信息论基础-中国科学技术大学
信息论基础-中国科学技术大学
熵（Entropy）
定义
一个离散随机变量
的熵
定义为 熵的量纲根据对数 的底来定义
对数取2为底，对应的熵的单位是比特(bit)； 取e为底（自然对数），熵的单位为奈特(nat)； 取10为底（常用对数），熵的单位为哈特(hart)
各单位间的换算：
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解：“e”的自信息量 “d”的自信息量 “y”的自信息量
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
《信息论基础》
自信息量的性质
自信息量是非负的 确定事件的信息量为 零 自信息量是概率的单 调递减函数 I(x)基于随机变量X 的特定取值x，不能 作为整个随机变量X 的信息测度。
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》 16
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《信息论基础》
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链式法则
定理 对于服从联合分布为p(x,y)的一对离 散随机变量(X,Y)，
推论 对于服从联合分布为p(x,y,z)的三个 随机变量(X,Y,Z)，
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《信息论基础》
链式法则的文氏图表示
H(X|Y)
H(Y)
H(X)
H(Y|X)
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自信息量单位的转换
对数的换底公式
一般情况下，我们在课程中使用2为底的对 数，信息量的单位是比特。
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》 14
自信息量的例子
例
英文字母中“e”出现的概率为0.105，“d” 出现的概率为0.035，“y”出现的概率为 0.012。分别计算它们的自信息量。
高斯信道
信道容量和带宽的关系
1.5
1
C
0.5
0
0
5
10
15 W
20
25
30
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《信息论基础》
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带宽有限信道的信道容量
香农公式的物理意义为：当信道容量一定 时，增大信道的带宽，可以降低对信噪功 率比的要求；反之，当信道频带较窄时， 可以通过提高信噪功率比来补偿。香农公 式是在噪声信道中进行可靠通信的信息传 输率的上限值。
定义
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《信息论基础》
高斯信道信道编码定理的证明
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《信息论基础》
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高斯信道信道编码定理的证明
1. 码簿的生成：令 为i.i.d. ~ ，形成码 字 2. 编码：码簿生成之后，将其告知发送者和接收者。对消 息下标w，发送器发送 3. 译码：联合典型译码
是联合典型的 不存在其他的下标 满足
1. 下标集 2. 编码函数 a。 生成码字 ，且满足功率限制P，
3. 译码函数 4. 平均误差概率：
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高斯信道的信道编码定理
对于一个功率限制为P的高斯信 道，如果存在满足功率限制的一个 码序列，使得最大误差 ，则称码 率R关于该功率限制为P的高斯信道是可 达的。 高斯信道的信道容量即是所有可达码率的 上确界。
转化成离散二元对称信道 离散信道的特点：可纠错，但有量化损失
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高斯信道的信道容量
功率限制为P的高斯信道的信道 容量定义为：
定义
高斯信道的信道容量为：
最大值在
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第8章微分熵-中国科学技术大学
第8章微分熵设X是一个随机变量，其累积分布定义函数为。
如果F(x)是连续的，则称该随机变量是连续的。
当F(x)的导数存在时，令f(x)F(x)。
若，则称f(x)是X的概f(x)=F’(x)率密度函数。
另外，使f(x)>0的所有x构成的集合称为X的支撑集。
一个以f(x)为密度函数的连续随机定义变量X的微分熵（differential entropy）定义为《信息论基础》中国科学技术大学刘斌1第8章微分熵设X是一个随机变量，其累积分布定义函数为。
如果F(x)是连续的，则称该随机变量是连续的。
当F(x)的导数存在时，令f(x)F(x)。
若，则称f(x)是X的概f(x)=F’(x)率密度函数。
另外，使f(x)>0的所有x构成的集合称为X的支撑集。
一个以f(x)为密度函数的连续随机定义变量X的微分熵（differential entropy）定义为《信息论基础》中国科学技术大学刘斌2微分熵的例子[0,a]上的均匀分布：例✓a<1时，h(X)<01时h(X)0正态分布：例《信息论基础》中国科学技术大学刘斌3连续随机变量的AEPAEP ：对于一个独立同分布的随机变量序列来说， 设是一个服从密度函数f(x)的独立同分布的随机变量序列，则定理定义 对及任意的n ，定义f(x)的典型集如下定义其中中国科学技术大学刘斌4《信息论基础》连续随机变量的典型集性质集合的体积Vol(A)定义为定义连续随机变量的典型集有如下的性质连续随机变量的典型集有如下的性质：1.对于充分大的n ，定理2.对于所有的n ，33.对于充分大的n ，中国科学技术大学刘斌5《信息论基础》微分熵和离散熵的区别如果随机变量X的密度函数f(x)是黎曼定理可积的，那么《信息论基础》中国科学技术大学刘斌6微分熵和离散熵的区别H(X)是离散意义的熵，是信息熵，无限大h(X)是连续意义的熵，是微分熵h()是连续意义的熵是微分熵微分熵h(X)不代表信源X的平均不确定度，也不代表X每取一个数值所提供的平均信息量，不含有信息度量的内涵《信息论基础》中国科学技术大学刘斌7微分熵和离散熵的区别连续随机变量X经过精确到小数点后n比特位的量化处理后，熵的值大约是h(X)+n般情况下，在精确到位的意义下，()一般情况下，在精确到n h(X)+n 是为了描述X所需的平均比特数。
信息论基础1~8
