平面向量部分常见考试题型总结

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平面向量题型学霸总结五(含答案)-

平面向量题型学霸总结五(含答案)阳光老师:祝你学业有成一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知平面非零向量，满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及平面向量的投影．属于基础题．设出两向量的夹角，结合向量的数量积和向量垂直转化，再结合投影公式、夹角公式计算公式求解即可．【解答】解：设，两向量夹角为，则有，所以．故选D．2.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且，则的形状为A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用等差数列的性质可得，由正弦定理可得，根据余弦定理可求，即可判断三角形的形状．【解答】解：由题意可知，，，则，所以，所以，故的形状为等边三角形．故选C．3.已知，，且，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.【答案】D【解析】略4.已知向量，，，若，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【解答】解：；又；；解得．故选：C．5.已知向量，满足，为向量与向量的夹角，那么A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的模，向量的数量积的计算，考查运算化简的能力，属于基础题．设向量，的夹角为，由，求得，再由向量夹角公式可得结论．【解答】解：设向量，的夹角为，，，可得，，解得，．故选C．6.已知向量，，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模、数量积及判断两个平面向量的平行、垂直关系，属于基础题．由，，易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：，，，，故不正确，即A错误，故B错误，，易得，故C正确，D错误；故选C．7.已知两个单位向量，若，则的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】略8.设向量，，则下列结论中正确的是A. B.C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的运算，共线，垂直的条件，考查了向量的夹角，向量的投影，属于基础题．利用向量共线的条件判断A，利用向量垂直的条件判断B，利用向量的夹角公式判断C，利用向量的投影公式判断D．【解答】解：A．，不平行，故A错误；B.，不垂直，故B错误；C.设的夹角为，则夹角为，故C正确；D.在方向上的投影为，故D错误．故选C．9.在中，若，则A. 一定是正三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是等腰三角形D. 形状无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形形状的判定和向量数量积的运算，属于基础题．根据向量数量积的运算化简，然后将运算结果运用于三角形中判定三角形的形状即可．【解答】解：在中，，，即．故：所以一定是等腰三角形．故答案为C．10.已知，，，则．A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查向量的数量积及模，考查向量的坐标运算，属于基础题．由，求出的坐标，根据，可求t，结合向量数量积的坐标运算即可求解．【解答】解：由，，则，，所以．故选D．11.已知向量，，若与的夹角为，则A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模，属于基础题．由题意可得，，即可求，由展开即可求解．【解答】解：由题意可知：，，，则．故选B．12.如图，，为互相垂直的两个单位向量，则A. 20B.C.D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，得到向量，的终点坐标和起点坐标，从而得到向量a，b的坐标，即可得到和向量的坐标，再由模的公式即可得到答案．【解答】解：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为，起点坐标为，的终点坐标为，起点坐标为，则有，，，即有．故选C．13.已知O为内一点且满足，若的面积为且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题为中档题．考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，得出O为三角形的重心是解决问题的关键．根据向量判断出点O为三角形的重心，由重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式和三角形的面积公式可求出，即可求出【解答】解：，，为三角形的重心，的面积为面积的，的面积为，，，，即，由可得，即，即，故选A14.已知向量，若，则与夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题．由题意可得与反向，故与的夹角即为与的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可．【解答】解：向量，，，若，则与反向，与的夹角即为与的夹角，设为，，，，即与的夹角为．故选A．二、不定项选择题（本大题共3小题，共12.0分）15.已知向量，，则A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，则D. 若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积公式，向量的模长公式，向量垂直的条件，平行的条件，夹角，属于较易题逐个判断即可得出结果．【解答】解：向量，，A.若与垂直，则，解得，故A错误；B.若，则，解得，则，，故B正确；C.若，则，，则，故C正确；D.若，则，，，，，故D错误．故选BC．16.对于任意向量，，，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本概念以及数量积，属于较易题目，根据向量的定义和向量数量积的性质逐一判断即可．【解答】解：A项，若为零向量，零向量与任何向量都平行，则不能推出，故A项错误设与的夹角为，与的夹角为，则B项，，可得即，不能推出，故B项错误C 项，若，，由概念可得，故C正确；D项，即为，化简得于是有，故D项正确故选CD．17.已知向量，则A. B.C. 共线D. 夹角是钝角【答案】BCD【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算、模长公式、共线和夹角，属于基础题．利用已知条件逐个判断即可．【解答】解：由题意，得，对于A，因为，故错误；对于B，因为，故正确；对于C，因为，故与共线，故正确；对于D，因为，则，且与不共线，故与夹角是钝角，故正确，故选BCD．三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）18.已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是．【答案】19.若a，b，a与b的夹角为，则a b_______，a b_______．【答案】【解析】【分析】本题考查向量的有关计算，属于基础题先求出向量和与向量差的平方，再开平方即可得到结果．【解答】解：由题可得：，．故答案为．20.已知a，b．当a b时，a b_______．当a b时，a b_______．当a b时，a与b的夹角为_______．【答案】【分析】本题考查向量的夹角，数量积及向量平行或垂直的公式，属于基础题．【解答】解：根据向量垂直的定义得，当时，；当时，向量的夹角为或，；，故，因此向量的夹角为．故答案为．21.已知向量，，，则________．【答案】4【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量的模，考查运算求解能力，属于基础题．利用平面向量数量积的坐标运算求解得，由向量的模得关于m的方程求解．【解答】解：因为，所以，则，，，，所以．故答案为4．22.已知向量，若，则；若，则【答案】2或，【解析】【分析】本题主要考查两个向量平行和垂直的性质，属于基础题．由条件利用两个向量平行和垂直的条件，求得t的值．【解答】解：向量，若，则，求得或，若，，求得，故答案为：2或，．23.已知向量，，，若，，则的值为________．【答案】10【解析】【分析】本题考查向量的数量积运算，向量的坐标运算，以及向量平行、垂直的条件，属于基础题．由解得x，由解得y，得到和，进而得解．【解答】解：由，可得，解得，则，由，可得，解得，则，即，则．故答案为10．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）24.已知向量，，若与向量垂直，求实数k的值；若向量，且与向量平行，求实数k的值．【答案】解：由题意得，垂直，，解得；由题意得，平行，，解得．【解析】本题考查了向量垂直与共线、向量共线定理，涉及向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由与向量垂直，再运用数量积公式化简即可求解；利用向量共线定理即可得出．25.已知向量a，b，c a b，求与c平行的单位向量的坐标．【答案】解：向量，，，与平行的单位向量的坐标为，即为或．【解析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，还考查了向量的模和单位向量，由题意得，所以，所以与平行的单位向量的坐标为，即可得出结果．26.已知平面向量，．Ⅰ求与的夹角的余弦值；Ⅱ若向量与互相垂直，求实数k的值．【答案】解：Ⅰ，，，Ⅱ向量与互相垂直，，，，．【解析】本题主要考查了向量数量积的性质：向量夹角公式及向量垂直的性质的简单应用，属于基础题．Ⅰ由向量夹角公式，代入即可求解；Ⅱ由已知可得，，结合已知条件可求k．27.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若点D是BC的中点，且，求的面积的最大值．【答案】解：由题意，可得，，，又，．，当且仅当时等号成立，，，故面积的最大值为【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式，求三角函数最值，考查基本不等式求最值，是基础题利用正弦定理将边角关系统一，结合余弦定理求解；首先利用正弦定理可得可得得出，，然后利用余弦定理可求解；由题可得，将其平分，再结合基本不等式解出，当且仅当时等号成立，进而得出，故面积的最大值为28.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．Ⅰ求sin B；Ⅱ若的周长为8，求的面积的取值范围．【答案】解：且，又，，，，．由题意知：，故，，，，或舍，即当时等号成立综上，的面积的取值范围为．【解析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．29.已知向量，，且函数．若，求的值；在中，且，求面积的最大值．【答案】解：因为，，，且，所以，即，所以，所以．由题可得，因为，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．【解析】本题考查向量的数量积，向量垂直的判定，二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的三角函数公式，三角形面积公式，余弦公式以及基本不等式的应用，属于中档题．因为，且，可得，即可得到，进而求解．由题可得，再根据，得到，结合，即可求出在中由余弦定理可得，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解．30.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是，向量对应的复数是，向量对应的复数是，求点C在复平面内的坐标．【答案】解：，对应的复数为．设，则，，，，点C在复平面内的坐标为．【解析】本题考查复数的运算，以及向量的加减运算，首先，根据三角形法则用表示出，对应的复数相减，得出对应的复数，接下来，设出C点坐标为，用A点对应的复数以及C点对应的复数表示出，据此求出x和y的值，找到对应的点，即可得到答案．。

