数学建模-灰色预测方法(1)
灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0 ,
Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
用灰色模型进行数学建模-数学建模中的灰色方法
数学建模中的灰色方法在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人在数学建模的过程中，常常遇到些诸如：人口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。
量化分析方法大都是现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。
对于多因素的、非线性的则难以处理。
的情形对于多因素的非线性的则难以处理针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。
创立灰色系统的数的方法即灰色系统生成法创立学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出理论灰建模理论并创灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。
一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体系任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。
系统内部存在有物质流、信息流、能量流。
系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）（）灰色系统公理：（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）22.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最小信息”；最小信息原（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综灰色系统用灰色参数灰色方程灰色矩阵灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。
1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数（只知道部分数学特征而不知道具体数值的参数）（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。
例如：“某人的身高约为170cm 、体重大致为60kg”，这里的“（约为））”“60”都是灰数这里的（约为）170（cm ）、60都是灰数，分别记为、。
01灰色预测
算法简介1、灰色预测模型（必掌握） 灰色预测模型使用范围：①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式③只适合做中短期预测，不适合长期预测。
灰色预测原理比较简单，详细的可以参考司守奎《数学建模算法与应用》。
需要注意的几点是：（1）灰色预测的使用范围（2）灰色预测中的“级比”如果级比不在范围要对数据进行处理。
（3）司老师书中的代码，并没有运行出后面的运行结果，如果想运行出预测的结果，看下面的说明。
（4）在使用灰色预测的时候要考虑残差等（见代码的最后三行） （5）代码直接复制粘贴文本文档的文件就可以了。
（6）文本文档是给出了两种代码，不要复制错了，第一个是司老师书中的。
第二个是学员提交的作业，可以直接得出预测结果，但是没有检验结果。
例 北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见1。
表1 城市交通噪声数据/dB(A)序号 年份 eq L序号 年份 eq L1 1986 71.1 5 1990 71.42 1987 72.4 6 1991 72.03 1988 72.4 7 1992 71.6 4198972.1该例题源代码如下： clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';%注意这里为列向量 n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比 range=minmax(lamda') %计算级比的范围 x1=cumsum(x0); %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); u=B\Y syms x(t)x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。
数学建模-灰色预测模型(讲解
2 灰色系统的模型
在灰色系统理论中，把一切随机变量都看作灰色数，
即使在指定范围内变化的所有白色数的全体，对灰数处理 主要是利用数据处理的方法去寻求数据间的内在规律，通 过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以 此来研究寻求数据的规律性，这种方法称为数据的生成。
得到原始数据序列
7.3 销售额预测
注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我 们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常 微分方程。
7.2 灰色系统的模型
4.GM(1,1)的建模步骤 综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
销售额预测
7.3 销售额预测
随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是 增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋 势. 因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
(整理)灰色预测法-
第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。
是一个确定的数。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
人的身高、体重等是连续灰数。
5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。
6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。
数学建模-灰色预测方法
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有 n个观察值
x(0) (1), x（0（） 2）, x(0) (n)
数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累 减生成和加权累加生成等。
（1） 累加生成
设原始数列为 x(0) x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n) ，令
k
x (1) (k ) x (0) (i) (k 1,2,, n) i 1
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0)
的１- 次累加生成数列。类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) i 1
称之为 x (0) 的r- 次累加生成。记
x(r) x(r) (1), x(r) (2),, x(r) (n)
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
累加举例：设原始时间序列为 X 0 1 , 2 ,1.5 , 3
一次累加生成列为
X 1 1 , 3 , 4.5 , 7.5
X 0 的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大， 而 X 1 已呈现明显的增长规律性。
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。
数学建模之灰色预测基础篇
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——我们最常用 • GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个
变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
一、做生成数列 原始数列： x0 (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
1、累加生成 AGO ：
（1）一次累加生成 1 AGO ：
k
x(1) (k ) x(0) (i), k a,, n ia
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
(0)
预测数列： x (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
0i
1 | s0 | | si |
1 | s0 | | si | | si s0
