北理工复变函数与积分变换试题

复变函数与积分变换试题及答案19

复变函数与积分变换试题与答案一、题判断(每题2分，共10分，请在正确的题后打"J",错误的题后打"X")1、/(Z)=SinZ是有界函数。

( )2、函数/(z)=e，是以Lri为周期的周期函数。

( )3、如果ZO是/(Z)的奇点，那么/(Z)在Zo不可导。

( )4、假设函数F(Z)在Z I)处解析，那么尸")(z)也在z“解析。

( )5、、的假设"(x,y)与V(X,y)都是调和函数，那么/(z)=w(x,y)+i∖{x,y)是解析函数。

( )二、填空题(每题4分，共16分)1、设Z=2-那么Iz I=,arg z。

1+Z2、(I+*,(1+0,=o3、Ln(―3i)=,主值In[—3/)=。

4、f(I)=t2+te,+e2'sin6/,那么/(f)的拉氏变换是。

三、解答题(8分+12分=20分)1、求卜/+,.y)/,其中C是沿曲线y=/由点z=0到点z=l+i C2、根据R的取值不同，讨论并计算积分 ------ - .... 的值。

其中C是不经过Z=-IJ z2(z+l)(z-2)和z=2的正向圆周IZl=R(R>0)o四、解答题(每题8分，共16分)1、U(X,y)=V-3『y是调和函数，求其共辆调和函数v(x,y).2、/(Z)=/-)在何处可导？何处解析？并在可导处求/"(z).五、解答题(1、2题每题8分，3题6分，共22分)I I万1、求将单位圆∣Z∣<1内保形映照到单位圆I Wl<1内，且满足/(—)=0,arg/,(一)=-的分式线性映照。

2、将/(z)= .............. ?......... 在l<∣z∣<3上展开成罗朗级数。

(z-l×z-3)3、指出/(z)===在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数六、计算题(每题8分，共16分)1、求正弦函数/(r)=Sino/的傅氏变换。

07000048-05级复变函数与积分变换(工科A卷)参考答案

课程编号：07000048北京理工大学2006—2007学年第二学期2005级复变函数与积分变换试题A 卷参考答案与评分标准一 (6) 求下列复数的值。

(1) ()i i - 解：原式(ln||2)2()22()i i ik i k iLn i e eek Z ππππ----===∈ …………3’(2) ()i Ln e解：原式ln ||arg()2(21) ()i i e i e k i k i k Z ππ=++=+∈ …………3’二 (10) (1) 求区域{:||1}z z i -<在映射2()w z i =-下的像，并作出其映射过程的图形。

解：该映射可分解为11, 2,w z i w w =-=而区域{:||1}z z i -<是以i 为心、1为半径的圆盘，经平移1w z i =-后得到在1w 平面的象为圆盘11{:||1}w w <，然后伸长2倍得到在w 平面的象为圆盘{:||2}w w <。

………2’(2) 判别函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。

解：设222(,), (,)2u x y x y x v x y xy y =--=-，则21,2,2,22.u u v v x y y x y xyxy∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂………1’若()f z 在z x iy =+处可导，则由Cauchy-Riemann 方程得1w 1=z -iw =2w 1,.u v u v xyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ………2’即2122, 22,x x y y y -=--=-得 1.2y =………3’故()f z 仅在直线12y =上可导，从而在复平面上处处不解析。

………5’三 (10) 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，其中(,), (,)u x y v x y 为二元实函数，并且2(,)(,)v x y u x y =，试证：()f z 在区域D 内是一个常数。

复变函数与积分变换测验题2参考答案

第二章解析函数一、选择题：1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。

2．B 注：函数)(z f 在点z 可导，)(z f 在点z 不一定解析；反之，)(z f 在点z 不解析，则函数)(z f 在点z 可导；函数)(z f 在一区域内处处可导等价于处处解析3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；B 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不一定不可导C 解析的条件; v u ,在区域D 内可微，v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，4． C 由柯西黎曼方程可得。

5．B 第二节例2.3的结论：解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

6．C 注：选项A ，B ，D 中函数)(z f 只是有定义，并为要求解析。

反例：x i x z f sin cos )(+= 选项C 设解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 则解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f -=两式相加得到解析函数),()(y x u z g 2= 满足柯西黎曼方程，因此0=∂∂xu 两式相减得到解析函数),()(y x v z h 2= 满足柯西黎曼方程，因此 0=∂∂xv 所以，函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导数0=∂∂+∂∂=x v i x u z f )(' 根据：第二节例2.3的结论：解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