第13讲平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型

第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。

全国卷历年高考平面向量真题归类分析

全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，，，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________．解：由题可得，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，．因为，所以，．两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)，当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,，则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。

第4讲平面向量万能建系法5种常见题型(原卷版)

第4讲平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆【题型目录】题型一：建坐标系求向量值题型二：三角形建坐标系求向量最值问题题型三：四边形建坐标系求向量最值问题题型四：多边形建坐标系求向量最值问题题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一：建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（）A ．-15B ．-13C ．13D ．14【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE→→⋅的值为（）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（）A20OB OE OG ++= B ．OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB ，2AD =，3DM MC =，BP PC =，则AM AP ⋅=（）A ．6B ．10C ．14D ．382．（多选题）已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，下列结论正确的是（）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为763．已知矩形ABCD ，3AB =，4=AD ．P 为矩形ABCD 所在平面内一点，1PA =， PC =则PB PD ⋅=______．4．如图，四边形ABCD 是边长为8的正方形，若14DE DC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=___________.5．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，则a b ⋅=___________.题型二：三角形建坐标系求向量最值问题【例1】已知在边长为2的正三角形ABC 中，M ､N 分别为边BC ､AC 上的动点，且CN BM =，则AM MN ⋅的最大值为（） A ．73-B ．43-C ．13D ．34【例2】已知OAB △是边长为1的正三角形，若点P 满足()()2OP t OA tOB t =-+∈R ，则AP 的最小值为A B ．1 C D【例3】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP ·BP 的最小值为（） A ．－12B ．0C ．4D ．－1【例4】已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．22a - B ．232a -C ．243a -D ．2a -【例5】在直角△ABC 中，90,1BCA CA CB ∠=︒==,P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．1[,1]2B ．1[2C ．D ．【例6】已知AB AC ⊥， 1AB t=， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【题型专练】1．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-2．在ABC 中，满足AB AC ⊥，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则()OA OB OC ⋅+的最小值为（）A ．0B ．C ．12-D ．23．在Rt ABC 中90,2,4C CB CA ∠=︒==，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP ⋅的值可以为（） A ．12-B ．0C ．5D ．1-4．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．5．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，A ＝60°．若D 为BC 边上的任意一点，M 为线段AD 的中点，则()MB MC AD +⋅的最大值是_____．6．已知0AB AC ⋅=，M 是BC 的中点(1)若2AB AC =，求向量AB AC -与向量AB AC +的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上的任意一点，且22AB AC ==，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值．题型三：四边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【例2】如图，四边形ABCD 满足：1,2,3AB AD BD BC C π====∠=．若点M 为线段BD 上的动点，则AM CM ⋅的最小值为（）A ．54-B ．2516-C ．58-D ．158-【例3】已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（） A ．[2,4]- B ．(2,4)-C ．[2,2]-D ．(2,2)-【例4】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中CD DE ⋅的最大值是（）A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【例5】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【题型专练】1．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为__________．2．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为______.3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，求：(1)DE CB ⋅的值； (2)DE DC ⋅的最大值．4．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==.（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅.（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅的最大值. （3）若45EAF ∠=︒，求AE AF ⋅的最小值.5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，2CD =，60DAB ∠=︒，（1）AD DC ⋅=________．（2）P 是AB 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为___________．题型四：多边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．【例2】设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．【题型专练】1.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【例1】（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值【例2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为（）A ．3B ．3+C ．3D ．【例3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ．若BC =2AC =，E 为半圆1O 弧的中点，F 为半圆2O 弧上的任一点，则⋅BE AF 的最大值为（）A ．BC ．D ．4【题型专练】1.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（）A．1 BC ．2D ．2．如图，在半径为4的扇形AOB 中，=120AOB ∠，点P 是AB 上的一点，则·AP BP 的最小值为（）A ．8-B ．3-C ．2-D ．4-3．（多选题）已知扇形AOB 的半径为1，120AOB ∠=︒，点C 在弧AB 上运动，12OC xOA yOB =+，下列说法正确的有（）A ．当C 位于A 点时，x y +的值最小B ．当C 位于B 点时，x y +的值最大 C ．CA CB ⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．OC BA ⋅的取值范围33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．如图，点C是半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB上的点．(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+的最小值：(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅的取值范围．。

高中数学高一平面向量常见题型分类总结

平面向量常见题型题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）例题1：在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）变式1：如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合例题2：在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为变式2：已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a ba b b+++的最小值是___________变式3：给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λμ+O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.变式4：变式5：若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−题型三、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解1. 数量积的定值问题例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=____变式6：如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________变式7：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________2. 数量积的最值问题例3.平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=−==，则a b ⋅最小值是______变式8.已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .3. 数量积的范围问题例题3：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______变式8：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是变式9：在平面上，12AB AB ⊥ ，12121,OB OB AP AB AB ===+，若12OP <，则OA 的取值范围是题型四、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。

向量题型归纳(全)精选全文

精选全文完整版（可编辑修改）向量题型归纳(全)平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？类型（二）：向量的垂直问题1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。

3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。

4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。

5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？类型（三）：向量的夹角问题1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。

