全国高中数学联赛试题及解答(1978-2011)

1978年全国高中数学竞赛题一试题1．已知y=log121x+3，问当x为何值时，(Ⅰ)y>0；(Ⅱ)y<0？2．已知tan x=22(180°<x<270°)，求cos2x，cos x2的值．3．设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD 的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．7．证明：当n、k都是给定的正整数，且n>2，k>2时，n(n－1)k－1可以写成n个连续偶数的和．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．+y+z=0，3+y3+z3=－18的整数解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG∙HF≤12(AB+CD)·12(AD+BC)．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i分钟，假定这些T i各不相同，问：(Ⅰ)当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ)当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)1978年全国高中数学竞赛题解答一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ)y >0；(Ⅱ)y <0？解：当x >－3时，y=log 2(x +3)，⑴x +3>1⇒x >－2时，y >0；⑵0<x +3<1，⇒－3<x <－2时，y <0．2．已知tan x=22(180°<x <270°)，求cos2x ，cos x2的值．解：cos2x=1－(22)21+(22)2=－79；cos x=－11+tan 2x=－13．cos x 2=－1+cos x 2=－33．3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．解：由已知c=b ，故a=2c ，a －c=10－5=5(2－1)=c (2－1)，∴c=5，a=10．所求椭圆方程为x 210+y 25=1．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．解：设已知方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=92，x 1x 2=4．所求方程两根为t 1，t 2，t 1=1x 1+x 2=29，t 2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=814－16=174．∴所求方程为(x －29)(x －174)=0，即36x 2－161x +34=0．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2的正四面体的高h=263．故所求高度=1+263+1=2+263．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．证明：连NP ，取AC 中点O ，则由于N 、P 分别为CD 、BD 中点，故NP ∥AB ，NP=12BC=12(AB －AC )=AM=AO=OM ．∴NPMO 为平行四边形．即PO 经过MN 中点Q ．即直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．解：设开始的一个偶数为2m ，则此n 个连续偶数的和为(2m +…+2m +2n －2)×n ÷2=n (2m +n －1)．令n (n －1)k －1=n (2m +n －1)，则(n －1)k －1－(n －1)=2m ．ADCMPO无论n 为偶数还是奇数，(n －1)k －1－(n －1)均为偶数，故m=12[(n －1)k －1－(n －1)]为整数．∴从(n －1)k －1－(n －1)开始的连续n 个偶数的和等于n (n －1)k －1．由于n 、k 给定，故(n －1)k －1－(n －1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．解：设此三角形三个角为A 、B 、C ，则其三边长分别为2sin A ，2sin B ，2sin C ．本题即证明cos A +cos B +cos C <sin A +sin B +sin C ．由于A ＋B >90°，故90°>A >90°－B >0，⇒sin A >sin(90°－B )=cos B ，同理，sin B >cos C ，sin C >cos A ，三式相加，即得证．