信息论基础1~81 绪论与概览2 熵相对熵与互信息2.1 熵H(X)=−∑x∈X p(x)logp(x)H(X)=−∑x∈Xp(x)logp(x)2.2 联合熵H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Y p(x,y)logp(x,y)H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Yp(x,y)logp(x,y)H(Y|X)=∑x∈X p(x)H(Y|X=x)H(Y|X)=∑x∈Xp(x)H(Y|X=x)定理2.2.1(链式法则): H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)H(X,Y)=H(X)+H(Y|X) 2.3 相对熵与互信息相对熵(relative entropy): D(p||q)=∑x∈X p(x)logp(x)q(x)=Eplogp(x)q(x)D(p||q)=∑x∈Xp(x)lo gp(x)q(x)=Eplogp(x)q(x)互信息(mutual information): I(X;Y)=∑x∈X∑y∈Y p(x,y)logp(x,y)p(x)p(y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))I(X;Y) =∑x∈X∑y∈Yp(x,y)logp(x,y)p(x)p(y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))2.4 熵与互信息的关系I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)互信息I(X;Y)是在给定Y知识的条件下X的不确定度的缩减量I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)2.5 熵,相对熵与互信息的链式法则定理 2.5.1(熵的链式法则): H(X1,X2,...,X n)=∑ni=1H(Xi|X i−1,...,X1)H(X1,X2,...,Xn)=∑i=1nH(Xi| Xi−1, (X1)定理 2.5.2(互信息的链式法则): I(X1,X2,...,X n;Y)=∑ni=1I(Xi;Y|X i−1,...,X1)I(X1,X2,...,Xn;Y)=∑i=1nI(Xi ;Y|Xi−1, (X1)条件相对熵: D(p(y|x)||q(y|x))=∑x p(x)∑yp(y|x)logp(y|x)q(y|x)=Ep(x,y)logp(Y|X)q( Y|X)D(p(y|x)||q(y|x))=∑xp(x)∑yp(y|x)logp(y|x)q(y|x)=Ep(x,y)logp (Y|X)q(Y|X)定理 2.5.3(相对熵的链式法则): D(p(x,y)||q(x,y))=D(p(x)||q(x))+D(p(y|x)||q(y|x))D(p(x,y)||q(x,y))=D( p(x)||q(x))+D(p(y|x)||q(y|x))2.6 Jensen不等式及其结果定理2.6.2(Jensen不等式): 若给定凸函数f和一个随机变量X,则Ef(X)≥f(EX)Ef(X)≥f(EX)定理2.6.3(信息不等式): D(p||q)≥0D(p||q)≥0推论(互信息的非负性): I(X;Y)≥0I(X;Y)≥0定理2.6.4: H(X)≤log|X|H(X)≤log|X|定理2.6.5(条件作用使熵减小): H(X|Y)≤H(X)H(X|Y)≤H(X)从直观上讲,此定理说明知道另一随机变量Y的信息只会降低X的不确定度. 注意这仅对平均意义成立. 具体来说, H(X|Y=y)H(X|Y=y) 可能比H(X)H(X)大或者小,或者两者相等.定理 2.6.6(熵的独立界): H(X1,X2,…,X n)≤∑ni=1H(Xi)H(X1,X2,…,Xn)≤∑i=1nH(Xi)2.7 对数和不等式及其应用定理 2.7.1(对数和不等式): ∑ni=1ailogaibi≥(∑ni=1ai)log∑ni=1ai∑ni=1bi∑i=1nailogaibi≥(∑i =1nai)log∑i=1nai∑i=1nbi定理2.7.2(相对熵的凸性): D(p||q)D(p||q) 关于对(p,q)是凸的定理2.7.3(熵的凹性): H(p)是关于p的凹函数2.8 数据处理不等式2.9 充分统计量这节很有意思,利用统计量代替原有抽样,并且不损失信息.2.10 费诺不等式定理2.10.1(费诺不等式): 对任何满足X→Y→X^,X→Y→X^, 设Pe=Pr{X≠X^},Pe=Pr{X≠X^}, 有H(Pe)+Pe log|X|≥H(X|X^)≥H(X|Y)H(Pe)+Pelog|X|≥H(X|X^)≥H(X|Y)上述不等式可以减弱为1+Pe log|X|≥H(X|Y)1+Pelog|X|≥H(X|Y)或Pe≥H(X|Y)−1log|X|Pe≥H(X|Y)−1log|X|引理 2.10.1: 如果X和X’独立同分布,具有熵H(X),则Pr(X=X′)≥2−H(X)Pr(X=X′)≥2−H(X)3 渐进均分性4 随机过程的熵率4.1 马尔科夫链4.2 熵率4.3 例子:加权图上随机游动的熵率4.4 热力学第二定律4.5 马尔科夫链的函数H(Yn|Y n−1,…,Y1,X1)≤H(Y)≤H(Y n|Y n−1,…,Y1)H(Yn|Yn−1,…,Y1,X1)≤H(Y)≤H(Yn|Yn−1,…,Y1)5 数据压缩5.1 有关编码的几个例子5.2 Kraft不等式定理5.2.1(Kraft不等式): 对于D元字母表上的即时码,码字长度l1,l2,…,l m l1,l2,…,lm必定满足不等式∑iD−li≤1∑iD−li≤15.3 最优码l∗i=−log Dpili∗=−logDpi5.4 最优码长的界5.5 唯一可译码的Kraft不等式5.6 赫夫曼码5.7 有关赫夫曼码的评论5.8 赫夫曼码的最优性5.9 Shannon-Fano-Elias编码5.10 香农码的竞争最优性5.11由均匀硬币投掷生成离散分布6 博弈与数据压缩6.1 赛马6.2 博弈与边信息6.3 相依的赛马及其熵率6.4 英文的熵6.5 数据压缩与博弈6.6 英语的熵的博弈估计7 信道容量离散信道: C=maxp(x)I(X;Y)C=maxp(x)I(X;Y)7.1 信道容量的几个例子7.2 对称信道如果信道转移矩阵p(y|x)p(y|x) 的任何两行相互置换,任何两列也相互置换,那么称该信道是对称的.7.3 信道容量的性质7.4 信道编码定理预览7.5 定义7.6 联合典型序列7.7 信道编码定理7.8 零误差码7.9 费诺不等式与编码定理的逆定理7.10 信道编码定理的逆定理中的等式7.11 汉明码7.12 反馈容量7.13 信源信道分离定理8 微分熵8.1 定义h(X)=−∫Sf(x)logf(x)dxh(X)=−∫Sf(x)logf(x)dx均匀分布 h(X)=logah(X)=loga正态分布h(X)=1/2log2πeδ2h(X)=1/2log2πeδ2 8.2 连续随机变量的AEP8.3 微分熵与离散熵的关系8.4 联合微分熵与条件微分熵8.5 相对熵与互信息8.6 微分熵, 相对熵以及互信息的性质。
