专题七：平面向量常考题型的解题技巧
高中数学平面向量解题技巧
高中数学平面向量解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到向量的表示、运算、共线性、垂直性等方面的内容。
在解题过程中，掌握一些解题技巧可以帮助学生更好地理解和应用平面向量，提高解题效率。
本文将介绍几个常见的平面向量解题技巧，并通过具体题目来说明其应用。
一、向量的表示和运算在解题过程中，正确地表示和运算向量是非常重要的。
首先，我们需要清楚向量的表示方法。
通常，我们用一个有向线段来表示一个向量，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
其次，我们需要掌握向量的运算法则，包括向量的加法和数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
例如，考虑以下题目：已知向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$，求$\vec{a}+\vec{b}$和$2\vec{a}-3\vec{b}$。
解答：根据向量的加法和数乘法则，我们可以得到：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+(-1)\\3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}$$2\vec{a}-3\vec{b}=2\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3\\6-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-6\end{pmatrix}$通过这个例子，我们可以看到，正确地表示和运算向量可以帮助我们快速得到结果。
平面向量常考方法总结
平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
掌握初中数学中的平面向量解题技巧
掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。
在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。
一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。
在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。
每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。
2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。
通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。
这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。
二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。
这种技巧在解决几何问题时尤为常见。
2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。
这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。
3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。
这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。
三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。
根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。
2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。
这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量做题技巧
平面向量做题技巧1. 嘿，平面向量做题的时候，要学会找关键信息呀！就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。
比如已知向量的模和夹角，那不是很明显要去用相关公式嘛！2. 哎呀，一定要记住向量的加减法法则哦，这可太重要啦！就好比搭积木，一块一块地往上加，或者把多余的拿走，不就清楚啦。
像那种给出几个向量让你合成的题，不就用这个嘛！3. 注意啦，向量的数量积可不能马虎！这就好像你和朋友之间的默契，要好好去感受和计算呀。
比如判断向量垂直，不就看数量积是不是零嘛！4. 嘿，在做题时别死脑筋呀，要灵活运用啊！就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。
碰到复杂的向量问题，多想想有没有简便方法呀！5. 哇塞，对于那些和几何图形结合的题，要把图形看透呀！这就如同你了解一个人的性格一样重要。
比如在三角形里的向量问题，不就利用三角形的特点嘛！6. 记住哦，单位向量也有大用处呢！就好像一个小小的指南针能指引方向一样。
在一些问题里，利用单位向量来转化不就简单多啦！7. 千万别忘了向量共线的条件呀！这就好比走在同一条路上的伙伴。
看到相关条件，马上就想到共线的性质呀！8. 哎呀呀，平面向量做题技巧真的很关键呢！就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。
遇到困难别退缩，用对技巧呀！9. 注意那些隐含条件呀，别漏了它们！这就像宝藏藏在角落里，你得细心才能发现。
很多时候答案就在那些被忽略的地方呢！10. 真的，平面向量做题要多用心呀！就像对自己喜欢的事情一样充满热情。
用心去体会每一个技巧，你会发现做题越来越轻松啦！我的观点结论就是：掌握这些平面向量做题技巧，能让你在解题时更加得心应手，轻松应对各种难题，一定要好好运用哦！。
平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧简介平面向量是高中数学中的重要内容，也是解题过程中经常会遇到的知识点。
掌握平面向量的解题技巧对于提高解题效率和准确性非常关键。
本文将介绍几种常见的解题技巧，帮助读者更好地理解和应用平面向量。