6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？类型（四）：求向量的模的问题1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳单选题1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc = A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A分析：利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 详解：由已知及正弦定理可得a 2−b 2=4c 2，由余弦定理推论可得 −14=cosA =b 2+c 2−a 22bc , ∴c 2−4c 22bc=−14 , ∴3c 2b =14 , ∴b c =32×4=6，故选A ．小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．2、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.3、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑，CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C.4、在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =（） A ．1B ．√2C ．√5D ．3 答案：D分析：利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 设AB =c,AC =b,BC =a ，结合余弦定理：b 2=a 2+c 2−2accosB 可得：19=a 2+4−2×a ×c ×cos120∘，即：a 2+2a −15=0，解得：a =3（a =−5舍去），故BC =3. 故选：D.小提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．5、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A．表高×表距表目距的差+表高B．表高×表距表目距的差−表高C．表高×表距表目距的差+表距D．表高×表距表目距的差−表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EHAH,FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DE AB =EHAH=CGAC=CG−EHAC−AH=CG−EHCH，而CH=CE−EH=CG−EH+EG，即AB=CG−EH+EGCG−EH ×DE=EG×DECG−EH+DE＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．6、已知向量a⃑=(−1,m)，b⃑⃑=(2,4)，若a⃑与b⃑⃑共线，则m=（）A．−1B．1C．−2D．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m=−4，即m=−2.故选：C7、在正方形ABCD 中，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（） A ．BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑. 故选：C.8、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，则|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，所以a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，所以|a ⃑−b ⃑⃑+c ⃑|=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2 故选：B9、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b ⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果. 已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a⃗⋅c⃗=b⃑⃗⋅c⃗，则(a⃗−b⃑⃗)⋅c⃗=0，所以a⃗=b⃑⃗或(a⃗−b⃑⃗)⊥c⃗，即（1）错；（2）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗|+|b⃑⃗|，则a⃗与b⃑⃗同向，所以a⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗−b⃑⃗|，则|a⃗|2+|b⃑⃗|2+2a⃗⋅b⃑⃗=|a⃗|2+|b⃑⃗|2−2a⃗⋅b⃑⃗，所以2a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a⃗+b⃑⃗)⋅(a⃗−b⃑⃗)=0，则|a⃗|2−|b⃑⃗|2=0，所以|a⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.10、已知不共线的平面向量a⃗,b⃑⃗,c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1,|b⃑⃗|=4,|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，则|c⃗|=（）A．√2B．2C．3D．2或3答案：D分析：先求出θ=2π3，转化|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√(a⃗+b⃑⃗+c⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a⃗，b⃑⃑，c⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c⃑|=m.因为|a⃗|=1，|b⃑⃗|=4，|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，所以|a⃗+b⃑⃗+c⃗|2=7，即a⃗2+2a⃗⋅b⃑⃗+b⃑⃗2+2b⃑⃗⋅c⃗+2a⃗⋅c⃗+c⃗2=7，所以12+2×1×4cos2π3+42+2×4×mcos2π3+2×1×mcos2π3+m2=7即m2−5m+6=0，解得：m=2或3.所以|c⃑|=2或3故选：D填空题11、已知向量a⃑=(3,1),b⃑⃑=(1,0),c⃑=a⃑+kb⃑⃑．若a⃑⊥c⃑，则k=________．答案：−103.分析：利用向量的坐标运算法则求得向量c⃗的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值∵a ⃗=(3,1),b ⃑⃗=(1,0),∴c ⃗=a ⃗+kb ⃑⃗=(3+k,1), ∵a ⃗⊥c ⃗,∴a ⃗⋅c ⃗=3(3+k )+1×1=0，解得k =−103, 所以答案是：−103.小提示：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p ⃗=(x 1,y 1),q ⃗=(x 2,y 2)垂直的充分必要条件是其数量积x 1x 2+y 1y 2=0.12、若向量a →=(1，1)与向量b →=(1，x )的夹角为锐角，则x 的取值范围是___________. 答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：设向量a →与向量b →的夹角为θ，由cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2,.设向量a →与向量b →的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2因为夹角为锐角，所以0<cos θ<1，即 0<√2×√1+x 2<1，所以x >−1 且(1+x)2<2(1+x 2), 解得 −1<x <1 或 x >1，所以答案是：(−1,1)∪(1,+∞)13、已知向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为120°，|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=1，若(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，可得(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为120°，|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=1，且(a ⃗+3b ⃑⃗)⊥(2a ⃗+λb ⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b ⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0，所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、已知点A (3,−4)与B (−1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则点P 的坐标为________．