中国科学技术大学数学系课程简介
课 号：MA02006 课程名称（中文）：线性代数（2） 课程名称（英文）：Linear Algebra (II) 学 时：80 学 分：4 开课学期：秋 预修课程：整数与多项式、MA03003 解析几何 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程讲授线性空间关于线性变换的空间分解理论和矩阵的 Jordan 标准型理论；讲授 Euclid
28
பைடு நூலகம்
热传导方程与调和方程的定解问题，解的存在性、唯一性和稳定性。适当地介绍方程线的 相应问题及柯西-柯娃列夫斯卡娅定理，对特征理论、算子理论、广义函数理论也做了适量 的讨论。通过内容的论述介绍了偏微分方程中常用的广义解及处理手段并适当地引入一些 现代化的处理方法
的微分学和积分学的基本内容以及基本的运算技巧和方法。
课 号：MA02001 课程名称（中文）：数学分析（2） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(2) 学 时：100 学 分：5 开课学期：春 预修课程：MA02000 数学分析（1） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程主要讲授数项级数，函数列与函数项级数，Fourier级数与Fourier积分；Rn的拓扑及
多变量连续函数的性质。
课 号：MA02002 课程名称（中文）：数学分析（3） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(3) 学 时：80 学 分：4 开课学期：秋 预修课程：MA02001 数学分析（2） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程讲授多变量函数的微分学和积分学，表达重积分和线面积分之间关系的 Green 公式，
Gauss 公式和 Stokes 公式；介绍数量场和向量场中几个重要的量以及它们之间的关系；讲 授用参变量积分表示的函数的性质。
信息论基础
信息论基础
信息论是一门研究信息传输和处理的科学。
它的基础理论主要有以下几个方面：
1. 信息的定义：在信息论中，信息被定义为能够消除不确定性的东西。
当我们获得一条消息时，我们之前关于该消息的不确定性会被消除或减少。
信息的量可以通过其发生的概率来表示，概率越小，信息量越大。
2. 熵：熵是一个表示不确定性的量。
在信息论中，熵被用来衡量一个随机变量的不确定性，即随机变量的平均信息量。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
3. 信息的传输和编码：信息在传输过程中需要进行编码和解码。
编码是将消息转换为一种合适的信号形式，使其能够通过传输渠道传输。
解码则是将接收到的信号转换回原始消息。
4. 信道容量：信道容量是指一个信道能够传输的最大信息量。
它与信道的带宽、噪声水平等因素相关。
信道容量的
计算可以通过香浓定理来进行。
5. 信息压缩：信息压缩是指将信息表示为更为紧凑的形式，以减少存储或传输空间的使用。
信息压缩的目标是在保持
信息内容的同时，尽可能减少其表示所需的比特数。
信息论还有其他一些重要的概念和理论，如互信息、信道
编码定理等，这些都是信息论的基础。
信息论的研究不仅
在信息科学领域具有重要应用，还在通信、计算机科学、
统计学等领域发挥着重要作用。
信息论基础第二版习题答案
信息论基础第二版习题答案信息论是一门研究信息传输和处理的学科，它的基础理论是信息论。
信息论的基本概念和原理被广泛应用于通信、数据压缩、密码学等领域。
而《信息论基础》是信息论领域的经典教材之一，它的第二版是对第一版的修订和扩充。
本文将为读者提供《信息论基础第二版》中部分习题的答案，帮助读者更好地理解信息论的基本概念和原理。
第一章：信息论基础1.1 信息的定义和度量习题1：假设有一个事件发生的概率为p，其信息量定义为I(p) = -log(p)。
求当p=0.5时，事件的信息量。
答案：将p=0.5代入公式，得到I(0.5) = -log(0.5) = 1。
习题2：假设有两个互斥事件A和B，其概率分别为p和1-p，求事件A和B 同时发生的信息量。
答案：事件A和B同时发生的概率为p(1-p)，根据信息量定义，其信息量为I(p(1-p)) = -log(p(1-p))。
1.2 信息熵和条件熵习题1：假设有一个二进制信源，产生0和1的概率分别为p和1-p，求该信源的信息熵。
答案：根据信息熵的定义，信源的信息熵为H = -plog(p) - (1-p)log(1-p)。
习题2：假设有两个独立的二进制信源A和B，产生0和1的概率分别为p和1-p，求两个信源同时发生时的联合熵。
答案：由于A和B是独立的，所以联合熵等于两个信源的信息熵之和，即H(A,B) = H(A) + H(B) = -plog(p) - (1-p)log(1-p) - plog(p) - (1-p)log(1-p)。
第二章：信道容量2.1 信道的基本概念习题1：假设有一个二进制对称信道，其错误概率为p，求该信道的信道容量。
答案：对于二进制对称信道，其信道容量为C = 1 - H(p)，其中H(p)为错误概率为p时的信道容量。
习题2：假设有一个高斯信道，信道的信噪比为S/N，求该信道的信道容量。
答案：对于高斯信道，其信道容量为C = 0.5log(1 + S/N)。
信息论基础
教师：吴旭 手机：18236888638 Email：wuxu@
1
信息论与编码原理
教பைடு நூலகம்： 曹雪虹,张宗橙．信息论与编码(第二版)． 9 2009 北京：清华大学出版社，200
2
参考书：
1.叶中行．信息论基础．北京：高等教育出版社， 2.孙丽华，陈荣伶 ．信息论与编码．江西：科学技 术出版社，2002 3.田丽华．编码理论．西安：西安电子科技大学 出版社，2003 4.张鸣瑞，邹世开．编码理论．北京：北京航天航空 出版社，1990 5. 姜丹．信息论与编码．北京：中国科学技术大学 出版社， 2004 6. 曹雪虹，张宗橙．信息论与编码．北京：北京邮 电大学出版社， 2001 7. 傅祖芸．信息理论与编码学习辅导及精选题 解．北京：电子工业出版社，2004
1.2 通信系统的模型
�
�
通信系统的模型是什么？各部件的功能 作用是什么？ 通信系统的性能指标有哪些？
28
信息论基础的重要性
�
�
�
信息论是信息科学和技术的基本理论，信息科 学大厦的地基； 没有信息论的基础，从事通信与信息领域的研 究和创新是不可能的事情； 总之，信息论是高层次信息技术人才必不可少 的基础知识。
� 信息的基本概念在于它的不确定性，任 何已经确定的事物都不含有信息。 例.如果你问你的同学“明天是星期几”，则 答案中含有多少信息量？ 情况一.你不知道今天是星期几 情况二.你知道今天是星期一 � 通信过程是一种消除不确定性的过程, 不确定性的消除,就获得了信息。 例.同学对你说”你编码原理考试通过了”, 你得到了消息,获得了信息吗?