7．A 导数公式 xv i x u z f y x iv y x u z f ∂∂+∂∂=+=)('),(),()(，则导数若 8．A 注：本题函数是 z e ，不是 ze 。

))sin()(cos(y i y e e e x iy x z -+-==-判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。

《复变函数与积分变换》(全集)1-5(北工大)

z
1 z
z x iy e x (cos y i sin y) 解：因为 e e
所以其模 e z e x , 实部 Re(e z ) e x cos y.
(1) e
i 2 z
e i 2( x iy ) e 2 x i (12 y ) ,
e i 2 z e 2 x ;
z 5
e z 的周期是2ki ,
f (z) e e
z 5
z 2 ki 5
e
z 10 ki 5
f ( z 10ki ),
故函数 f ( z ) e 的周期是 10 ki .
z 5
(sin z ) cos z, (cosz ) sin z.
1 , (Lnz ) 1 . (ln z ) z z
证 (3)
y 0
设 z x iy , 当 x 0 时,
y 0
lim arg z ,
lim arg z ,
所以, 除原点与负实轴, 在复平面内其它点 ln z 处处连续. w z e 在区域 arg z 内的反函数 w ln z
( 2)Ln( 3 3i )
ln 3 3i iArg( 3 3i )
3 ln 2 3 i arctan 2k 3
ln 2 3 i 2k . 6
( 3)Ln ( 3) ln 3 iArg(3) ln 3 ( 2k 1)i .
例1求 Ln2, Ln( 1) 以及与它们相应的主值. 解
因为 Ln 2 ln 2 2ki ,
所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln( 1) ln1 iArg( 1)

北理工复变函数与积分变换试题

课程编号：MTH17036 北京理工大学2016—2017学年第二学期2015级复变函数与积分变换试题B 卷班级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________一 (10) (1) 求上半平面Im()0>z 在映射(1)=+w i z 下的像。

(2) 求函数()22f z z i z ||Re()=+在复平面上的可导点及解析点。

二（6）求解析函数iv u z f +=)( 满足：22(,)=-+u x y x y xy .三（60）计算下列积分：(1)2C x y ix dz ()++⎰，其中积分路径C 分别为1）连接点0z =与1z i =+的直线段；2）连接点0z =与点z i =直线段以及连接点z i =与点1z i =+的直线段所组成。

（2）32111z z dz z cos ()-=-⎰ （3）2211z dz z z ||()=+⎰ （4）4||211=-⎰z dz z （5）5231z dz z z ()()=--⎰ （6）220n x dx cos π⎰，其中n 为自然数（7）2031x dx x cos +∞+⎰ （8）3||11sin =⎰z dz z z （9）43112z dz z z z ||()()=+-⎰四（6）求函数212f z z z ()=--在点0z =处的Taylor 级数展开式。

五（12）将函数21f z z i z()()=-分别在下列圆环域中展开为罗伦（Laurent ）级数（1)01z ||<<, （2）1z i ||->。

六（6）设函数()f z 在=z a 的邻域内连续，则0||()lim2()π→-==-⎰r z a r f z dz if a z a 。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴４、空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立（２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模，幅角。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为：，，。

3．Ln z 在的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换试题与答案

复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（） A.-3π B.6πC.3πD.23π2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴3.下列说法正确的是（）A.ln z 的定义域为 z>0B.|sin z|≤1C.e z ≠0D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin zdz z⎰=2π i ，则整数n 为（）A.-1B.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z ⎰=（）A.-2πiB.0C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（）A.-3i 36π B.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（） A.|z|<1 B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（）A.1B.-13!C.13! D.15!10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（） A.-1k B.0 C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（一级）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换练习题带答案(1)

f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23．若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ，则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1，则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段，则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段，则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
（√）
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点，那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)
；
（√）
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t， t，0
t
1
，即，
z
=
t
+ it，0
t
1
,
dz =（1+i）dt
于是,原式= 1t（1+ i）dt = 1+ i .