基本概念回顾在介绍解题技巧之前，我们先来回顾一些平面向量的基本概念。
定义1：平面向量是具有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为(x, y)。
其中，x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
定义2：平面向量的模是指向量的长度，用∥a∥表示。
定义3：平面向量的方向是指向量的指向，用角度表示。
定义4：平面向量的加法是指将两个向量首尾相连所得到的向量，用a + b表示。
定义5：平面向量的乘法是指将向量的模与一个标量相乘所得到的向量，用k * a表示。
解题技巧接下来，我们将介绍几种常见的平面向量解题技巧。
投影投影是指将一个向量在某个方向上的分量分解出来。
在解题过程中，我们常常需要求解一个向量在另一个向量上的投影。
例如，已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，我们要求解向量a在向量b上的投影。
首先，我们需要计算向量a与向量b的夹角θ，然后计算a在b方向上的分量，即可得到投影的结果。
单位向量单位向量是指模为1的向量。
在平面向量的解题中，单位向量常常用来表示方向。
使用单位向量可以简化计算，消除向量的模的影响。
例如，已知向量a = (3, 4)，我们要求解向量a的方向。
我们可以通过计算向量a的单位向量a’ = (3/∥a∥,4/∥a∥)，得到向量a的方向。
平移平移是指将所有向量沿着同一方向移动相同的距离。
平移不改变向量的方向和模。
在解题中，平移常常用来简化计算。
例如，已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，我们要求解向量a + b。
可以将向量a平移到原点，得到向量a’ = (-3, -4)，然后计算a’ + b，最后将结果平移回去，即可得到a + b的结果。
平面向量几何法解题技巧
平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。
本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。
一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。
它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。
向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。
模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。
两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。
2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。
向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。
3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。
公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目
初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目平面向量作为初中数学中的重要内容之一，在解题过程中可能会遇到一些较为复杂的题目。
本文将介绍一些解题技巧，帮助同学们快速解决这些复杂的平面向量题目。
一、快速计算向量的模和方向在解决平面向量题目时，经常需要计算向量的模和方向。
为了方便计算，我们可以使用平面向量的坐标表示法。
假设有一个向量AB，设点A的坐标为(A₁, A₂)，点B的坐标为(B₁, B₂)，则向量AB的坐标表示为(B₁ - A₁, B₂ - A₂)。
通过坐标表示法，我们可以快速计算向量的模和方向。
向量的模可以通过使用勾股定理计算得到，即向量的模为√((B₁ -A₁)² + (B₂ - A₂)²)。
向量的方向可以通过使用反正切函数计算得到，即向量的方向为arctan((B₂ - A₂) / (B₁ - A₁))。
二、夹角的计算在解决平面向量题目时，有时需要计算向量之间的夹角。
我们可以使用向量的点积来计算夹角。
设有两个向量A和B，它们的夹角记为θ，则有cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。
通过这个公式，可以快速计算出向量之间的夹角。
三、向量共线与共面判断在解决平面向量题目时，有时需要判断向量是否共线或共面。
可以通过计算向量的比值来判断。
1. 共线判断：如果向量A与向量B共线，那么它们的对应坐标之间的比值应该相等。
即 (B₁/A₁) = (B₂/A₂) = k。
如果向量A与向量B共线，那么我们可以通过求两个坐标之间的比值，判断出它们是否共线。
2. 共面判断：如果向量A、B和向量C共面，那么向量A与向量B的叉积与向量A与向量C的叉积应该平行。
即A×B = λ(A×C)，其中λ是一个实数。
通过判断两个向量的叉积是否平行，我们可以判断出它们是否共面。
四、平面向量的运算在解决平面向量题目时，有时需要进行向量的运算。
以下是一些常见的向量运算规则：1. 向量的加法：设有向量A和向量B，它们的和记为A + B。
专题平面向量常见题型与解题指导
专题平面向量常见题型与解题指导Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
高中数学中常见的平面向量问题求解
高中数学中常见的平面向量问题求解平面向量是高中数学中一种重要的概念，广泛运用于解决各种几何和代数问题。
在本文中，将介绍几个常见的平面向量问题，并给出详细的解题过程和方法。
一、向量的表示和运算在解决平面向量问题之前，首先需要了解向量的表示和运算方法。
平面向量通常用有序对表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示向量的初始点和终点。
平面向量之间可以进行加法、减法、数量乘法和向量的数量积运算。
二、向量共线和垂直1. 向量共线若两个向量→AB和→CD平行或反平行，则可以判断它们共线。
要判断两个向量共线，可以比较它们的分量比例，如果两个向量的x和y 分量的比例相等，即(x2-x1)/(y2-y1)=(x4-x3)/(y4-y3)，则可以判断两个向量共线。
2. 向量垂直若两个向量→AB和→CD垂直，则可以判断它们的数量积为0。