�
信息：是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。 人们从来自对周围世界的观察得到的数据中获得信 息。信息是抽象的意识或知识，它是看不见、摸不 到的。人脑的思维活动产生的一种想法，当它仍储 存在脑子中的时候就是一种信息。信息是信号与消 息的更高表达层次。三个层次中，信号最具体，信 息最抽象。它们三者之间的关系是哲学上的内涵与 外延的关系。
信息论基础各章参考答案.doc
= pQhb) = = pWLh)124各章参考答案2. 1. （1） 4.17 比特；（2） 5.17 比特；(3) 1.17 比特； (4) 3.17 比特 2. 2. 1.42比特2. 3.(1) 225.6 比特；(2) 13.2 比特2. 4. (1) 24.07 比特；(2) 31.02 比特2. 5. （1）根据炳的可加性，一个复合事件的平均不确定性可以通过多次实验逐步解除。
如果我们使每次实验所获得的信息量最大。
那么所需要的总实验次数就最少。
用无秩码天平 的一次称重实验结果所得到的信息量为log3,k 次称重所得的信息量为klog3o 从12个硬币 中鉴别其中的一个重量不同（不知是否轻或重）所需信息量为log24。
冽31og3=log27>log24o 所以在理论上用3次称重能够鉴别硬币并判断其轻或重。
每次实验应使结果具有最大的炳。
其中的一个方法如下：第一次称重：将天平左右两盘各放4枚硬币，观察其结果：①平衡 ② 左倾③右倾。
i ）若结果为①，则假币在未放入的4枚币，第二次称重：将未放入的4枚 中的3枚和已称过的3枚分别放到左右两盘，根据结果可判断出肃中没有假币；若有，还能 判断出轻和重，第三次称重：将判断出含有假币的三枚硬币中的两枚放到左右两盘中，便可 判断出假币。
订）若结果为②或③即将左盘中的3枚取下，将右盘中的3枚放到左盘中，未 称的3枚放到右盘中，观察称重缺码，若平衡，说明取下的3枚中含假币，只能判出轻重， 若倾斜方的不变，说明在左、右盘中未动的两枚中其中有一枚为假币，若倾斜方向变反，说 明从右盘取过的3枚中有假币，便可判出轻重。
（2）第三次称重类似i ）的情况，但当两个硬币知其中一个为假，不知为哪个时, 第三步用一个真币与其中一个称重比较即可。
对13个外形相同的硬币情况.第一次按4,4,5分别称重，如果假币在一五个硬币的组里，则鉴 别所需信息量为Iogl0>log9=21og3,所以剩下的2次称重不能获得所需的信息.2. 6. (1) log2“=15 比特；(2)1比特；（3） 15个问题2. 7. 证明： （略）2. 8.证明： （略）/ 、 111 、 12.9. P (dibi) = - p(ci\bi )= 12P (cM — — P (sb) < , 12 ,6,2. 10.证明： （略） 2. 11.证明： （略）2.12.证明： (略)2 [3.(1) H(X) = H(Y) = 1, H(Z) = 0.544, H(XZ) = 1.406, H(YZ) = 1.406,H(XKZ) = 1.812(2)H(X/Y) = H(Y/X) = 0.810f H(X/Z) = 0.862, H(Z/X) = H(Z/Y) =0.405 , H(Y/Z) = 0.862, H(X/YZ) = H(Y/XZ) = 0.405, H(Z/XY) =(3)1(X;K) = 0.188 Z(X;Z) = 0.138 Z(K;Z) = 0.138 7(X;Y/Z) =0.457 , I(Y;Z/X) = I(X;Z/Y) = 0.406(单位均为比特/符号)p 游(000) = 1)= Pg(l°l)=服z(l 1°)= 714. X 1 Z ■,(2)P加(°°°)=P宓(111)= !(3)P加(°°°)= 〃加(°。
信道容量
6. 联合典型译码
是联合典型的 不存在其他的下标 满足
7. 如果
，则说明译码错误
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《信息论基础》
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信道编码定理的逆定理
设 为 经过容量C的离散无记忆信道传输所 得的信号，则 零误差码的情况下 费诺不等式：设离散无记忆信道的输入消息W 服从 上的均匀分布，则
信道：信道转移矩阵p(y|x)的任何两行互
定义
弱对称（weakly symmetric）
相置换，而所有列的元素和
相等
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《信息论基础》
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弱对称信道的信道容量
定理 对于弱对称信道，
当输入字母表上的分布为均匀分布时达到该容量。
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10
信道容量的性质
容量（channel capacity）定义为
固定p(y|x)，I(X;Y)是p(x)的凹函数
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无噪声二元信道
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《信息论基础》4无重叠输出的有噪源自信道中国科学技术大学 刘斌
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有噪声的打字机信道
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《信息论基础》
《信息论基础》
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信道编码定理
信道编码定理：只要码率小于信道容量，信息 就可以通过该信道可靠的传输 信道编码定理使用的新思想：
允许任意小的非0误差概率存在； 连续使用信道许多次，以保证可以使用大数定理 ； 在随机选择的码簿上计算平均误差概率，这样可以 使概率对称，而且可以用来证明至少存在一个好的 编码。
定义 服从分布p(x,y)的联合典型序列 所构成的集合 满足
中国科学技术大学数学系_信息与计算科学_专业建设探索_张韵华