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q (a ，4a )，(a >1)则直线PQ 方程为y －4=4a －4a －6(x －6)，令y=0，得x=6－a －6a －1=5aa －1．∴S=12·5a a －1·4a=10a 2a －1=10(a +1+1a －1)=10(a －1+1a －1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S 取得最小值．即所求点为Q (2，8)．+y +z=0，3+y 3+z 3=－18的整数解．解：x 3＋y 3＋z 3－3xyz=(x ＋y ＋z )(x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －zx )=0，故xyz=－6．故x=－3，y=1，z =2，等共6组解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD ∥EF ，作BG ∥ED 交AC 于G ，则AG AC =AB AE =ADAF，从而GD ∥BC ，即BCDG 为平行四边形．P 为BD 中点，从而Q 为EF 中点．2．⑴分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=cos 2π15＋i sin 2π15．∴(x 3－1)(x 12+x 9+x 6+x 3+1)=x 15－1=14∏k=0(x －εk )．而x 3－1=(x －1)(x －ε5)(x －ε10)．故x 12+x 9+x 6+x 3+1=14∏k=0(k ≠5，10)(x －εk )．⑵令x=cos θ，则5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ=5+8x +4(2x 2－1)+4x 3－3x=4x 3+8x 2+5x +1=(x +1)(2x +1)2≥0在x ≥－1时成立．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y 的极大值和极小值．(须证明你的论断)EAQDCBP G解：令4x －3y=t ，则此直线在x 轴上的截距即为14t ．分别以A 、B 、C 的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x －3y 的极大值为14，极小值为－18．4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙12(AD +BC )．证明：连EF 、FG 、GH 、HE ，取BD 中点P ，连EP 、PG ．易证S 四边形EFGH =12S 四边形ABCD ．而S 四边形EFGH =12EG ∙HF sin ∠EOF ≤12EG ∙HF ．但EP=12AD ，PG=12BC ．EP +PG ≥EG ，故12(AD +BC )≥EG ，同理，12(AB +CD )≥HF ．故EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙12(AD +BC )，从而，四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ)当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ)当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10，若当1≤i <j ≤10时，T i >T j ，则其余人不动，交换第i 个人与第j 个人的次序，则所需时间改变量10T 1+…+(11－i )T i +…+(11－j )T j +…+T 10－(10T 1+…+(11－i )T j +…+(11－j )T i +…)=(11－i )(T i －T j )+(11－j )(T j －T i )=(T j －T i )(i －j )>0．即这样交换后，所需时间变少．∴应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T 1<T 2<…<T 10，则所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10．⑵设T 1<T 2<…<T 10，则安排T 1、T 3、T 5、T 7、T 9在一个龙头，T 2、T 4、T 6、T 8、T 10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间5(T 1+T 2)+4(T 3+T 4)+3(T 5+T 6)+2(T 7+T 8)+(T 9+T 10)．6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)解：如图，设△EFG 是正方形ABCD 的一个内接正三角形．且E 、F 分别在一组对边AD 、BC 上，取EF 中点M ，连MG ．