0-1背包问题

课程设计说明书

设计题目： 0-1背包问题的动态规划算法设计

专业：班级：

设计人：

山东科技大学

2013年12月5日

课程设计任务书

学院：专业：班级：姓名：

一、课程设计题目：

二、课程设计主要参考资料

（1）计算机算法设计与分析（第3版）王晓东著

（2）

三、课程设计应解决的主要问题

（1） 0-1背包问题的动态规划算法设计

（2）

（3）

四、课程设计相关附件（如：图纸、软件等）：

（1）

（2）

五、任务发出日期： 2013-11-21 课程设计完成日期： 2013-12-5 指导教师签字：系主任签字：

指导教师对课程设计的评语

成绩：

指导教师签字：

年月日

0-1背包问题的实现

一、设计目的

1.运用动态规划思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。

2.掌握动态规划的应用。

二、设计要求

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。

三、设计说明

（一）、需求分析

1、问题描述：

形式化描述：给定c >0, w i>0, v i>0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋∑w i x i≤c,且∑v i x i达最大.即一个特殊的整数规划问题。

2、最优子结构性质：

设(y1,y2,…,y n)是(3.4.1)的一个最优解.则(y2,y3,…,y n)是下面相应子问题的一个最优解:

证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,z n)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,y n)不是它的最优解。显然有

∑v i z i> ∑v i y i(i=2,…,n)

且w1y1+ ∑w i z i<= c

因此v 1 y 1+ ∑v i z i (i=2,…,n) > ∑v i y i , (i=1,…,n)

说明(y 1,z 2,z 3,…,z n )是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y 1,y 2,…,y n )不是背包问题的最优解,此为矛盾。所以0-1背包问题具有最有子结构。

（二）、概要设计

1、递推关系：

设所给0-1背包问题的子问题

的最优值为m(i ，j)，即m(i ，j)是背包容量为j ，可选择物品为i ，i+1，…，n 时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i ，j)的递归式:

注:(3.4.3)式此时背包容量为j ，可选择物品为i 。此时在对xi 作出决策之后,问题处于两种状态之一:

(1)背包剩余容量是j,没产生任何效益；

(2)剩余容量j-w i ,效益值增长了v i ；

2、设计思路

(1).由0-1背包问题的最优子结构性质，建立计算m[i][j]的递归式如下：

i i i i w j w j j i m v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨

⎧-+---=0),1(}),1(),,1(max{

),( n n n

w j w j v

j m <≤≥⎩⎨⎧=00),n (

(2).查找装入背包物品的函数：

从数组的最右下角开始寻找，如若m[i][c] != m[i-1][c]，则该第i 个物品就在背包中，将其从最大价值量中去掉，然后再接着寻找下一个在背包中的物品，直至i=0。

关键数据结构：

一个二维数组，两个一维数组，两个整型变量 int n;//n 表示物品的种类

double c;//表示背包重量的最大值

double w[N],v[N];//分别表示物品的重量和价值

double **p;//由于存放跳跃点

函数模块：

Type Knapsack(int n,Type c,Type v[],Type w[],Type **p,int x[]);//整理背包函数，找出最大价值

void Traceback(int n,Type w[],Type v[],Type **p,int *head,int x[]);//找出所有在背包里的物品的函数

3、算法的改进：

由m(i,j)的递归式容易证明，在一般情况下，对每一个确定的i(1≤i≤n)，函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数m(i,j)由其全部跳跃点唯一确定。如图所示。

对每一个确定的i(1≤i≤n)，用一个表p[i]存储函数m(i，j)的全部跳跃点。表p[i]可依计算m(i，j)的递归式递归地由表p[i+1]计算，初始时p[n+1]={(0，0)}。

函数m(i,j)是由函数m(i+1,j)与函数m(i+1,j- w i)+ v i作max运算得到的。因此，函数

m(i,j)的全部跳跃点包含于函数m(i+1，j)的跳跃点集p[i+1]与函数m(i+1，j- w i)+ v i的跳跃点集q[i+1]的并集中。易知，(s,t)∈q[i+1]当且仅当wi<=s<=c且(s-wi,t-vi)∈p[i+1]。因此，容易由p[i+1]确定跳跃点集q[i+1]如下：

q[i+1]=p[i+1]⊕(w i,v i)={(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j))∈p[i+1]}

另一方面，设(a，b)和(c，d)是p[i+1]∪q[i+1]中的2个跳跃点，则当c>=a且d

由此可见，在递归地由表p[i+1]计算表p[i]时，可先由p[i+1]计算出q[i+1]，然后合并表p[i+1]和表q[i+1]，并清除其中的受控跳跃点得到表p[i]。

例：n=5，c=10，w={2，2，6，5，4}，v={6，3，5，4，6}。跳跃点的计算过程如下：初始时p[6]={(0,0)}，(w5,v5)=(4,6)。因此，q[6]=p[6]⊕(w5,v5)={(4,6)}。p[5]={(0,0),(4,6)}。q[5]=p[5]⊕(w4,v4)={(5,4),(9,10)}。从跳跃点集p[5]与q[5]的并集p[5]∪q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}中看到跳跃点(5,4)受控于跳跃点(4,6)。将受控跳跃点(5,4)清除后，得到

p[4]={(0,0),(4,6),(9,10)}

q[4]=p[4]⊕(6，5)={(6，5)，(10，11)}

p[3]={(0，0)，(4，6)，(9，10)，(10，11)}

q[3]=p[3]⊕(2，3)={(2，3)，(6，9)}