第25卷第2期大 学 数 学V ol.25,№.2 2009年4月COLLEGE M A TH EM A TICS Apr.2009中国科学技术大学数学系“信息与计算科学”专业建设探索张韵华, 邓建松, 岳兴业(中国科学技术大学数学系,合肥230026)1 中科大“信息与计算科学”专业情况简介一、专业名称的演变1952年高等学校在全国范围内进行了院系调整,设立了综合性大学13所、高等师范院校33所,这些高校均有数学系,专门培养数学专业人才和公共数学基础课程的教师.1955年,北京大学等高校开始在数学系里设立“计算数学”专业,60年代一批留学前苏联的回国学者如冯康院士、石钟慈院士、吴文达教授、苏煜城教授和李岳生教授等,他们是国内计算数学专业的开拓者和先驱,他们领导了国内计算数学专业的建设和发展.1984年按教育部要求“计算数学”专业更名为“计算数学及其应用软件”专业,这一阶段各高校按教育部要求对该专业增加了计算机课程的内容,例如,数据结构、数据库和软件工程等课程,为数学系计算数学毕业生到信息产业就业提供了机会和条件.为了进一步淡化专业、拓宽培养口径,1998年教育部对所有专业的数量与名称进行了统一的调整,将原来的八个数学学科专业合并为三个专业,即数学与应用数学专业、信息与计算科学专业,以及(与经济类的统计学合一的)统计学专业.“信息与计算科学专业”由信息科学、计算数学、运筹学和控制论四个主干专业方向整合而成.她是随着科学计算、信息科学、计算机科学与技术的发展,在数学学科内形成的一个新的重要学科分支.以科学计算为共性基础和联系纽带,由以前的计算数学专业、计算数学及应用软件专业、运筹学和控制等专业并融入信息学组建而成.其中计算数学所占比例最大.至1998年调整专业目录前,全国设立计算专业的学校约有70个,全国设立信息专业的学校还不足10个,专业点不足80个.一方面新专业的名称吸引了生源,另一方面信息产业逐步认识到数学基础训练对人才培养的重要性,“信息与计算”成了招生热门专业.从1998年全国不足80个专业到至2004年全国已有426所高校开办了该专业,当年招生人数约为27774人,成为所有理科专业中发展最快,人数最多的专业之一.目前该专业在各高校从属的院系也并不统一,大多数放在数学学院或数学系下,也有放在计算机系下;有的学校将运筹学与控制论方向放在信息与计算专业中,有的则放在“数学和应用数学”专业中.专业名称更名后很多学校增加了信息类课程,例如,信息论基础.近年来,许多院校都对信息科学专业的专业内涵、教学目标和课程设置等涉及人才培养的问题作了认真深入的研讨.全国高等学校教学研究中心、全国高等学校教学研究会、教育部数学教学指导委员会多次举办全国性有关信息和计算专业的教学研讨会. [收稿日期]2007-03-24 [基金项目]2005年安徽省教学研究重点项目(2005002)由教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会和高等教育出版社共同多次在暑假举办“全国信息与计算科学专业教学改革研讨会暨骨干教师培训班”,培训班针对如何办好这一专业以及教师培训等问题进行研讨,聘请有关专家就“信息与计算科学专业”的专业内涵、专业规范、教学内容与课程体系作相关报告.例如,开设数学实验、数学建模、数字信号处理、信息论基础、分形与小波和偏微分方程数值解等课程,促进和提高了“信息与计算科学专业”的整体办学水平.二、我校“信息与计算科学”专业建设历程1958年中国科学技术大学数学系由著名数学家华罗庚教授亲自主持创办并任首届系主任,关肇直、吴文俊、冯康、林群等一大批知名专家曾在此任教.数学系建系之初,以科学院数学所为依托,从1958年建系起就设立了计算数学专业,冯康先生首任计算教研室主任.担任过计算教研室主任的还有石钟慈院士、常庚哲教授、李翊神教授、冯玉瑜教授和刘儒勋教授和奚梅成教授.经过近五十年的艰苦创业和求实创新的治学,现已形成一支有一定规模的专业师资队伍,拥有长江讲座教授舒其望,国家杰出青年基金获得者陈发来教授,在职和返聘教授9名,副教授和讲师8名,45岁以下的教员都具有博士学位.同时聘任石钟慈院士、鄂维南博士为华罗庚大师讲席教授,王东明博士为吴文俊大师讲席教授,聘请清华大学韩厚德教授为兼职教授.本专业培养了象余得浩、舒其望、鄂维南、王东明、蔡伟、杜强、陈发来等优秀的计算数学专业人才.科大数学系一直高度重视专业建设和人才培养,每学期定期召开教学研讨会,参加全国信息与计算科学方向的教学研讨会,不断对原教学计划与培养方案做了适应性的修改和完善.2004年申报省级教改项目:“信息与计算科学课程建设”.2 专业建设目标和培养方案一、人才培养的目标科大数学系从华罗庚创办之初就定下了加强基础的“宽、厚、实”的教学指导思想,并一直延续至今.科大数学系长期坚持淡化专业界限,注重基础知识的掌握和基本技能的训练,培养宽口径、有创新精神、适应能力强,知识、能力和素质全面发展的人才.学生在一到三年级不分专业,统一学习基础课,将加强基础落在实处.培养学生具有扎实的数学和应用数学的基础,全面的物理基础,掌握信息科学和计算科学的基本理论和方法,使学生初步具备从事科学研究、教学、解决实际问题及开发软件等能力.通过加强基础将部分学生培养成从事科学前沿、交叉学科和新兴学科的教学与研究工作的人才;通过计算机和软件开始的训练,将部分学生培养成从事科技、教育、信息、军事等领域的应用开发和管理技术人才.为毕业后到信息、金融和企业单位就业创造条件.二、课程培养方案本专业学制4年.弹性学制为3到6年.要求修读的课程由四部分组成,通修课、学科群基础课、专业课和高级课程(即本硕贯通课).本科生必须修满160学分,并且符合学分结构要求才能毕业,获得学士学位.优秀毕业生往往能修满180学分左右.下列各层次的课程设置.1.通修课(61学分)按照教育部对高等学校的课程设置规定,通修课包括政治、英语、物理、计算机类课程和电子类课程.其中物理课程涵盖普通物理及相关试验课程,总计16学分.计算机类包括C 语言、数据结构与数学库等课程.2.学科群基础课(69学分)其中有数学分析(15学分)、解析几何(3学分)、初等数论(3学分)、线性代数(8学分)、实变函数(4学分)、常微分方程(4学分)、近世代数(4学分)、微分几何(4学分)、复变函数(4学分)、拓扑学(4学分)、偏微分方程(4学分)、泛函分析(4学分)、数理统计(4学分)、概率论(4学分).对学生进行全面、系统的数学基础课程训练,贯彻了科大宽厚实的基础教学指导思想.5第2期 张韵华,等:中国科学技术大学数学系“信息与计算科学”专业建设探索6大 学 数 学 第25卷3.专业课(29学分)包括专业必修课(15学分)和专业选修课(选14学分)专业必修课:数学建模(3学分)、数值分析(3学分)、数值代数(3学分)、偏微分方程数值解(3学分)、Sobolev空间与有限元(3学分);专业选修课:数学实验(2学分)、数学基础(2学分)、符号计算系统(2学分)、软件工程(2学分)、理论力学(3学分)、整体微分几何(3学分)、信息论基础(3学分)、数学史(2学分)、代数编码(3学分)、控制论(3学分)、计算数论(2学分)、数理经济学(3学分)、网络安全(3学分)、计算数论(3学分)、高等几何(3学分).4.高级课程即本、硕贯通课(27学分)图论(3学分)、现代密码学(3学分)、计算机图形学(3学分)、控制论(3学分)、逼近论(3学分)、非线性数学导论(3学分)、并行算法(3学分).本、硕贯通课是科大专业课程的特色课程,即选定一部分专业课程为本、硕贯通课程,即供高年级本科生选修,也供低年级研究生选修.其课程设置、课程内容、授课课时从属于研究生课程体系.每年都有90多人次本科生选修本、硕贯通课程.5.