要判断两个向量垂直，可以计算它们的数量积，如果数量积为0，即(→AB)·(→CD)=0，则可以判断两个向量垂直。
三、向量的模和方向角1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→AB|或AB。
计算向量的模可以使用勾股定理，即|→AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
向量的模满足非负性和三角不等式，即|→AB|≥0，|→AB|+|→BC|≥|→AC|。
2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角，通常用α表示。
计算向量的方向角可以使用反正切函数，即α=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。
四、向量叉乘和面积向量叉乘是一种运算，用于求解向量之间的关系和面积。
向量→AB和→CD的叉乘可以表示为(→AB)×(→CD)，其结果是一个向量，垂直于→AB和→CD构成的平面，并且模等于两个向量的模的乘积乘以它们所夹的夹角的正弦值。
五、平面向量的应用平面向量在几何和代数问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景。
(word完整版)平面向量题型及方法
平面向量方法、题型、及应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么?（向量可以平移)。
如：已知A （1，2），B （4，2），则把向量AB 按向量a ＝（－1，3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； 4．相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5．平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行. 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!（因为有0）； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题:(1）若a b =，则a b =.（2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前,终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底,则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量求解技巧
平面向量求解技巧平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在应用平面向量求解问题时，以下技巧或方法可以帮助我们更快速、准确地解决问题。
1. 确定坐标系：在解决平面向量问题时，通常需要确定一个相应的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
选择合适的坐标系可以简化问题，并使计算更加方便。
2. 表示向量：向量是带有方向的量，可以使用一个有序的数对来表示。
在直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x和x分别表示该向量在x轴和x轴上的分量。
在极坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x表示向量的长度，x表示向量与正半轴的夹角。
3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相连接，连接后的向量为原向量的和。
在直角坐标系中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
4. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。
即，将被减向量进行取负操作，再将该向量与减向量进行加法运算。
在直角坐标系中，向量的减法可以通过将减向量的对应分量取负，然后与被减向量的对应分量相加得到。
5. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是将一个向量的长度与一个标量相乘，得到一个新的向量。
数量乘法会改变向量的大小，但不会改变向量的方向。
6. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积或数量积。
点乘的结果是一个标量，不带有方向。
点乘可以用来求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。
7. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积或向量积。
叉乘的结果是一个新的向量，方向垂直于原始向量组成的平面，并遵循右手定则。
向量的叉乘可以用来求解平行四边形的面积、判断三个向量的共面性等。
8. 解决几何问题：应用平面向量求解平面几何问题时，我们通常可以将几何问题抽象为向量问题。
通过将几何问题转化为向量问题，我们可以利用向量的性质和计算方法快速求解。
9. 利用向量运算化简问题：在求解平面向量问题时，可以利用向量运算的性质化简问题。
如何解决高考数学中的平面向量题
如何解决高考数学中的平面向量题高考数学中的平面向量题是一个常见且复杂的考点，对于许多学生来说，解决这类问题常常是一项挑战。
然而，只要我们能够掌握一些基本的解题技巧和方法，就能够轻松解决这些题目。
本文将介绍一些解决高考数学中平面向量题的方法，希望对广大考生有所帮助。
一、理解平面向量的基本概念在解决平面向量题之前，首先需要理解平面向量的一些基本概念，包括向量的表示方法、向量的运算法则以及向量的性质等。
只有对这些基本概念有了深入的理解，才能更好地解决相关的题目。
二、掌握平面向量的坐标表示方法在解题过程中，平面向量的坐标表示方法是一个非常重要的工具。
对于给定的平面向量，可以将其分解为两个分量，分别表示在x轴和y 轴上的投影。
利用这种表示方法，可以简化平面向量的运算，进而解决相关的题目。
三、了解平面向量的运算法则平面向量具有加法、减法和数量乘法等运算法则。
掌握这些运算法则是求解平面向量问题的关键。
需要熟练掌握向量的加法减法运算法则，以及数量乘法的运算规律。
通过灵活运用这些法则，可以大大简化解题的过程。