答案：(1,−1)分析：根据模长相等关系可确定P 为线段AB 中点，由中点坐标公式计算得到结果. ∵P 在直线AB 上，且|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，∴P 为线段AB 中点，又A (3,−4)，B (−1,2)，∴P (1,−1). 所以答案是：(1,−1).15、已知|b ⃑⃑|=3，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则a ⃑·b ⃑⃑＝____________. 答案：18解析：由题意向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，分析可得|a ⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|，代入公式，即可得答案. 因为向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为2b ⃑⃑，则可得|a ⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|，所以a ⃑·b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|cos <a ⃑,b ⃑⃑>=2|b ⃑⃑|·|b ⃑⃑|=2|b ⃑⃑|2=18，所以答案是：18.小提示：本题考查向量投影的应用，考查分析理解的能力，属基础题. 解答题16、已知函数f (x )=2cosxsin (x +π6).（1）求f (x )的最小正周期及f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值（2）在锐角△ABC 中，f （A 2）=32，且a =√3，求b +c 取值范围.答案：（1）最小正周期为π，最大值32；（2）(3,2√3].分析：（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.（1）f(x)=2cosx ⋅(sinx ⋅√32+cosx ⋅12) =√32sin2x +1+cos2x2=sin(2x +π6)+12，所以f (x )的最小正周期为π.因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3于是，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值32（2）在△ABC 中，A +B +C =πf(A2)=sin(A +π6)+12=32，∴sin(A +π6)=1，A ∈(0,π2),∴A +π6∈(π6,23π)，∴A +π6=π2,∴A =π3.由正弦定理asinA=b sinB=c sinC=2，∴b =2sinB,c =2sinC ，∴b +c =2sinB +2sinC =2sinB +2sin (A +B )=2sinB +2sin (π3+B)=2sinB +√3cosB +sinB =3sinB +√3cosB =2√3sin(B +π6)，∵{0<B <π20<C <π2⇒{0<B <π20<23π−B <π2⇒π6<B <π2，∴B +π6∈(π3,2π3)，∴sin(B +π6)∈(√32,1]， ∴b +c =2√3sin(B +π6)∈(3,2√3].17、平面内给定三个向量a ⃗=(3,2)，b ⃑⃗=(−1,2)，c ⃗=(4,1). （1）求满足a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗的实数m ，n ；（2）若(a ⃗+kc ⃗)//(2b ⃑⃗−a ⃗)，求实数k 的值. 答案：（1）m =59，n =−89；（2）k =−1613.分析：（1）依题意求出mb ⃑⃗−nc ⃗的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出a ⃗+kc ⃗与2b ⃑⃗−a ⃗的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；解：（1）因为a ⃗=(3,2)，b ⃑⃗=(−1,2)，c ⃗=(4,1)，且a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗ (3，2)=a ⃗=mb ⃑⃗−nc ⃗=m(−1，2)−n(4，1)=(−m −4n ，2m −n).∴ {−m −4n =32m −n =2，解得m =59，n =−89.（2）a ⃗+kc ⃗=(3，2)+k(4，1)=(3+4k ，2+k). 2b ⃑⃗−a ⃗=2(−1，2)−(3，2)=(−5，2). ∴−5(2+k)−2(3+4k)=0，解得k =−1613.18、如图，已知ΔABC 中，D 为BC 的中点，AE =12EC ，AD ，BE 交于点F ，设AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑．（1）用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；（2）若AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，求实数t 的值．答案：（1）AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2b ⃑⃑−a ⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−43a ⃑+2b⃑⃑；（2）t =12．解析：（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；（2）用a ⃑,b ⃑⃑分别表示向量FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值. （1）由题意，D 为BC 的中点，AE =12EC ，可得AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑． ∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2b ⃑⃑−a ⃑， ∴EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑–AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2b ⃑⃑−a ⃑−13a ⃑=−43a ⃑+2b⃑⃑ （2）∵AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=tb ⃑⃑， ∴FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑–AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a ⃑+(2−t )b⃑⃑∵EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−43a ⃑+2b ⃑⃑，FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，EB⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，由平面向量共线基本定理可知满足−1−43=2−t 2，解得t =12．小提示：本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知a =√6,b =2c,cosA =−14. (1)求c 的值； (2)求sinB 的值； (3)求sin(2A −B)的值. 答案：(1)c =1(2)sinB =√104(3)sin(2A −B)=√108分析：（1）根据余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 以及b =2c 解方程组即可求出；（2）由（1）可求出b =2，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．（1）因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即6=b 2+c 2+12bc ，而b =2c ，代入得6=4c 2+c 2+c 2，解得：c =1．（2）由（1）可求出b =2，而0<A <π，所以sinA =√1−cos 2A =√154，又a sinA=b sinB ，所以sinB =bsinA a=2×√154√6=√104．（3）因为cosA =−14，所以π2<A <π，故0<B <π2，又sinA =√1−cos 2A =√154，所以sin2A =2sinAcosA =2×(−14)×√154=−√158，cos2A =2cos 2A −1=2×116−1=−78，而sinB =√104，所以cosB =√1−sin 2B =√64，故sin(2A −B)=sin2AcosB −cos2AsinB =(−√158)×√64+78×√104=√108．。