则∠GME=∠GAE=90°，于是A 、G 、M 、E 四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB 为正三角形．于是M 为定点，故1=AB ≤EF ≤ABsec 15°=6－2．∴34≤S △EFG ≤23－3．P OGE BCDA EF GM ABCD1979年全国高中数学竞赛题第一试1．求证：sin3θ=4sin θsin(π3+θ)sin(2π3+θ)2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x +y=0和x －y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．3．在△ABC 中，∠A 为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC 完全盖住．4．圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分．5－y +z =1，⑴－z +u=2，⑵－u +v=3，⑶－v +x=4，⑷－x +y=5．⑸6．解方程：5x 2+x －x 5x 2－1－2=0．7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．8．设△ABC 三内角成等差数列，三条对应边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试求A 、B 、C ．9．已知一点P (3，1)及两直线l 1：x +2y +3=0，l 2：x +2y=7=0，试求通过P 点且与l 1、l 2相切的圆的方程．10．已知锐角三角形的三边a 、b 、c 满足不等式a >b >c ，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．第二试1．已知f (x )=x 2－6x +5，问满足f (x )+f (y )≤0和f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )在平面上的什么范围内？并画图．2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．3．设0<α<π2，0<β<π2，证明1cos 2α+1sin 2αsin 2βcos 2β≥9．4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1．5．在正整数上定义一个函数f (n )如下：当n 为偶数时，f (n )=n2，当n 为奇数时，f (n )=n +3，1°证明：对任何一个正整数m ，数列a 0=m ，a 1=f (a 0)，…，a n =f (a n －1)，…中总有一项为1或3．2°在全部正整数中，哪些m 使上述数列必然出现“3”？哪些m 使上述数列必然出现“1”？6．如图，假设两圆O 1和O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E ，⊙O 2的弦BD 交⊙O 1于F ，证明⑴若∠DBA=∠CBA ，则DF=CE ；⑵若DF=CE ，则∠DBA=∠CBA ．7．某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？A DC B FE1979年全国高中数学竞赛试题解答第一试1．求证：sin3θ=4sin θsin(π3+θ)sin(2π3+θ)证明：4sin θsin(π3+θ)sin(2π3+θ)=2sin θ[－cos(π＋2θ)＋cos π3]=2sin θcos2θ＋sin θ=2sin θ(1－2sin 2θ)＋sin θ=3sin θ－4sin 3θ=sin3θ．2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x +y=0和x －y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．解：设双曲线方程为x 2－y 2=λ，以(1，0)及(0，1)分别代入，得双曲线方程为x 2－y 2=±1．3．在△ABC 中，∠A 为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC 完全盖住．解：以BC 为直径作⊙O ，则⊙O 即为所求的最小圆．首先，BC 是△ABC 的最长边，对于任意直径小于BC 的圆，不可能盖住BC ．(若能盖住，则得到圆的弦长大于同圆的直径，这是不可能的)其次，由于∠A >90°，故点A 在圆内．即此圆盖住了△ABC ．故证．4．圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分．证明：设⊙O 的弦AB 、CD 互相平分于点M ，连OM ，则由M 是弦AB 中点．