复变函数与积分变换期末考试卷北理珠

1 / 4一、填空、选择题（每小题3分，共21分）【得分：】 1. 以下说法错误的是（）A. ()f z 是解析函数，则在任何一个含原点的简单闭曲线C 上，()0cf z dz =⎰B. ()f z 在含原点的简单闭曲线C 上有()0cf z dz =⎰，则()f z 必为解析函数C.()df z v vi dz y x∂∂=+∂∂.在()f z 的解析点成立，此处()(,)(,)f z u x y iv x y =+ D. ()f z 若为解析函数，则每一个0z 处展开的洛朗级数，就是泰勒级数.2. 以下结论错误的是（）A. ln z 是单值函数，ln(1)-有意义B. Lnz 是多值函数，(1)Ln -有意义.C. ln z 可求导，且1(ln )z z'=，但z 不包括负实轴上1x -∞<≤- D.cos z 是周期函数，是偶函数，且cos 1z ≤3. 以下结论错误的是（）A. ()f z .以0z 为本性奇点，则必有0[(),]0.res f z z ≠B. ()f z .以0z 为可去奇点，则必有0[(),]0.res f z z =.C. ()f z .仅以1,2z z ==为两个孤立奇点，则3()0z f z dz ==⎰也是可能发生的.D. ()f z .仅以1,2zz ==为两个孤立奇点，C为简单闭曲线，且内部不含1z =，也不含2z =，则必有()0c f z dz =⎰4. 下列级数中，不收敛的是（）A. 211nn i n ∞=-∑ B.12!n nn n n ∞=⋅∑ C. 1(1)nn n i ∞=+∑ D.21(1)ln nn n n∞=-∑5 ln().e i =6. 计算||11.sin z dz z==⎰7.1-的主幅角arg(1).-=二、计算题（每题7分，共21分）【得分：】 1. a bi +形式表出.2. 已知解析函数实部是22cos x x y e y -+，且(0)1f =，求这个解析函数()f z 的表达式.3. (sin )z 和sin()z 有什么联系和区别？计算(sin ).iiz dz -⎰积分为z i =-到z i =的直线.三、解答题（每题7分, 共28分）【得分：】 1.计算 (1)12ln(1)z z dz =+⎰. (2)12ln(1)z z dz z =+⎰. (3)212ln(1)z z dz z =+⎰.3 / 42. 1()(1)(2)f z z z =--在圆环域2z <<+∞内展开为洛朗级数.3．31()(2)z dz z i z =-+⎰4．求ln(1)z +在0z =为中心的泰勒级数，指出收敛半径，写出()[ln(1)]?n z z =+=.四、解答题（前3小题每小题7分，第4小题9分，共30分）【得分：】 1．()t δ为单位冲激函数. (1)求(1)t dt δ+∞-∞-⎰.（2）求[()]F t δ（Fourier 变换）.2.设2,0()0,t e t f t t -⎧≥=⎨<⎩，求[()]F f t .3．设(),0f t t t =≥，求Laplace 变换[()]L f t .4．已知2,0()0,0t e t f t t -⎧≥=⎨<⎩，3,0()0,0t e t g t t -⎧≥=⎨<⎩，求()()f t g t *.。

《复变函数与积分变换》试卷及答案

得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号一二三四五六总分得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（）； 2.)1(i Ln +-的主值是（）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （）；4．0=z 是 4sin z zz -的（）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（一级）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： . . 。

3．Ln z 在的区域内连续。

4． f ( z ) = z 的解极域为：。

5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。

7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。

10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。

、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。

五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。

1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。

+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。

八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解：四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解：原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12．解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2）（3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ）与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题（每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

复变函数与积分变换(练习题) (答案)

复变函数与积分变换第一章练习题1．计算(1)(2)i i i --；解：（1）103)31)(31()31(3123)2)(1(2i i i i i ii i i i i i i +-=+-+=-=+-=--；（2）10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=---=----------=--。

2．解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩；解：消元法，)2()1(+⨯i 得：i z i 33)31(1-=+，解得：563)31)(31()31)(33(31331i i i i i ii z --=-+--=+-=，代入)1(得：517656322ii i z --=---⨯=。

3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值；解：]arg arctan arctan,arctan arg ππππ，（，，三，二一，四-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=z x y x y xy z ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--)43s i n ()43c o s (21ππi i ；[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=+-ππi i 。

4．用复数的三角表示计算312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、；解：1)sin()cos()3cos()3cos(23133-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππππi i i ； 3,2,1,0,4243s i n 4243c o s 2)43s i n43(c o s 228341=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k i k i ππππππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=163sin 163cos 2830ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1611sin 1611cos 2831ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1619sin 1619cos 2832ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1627sin 1627cos 2833ππi z 。