高考平面向量常考题型

高考平面向量常考题型平面向量是高中数学中重要的一部分，在高考中也是常考的题型之一。

本文将介绍高考中常见的平面向量题型及解题方法，帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 向量的基本概念向量可以表示为一个有方向的线段，用符号“→”表示。

向量有大小和方向两个属性，可以用坐标表示。

在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为 (x,y)。

2. 向量的加减法向量的加减法可以通过将向量的坐标相加减实现。

例如，向量 A = (2,3) 和向量 B = (4,-1)，则 A + B = (2+4,3-1) = (6,2)，A -B = (2-4,3+1) = (-2,4)。

3. 向量的数量积向量的数量积也称为点积，可以用以下公式表示：A·B =|A||B|cosθ，其中 A 和 B 分别为向量，|A| 和 |B| 分别为它们的长度，θ为 A 和 B 之间的夹角。

4. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积，可以用以下公式表示：A×B =|A||B|sinθn，其中 A 和 B 分别为向量，|A| 和 |B| 分别为它们的长度，θ为 A 和 B 之间的夹角，n 为垂直于 A 和 B 所在平面的单位向量。

5. 平面向量的模长平面向量的模长可以通过勾股定理求得，即 |A| = √(x+y)，其中 A = (x,y)。

6. 向量共线、垂直的判定两个向量共线的条件是它们的夹角为 0 或 180 度，可以用向量的数量积判断。

若 A·B = 0，则 A 和 B 垂直，可以用向量的向量积判断。

7. 向量的投影向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影。

可以用以下公式求得：projA B = (A·B/|B|)B，其中 A 和 B 分别为向量，projA B 为 A 在 B 上的投影。

8. 高维向量高维向量是指超过两个维度的向量。

它们的处理方法与平面向量类似，只是需要用更多的坐标表示。

以上就是高考平面向量常考题型的介绍。

平面向量知识点归纳及常考题型分析

平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线（平行）的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、（1）判断下列命题是否正确：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。