四、熟练掌握平面向量的性质平面向量具有一些独特的性质，如平行四边形定理、三角形面积公式等。
对这些性质的熟悉和理解，对于解决相关题目至关重要。
例如，利用平行四边形定理，可以推导出两个向量平行的条件；而利用三角形面积公式，可以计算两个向量构成的三角形的面积。
通过应用这些性质，可以更加高效地解答相关问题。
五、多加练习，熟悉各种题型解决高考数学中的平面向量题，需要进行大量的练习，熟悉各种题型。
只有通过不断地练习，才能够在考试中熟练灵活地应用解题方法，提高解题的速度和准确性。
建议考生多做真题和模拟题，尽可能涵盖各个难度层次的题目，从而全面提高解题能力。
六、培养逻辑思维和分析问题的能力解决平面向量题需要良好的逻辑思维和分析问题的能力。
在处理复杂的向量运算时，需要思考运算的顺序和方法，找到合适的转化和计算方式。
通过培养逻辑思维和分析问题的能力，可以更加迅速地捕捉到解题的关键点，提高解题的效率。
平面向量的应用与解题技巧
平面向量的应用与解题技巧在数学中，平面向量是一个重要的概念，它在多个领域中得到广泛的应用，并且有许多解题技巧可供我们学习和运用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其应用，并探讨一些解题技巧，希望能为读者提供帮助。
1. 平面向量的基本概念平面向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向两个特征。
我们通常用字母加上一个箭头来表示平面向量，比如AB→表示由点A指向点B的向量。
平面向量的大小通常用它的模表示，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。
2. 平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
（1）加法：将两个向量的对应分量分别相加即可。
例如，对于向量A→(a，b)和向量B→(c，d)，它们的和为C→(a+c，b+d)。
这意味着我们可以将向量的加法转化为对应分量的数加法，简化计算过程。
（2）减法：将第二个向量的对应分量取相反数，然后进行向量的加法运算。
例如，向量A→(a，b)减去向量B→(c，d)得到的结果为A→-B→(a-c，b-d)。
3. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积和向量积是向量的重要运算，它们在几何和物理问题中广泛应用。
（1）数量积：数量积又称为点积，表示为A→·B→，计算公式为A→·B→=|A→||B→|cosθ，其中θ为A→与B→之间的夹角。
数量积的结果是一个实数，它可以判断两个向量之间的夹角大小和它们的相互关系。
（2）向量积：向量积又称为叉积，表示为A→×B→，计算公式为A→×B→= |A→||B→|sinθn→，其中θ为A→与B→之间的夹角，n→为垂直于A→和B→所确定的向量。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于A→和B→所在的平面，并遵循右手法则。
4. 平面向量的应用平面向量广泛应用于解决几何问题、物理问题和工程问题。
（1）几何问题：平面向量可以用来表示几何图形的性质，比如线段的垂直、平行、共线等关系。
平面向量解题技巧
平面向量解题技巧1. 什么是平面向量？平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
它可以用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。
平面向量常用字母加箭头表示，如a⃗。
平面向量有两个重要的性质：大小和方向。
大小表示向量的长度，也称为向量的模或向量的大小，用|a⃗|表示。
方向表示向量的指向，可以用一个角度来表示，也可以用一个有向角度来表示。
2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示法和基本向量表示法来表示。
2.1 坐标表示法在平面直角坐标系中，每个向量可以用两个有序实数(x,y)来表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
这种表示方法称为坐标表示法。
2.2 基本向量表示法在平面直角坐标系中，我们可以选取两个互相垂直的单位向量i⃗和j⃗作为基本向量，它们的长度都为1。
任意向量a⃗可以表示为a⃗=xi⃗+yj⃗，其中x和y为实数。
这种表示方法称为基本向量表示法。
3. 平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种运算。
3.1 平面向量的加法设a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的和记作a⃗+b⃗⃗，定义为(x1+x2,y1+y2)。
即a⃗+b⃗⃗=(x1+x2,y1+y2)。
3.2 平面向量的数乘设a⃗=(x,y)是平面上的一个向量，k是实数，ka⃗定义为(kx,ky)。
即ka⃗=(kx,ky)。
3.3 平面向量的减法设a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的差记作a⃗−b⃗⃗，定义为a⃗−b⃗⃗=a⃗+(−b⃗⃗)。
即a⃗−b⃗⃗=(x1−x2,y1−y2)。
4. 平面向量的性质平面向量具有一些重要的性质，包括相等性、共线性、平行性和垂直性。
4.1 相等性两个向量a⃗和b⃗⃗相等，记作a⃗=b⃗⃗，当且仅当它们的坐标相等，即x1=x2，y1=y2。
4.2 共线性两个向量a⃗和b⃗⃗共线，当且仅当它们的坐标成比例，即x1x2=y1y2。
平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解平面向量的性质：平面向量有大小和方向，可以进行加减法、数乘等运算。
理解平面向量的性质是解题的基础。
2. 建立坐标系：建立一个适当的坐标系，可以方便地表示平面向量的位置和方向。
通常可以选择直角坐标系或极坐标系。
3. 平面向量的表示方法：平面向量可以用坐标表示，也可以用向量表示。
在解题时，灵活选择适当的表示方法，使问题变得简化。
4. 平面向量的运算法则：平面向量可以进行向量的加法、减法和数乘运算。
根据运算法则，可以进行组合运算，简化计算过程。
5. 理解平面向量的几何意义：平面向量可以表示平移、旋转和缩放等几何变换。
在解题时，可以把平面向量与几何问题相联系，更好地理解和解决问题。
6. 利用向量的性质解题：平面向量具有一些特殊的性质，如平行、垂直、共线等。
在解题时，可以利用这些性质将问题转化为已知的条件，从而更好地解决问题。