大学生研究计划大学生研究计划有别于大学生的毕业论文(设计)工作,其主要宗旨是让学生通过参与教师或科研人员课题组工作,并在导师的指导下,掌握基本的科学研究方法及熟悉科学研究工作的全过程,让学生了解和参与科学研究的前沿,培养学生的科学研究能力.“大学生研究计划”分为学年和暑期两种,前者要求学生一年的课余时间,后者是利用暑假期间,在选定教师的指导下从事目标和任务明确的科研工作.利用科学院和科大“所系结合”的方针,大三暑假学生可去中科院北京研究生院、信息安全国家重点实验室、中科院数学与系统科学研究院、中科院各研究所参与实践、实习活动,并与大学生研究计划、毕业论文结合起来.3 科大“信息与计算科学专业”教学特色一、加强基础长期坚持加强基础教育的宽、厚、实,注重基础知识的掌握和基本技能的训练,通过分析、几何和代数的课程坚固学生的数学基础,重视学科群基础课的深度和广度.2006年教指委指定的“信息与计算科学”专业规范中规定各校可根据不同的培养方向在A类专业必修课选择不少于2—3门,A类专业必修课给出了数学基础课程的广度和深度,而我校将A类课程全部揽入到学科群基础课中.其中A类必修课:微分几何,实变函数论,泛函分析,抽象代数,拓扑学,复变函数论,常微分方程,数学物理方程.让学生在三年的基础课程学习中发现自己的兴趣和爱好,为他们在四年级选择适合个人发展的专业时做好了准备.有利于培养宽口径、有创新精神、适应能力强,知识、能力和素质全面发的人才.二、淡化专业淡化专业的措施:我系前三年不分“数学与应用数学”和“信息和计算科学”专业,统一学习数学基础课.第四年学生根据学生的志愿选择专业,并按基础数学专门人才和数学应用人才两种模式培养.通过开设专业选修课,学生自主选课,自然分流,适当引导和调整.除了完成本专业的必修课外,学生也可以选修任一方向的课程.目标是培养知识与能力并重,综合素质全面发展的人才.为培养具有全面素质及交叉学科的人才,在课程结构上做了大幅度的调整.加强了物理学,计算机学科及人文素质类课程的学习.增大学生选修其他学科的课程以及学习双学位课程.此外,开设了较多的专业选修课程,特别是一些交叉性学科,如数学物理,生物数学,金融数学,信息安全,信息论等等,以促进交叉学科人才的培养.在宽口径的培养计划中,两个数学专业所学课程只相差2—3门专业限选课,多数学校的限制性选修课又按数学与应用数学、信息和计算科学分为两类,学生需从两类中各选一定学分的课程.我系专业选修课没有分类,给学生提供了更大的选择课程范围.也为以后学生在本科和研究生阶段选择专业都提供了更大的选择范围,例如,鄂维南教授在本科选择基础数学,读研选择了计算数学.三、加强培养应用能力和意识在重视基础教育的同时,加强培养应用能力,一方面开设数学实验和数学建模等有明确应用目标课程和大学生研究计划,另一方面在数学分析和线性代数等数学基础课程中注重选择有应用背景的例题,贯穿应用数学的意识.例如常庚哲教授在讲授数学分析、陈发来教授在讲授线性代数课中都将基础知识与数学的应用结合起来,让数学基础课程生动起来,激发了学生的学习兴趣,受到学生的欢迎.四、本硕贯通课程选定一部分专业课程为本科、硕士贯通课程,即供高年级本科生选修,也供低年级研究生选修.其授课课时与研究生课程体系的衔接等做全面的研讨,开设贯通课程使得分流读研的学生有时间与精力去学习其它更多的课程,有利于打好基础,并尽早进入课题研究的前沿.开设贯通课程为获得推荐的读研学生和有专业兴趣的学生提供了选修研究生课程的机会,有利于激发和发现学生的专业兴趣,并为学生在读研期间尽早进入相关的科学研究方向打下基础.据统计,自1999年以来,每年都有90多人次本科生选修本硕贯通课程.五、研究型教学形式大学生研究计划是新型的研究型教学形式,是将教学和科研有机结合的形式,可以校内或校外做.利用科学院和科大“所系结合”的方针,近10年来每年暑假都有大三学生去中科院北京研究生院、信息安全国家重点实验室、中科院数学与系统科学研究院、中科院各研究所参加大学生研究计划.2005年暑假2002级16名学生到中科院及研究生院、国家安全实验室做大学生研究计划,从师于袁亚湘、高小山、曹礼群、尚在久等著名教授,这也给导师了解学生,学生选择读研方向提供了机会,其中有些学生重返科学院做毕业论文,有的推荐到他的导师下继续读研.例如,中科院数学与系统科学研究院李嘉禹教授、高小山教授,国家信息安全实验室冯登国教授都招收了去中科院做大研计划的学生.六、拓展优质教学资源每个学校的专业选修课程与该学校的专业教师方向紧密相关的.为了扩大学生的专业面,让他们了解最新专业进展,通过聘请国内外计算数学等方向的专家学者和校友到校讲课和专场讲座,拓展了优质教学资源.例如,2005年4月由布朗大学舒其望教授,普林斯顿鄂维南教授,北卡蔡伟教授、张智民教授,香港城市大学汤涛教授共同开设了80学时的高级数值分析课程,每人讲授一个专题,各专题的学时不等,面向高年级本科生和研究生.张上游教授利用轮休回国讲授了一学期的计算数学专业课程.聘请国内计算数学专家清华大学韩厚德教授、中科院计算数学与科学工程计算所王烈衡教授来校讲授计算专业课程.专家讲授的课程以及和专家的交流,受到学生的欢迎,使学生接触到学科最前沿的方向和成果,开阔了专业视野,得到了与国际一流水平接轨的培训.通过交流也促进了科大的专业建设.4 专业建设中需要研讨的问题一、人才培养目标每个学校都有自己的办学理念和特色,培养不同领域的专门人才.中科大一直按研究型大学类型发展,在人才培养中尤其加强基础训练.过去计划经济的体制下,数学系是专门培养数学研究和数学教学人才的.近5年来数学系每年约80名本科毕业生,按毕业后2年统计,85%的学生继续深造,在国内外读研,15%的直接就业,主要在信息和金融产业,再看毕业后10至20年的学生,不足15%的学生从事数学科研和教学工作,85%以数学和计算机为主要工具的国民经济各领域的应用型人才.怎样在制定专业人才培养方案中综合考虑近期目标和长远目标?7第2期 张韵华,等:中国科学技术大学数学系“信息与计算科学”专业建设探索8大 学 数 学 第25卷二、学科群基础课和专业课的关系学科群基础课和专业课的学时分配是一个长久的话题,在制定学科群基础课和专业课的教学计划时要与学生的毕业出路结合起来考虑.专业课程是以传授知识为主,基础课程是以训练和熏陶数学思维方式为主,“训练”比“传授”难度高,需要的时间更多,“训练”严谨的数学思维方式是培养数学创新能力基础.怎样处理好两者内在的衔接关系和外在的学时冲突?三、专业课程内容调整目前国内“信息与计算科学”专业课程体系特别是计算科学专业课程大都沿袭五六十年代前苏联的课程体系,内容较陈旧,未能反映信息与计算科学领域的最新成果.因此,现有的专业课程体系需要作较大的调整.例如,传统课程注重强调算法细节而忽略算法的思想与编程实现;一些问题有更好、更新的算法,一些旧的算法需要淘汰.专业课程调整内容过少达不到质的变化,调整内容再多也不能讲全所有新方法.怎样处理专业课程内容调整中质和量的关系?[参 考 文 献][1] 肖铁树.高等数学改革研究报告[M].北京:高等教育出版社,2000.[2] 周远清.建设高水平的高等理科教育体系[J].中国大学教学,2004(10):16-18.[3] 教育部教学指导委员会.信息与计算科学专业教学规范[J].大学数学,2003,19(1):6-10.。