《复变函数与积分变换》卷二

《复变函数与积分变换》一、判断题（正确打“√”，错误打“×”,每题2分，共20分） 1、212121Re 2z z z z z z +=；（）2、()为任意实数则设y x x yz iy x z ,0arctan arg ,<+=+=π；（）3、解析函数的实部和虚部都是调和函数；（）4、⎰==+12041z dz z ；（）5、幂级数的和函数在其收敛圆的内部不能逐项求导；（）6、2ππ+=k z 是()zz f cos 1=的五阶极点；（） 7、若0z 是函数()z f 的孤立奇点，则()[]10,Re -=C z z f z ；（） 8、在扩充复平面上，分式线性映射把圆映射成圆；（） 9、()1tt dt δ-∞=⎰；（）10、单位阶跃函数()t u 的拉普拉斯变换为s1. （）二、填空题（每空2分，共20分） 1、复数i +3的辐角主值为； 2、)43(ln i +-的值为；3、若()()()y x iv y x u z f ,,+=为解析函数，则是()y x v ,的共轭调和函数；4、积分⎰=-2||2z zdz zz e 的值为； 5、幂级数∑∞=121n nz n的收敛半径为；6、函数()zzz f sin =在0=z 的留数为； 7、实轴在映射iz iw +=2下的像曲线； 8、设()=ωF ℱ()[]0,t t f 为是实常数，则ℱ()0f t t -=⎡⎤⎣⎦；9、用Matlab 求)(z f '的命令为； 10、用Matlab 的基本二维绘图命令为 . 三、求解下列各题（每题6分，共30分）1、利用留数计算积分dz z e z z ⎰=-222)1(；2、将()()()31--=z z z f 2在32<<z 内展成洛朗级数；3、计算函数()()521)(2+-=z z z z f 在各孤立奇点处的留数；4、求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象；5、用拉式变换求解微分方程.2)0(,0)0(,0)(4)(='==+''y y t y t y四、证明下列各题（3分+5分，共8分）1、证明函数2)(z z f =在点0=z 可导，且导数等于0；（3分）2、验证xy y x y x u 2),(22+-=是z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数()()()y x iv y x u z f ,,+=，使i i f 21)(+-=.（5分）五、求下列函数的积分变换（每题5分，共10分） 1、求函数()t t f 2sin =的傅氏变换； 2、求函数()t t f cos =的拉氏变换. 六、实验题（每题3分，共12分）1、写出ze z zf z sin )(2=在0=z 的极限的Matlab 源程序；2、写出求函数()1122+++=z z z z f 在孤立奇点处留数的Matlab 源程序；3、写出函数()()t e t g t e t f t t sin ,cos 22--==的Fourier 变换的Matlab 源程序；4、写出函数()()22222ωω+-=ss s F 的Laplace 逆变换的Matlab 源程序.试卷一参考答案一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每题2分，共20分） 1、（√）; 2、（×）；3、（√）；4、（√）；5、（×）； 6、（×）；7、（√）；8、（√）；9（×）；10、（√）. 二、填空题（每空2分，共20分） 1、6π；2、⎪⎭⎫⎝⎛+-+π34arctan 5ln i ；3、()y x u ,-；4、0 ；5、 1 ；6、 0 ；7、11=-w ；8、()ωωF e t j 0-；9、diff ；10、 Plot .三、求解下列各题（每题6分，共30分） 1、解: 先求出被积函数在1=z 处的留数.因为1=z 是函数22)1(-z e z的2阶极点，所以.2)1()1(lim ]1,)1([Re 2222122e z e z z e s zz z ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-→------4分再由留数定理得.422)1(22222ie e i dz z e z zππ=⋅=-⎰= ------6分 2、解：在32<<z 内，有,13,12<<zz()()()分分63232331214-31131211131)(0111011-----<<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--------=--=∑∑∑∑∞=+∞=-∞=-∞=n n nn n n nn n n z z z z z z z zzz z z f 23、解：由于5,0-=z 是)(z f 的一阶极点，有()()()201521lim)(lim ]0,[Res 20=+-==→→z z z zf z f z z -------2分 ()()245121lim)()5(lim ]5,[Res 255-=-=+=--→-→z z z f z z f z z -------4分2=z 是)(z f 的二阶极点，有()()1969552lim ))()2((lim ]2,[Res 22222-=++-='-=→→z z z z f z z f z z ------6分 4、解：令θi re z =，则πθ<<<0,1r ------2分 ϕθρi i e e r z ==222，πθϕρ220,12<=<<=r------4分故2z w =将上半单位圆域映射为1||<w 且沿0到1的半径有割痕.------6分5、解：对方程两边取拉式变换，并利用线性性质和微分性质有)),(()((,0)(4)0()0()(2t y L s Y s Y y sy s Y s ==+'--------3分代入初值即得2z w=42)(2+=s s Y , ------5分根据t 2sin 的拉式变换结果，有.2sin )]([)(1t s Y L t y ==- ------6分四、证明下列各题（3分+5分，共8分） 1、证: 由商式,0)0()(22z zz z zz f z f ===-- ------2分当0→z 时，0→z ，故在可导且导数等于0. ------3分2、证：（1）2,222=∂∂=∂∂xux xu； ,2,222-=∂∂-=∂∂y uy y u 在z 平面有02222=∂∂+∂∂yux u 故),(y x u 是调和函数. ------1分（2）利用C —R 条件，先求出),(y x v 的两个偏导数.y x xu y v y x y u x v 2222+=∂∂=∂∂+-=∂∂-=∂∂ ------2分则 C dy y x dx x y y x v y x +++-=⎰)22()22(),(),()0,0(⎰⎰+++-=xy C dy y x dx x 0)22()2(C y xy x +++-=222)2()2()(2222C y xy x i xy y x z f +++-++-=2(1)i z iC =-+ ------3分由 121121)(=⇒+-=+-⇒+-=C i iC i i i f ------4分故 i z i z f +-=2)1()( ------5分五、求下列函数的积分变换（每题5分，共10分） 1、解：()dt t e dt et f F t j tj ⎰⎰+∞∞---+∞∞-==2sin )(ωωω()d te e e jt j tj t j ⎰+∞∞----=2221ω -----2分()()dt e e jtj t j ⎰+∞∞-+----=][2122ωω ()()()()]2-2[][222----=--=⎰+∞∞----ωδωδπωωj dte e j t j tj ------4分 ()()]22[--+=ωδωδπj ------5分2、解: 由于(),21cos jt jte e t -+=ℒ[]j s e jt -=1 -------2分所以有ℒ()[]=t f ℒ[]21cos =t [ℒ()jt e +ℒ()jt e -] ------4分 =111212+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-s sj s j s -------5分六、实验题（每题3分，共12分）1、解 syms z; ------1分 f=(z^2)*exp(z)/(sin(z)); ------2分 limit(f,z,0) ------3分2、解 ])1,1[],1,2,1([residue ]K P,R,[= ------3分3、解 syms t w ------1分 f=exp(-t^2)*cos(t);g=exp(-t^2)*sin(t); ------2分 F=simple(fourier(f))G=simple(fourier(g)) ------3分 4、解 syms t s ω; ------1分F=(s^2-ω^2)/(s^2+ω^2)^2; ------2分 f=ilaplace(F) ------3分。