|
n 1
| s0 ||
x00 (k ) 0.5x00 (n) |
k 2
n 1
| si ||
xi0 (k ) 0.5xi0 (n) |
三、检验准指数规律
(k ) x(1) (k ) [1,1.5)
x(1) (k 1)
• 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落 在可容覆盖中，从而对于不合格的序列，可保证 经过选择数据变换处理后能够进行建模，通常的 数据变换有：平移变换、对数变换、方根变换。 如：
y(0) (k) x(0) (k) c, k 1,2,, n
GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
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式中： (i) ——第i个数据的关联系数；
——分辨系数，一般取0.5
第五步计算关联度
1 n (i) n i1
式中： ——数列 X (0) 对 Xˆ
n ——样本个数。
的关联度。
根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
此外，也可计算 X (0) 与 Xˆ 的绝对关联度 【1】，若对 于给定的 0 0, 有 0 ，则称为关联度合格模型。
100%
i 1,2,..., n
一般要求 i 20% ，最好是 i 10%
平均相对精度：p0 (1 ) 100%
平均相对误差：
1 n1
n i2
|
i
|
一般要求 p0 80% ，最好是 p0 90%
而对于给定的 ，
当
且 n
成立时，(
X 0 的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大， 而 X 1 已呈现明显的增长规律性。
（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成
序列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
如果数据列为
，令
x(0) (k) x(1) (k) x(1) (k 1), k 2, 3, , n
dt z(1) (k) 为白化背景值，对应于 x(1) (t)
则灰微分方程对应的白化方程为： dx(1) ax(1) (t) b dt
灰方程也可改写为： az(1) (k) b x(0) (k)
设 aˆ 为待估计参数向量，则
按最小二乘法求解，有：
aˆ
a b
式中：
aˆ (BTB)1BTY
1)
x(0) (1)
b a
eat
b a
; t 1, 2,
,n
xˆ (0) (t 1) xˆ (1) (t 1) xˆ (1) (t )
1 ea
x(0) (1)
b a
eat
;
t
1,
2,
,n
注意：GM(1,1)白化型不是从定义推导出来的，是一种
“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结
果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。
也可由GM(1,1)模型推导出另一表达式——内涵型表达式：
xˆ (0) (t)
1 1
0.5a 0.5a
t2
b
1
a
x(0) (1) 0.5a
;
t
1,
2,
,n
灰色预测的事前检验
由 而得的数列 称为紧邻均值生成数列。
2 GM（1，1）模型
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。
然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
残差： i x0 i xˆ0 i i 1,2,..., n
残差序列 (0) ( 1 , 2 , n)
相对误差： i
i x0 i
x(1) (1) x(0) (2)
x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(1) (2) x(0) (3)
x(1) (n) x(1) (n 1) x(0) (n)
令 Z (1) 为 X (1) 的均值序列Z (1) ( z(1) (2),
(i) | xˆ (0) (i) x(0) (i) |
第三步计算最小差与最大差
最小差为： Min{(i)} 最大差为： M ax{(i)}
第四步计算关联系数 (i)
(i) Min{(i)} Max{(i)} (i 1, 2, , n) (i) Max{(i)}
若原始数据不适合建立GM(1,1)模型，则进行予处理。
注：GM(1，1)模型中发展系数a的取值范围
a
2 , n1
2 n 1
二、GM（1，1）的建模步骤
三、模型检验
灰色预测检验一般有残差、关联度和后验差检验。
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
累加举例：设原始时间序列为 X 0 1 , 2 ,1.5 , 3
一次累加生成列为
X 1 1 , 3 , 4.5 , 7.5
则称 x(0) (k ) 为数列 x(1) 的1- 次累减生成。
一般地，对于r次累加生成数列
则称
为数列
的累减生成数列。
（3） 均值生成
设原始数列
则称
与 为后邻值，
为数列
的邻值，
为前邻值.
对于常数
，则称
为由数列
的邻值在生成系数（权）
下
的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数
时，则称
为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非紧邻值生成数
给定序列 X (0) 能否建立较高精度的GM(1,1)模型，一
般用序列 X (0) 的光滑比 (k) 对 X (0) 作准光滑性检验； 用累加序列 X (1) 的级比 (1) (k) 对 X (1) 作准指数规律
性检验来判断满足建模条件
光滑比定义：
(k)
x(0)(k) x(1) (k 1)
的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生
新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称
为数据的生成。
数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累
减生成和加权累加生成等。
（1） 累加生成
设原始数列为
，令
则称
为数列
的１- 次累加生成，数列 称为数列
的１- 次累加生成数列。类似地有
称之为
式中： xˆ (0) (i) —— i时期预测值。
xˆ (1) (i) ，xˆ (1) (i 1) ——生成数列预测值，按 xˆ (1) (i 1) 计算。
对于数列预测，要建立多个预测模型，得到多组预测值， 然后进行分析，从中确定出一个合适的预测模型，以取定 一组合适的预测值。
的r- 次累加生成。记
，称之为
ห้องสมุดไป่ตู้
的r- 次累加生成数列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列的第一 个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列 的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据， 将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数
据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则 进行下去，便可得到生成列。
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1) 模型的改进 4 灰色预测实例
1灰色预测理论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
根据经验，对给定 , 0 , C0 , p0 的一组取值，就确定
了检验模型模拟精度的等级划分如下表。
通过以上检验，如果相对误差、关联度、均方差比值、 小误差概率都在允许范围之内时，则可用所建模进行预 测，否则应进行残差修正。
表 预测精度等级划分
指标临界值 精度等级
一级 二级 三级 四级
相对误差
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有 n个观察值
x(0) (1), x（0（） 2）, x(0) (n)
对 X (0) 作累加生成，得到新的数列 X (1，) 其元素
有：
k
x(1) (k) x(0) (m) k 1, 2, , n
m1
x(1) (1) x(0) (1) x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2)
z(1) (2) 1
B
z
(1)
(3)
1
z
(1)
(n)
1
x(0) (2)
Y
x(0
)
(3)
x(
0)
(
n)
将 aˆ 代入
aˆ
a b
，并解微分方程，有
GM
(1, 1)
预测模型——白化响应式（解）为：
xˆ (1) (t
0.01 0.05 0.10 0.20
关联度
0
0.90 0.80 0.70 0.60
均方差比值
C0
小误差概率
p0
0.35
0.95
0.50
0.80
0.65
0.70
0.80
0.60
四、预测 GM(1,1)模型经以上检验合格后可用于预测，其预测公式为：