专题平面向量常见题型与解题指导

专题平面向量常见题型与解题指导Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

历年高三数学高考考点之平面向量的线性问题必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<平面向量的线性问题>必会题型及答案体验高考1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 D解析由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.3.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.高考必会题型题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →， CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝_____.答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. (2)因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.点评平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的基本定理可得， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →，所以λ＝22，k ＝1＋22，所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0，知点G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (－3，0)，B (0，3)，点O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2，4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5，3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A.8＋2 2B.8C.6D.6＋2 2(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y ＞0，所以1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4xy＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时，实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|a答案 B解析对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.2.设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12 C.1 D.2 答案 A解析 ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →).∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 3.已知点A (－3，0)，B (0，2)，点O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对答案 C解析由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形.5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，点E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →.7.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 答案 A解析 ①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b ＝0，则不对.8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2).9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案 45解析依题意得，AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2BC →.又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________.答案 2解析因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角.又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.11.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值.(1)证明由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，a 的值. (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，又∵AM →与AB →有公共点A ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.(3)解当t 1＝a 2时， OM →＝(4t 2，4t 2＋2a 2).又AB →＝(4，4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). |AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。

考点30平面向量的概念及线性运算(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)

考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识点】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于长度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向的向量．(6)相反向量：长度相等且方向的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝；结合律：(a ＋b )＋c ＝________减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝；(λ＋μ)a ＝；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA → ＋OB → )．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB → ＋AC → )．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【核心题型】题型一　平面向量的基本概念平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．【例题1】（2024·湖南永州·三模）在ABC V 中，120ACB Ð=o，3AC uuu r =，4BC =uuu r，0DC DB ×=uuu r uuu r，则AB AD +uuu r uuu r 的最小值为（）A ．2B ．4C ．1D 2【变式1】（2023·北京大兴·三模）设a r ，b r 是非零向量，“a a bb =r r rr ”是“a b =r r”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量()6,2a =r ，与a r共线且方向相反的单位向量b =r.【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量a r ，b r满足2a =r ，1b =r ，a +r ，则a b -=r r.题型二　平面向量的线性运算平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．命题点1　向量加、减法的几何意义【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段AB 是圆O 的一条长为2的弦，则AO AB ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在ABC V 中，3,4AN NC BP PN ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，则AP =uuu r （）A ．1355AB CA+uuur uuu r B ．3455AB CA-uuur uuu r C ．3155AB CA-uuur uuu r D ．1355AB CA-uuur uuu r 【变式2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正六边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最小值为 .【变式3】（2023·上海金山·二模）已知a r 、b r 、c r 、d ur 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-=r r r r r ，若,4a d p =r u r ，则||||b dcd -+-r u r r u r的最小值为．命题点2　向量的线性运算【例题3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知24==A D A B ，且4AB BC ×=-uuu r uuu r ，则向量AB uuu r与AC uuu r 的夹角的余弦值为（）A ．12-B ．0C ．12D 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知O 为等边ABC V 的中心，若3,2OA a AB b ==uuu r uuu r r r，则AC =uuu r．（用,a b r r 表示）【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量,,a b c r r r 满足0,a b c a l ++=r r r r r 与b r 的夹角为π3，则实数l =.【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c a b c +++-=，且ABC V (1)求角C ；(2)若2AD DB =uuu r uuu r，求CD 的最小值.命题点3　根据向量线性运算求参数【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量π(cos 2,sin())4a a a =+r ，π(sin(4b a =+r ，若//a b r r ，则sin 2a =（）A ．1-B C ．45D ．35【变式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量a r ，b r满足()()2a b a b l l ++∥r r r r ，则正数l =（）A ．1B C D ．2【变式2】（2024·上海·三模）设平面向量()sin ,1a q =r ，(cos b q =r ，若a r ，b r 不能组成平面上的一个基底，则tan q = ．【变式3】（2023·四川南充·一模）在ABC V 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量),sin m A A =r，()1,1n =-r ，且m n ∥r r．(1)求角A 的大小；(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC V 的面积．题型三　共线定理及其应用利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.【例题5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点O ，A ，B 满足2OA OB ==uuu r uuu r ，且||OA OB OA +=uuu r uuu r uuu r ，点C 满足OC OB -=uuu r uuu rP 满足()1OP tOA t OC =+-uuu r uuu r uuu r ，则OP uuu r 的最小值为（）A B C ．1D ．1【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量1e u r ，2e u ur 是平面上两个不共线的单位向量，且122AB e e =+u r uuu r u u r ，1232BC e e =-+uuur u r u u r ，1236DA e e =-uuu r u r u u r ，则（）A ．、、ABC 三点共线B ．A BD 、、三点共线C ．A C D 、、三点共线D ．B C D 、、三点共线【变式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+uuu r uuu r uuu r，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD uuu r 的取值范围是 .【变式3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ×uuuu r uuu r的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，求PM PN ×uuuu r uuu r的最小值．