总之，平面向量的解题技巧在于灵活运用向量的定义、表示、
运算法则和几何性质，以及适当选择合适的坐标系和表示方法，从而解决平面向量相关的问题。
高中数学平面向量解题技巧
高中数学平面向量解题技巧1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积。
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5.向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻例1：（2022·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b（p,q)，令a⊙bmqnp，下面说法错误的是（）A.若a与b共线，则a⊙b0B.a⊙bb⊙a2222C.对任意的R，有(a)⊙b(a⊙b)D.(a⊙b)(ab)ab【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题。
快速解决平面向量题目的技巧
快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时，很多学生常常觉得题目难以解决，因为涉及到复杂的计算和概念。
然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够快速解决这类问题。
本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、向量的加减运算在解决平面向量题目时，向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。
我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。
1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。
即将两个向量的起点和终点相连接，构成一个三角形，那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。
例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中，Cx = Ax + Bx，Cy = Ay + By。
2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。
即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。
例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。
其中，Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。
二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外，向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。
这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。
1. 向量的数量积向量的数量积又称点积，表示为A·B。
计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。
在解决平面向量问题时，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系，例如判断是否正交、平行或夹角大小等。
2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积，表示为A×B。
计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示单位法向量。
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平面向量专题讲解
向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.
题型一：考查与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义.
⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.
⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.
⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.
⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.
题型二：与向量运算有关的问题
⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |；
②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，
且|+|=||-||；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.
⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.
⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中）
+++=.(□ABCD 中)
⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.
⑸数量积的8个重要性质
①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则
③⇔⊥)1|.(cos ||==⋅=⋅e a θ0=⋅（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中b a ⋅=0a ⇔=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ⋅=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ⋅=-||||b a ⋅(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ⋅=⋅. 特殊情况有2=⋅=2
|a .