信息论基础第二版习题答案
信息论基础第二版习题答案
《信息论基础第二版习题答案》
信息论是一门研究信息传输、存储和处理的学科，它的理论基础是由克劳德·香农于1948年提出的。
信息论的发展对于现代通信、计算机科学和统计学等领域都有着重要的影响。
《信息论基础第二版》是信息论领域的经典教材，它系统地介绍了信息论的基本概念和原理，并提供了大量的习题来帮助读者加深对知识的理解。
在这本书中，作者对信息论的基本概念进行了详细的介绍，包括信息的度量、信道容量、编码理论等内容。
习题部分则是为了帮助读者巩固所学知识，提供了大量的练习题目，涵盖了各个方面的知识点。
下面我们就来看一下《信息论基础第二版》中的一些习题答案。
第一章习题1.1：什么是信息熵？请用公式表示。
答：信息熵是表示一个随机变量不确定性的度量，它的公式为H(X) = -
Σp(x)log2p(x)，其中p(x)表示随机变量X取值为x的概率。
第二章习题2.3：什么是信道容量？如何计算信道容量？
答：信道容量是表示信道的传输能力，它的计算公式为C = Wlog2(1 + S/N)，其中W表示信道带宽，S表示信号功率，N表示噪声功率。
第三章习题3.2：简要说明香农编码的原理。
答：香农编码是一种无损压缩编码方法，它利用信息的统计特性来减少信息的冗余，从而实现对信息的高效压缩。
以上是《信息论基础第二版》中的一些习题答案，通过学习这些习题，读者可以更好地理解信息论的基本概念和原理。
希望本书对广大读者在信息论领域的
学习和研究有所帮助。
信息理论基础课后答案
(2)
(3)
2.10一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0, 1, 2}。
(1)求平稳后信源的概率分布；
(2)求信源的熵H∞。
解：
(1)
(2)
2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑)= 0.3，白色出现的概率为P(白)= 0.7。
解：
(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
2.4设离散无记忆信源 ，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求
(1)忙闲的无条件熵；
(2)天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；
(3)从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解：
(1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
(2)
设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z
(3)
2.15有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为
YX
x1=0
现在需要传送的符号序列有140000个二元符号，并设P(0)=P(1)= 1/2，可以计算出这个符号序列的信息量是
要求10秒钟传完，也就是说每秒钟传输的信息量是1400bit/s，超过了信道每秒钟传输的能力（1288 bit/s）。所以10秒内不能将消息序列无失真的传递完。
3.7求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：）
2)可抹信道
信息论基础(第2版)
10.1概述
10.3广播信道
1
10.4中继信道
2
10.5分布信源 编码
3
本章小结
4
思考题
5
习题
11.1信源熵的估计 11.2最大熵原理
11.3最小交叉熵原 理
11.4信息理论方法 的应用
思考题 本章小结
习题
作者介绍
这是《信息论基础(第2版)》的读书笔记模板，暂无该书作者的介绍。
精彩摘录
这是《信息论基础(第2版)》的读书笔记模板，可以替换为自己的精彩内容摘录。
目录分析
1.1信息的基本概念
1.2香农信息论研究 的内容
1.3香农信息论研究 的进展与应用
思考题
1
2.1自信息和 互信息
2
2.2信息熵的 基本概念
3
2.3信息熵的 基本性质
4
2.4平均互信 息
5
本章小结
思考题
习题
01
3.1离散信 源的分类与 数学模型
02
3.2离散无 记忆信源的 扩展
03
3.3离散平 稳信源的熵
本章小结
思考题 习题
01
9.1概述
02
9.2限失真 信源编码定 理
03
9.3离散 R(D)函数 的性质与计 算
04
9.4连续 R(D)函数 的性质与计 算
06
9.6一般连 续信源的 R(D)函数
05
9.5高斯信 源的R(D) 函数
*9.7有损数据压缩 技术简介
本章小结
思考题 习题
10.2多址接入信道
读书笔记
这本书满屏的数学公式推导，如果不熟悉数学公式真的很难看下去啊。
书的内容中规中矩吧，信息论最开始提出的思想能给人启发，虽然有借鉴热学的概念，但是把通信系统的理 论极限提出来很强，只是书里没有过多介绍提出的背景。
信息论及编码理论基础(第一章)
定信源到底发送什么样的消息。而通信的目的也就是要使接收者在接收到消息
后，尽可能多的解除接收者对信源所存在的疑义（不定度），因此这个被解除
的不定度实际上就是在通信中所要传送的信息量。
*
11
信息与信息量
由于客观信息的多样性，要想给出一个能够包 罗万象的统一定义，在此基础上建立起一套信 息理论几乎是不大可能的。
系统
*
34
信息论发展简史
1948年shannon信息论奠基
宋 陈亮《梅花》诗： “欲传春信息，不怕雪埋藏。”
《水浒传》第四四回： 宋江大喜，说道：“只有贤弟去得快，旬日便知信息。”
巴金《家》 三一：“二表哥的事情怎样了？为什么连信息也不给我一个？”
*
22
二、Shannon信息论的中心问题
“信息论”，又称为“通信的数学理论”，是研究信息的传输、 存储、处理的科学。
*
13
*
14
第一章：引论（简介）
一、通信系统模型 二、Shannon信息论的中心问题 三、Shannon信息的概念 四、概率复习内容
*
15
一、通信系统模型
信源、信道、信宿 信源是消息的来源， 信道是消息传送媒介， 信宿是消息的目的地。
信源
编码器
信道
译码器
干扰源
*
信宿
16
通信系统模型进一步细分
信息论及编码理论基础 (第一章)
教材
王育民、李晖， 信息论与编码理论 （第2版）， 高等教育出版社， 2013.
*
2
参考书
Thomas M. Cover, Joy A. Thomas, Elements of Information Theory，2nd ed, WILEY Press, 2006. 阮吉寿 张华 译 信息论基础，机械工业出版社，2007.