∴OM ⊥AB ，同理OM ⊥CD ．于是过点M 可能作OM 的两条垂线，这是不可能的．故证．5－y +z =1，⑴－z +u=2，⑵－u +v=3，⑶－v +x=4，⑷－x +y=5．⑸解：五式相加：x ＋y ＋z ＋u ＋v=15．⑴＋⑵：x ＋u=3，⑵＋⑶：y ＋v=5，⇒z=7；⑶＋⑷：z ＋x=7，⑷＋⑸：u ＋y=9，⇒v=－1；x=0，y=6，u=3．即x=0，y=6，z =7，u=3，v=－1．6．解方程：5x 2+x －x 5x 2－1－2=0．解：5x 2－1≥0，⇒x ≥55或x ≤－55．(5x 2－1)2－1－x 5x 2－1＋x=0，⇒(5x 2－1－1)(5x 2－1＋1－x )=0，⇒5x 2－1=1．⇒x=±105及x ≥1时，5x 2－1=1－2x ＋x 2，⇒2x 2＋x －1=0，⇒x=－1，x=12．∴x=±105．7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．证明：略(见课本)8．设△ABC 三内角成等差数列，三条对应边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试求A 、B 、C ．解：B=60°，1sin A +1sin C =2sin B ，⇒sin60°(sin A ＋sin C )=2sin A sin C ，⇒2cos(A －C )－3cos A －C 2＋1=0，令x=cos A －C 2，得4x 2－3x －1=0，x=1，x=－14(舍)∴A=B=C=60°.9．已知一点P (3，1)及两直线l 1：x +2y +3=0，l 2：x +2y=7=0，试求通过P 点且与l 1、l 2相切的圆的方程．解：两直线距离=101+22=25，圆心在直线x ＋2y －2=0上．设圆方程为(x －2＋2b )2＋(y －b )2=5，⇒(3－2＋2b )2＋(1－b )2=5，⇒1＋4b ＋4b 2＋1－2b ＋b 2=5，⇒5b 2＋2b －3=0，b=－1，b=35．∴所求圆方程为(x －4)2＋(y ＋1)2=5；(x －45)2＋(y －35)2=5．10．已知锐角三角形的三边a 、b 、c 满足不等式a >b >c ，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．解：此正方形有4个顶点，故必有一边在三角形的边上．设a 、b 、c 边上的高分别为h a 、h b 、h c ，且立于a 边上正方形边长为x ，则h a －x h=x a ，ah a =(a ＋h a )x ，x=ah a a +h a =2S a +h a ．现ah a =bh b =2S ，a >b ，于是a ＋h a －(b ＋h b )=(a －b )＋(2S a －2S b )=(a －b )(1－2Sab )=(a －b )(1－sin C )>0.∴a ＋h a >b ＋h b >c ＋h c ．∴立于c 边上的正方形最大．第二试1．已知f (x )=x 2－6x +5，问满足f (x )+f (y )≤0和f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )在平面上的什么范围内？并画图．解：f (x )+f (y )≤0，⇒x 2－6x +5+y 2－6y +5≤0，⇒(x －3)2+(y －3)2≤8，表示以(3，3)为圆心，22为半径的圆及圆内部分．f (x )－f (y )≥0，⇒x 2－6x －y 2+6y ≥0，⇒(x －3)2－(y －3)2≥0，⇒(x +y－6)(x －y )≥0．所求图形为阴影部分．2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．证明：不对，如图，作△ABD ，及过B 、A 、D 三点的弧，以BD 为轴作此弧的对称图形，以D 为圆心，AB的交点C 、C ′，则四边形ABCD 、ABC ′D 的四边形，其中有一个不是平行四边形．3．设0<α<π2，0<β<π2，证明1cos 2α+1sin 2αsin 2βcos 2β≥9．证明：1cos 2α+1sin 2αsin 2βcos 2β=1cos 2α+4sin 2αsin 22β≥1cos 2α+1sin 2α=tan 2α+1+4cot 2α+4≥5+24tan 2αcot 2α=9．4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1．证明设M 、N 是单位正方形周界上两点，曲线MN 把正方形的面积两等分．1°若M 、N 分别在正方形的对边上(图1)，于是曲线MN ≥线段MN ≥1．2°若M 、N 分别在正方形的一组邻边上(图2)．连对角线AC ，则曲线MN 必与AC 相交(若不相交，则曲线MN 全部在AC 的一边，它不可能平分正方形的面积)，设其中一个交点为P ，作曲线的PN 段关于AC 的对称曲线PN’，则点M 、N’在正方形的一组对边上，而曲线MN’的长度等于曲线MN 的长度．