或|a ==22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则||a =221221)()(y y x x -+- ⑥|||||b a ⋅≤⋅。
（因1cos ≤θ）
⑦数量积不适合乘法结合律. 如).()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（因为c b a ⋅⋅)(与c 共线，而)(c b a ⋅⋅与a 共线）
⑧数量积的消去律不成立. 若a 、、c 是非零向量且c b c a ⋅=⋅并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，即c 是无意义的.
1．（2008安徽理）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（）
A ． （－2，－4）
B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4）
2．(2008湖北文、理)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（）
A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11
4．(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（）
A ．2OA O
B - B ．2OA OB -+
C ．
2133OA OB - D ．1233
OA OB -+ 5．(2008全国Ⅰ卷文、理)在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）
A ．2133+b c
B ．5233-c b
C ．2133-b c
D ．1233+b c 6．（2008浙江理））已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（）
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2 7．（2008北京理）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．
8. (2008江苏) a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= 7 ．
,是不共线的两个向量,
9.已知,2,,2k -=+=+=
若D B A ,,三点共线,求k 值.
思路：由于D B A ,,三点共线,因此必存在实数λ,使BD AB λ=,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于k ,λ的方程,从而求k .
解:略∴k =-1.
注意：用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.
题型二：与平面向量基本定理及平移有关的问题
⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.
⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。
⑶点的平移公式：（对应坐标相加）
点),(y x P 按给定平移向量),,(k h a =平移后得新点),(y x p '''的坐标公式为
⎩
⎨⎧+='+=';,k y y h x x 反之，由新点求旧点公式变为
⎩
⎨⎧-'=-'=;,k y y h x x 由新旧两点求平移向量公式为
⎩⎨⎧-'=-'=.
,y y k x x h ⑷图象（图形）平移：（对应坐标相减） 给定平移向量=(),k h ，由旧解析式求新解析式，用公式
⎩⎨⎧-'=-'=k
y y h x x , 代入旧解析式中，整理得到；
由新解析式求旧解析式，用公式
⎩⎨⎧+='+='k
y y h x x ,
代入新式，整理得到。
应用以上公式要注意公式中平移前的坐标),(y x 、平移后的坐标),(y x ''、平移向量坐标),(k h 都在同一坐标系中。
确定平移向量一般可采用如下两种思路： 思路一：配凑法：按题目要求进行配凑，如将3)63sin(2+-=π
x y 化简，即可配凑为：
),18(3sin 23π-=-x y 则公式为⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=318''y y x x π此时平移向量为).3,18(--π 思路二：待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出.,k h
【例1】
一．选择题
1.已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（ ）. A.|| -||=|-| B.||||b a b a -=+
=+b |-| D.||||||+=+
2.已知向量),,(y x =，其中}{}{,,8,6,4,2,,5,4,2,1∈∈y x 则满足条件的不共线的向量共有（ ）.
A.16个
B.13个
C.12个
D.9个
3.函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是,12cos +=x y 则a 等于（ ）.
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,4π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,4π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,2π D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,2π 4.已知若),5,3(),2,(-==λ和夹角为钝角,则λ的取值范围是（ ）
A.λ＞310
B.λ≥310 λ＜310 λ≤3
10 5.已知向量=()sin 2,cos 2αα，=),sin 3,cos 3(ββ与的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆2
1)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ）. A. 相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定
6.已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且,,2s r +=⋅=则s r +的值是（ ）. A.32 B.3
4 C.3- D.0 7.已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比是( ). A.83 B.38 C.83- D.3
8- 8.同时垂直于()()3,5,4,1,2,2==的单位向量是( ) A.)32,32,31
(- B.()32,32,31-- C.(32,31,31-)D.(32,32,31-)或(3
2,32,31--) 9.若)1,sin 2,cos 2(),1,sin 3,cos 3(θθααB A ,则||的取值范围是( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]。