,17) 利用matlab 计算得出序列光滑。
（2）对数列(0)t 做1次累加，得(1)t =(3,11,21,35,52)（3）由步骤③，④，⑤并利用matlab 解得ˆa = ˆb = （4）由步骤⑥，预测得到第6个和第7个数据为(0)(0)(6)22.034,(7)28.3946t t ==由于与17相差这表明下一次旱灾将发生在五年以后。