于是化归为情形1°．MNM N M N PP N'N'A BC D A B C DA B C DE F 1 2 33°若M 、N 分别在正方形的一条边AB 上(图3)．连对边AD 、BC 的中点EF ，则曲线MN 必与EF 相交(理由同上)，设其中一个交点为P ，作曲线的PN 段关于EF 的对称曲线PN’，则点M 、N’在正方形的一组对边上，而曲线MN’的长度等于曲线MN 的长度．于是化归为情形1°．综上可知，命题成立．5．在正整数上定义一个函数f (n )如下：当n 为偶数时，f (n )=n2，当n 为奇数时，f (n )=n +3，1°证明：对任何一个正整数m ，数列a 0=m ，a 1=f (a 0)，…，a n =f (a n －1)，…中总有一项为1或3．2°在全部正整数中，哪些m 使上述数列必然出现“3”？哪些m 使上述数列必然出现“1”？证明：1°，当a n >3时，若a n 为偶数，则a n +1=a n 2<a n ，若a n 为奇数，则a n +2=a n +32<a n ，即于是在{a n }中可以找出一个单调递减的子序列，由于该序列的每项都是正整数，故进行到某一项时序列的项≤10，此时当a n =3，6，9时，出现如下的项：9→12→6→3→6→3→…；当a n ≤10且3＼|a n 时，出现如下的项：7→10→5→8→4→2→1；总之，该数列中必出现1或3．2°当m 为3的倍数时，若m 为偶数，m2仍为3的倍数；若m 为奇时，m +3是3的倍数，总之a n 对于一切n ∈N *，都是3的倍数，于是，上述数列中必出现3，当m 不是3的倍数时，m2(若m 为偶数)与m +3(若m 为奇数)都不能是3的倍数，于是a n 不是3的倍数，故a n ≠3，此时数列中必出现1．6．如图，假设两圆O 1和O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E ，⊙O 2的弦BD 交⊙O 1于F ，证明⑴若∠DBA=∠CBA ，则DF=CE ；⑵若DF=CE ，则∠DBA=∠CBA ．证明：连AC 、AD 、AE 、AF ，由ADBE 是圆内接四边形，得∠AEC=∠D ，同理∠C=∠AFD ．从而∠DAF=∠CAF ．⑴若∠DBA=∠CBA ，则AD=AE ，AF=AC ，(同圆内，圆周角等，所对弦等)于是，△ADF ≌△AEC ，⇒DF=CE ．⑵若DF=CE ，则△ADF ≌△AEC ，⇒AD=AE ，⇒∠DBA=∠CAF ．7．某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？解：8250－(88+85+80)=7997．(30+31+32+…+79)×3=50×109÷2×3=8175．即从30到79分每个分数都有3人得到时，共有8175分，此时及格学生数为20×3+3=63人．8175－7997=178．若减少3名及格的学生至少减去180分．故至多减去2名及格的学生．∴至少63－2=61人及格．EFB C DA O 2O 11981ᒪӂॷӊⴷȽᐸȽ㠠⋱॰ѣᆜ⭕㚊ਾᮦᆜㄔ䎑1ˊ䘹ᤙ仈(ᵜ仈┑࠶35࠶ˈ⇿仈ㆄሩ㘵ᗇ5࠶ˈㆄ䭉㘵ᗇˉ2࠶ˈнㆄ㘵ᗇ0࠶) Ł ᶑԦ⭢˖єњй䀂ᖒⲴ䶒〟઼єᶑ䗩ሩᓄ⴨ㅹˊ ᶑԦ҉˖єњй䀂ᖒޘㅹˊA ˊ⭢ᱟ҉Ⲵݵ࠶ᗵ㾱ᶑԦB ˊ⭢ᱟ҉Ⲵᗵ㾱ᶑԦC ˊ⭢ᱟ҉Ⲵݵ࠶ᶑԦD ˊ⭢нᱟ҉Ⲵᗵ㾱ᶑԦˈҏнᱟ҉Ⲵݵ࠶ᶑԦ ł ᶑԦ⭢˖1+sin θ=a ˊ ᶑԦ҉˖sin θ2+cos θ2=a ˊA ˊ⭢ᱟ҉Ⲵݵ࠶ᗵ㾱ᶑԦB ˊ⭢ᱟ҉Ⲵᗵ㾱ᶑԦC ˊ⭢ᱟ҉Ⲵݵ࠶ᶑԦD ˊ⭢нᱟ҉Ⲵᗵ㾱ᶑԦˈҏнᱟ҉Ⲵݵ࠶ᶑԦ Ń 䇮αĮkπ2 (k Į0ˈf 1ˈf 2ˈĂĂ)ˈ T=sin α+tan αcos α+cot αˊA ˊT ਆ䍏٬B ˊT ਆ䶎䍏٬C ˊT ਆ↓٬D ˊT ਆ٬ਟ↓ਟ䍏 ń л䶒ഋњമᖒѝˈଚањ䶒〟བྷ˛A ˊƸABC ˖ğA=60°ˈğB=45°ˈAC= 2B ˊởᖒ˖єᶑሩ䀂㓯Ⲵ䮯ᓖ࠶࡛Ѫ2઼3ˈཀྵ䀂Ѫ75°C ˊശ˖ॺᖴѪ1D ˊ↓ᯩᖒ˖ሩ䀂㓯䮯ᓖѪ2.5Ņ 㔉ࠪ䮯ᯩփABCD üA c B c C c D c ˈлࡇ12ᶑⴤ㓯˖AB c ˈBA c ˈCD c ˈDC c ˈAD c ˈDA c ˈBC c ˈCB c ˈAC ˈBD ˈA c C c ˈB c D c ѝᴹཊቁሩᔲ䶒ⴤ㓯˛A ˊ30ሩB ˊ60ሩC ˊ24ሩD ˊ48ሩņ ൘඀ḷᒣ䶒кᴹєњ४ฏM ઼N ˈM ᱟ⭡y ı0ˈy İx ઼y İ2 x 䘉йњнㅹᔿ⺞ᇊˈN ᱟ䲿t ਈॆⲴ४ฏˈᆳ⭡нㅹᔿt İx İt +1⺞ᇊˈt Ⲵਆ٬㤳തᱟ0İt İ1 ˈ䇮M ઼N Ⲵޜޡ䶒〟ᱟ࠭ᮠf (t )ˈࡉf (t )ѪA ˊˉt 2+t 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