复变函数与积分变换期末试题及答案

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式：；指数表达形式：；几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是。

5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是二、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。

4.求sin d (1)Czz z z -⎰，其中C 为||2z =。

5.求e d cos zCz z⎰，其中C 为||2z =。

6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。

7．指出 6sin )(z zz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。

8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内，且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。

四、利用拉氏变换求解微分方程（6分）⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t （提示：1[]1t L e s -=+）试题答案一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式：222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式：2(2)32k i eππ-+ ；几何表达形式：|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2．=-i 2)3(222ln3k ieππ--+；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则()d Cf z z ML ≤⎰.4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是||1z <。

北理工复变函数与积分变换 试题

复变函数与积分变换试题及答案19

07000048-05级复变函数与积分变换(工科A卷)参考答案

复变函数与积分变换测验题2参考答案

《复变函数与积分变换》(全集)1-5(北工大)

北理工复变函数与积分变换 试题

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换五套试题及答案

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

复变函数与积分变换习题册(含答案)

复变函数与积分变换试题与答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

复变函数与积分变换练习题带答案(1)

复变函数与积分变换期末考试卷北理珠

《复变函数与积分变换》试卷及答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数及积分变换试题及答案

复变函数与积分变换(练习题) (答案)

《复变函数与积分变换》卷二

复变函数与积分变换期末试题及答案

北理工复变函数与积分变换试题

北理工复变函数与积分变换试题