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，则“//a b rr ”是“存在R l Î，使得a b l =r r ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC 中，已知4AB =，M 为线段AB 的中点，3CM =，若2CN NM=uuu r uuuu r，则NA NB ×=uuu r uuu r （）A ．92-B ．3-C ．D ．3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点()2,6A ，()2,3B --，()0,1C ，7,62D æöç÷èø，则与向量2AB CD +uuu r uuu r同方向的单位向量为（）A ．B ．C ．D ．43,55æö-ç÷èø4．（2024·山西朔州·一模）已知)2,a b ==r r，且a b ^r r ，则2a b -=r r （）A ．B ．C ．4D ．二、多选题5．（2024·辽宁·二模）ABC V 的重心为点G ，点O ，P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则（）A ．,,O P G 三点共线B ．2OP OG =uuu r uuu rC ．2OP AP BP CP =++uuu r uuu r uuu r uuu rD ．点P 在ABC V 的内部6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量,,a b c r r r 满足1,1,3a b c ===r r r 且a c b c ×=×r r r r ，则（）A ．a b c ++r r r的最小值为2B ．a b c ++r r r的最大值为5C ．a b c -+r r r 的最小值为2D ．a b c -+r r r的最大值为三、填空题7．（2023·重庆·一模）在PAB V 中，4,3AB APB p=Ð=，点Q 满足2()QP AQ BQ =+uuu r uuu r uuu r ，则QA QB×uuu r uuu r的最大值为.8．（2023·云南大理·模拟预测）若a b =r r ，8a b +=r r ，6a b -=r r ，则a r 在b r上投影向量的模为．9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=uuu r uuu r r，()0AB AD AC -×=uuu r uuu r uuu r ，则该四边形一定是 .四、解答题10．（2024·山西朔州·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=--r r ，且//m n r r ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．11．（2024·四川·模拟预测）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos B a bC c-=．(1)求角C ；(2)若4AB AC +=uuu r uuu r，求ABC V 面积的最大值．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （）A ．0B C ．D ．42．（2024·全国·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =-r ，则“4m =”是“a r 与b r共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量1e u r ，2e u u r 不共线，12(21)2a k e e =-+r u r u u r ，12b e e =-r u r ur ，且//a b r r，则k =（）A ．12-B ．0C ．1D ．324．（2024·四川遂宁·模拟预测）在ABC V 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（）A ．3B ．4C ．8D ．95．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （）A ．0B C ．2D ．6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量a r ，b r，满足a b a b ==-r r r r ，则()·a a b +=r r r （）A ．212a r B ．212b rC ．()212a b +r r D ．()212a b -r r7．（23-24高三上·全国·阶段练习）设平面向量(1,3)a =r ，||2b =r ，且||a b -=rr ，则()()2·a b a b +-r rr r =（）A ．1B ．14C D8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量a r 、b r 满足：3a =r，4b =r ，a b ^r r .定义该平面上的向量集合{|||||,}A x x a x b x a x b =+<+×>×r rr r r r r r r .给出如下两个结论：①对任意c A Îr ，存在该平面的向量d A Îu r ，满足0.5c d -=rr ②对任意c A Îr ，存在该平面向量d A Ïu r ，满足0.5c d -=rr 则下面判断正确的为（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①正确，②正确D ．①错误，②错误二、多选题9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（）A ．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21B ．若等差数列{}n a 满足x y p q a a a a +=+(x 、y 、p 、*N )q Î，则x y p q +=+C ．非零平面向量a r 、b r 、c r 满足//a b r r ，//b c r r，则//a cr r D ．在ABC V 中，“AB AC >”与“cos cos C B <”互为充要条件10．（2024·全国·模拟预测）设,a b r r是两个非零向量，下列命题正确的是（）A ．若0a b ×=r r，则//a b r r B ．若a b a b ×=×r r r r ，则//a br r C ．若a b ^r r，则()2a b a b×=×r r r r D ．若a b a b +=-r r r r ，则a b^r r11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ×uu u r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]2,0-C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．AC BD ×uuu r uuu r 的最大值为12三、填空题12．（2024·天津·一模）已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD Ð=，且2BE EC =uuu r uuu r .若F 为线段DE 上的动点，且56AF AB AD l =+uuu r uuu r uuu r，则实数l 的值为；AF uuu r 的最小值为 .13．（2023·河南·模拟预测）已知向量()1cos ,sin e a a =u r ，()2cos ,sin e b b =u u r ，()0,1m =u r ，若12e e m +=u r u u r u r ，则12e e ×=u r u u r．14．（2024·青海西宁·二模）若向量,a b r r 不共线，且()()//xa b a yb ++r r r r，则xy 的值为．四、解答题15．（2024·吉林延边·一模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A B c aC b a +-=-．(1)求B ；(2)若点D 在AC 上，且2AD BD DC ==，求ac．16．（2024·浙江温州·模拟预测）ABC V 的角,,A B C 对应边是 a ，b ，c ，三角形的重心是 O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求 a 的长.(2)求ABC V 的面积.17．（2023·湖南·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC V 的面积为πsin 3A A æö-ç÷èø.(1)求C 的大小.(2)点D 满足AD CA =uuu r uuu r.若c =,a b .18．（2023·四川成都·三模）在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6a =，()2sin 2sin()A C b B C +++=(1)求角B 的大小；(2)若3AC DC =uuu r uuu r ，BD =c 的值．19．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为O e ：224x y +=和M e 的公共点，0OM OW ×=uuuu r uuuu r ，M e 与直线20x +=相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若0n m >>，直线1:0l x y m --=与C 交于点A ，B ，直线2:0l x y n --=与C 交于点A ¢，B ¢，点A ，A ¢在第一象限，记直线AA ¢与BB ¢的交点为G ，直线AB ¢与BA ¢的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若()217m n ++=，过点H 作1l 的平行线，分别交线段AA ¢，BB ¢于点T ，T ¢，求四边形GTET ¢面积的最大值．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB 上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r ，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）．A ．2132a b -r r B ．3146a b -r r C ．51122a b -r r D ．1126a b -r r 2．（2024·北京西城·二模）已知向量a r ，b r 满足()4,3a =r ，()210,5a b -=-r r ，则（）A ．0a b +=r r r B ．0a b ×=r r C ．a b >r r D ．a br r ∥3．（2024·全国·二模）点,O P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则直线OP 经过ABC V 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P =uuu r uuu r 是BN 上一点且29AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则AP AB ×=uuu r uuu r （）A ．29B ．19C ．23D ．1二、多选题5．（2024·福建厦门·三模）已知等边ABC V 的边长为4，点D ，E 满足2BD DA =uuu r uuu r ，BE EC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点O ，则（）A ．2133CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r B ．8BO BC ×=uuu r uuu rC ．2CO OD =uuu r uuu r D ．||OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r 6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF V 内部（包括边界）的动点，AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r ，x ，y ÎR .（）A ．0AD BE CF -+=uuu r uuu r uuu r rB ．存在点P ，使x y=C ．若34y =，则点P 的轨迹长度为2D ．AP AB ×uuu r uuu r 的最小值为2-三、填空题7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF AF =，点P 在AB 上，2BP AP =，点Q 在DEF V 内 (含边界)一点，若PQ PD PA l =+uuu r uuu r uuu r ，则l 的最大值为 .8．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA l ®®=，AT AC m ®®=，则l m +的值为．9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形ABCD 边长为MN 是正方形ABCD 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正方形ABCD 边上的动点，则MP PN ×uuu r uuu r 的最大值为 .四、解答题10．（2023·江西·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知M为BC 边的中点，()2a ab AM CB -×=uuuu r uuu r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 的面积为ABC V 周长的最小值．11．（2023·河北·模拟预测）如图，D 为ABC V 内部一点，DE BC ^于E ，AB AD =.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①3CE EB =uuu r uuu r ；②())sin sin sin B C B C +=-；③2AD DE AE DE AD AD DE +=×.。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）