信息论基础 课后习题答案
信息论基础课后习题答案问题1问题：信息论的基本目标是什么？答案：信息论的基本目标是研究信息的传递、存储和处理的基本原理和方法。
主要关注如何量化信息的量和质，并通过定义信息熵、条件熵、互信息等概念来描述信息的特性和性质。
问题2问题：列举一些常见的信息论应用领域。
答案：一些常见的信息论应用领域包括：•通信领域：信息论为通信系统的性能分析和设计提供了基础方法，例如信道编码和调制调制等。
•数据压缩领域：信息论为数据压缩算法的研究和实现提供了理论依据，例如无损压缩和有损压缩等。
•隐私保护领域：信息论用于度量隐私保护方案的安全性和隐私泄露的程度，在隐私保护和数据共享中起着重要作用。
•机器学习领域：信息论被应用于机器学习中的特征选择、集成学习和模型评估等任务中，提供了许多有用的数学工具和概念。
•生物信息学领域：信息论被应用于分析DNA序列、蛋白质序列和生物网络等生物数据，发现其中的模式和规律。
问题3问题：信息熵是什么？如何计算信息熵？答案：信息熵是衡量一个随机变量的不确定性或信息量的度量值。
信息熵越大，表示随机变量的不确定性越高，每个可能的取值都相对等可能发生；反之，信息熵越小，表示随机变量的不确定性越低，某些取值较为集中或者出现的概率较大。
信息熵的计算公式如下所示：H(X) = -Σ P(x) * log2(P(x))其中，H(X) 表示随机变量 X 的信息熵，P(x) 表示随机变量X 取值为 x 的概率。
问题4问题：条件熵是什么？如何计算条件熵？答案：条件熵是在给定其他随机变量的条件下，一个随机变量的不确定性或信息量的度量。
条件熵基于条件概率定义，用于描述一个随机变量在给定其他相关随机变量的条件下的信息量。
条件熵的计算公式如下所示：H(Y|X) = -Σ P(x, y) * log2(P(y|x))其中，H(Y|X) 表示随机变量 Y 在给定随机变量 X 的条件下的条件熵，P(x, y) 表示随机变量 X 取值为 x 且随机变量 Y 取值为 y 的概率，P(y|x) 表示随机变量 Y 在给定随机变量 X 取值为x 的条件下取值为 y 的概率。
信息论基础
信息论研究的内容
信息论研究的内容一般有以下三种理解： 1、狭义信息论：也称经典信息论。它主要研究信息 的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。 这部分内容是信息论的基础理论，又称香农基本理论。 2、一般信息论：主要也是研究信息传输和处理问题。 除了香农理论以外，还包括噪声理论、信号滤波和预 测、统计检测与估计理论、调制理论、信息处理理论 以及保密理论等。 后一部分内容是以美国科学家维纳(N.Wiener)为代表， 其中最有贡献的是维纳和苏联科学家柯尔莫哥洛夫 (A.KOnMOropoB)。
信息论研究的对象、目的和内容
信源
编码器
消息
信号
信道
译码器
信号+干扰
消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源）
顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人， 生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集 合。 如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在 是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息， 消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信 息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章 绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中， 由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发 展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他 在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论 奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不 确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。
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熵（Entropy）
定义
一个离散随机变量
的熵
定义为 熵的量纲根据对数 的底来定义
对数取2为底，对应的熵的单位是比特(bit)； 取e为底（自然对数），熵的单位为奈特(nat)； 取10为底（常用对数），熵的单位为哈特(hart)
各单位间的换算：
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》 17
例 布袋中装有手感觉完全一样的球，但颜色和数量不同， 问下面三种情况下随意拿出一个球的不确定程度的大小。 （1）99个红球和1个白球（2）50个红球和50个白球 （3）红球、白球、黑球、黄球各25个
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》 11
自信息量需满足的条件
自信息量是事件发生概率的函数 自信息量函数必须满足以下条件：
解：“e”的自信息量 “d”的自信息量 “y”的自信息量
15
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
自信息量的性质
自信息量是非负的 确定事件的信息量为 零 自信息量是概率的单 调递减函数 I(x)基于随机变量X 的特定取值x，不能 作为整个随机变量X 的信息测度。
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第二章
熵、相对熵和互信息
离散随机变量： 字母表（取值空间）： 概率密度函数：
注意：大写字母X代表随机变量，小写字母x代 表随机变量的一个取值（事件，消息，符号）。
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自信息量的物理含义
自信息量表示事件发生后，事件给予观察者的 信息量。 自信息量的大小取决于事件发生的概率。事件 发生的可能性越大，它所包含的信息量就越小。 反之，事件发生的概率越小，它能给与观察者 的信息量就越大。
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课程安排
授课时间：40学时
32学时上课，6学时复习和答疑，2学时考试
课后作业
每周一交给助教，周三发回
评分标准
期末考试：60分 课后作业：32分，共8次作业，每次满分4分
抄作业，该次作业按0分算 迟交作业，该次作业满分按2分记
若 ，则 若 ，则 若 ，则 对于两个统计独立事件，
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自信息量的数学表达式
定义
事件x的自信息量为
I(x)实质上是无量纲的 为研究问题方便， I(x)的量纲根据对数的 底来定义
对数取2为底，自信息量的单位是比特(bit)； 取e为底（自然对数），单位为奈特(nat)； 取10为底（常用对数），单位为哈特(hart)
熵与信息的关系
消息是信息的载体。信息是抽象的，消息是 具体的。 一个人获得消息→消除不确定性→获得信息。 信息的度量（信息量）和不确定性消除的程 度有关，消除的不确定性＝获得的信息量； 熵是随机变量平均不确定度的度量，同时它 也代表了消除随机变量不确定度所需获得的 信息量。
平时介
信息论是在对通信理论的研究中发展起来的
1. 信源编码：临界数据压缩的值（熵 H） 2. 信道编码：临界通信传输速率的值（信道容量 C）
信息论涉及许多学科：统计物理，计算机科 学，概率与统计等 信息的理论安全性和实际安全性 本课程主要讲授香农（Shannon）信息论 的基本理论
不确定性：信息就是用来消除不确定性的东西
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信息的度量
信息的度量和不确定性消除的程度有关 不确定性的程度与事件发生的概率有关 信息量与概率的关系
信息量是概率的单调递减函数 概率小，信息量大 概率大，信息量小
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第一章 绪论与概览
什么是信息？
当今社会是信息社会 信息的含义模糊和难于捉摸
如何准确的度量信息？
一般来说，可以判断是否获得信息，但无法准 确的度量信息 应用数学工具，通过数学的运算来度量信息
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Shannon信息论的三个基本论点
1948 Shannon 《通信的数学原理》”A Mathematical Theory of Communication” Shannon信息论的三个论点
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课程内容
第2章：熵、相对熵和互信息 第3章：渐进均分性 第4章：随机过程的熵率 第5章：数据压缩 第7章：信道容量 第8章：微分熵 第9章：高斯信道 第10章：率失真理论 信息论和信息安全
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自信息量单位的转换
对数的换底公式
一般情况下，我们在课程中使用2为底的对 数，信息量的单位是比特。
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自信息量的例子
例
英文字母中“e”出现的概率为0.105，“d” 出现的概率为0.035，“y”出现的概率为 0.012。分别计算它们的自信息量。
《信息论基础》
信息安全专业 2017-2018学年第一学期
中国科学技术大学 刘斌
Email: flowice@
办公室：科技实验楼西楼1711室
助教：赵坤 课程主页： /teach/InfoTheory/
自我介绍
江西南昌人 9400->SA9806->2001->2009 爱好：篮球，集邮 研究方向：计算机视觉及多媒体信息处理； 可穿戴设备组网、安全及信息处理；智能家 居；
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课程教材及预修课程
教科书
《信息论基础》（美）Thomas M. Cover， Joy A. Thomas 著，阮吉寿 张华 译，机械工业出版 社
参考书
《信息论与编码》，姜丹 著，中国科技大学出版社
预修课程
多变量微积分、线性代数、概率论与数理统计
形式化假说：通信的任务只是在接收端把发送端发出的消
息从形式上复制出来，消息的语义、语用是接收者自己的事， 与传送消息的通信系统无关。只保留了数学可描述的内容。
非决定论：一切有通信意义的消息的发生都是随机的，消息
传递中遇到的噪声干扰也是随机的，通信系统的设计应采用概 率论、随机过程、数理统计等数学工具。