2014北京市高考压轴卷 数学(理科) 含解析

2014北京市高考压轴卷

理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知

11x

yi i

=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则

123()()()f x f x f x ++的值为(

)

A.正

B.负

C.零

D.可正可负

3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A ．4+

52π B ．4+32π C ．4+2

π D ．4+π 4.如图所示为函数π

()2sin()(0,0)2

f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，

其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )

A ．-1

B ．

C

D ．1

5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．

其中正确命题的个数是（）

6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有

，则不等式的解集为

A． B．C． D．

7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）

B

8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）

9.已知集合

{}{}

22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若

{}

3A B =-，则实数a 的值为

________________.

10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．

11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ． 12.

展开式中有理项共有 项．

13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______

14.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

15.已知向量)4

cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x x ==．记x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；

(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若

f (A )=

，试判断∆ABC 的形状． 16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；

②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：

参考公式：2

()()()()

K a b c d a c b d =++++

命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题. 17.已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；

（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；

（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11

ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1

CP

PC 的值；若不存在，请说明理由.

18.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个

端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .

求证: '⋅k k 为定值.

19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,

342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .

（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*

N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*

N ，三个数

(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

20.已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线

方程；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1

[e]e ,上有两个零点，求实数m 的取值范围；

（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，

，，，且120x x <<， 求证：12

(

)02

x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）

．