高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。

记作：AB 或a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-。

8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=?。

当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a ba b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?=? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

平面向量常见题型汇编(含答案)

变式11：如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为
解析：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，
所以在上的投影为，而恰好为中点，
故考虑，
所以
2.范围问题
例题8：若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______
解析：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，
，则，，
由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为
3.综合问题
例题10：已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中，，
∵ ∴
∵ ，即当且仅当时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析：，
变式9：在平面上，，，若，则的取值范围是
分析：以为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设，则，所求范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成关系，再寻找关于的不等关系即可
解析：如图以为轴建立坐标系：设，

平面向量部分常见的考试题型总结

1.已知平面向量a2.设向量 (2,1) ,b(2,3)若向量a b 与向量c ( 4 , 7)共线，则3.已知向量(1,1),b (2, x )若a b 与4b 2a 平行，贝U 实数x 的值是()A. -2 B .C. 1D. 25.已知(1,3)2,3)(x ,7),设 AB a , BC b 且 a // b ,则 x 的值(A) 0(B) 3(C) 15(D) 186.已知 a = (1,2), b = (-3 , 2) 若k a +2b 与2a -4b 共线,求实数k 的值;7.已知 a , c 是同一平面内的两个向量，其中 a = (1 , 2)若2 5 ,且a // c ,求c 的平面向量部分常见的题型练习类型(一)：向量的夹角问题1•平面向量a,b ，满足a 1,b4且满足a.b 2，则a 与 b 的夹角为 _______2•已知非零向量a,b 满足a b,b (b 2a )，则a 与b 的夹角为 _______________ 3•已知平面向量a,b 满足(a b).(2a b)4且|彳2,” 4且，则a 与b 的夹角为 __________4•设非零向量 a 、b 、c 满足 | a | |b| |c|,a b c ，贝U a,b ______________ 5•已知a 2,^ 3, a b^'7,求a 与b 的夹角。

6•若非零向量a,b 满足a b ,(2a b), 0,则a 与b 的夹角为 _______________类型(二)：向量共线问题(2,3x ),平面向量b ( 2, 18),若a // b ，则实数x坐标8. n 为何值时，向量a (n,1)与b (4,n)共线且方向相同？9. 已知a 3,b(1,2),且a // b ,求a 的坐标。

10. 已知向量 a (2 , 1) , b ( 1 , m ),c ( 1,2),若(a b )// c ,则 m=_______________11. 已知a,b 不共线,c ka b,d a b ,如果c // d ,那么k= _______________ ,c 与d 的方向关系是 ___10. a (1,2),b (2,类型(四)投影问题1.已知5,a 与b 的夹—，则向量b 在向量a 上的投影为32.在 Rt △ ABC 中,-,AC 4,则 AB.AC 23 .关于a.b a.c 且a有下列①a (b c)；②12.已知向量 a (1，),b ( 2，m ),且 a // b ，则 2a 3b _________类型(三)：向量的垂直问题1 •已知向量a (x ,,b (3,6)且a b ，则实数x 的值为 __________________2. ________________________________________________________________ 已知向量 a (1,n),b ( 1, n ),若 2a b 与b 垂直，贝V a __________________________3. 已知a = (1, 2), b = (-3, 2)若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数 k 的值4. 已知2,b 4，且a 与b 的夹角为§，若ka 2b 与ka 2b 垂直，求k 的值。